大学精品课件：弹性力学平面问题4.1.ppt

1、四、弹性力学平面问题四、弹性力学平面问题 的有限元分析及程序的有限元分析及程序 四、弹性力学平面问题四、弹性力学平面问题 的有限元分析及程序的有限元分析及程序 引引 言言 常应变三角形单元常应变三角形单元 矩形双线性单元矩形双线性单元 平面问题程序平面问题程序(一一) 平面等参数单元平面等参数单元 平面问题程序平面问题程序(二二) Wilson 非协调元非协调元 杆系问题以结点作为分割单元的“结点”是很自杆系问题以结点作为分割单元的“结点”是很自 然的，但对于平面问题，待分析物体是连续的，并然的，但对于平面问题，待分析物体是连续的，并 不存在实际结点。要将物体“拆”成单元，必须用不存在实际结点

2、。要将物体“拆”成单元，必须用 一些假想的线或面作人为地分割。实际计算时，可一些假想的线或面作人为地分割。实际计算时，可 将连续体分成多种形状单元，为讨论简单，现暂时将连续体分成多种形状单元，为讨论简单，现暂时 规定只用一种单元来分割。规定只用一种单元来分割。 平面问题有限单元法可用的单元很多，作为初学，平面问题有限单元法可用的单元很多，作为初学， 先介绍两种最简单的单元：三角形和矩形。然后再先介绍两种最简单的单元：三角形和矩形。然后再 介绍高级些的单元“等参数单元”。介绍高级些的单元“等参数单元”。 将物体进行分割时，必须保证相邻单元具有公共将物体进行分割时，必须保证相邻单元具有公共 边界。

3、假定相邻单元仅在一些点（顶点或顶点加边边界。假定相邻单元仅在一些点（顶点或顶点加边 中点）相连接。这些点即为“结点”。中点）相连接。这些点即为“结点”。 4.1 引引 言言 4.2 常应变三角形单元常应变三角形单元 4.2.1 面积坐标面积坐标 三角形单元中任一点三角形单元中任一点P可用直可用直 角坐标角坐标 (x , y) 表示。表示。 P 2 1 3 y x 如图所示连如图所示连P1、 P2、 P3，则，则 可得三个小三角形。它们和大三可得三个小三角形。它们和大三 角形角形 123的面积比，记作的面积比，记作Li（= Pjk/ 123），称为面积坐标。），称为面积坐标。 三个面积坐标显然三

4、个面积坐标显然 L1+ L2 + L3= 1，只有两个是独，只有两个是独 立的。三角形中任一点立的。三角形中任一点P的的位置可用面积坐标位置可用面积坐标L1、 L2 确定。确定。 当当P点在点在1时时L2 = L3= 0， L1= 1。余类推。可见面积。余类推。可见面积 坐标具有“形函数”的性质。坐标具有“形函数”的性质。 4.2 常应变三角形单元常应变三角形单元 4.2.2 位移模式位移模式 由于面积坐标有形函数性质，由于面积坐标有形函数性质， 因此根据试凑法可得因此根据试凑法可得 P 2 1 3 y x 形函数形函数= Ni=Li = 面积坐标面积坐标 1) 面积坐标和直角坐标关系面积坐标

5、和直角坐标关系 如果结点如果结点 i 位移为位移为ui、vi，则，则 单元位移模式（位移场）为单元位移模式（位移场）为 u= Niui ； v= Nivi 2 1 1 1 1232 33 22 11 yx yx yx 33 221 1 1 1 2 1 yx yx yx L 11 332 1 1 1 2 1 yx yx yx L 22 113 1 1 1 2 1 yx yx yx L 4.2 常应变三角形单元常应变三角形单元 2) 矩阵表达矩阵表达 P 2 1 3 y x )( 2 1 iiii cxbaL kjkji xyyxa kji yyb kji xxc 321,k, j , i T T

6、 3 T 2 T 1dddd e ii ivud T 321 NNNN e dNvud T i i i L L N 0 0 321 ,i 4.2 常应变三角形单元常应变三角形单元 4.2.3 单元列式单元列式 1) 微分算子矩阵微分算子矩阵 xy yx A 0 0 2) 应变、应力矩阵应变、应力矩阵 e dBdA T D弹性矩阵：弹性矩阵： e dSD 321 BBBB ii i i i bc c b B0 0 2 1 ii i i ii bc c b DBDS0 0 2 1 平面应力问题平面应力问题 ii ii ii i bc cc bb DS 2 1 2 1 式中式中 )-(12 2 E

7、D 平面应变时平面应变时 1-1 2 ;E E 4.2 常应变三角形单元常应变三角形单元 由此可见，单元应变、应力都是常量。由此可见，单元应变、应力都是常量。 当所分析的问题具有初应变时，单元的弹性应变当所分析的问题具有初应变时，单元的弹性应变 为为e= - 0，应力为，应力为 =De。 3) 单元应变能单元应变能 dA 2 1 T tU ee dBSd t U T T 2 将上述应变、应力代入将上述应变、应力代入 4) 单元外力势能单元外力势能 dl)( dA T T T ij l ee bf dtdF dFtP 第一项体积力、第二项结第一项体积力、第二项结 点力、第三项表面力的外点力、第三

8、项表面力的外 力势。力势。 e l e bf dNtF NFtP ij dl)( dA T T T 代入位移后，经整理可得代入位移后，经整理可得 4.2 常应变三角形单元常应变三角形单元 5) 令总势能一阶变分等于零，推导单元刚度方程令总势能一阶变分等于零，推导单元刚度方程 当有初应变时推导结果如何？当有初应变时推导结果如何？ BStk e T jie ijBStk T 321 ,j , i ds)( dA T T ij l be Nt FNtP 6) 单元刚度矩阵、等效荷载矩阵单元刚度矩阵、等效荷载矩阵 当有初应变时结果如何？当有初应变时结果如何？ 具体显式表达式见教材具体显式表达式见教材

9、P。47 式（式（3,2-39） 0ds)( dA T TT ij l be NF FNdBSt ds)( dA T TT ij l be Nt FNtFdBSt ds)dA( dA T 0 T TT ij l be NtDBt FNtFdBSt 4.2 常应变三角形单元常应变三角形单元 7) 关于等效结点荷载关于等效结点荷载 等效结点荷载可用公式积分计算，但由于形函数等效结点荷载可用公式积分计算，但由于形函数 的图形是一平面（边界处为一直线），因此可证明也的图形是一平面（边界处为一直线），因此可证明也 可按杠杆原理通过静力等效来求。可按杠杆原理通过静力等效来求。 如如 P.48 图图3-4所

10、示。所示。 4.2.4 解答的收敛性准则解答的收敛性准则 1) 位移模式（也称位移函数）必须包含刚体位移。位移模式（也称位移函数）必须包含刚体位移。 2) 位移模式必须包含常应变位移。位移模式必须包含常应变位移。 3) 位移模式必须保证单元间位移协调。位移模式必须保证单元间位移协调。 1)、2) 对平面问题也即要求具有常数项和坐标一对平面问题也即要求具有常数项和坐标一 次项，这称作“完备性准则”。次项，这称作“完备性准则”。 3) 称作“协调性准则”。既完备又协调的单元一称作“协调性准则”。既完备又协调的单元一 定是收敛的。但不等于说非协调单元一定不收敛。定是收敛的。但不等于说非协调单元一定不

11、收敛。 4.3 矩形双线性单元矩形双线性单元 三角形单元划分灵活，能较好拟合边界复杂（如三角形单元划分灵活，能较好拟合边界复杂（如 曲线边界）物体计算。但是，单元应变、应力是常量，曲线边界）物体计算。但是，单元应变、应力是常量， 对一般问题精度较低，要提高精度就的增加结点、增对一般问题精度较低，要提高精度就的增加结点、增 加未知量，为此讨论其他单元。其一为本节单元。加未知量，为此讨论其他单元。其一为本节单元。 1) 自然坐标自然坐标 2a 2b 2 2 图示矩形单元，设图示矩形单元，设 =x/a， =y/b，则转换成正则单元。，则转换成正则单元。 2) 形函数形函数 2 2 2 3 4 1 由

12、形函数的性质“本点由形函数的性质“本点1，它点零”，利用试凑法，它点零”，利用试凑法 可设：可设： N1=a（1- )(1- ）它满足“它点零条件”。）它满足“它点零条件”。 再令本点为再令本点为1，可得，可得a =1/4，代回可的形函数，代回可的形函数N1 。 同理可得：同理可得： Ni=1/4(1+ 0)(1+ 0) (i=1,2,3,4)。 式中式中 0 = i ； 0= i 。 请大家验证请大家验证Ni是否满足形函数性质。是否满足形函数性质。 4.3 矩形双线性单元矩形双线性单元 3) 位移模式位移模式 u= Niui ； v= Nivi。 或以矩阵表示为或以矩阵表示为 2 2 2 3

13、 4 1 可以用势能原理，也可以用虚位移原理。一经建立可以用势能原理，也可以用虚位移原理。一经建立 单元位移模式后，剩下的工作和杆系、三角形单元类单元位移模式后，剩下的工作和杆系、三角形单元类 似，因此这里从略。似，因此这里从略。 e dNd 41 NNN i i i N N N 0 0 d=u，vT 单元结点单元结点 位移矩阵位移矩阵 4) 关于单元列式关于单元列式 5) 关于单元特性结果请看关于单元特性结果请看 P. 53 式式(3,6-1315)。 6) 关于计算结果的整理关于计算结果的整理 里兹法已经知道：位移结果比应力、内力结果精里兹法已经知道：位移结果比应力、内力结果精 度高。位移

14、达到满意结果，有几何方程求应变，再度高。位移达到满意结果，有几何方程求应变，再 由物理方程求应力，结果精度较差。上述三角形单由物理方程求应力，结果精度较差。上述三角形单 元常应力，矩形单元应力线性变化，许多工程问题元常应力，矩形单元应力线性变化，许多工程问题 的应力是复杂的。为更好标征性，需要对计算结果的应力是复杂的。为更好标征性，需要对计算结果 进行整理。常用处理方法有两种。进行整理。常用处理方法有两种。 4.3 矩形双线性单元矩形双线性单元 6-1) 绕结点平均法绕结点平均法 以交于同一结点各单元此结点处某应力分量的代以交于同一结点各单元此结点处某应力分量的代 数平均值，作为此结点该实际应

15、力的近似值。数平均值，作为此结点该实际应力的近似值。 对于边界处的结点，由内结点结果的外插得到。对于边界处的结点，由内结点结果的外插得到。 6-2) 两单元平均法两单元平均法 三角形单元时三角形单元时，以两相邻单元应力平均值作为边，以两相邻单元应力平均值作为边 中点的应力近似值。中点的应力近似值。矩形单元时矩形单元时，以两相邻单元公，以两相邻单元公 共边两端结点四个应力的平均值作为边中点的应力共边两端结点四个应力的平均值作为边中点的应力 近似值。对于边界处的结点，同样由内结点结果的近似值。对于边界处的结点，同样由内结点结果的 外插得到。外插得到。 1) 程序功能程序功能 本程序可用三角形或本程

16、序可用三角形或 矩形单元计算平面应力矩形单元计算平面应力 问题。当计算平面应变问题。当计算平面应变 问题时需要自行转换弹问题时需要自行转换弹 性常数。性常数。 本程序为了减少计算本程序为了减少计算 数据的准备，对规则问数据的准备，对规则问 题具有做、单元结点编题具有做、单元结点编 码等自动生成功能。码等自动生成功能。 本程序荷载生成功能本程序荷载生成功能 较弱，请自行修改。较弱，请自行修改。 4.4 平面问题程序平面问题程序(一一) 本程序可以用来计算本程序可以用来计算 如墙梁、剪力墙（可以如墙梁、剪力墙（可以 带孔洞）等结构。带孔洞）等结构。 2）程序数据文件说明）程序数据文件说明 2-1）

17、基本数据）基本数据 结点位移数，单元结点结点位移数，单元结点 数，结点总数，最大半数，结点总数，最大半 带宽，总约束位移码数，带宽，总约束位移码数， 单元总数，点的坐标数，单元总数，点的坐标数， 规则标志，问题标志，规则标志，问题标志， 弹性常数及厚度。弹性常数及厚度。 2-2) 结点坐标结点坐标 如果不规则：如果不规则：按结点号按结点号 顺序读入全部结点的坐顺序读入全部结点的坐 标值。标值。 如果规则无孔：孔标志如果规则无孔：孔标志, X方向单元数，方向单元数，Y方向单方向单 元数，元数，X方向单元长度，方向单元长度， Y方向单元长度。方向单元长度。 如果规则有孔：如果规则有孔： 控制结点数

18、，生成结点控制结点数，生成结点 类数。类数。 结点号，结点号，X，Y 4.4 平面问题程序平面问题程序(一一) 起点号，终点号，生成起点号，终点号，生成 的点数，相邻点号差值，的点数，相邻点号差值， “相邻两点间距”。“相邻两点间距”。 2-3）读入结点荷载值）读入结点荷载值 有荷载的结点数有荷载的结点数 结点号，结点号，X方向荷载值方向荷载值， Y方向荷载值。方向荷载值。 2-4）单元的整体结点码）单元的整体结点码 如果规则无孔：如果规则无孔：不需要不需要 输入输入 如果规则有孔：如果规则有孔： 待修改待修改 如果不规则：如果不规则： 按单元类型读入单元按单元类型读入单元 整体位移码。整体位

19、移码。 2-5) 读入全部零位移约读入全部零位移约 束的位移码。束的位移码。 如果问题类型不等于零如果问题类型不等于零 2-6）读入第二种材料的）读入第二种材料的 弹性常数，厚度，首单弹性常数，厚度，首单 元号，终单元号，循环元号，终单元号，循环 步长。步长。 如果问题类型等于零如果问题类型等于零 没有第六组没有第六组 4.4 平面问题程序平面问题程序(一一) 2-7）一算例数据）一算例数据 2,4,441,46,22,400,2,0,0,6.93e4 ,0.3,2.0e-2 1 20,20,0.05,0.1 21 421,0.0,0.05 422,0.0,0.1 423,0.0,0.1 42

20、4,0.0,0.1 425,0.0,0.1 426,0.0,0.1 427,0.0,0.1 428,0.0,0.1 429,0.0,0.1 430,0.0,0.1 431,0.0,0.1 432,0.0,0.1 结结 433,0.0,0.1 点点 434,0.0,0.1 荷荷 435,0.0,0.1 载载 436,0.0,0.1 数数 437,0.0,0.1 据据 438,0.0,0.1 439,0.0,0.1 440,0.0,0.1 441,0.0,0.05 运行程序运行程序 查看计算结果查看计算结果 1,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32

21、,34,36,38,40,42 4.5 平面等参数单元平面等参数单元 三角形和矩形单元是最简单的单元形式，前已提三角形和矩形单元是最简单的单元形式，前已提 及，由于位移模式是线性和双线性的，精度较低。对及，由于位移模式是线性和双线性的，精度较低。对 于曲线边界问题，还有以直边代替曲边的离散误差。于曲线边界问题，还有以直边代替曲边的离散误差。 为此，介绍本节等参数单元族。为此，介绍本节等参数单元族。 首先以四结点等参元为例进行介绍，然后再介绍首先以四结点等参元为例进行介绍，然后再介绍 其他等参元。其他等参元。 2 2 2 3 4 1 x y 1 2 3 4 母单元母单元 4.5.1 单元描述单元

22、描述 为克服矩形单元不能拟合曲线边界，用图示任意为克服矩形单元不能拟合曲线边界，用图示任意 四边形单元，但在直角坐标下要描绘属于单元的点比四边形单元，但在直角坐标下要描绘属于单元的点比 较困难。较困难。 自然坐标下的图示单元（母单元）形状都是规则图自然坐标下的图示单元（母单元）形状都是规则图 形，考虑到母单元形函数性质，并设形，考虑到母单元形函数性质，并设 i 点的坐标为：点的坐标为： (xi,yi)，则由，则由 x= Nixi ； y= Niyi 可以描绘子单元形可以描绘子单元形 状。状。 为什麽？为什麽？ 子单元（等参元）子单元（等参元） 4.5 平面等参数单元平面等参数单元 x y 1

23、2 3 4 母单元母单元 利用上述转换公式可看出：利用上述转换公式可看出： 1) 母单元正交坐标线映射后成为图母单元正交坐标线映射后成为图 示子单元斜角坐标线。仍为直线。示子单元斜角坐标线。仍为直线。 2) 子单元有两套坐标系：整体子单元有两套坐标系：整体x,y坐坐 标，和局部标，和局部 , 坐标。坐标。 3) , 坐标又是母单元正交坐标。坐标又是母单元正交坐标。 4) 根据子单元结点坐标情况，规则根据子单元结点坐标情况，规则 母单元可映射出任意四边形单元。母单元可映射出任意四边形单元。 5) 相邻单元映射后仍然连续。相邻单元映射后仍然连续。 子单元（等参元）子单元（等参元） 2 2 2 3

24、4 1 4.5.2 单元位移模式单元位移模式 设设 i 点的位移为：点的位移为：(ui,vi)，则单，则单 元位移场为元位移场为 u= Niui ；v= Nivi。 和矩形单元一样，和矩形单元一样， 可用矩阵表示为：可用矩阵表示为： e dNd 4.5 平面等参数单元平面等参数单元 x y 1 2 3 4 母单元母单元 4.5.3 坐标系间的转换关系坐标系间的转换关系 2 2 2 3 4 1 y y x x y y x x yyy xxx 由复合函数求导数的规则可得由复合函数求导数的规则可得 用矩阵表示则为：用矩阵表示则为： y x yx yx yy xx y x 引入记号引入记号 称作雅可比

25、矩阵称作雅可比矩阵 其逆矩阵为：其逆矩阵为： 4.5.4 其他等参元母单元形函数其他等参元母单元形函数 1) 八结点等参元（矩形族）八结点等参元（矩形族） x y 1 2 3 4 5 6 7 8 子单元（等参元）子单元（等参元） 2 2 2 3 4 1 6 7 8 5 用试凑法用试凑法N1可设为：可设为： N1=a(1- )(1- )(1+ + )；它能自；它能自 动满足它点为零。本点为动满足它点为零。本点为1得：得： a=-1/4 同理可得角结点同理可得角结点Ni通式为：通式为： Ni=-1/4(1+ 0)(1+ 0)(1- 0 - 0) (i=1,2,3,4).式中式中 0 = I; 0=

26、 i . 用试凑法用试凑法N5可设为：可设为： N5=a(1- 2)(1- ) ；它能自动满足；它能自动满足 它点为零。本点为它点为零。本点为1得：得：a=1/2 同理可得边中点同理可得边中点Ni通式为：通式为： N5,7=1/2(1- 2)(1+ 0) N6,8=1/2(1- 2)(1+ 0) yx yx J yy xx J 1 xx yy J yy xx J 1 1 映射后映射后 子单元可以子单元可以 是曲边单元是曲边单元 4.5 平面等参数单元平面等参数单元 2) 六结点六结点(三角形族三角形族) 单元如图所示单元如图所示 3 1 2 1 1 4 5 6 L1= L2= 母单元母单元 子

27、单元子单元 3 1 2 4 5 6 x y 设设N1=a ( -1/2)；它满足它点为零；它满足它点为零 条件，为使本点为条件，为使本点为1，可得，可得a =2。同。同 理可得理可得 Ni=Li(2Li-1) (i=1,2,3) 设设N4=aL1L3；它满足它点为零条；它满足它点为零条 件，为使本点为件，为使本点为1，可得，可得a =4。由此。由此 可得可得 N4=4L1L3 N5=4L2L1 N6=4L3L2 映射后映射后 子单元可以子单元可以 是曲边单元是曲边单元 4.5 平面等参数单元平面等参数单元 3) 常用的两族单元常用的两族单元 矩形：四、八、十二结点等参元。矩形：四、八、十二结点

28、等参元。 三角形：六、十结点等参元。三角形：六、十结点等参元。 问题：试建立十、十二结点母单元形函数。问题：试建立十、十二结点母单元形函数。 各种单元分别包含坐标几次完整多项式？各种单元分别包含坐标几次完整多项式？ 能否给出建立两族形函数的一般方法？能否给出建立两族形函数的一般方法？ 4.5.5 单元描述和位移模式单元描述和位移模式 1) 单元描述单元描述 2) 位移模式位移模式 T TT 1ne xxx e dNvud T n NNN 1 i i i N N N 0 0 T TT 1n e ddd exNyxx T 结点数结点数 4.5 平面等参数单元平面等参数单元 4.5.6 等参元单元分

29、析等参元单元分析 记微分符号记微分符号: : D; x Dx 记记 iy i yix i x NDD;NDD 1) 应变矩阵应变矩阵 e dBdA T n BBB 1 i x i y i y i x i DD D D B0 0 i ii i ii yNy;xNx xDxD yDyD JJ 11 ) ( 1 i i i x NyDD NyDDJD ) (- 1 i i i y NxDD NxDDJD 4.5 平面等参数单元平面等参数单元 2) 应力矩阵应力矩阵 D弹性矩阵：弹性矩阵： e dSD 3) 单元应变能单元应变能 A tUdA 2 1 T 4) 单元外力势能单元外力势能 e l e A

30、 bf dNtF NFtP ij ds)( dA T T T 5) dA、ds 的计算的计算 为用虚位移原理推导为用虚位移原理推导 单元刚度方程，必须解决单元刚度方程，必须解决 dA、ds 的计算。的计算。 母单元规则微元体母单元规则微元体d d 映射后变成图示（曲边）映射后变成图示（曲边） 四边形。四边形。 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 4.5 平面等参数单元平面等参数单元 如图示，此微面积为如图示，此微面积为 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 dd dddddA Jdet J 坐标的积分上下限均为坐标的积分上下限均为-1，1。 沿边线的积分（沿边线的积分（ =1为例）为例）

31、 ddds 1/2 2 1 2 1 1 1 yx 一般情况见一般情况见 P.72 式式(3,6-23)。 xDxD yDxD J i ii xNx i ii yNy 4.5 平面等参数单元平面等参数单元 有了上述结果，经虚位移原理或势能原理即可推有了上述结果，经虚位移原理或势能原理即可推 得式得式(3,6-24)(3,6-26)单元刚度和等效荷载结果。单元刚度和等效荷载结果。 4.5.7 数值积分数值积分 三角形和矩形单元可以写出刚度显式表达式，但三角形和矩形单元可以写出刚度显式表达式，但 对于等参元，由于两套坐标的转换，导致刚度、荷载对于等参元，由于两套坐标的转换，导致刚度、荷载 的被积表达

32、式十分复杂，一般不可能积出显式结果。的被积表达式十分复杂，一般不可能积出显式结果。 只能用数值积分由程序来得到。只能用数值积分由程序来得到。 目前常用的是高斯积分（矩形族）和哈默尔积分目前常用的是高斯积分（矩形族）和哈默尔积分 （三角形族）。它们的积分点位置、加权系数等见表（三角形族）。它们的积分点位置、加权系数等见表 3-1、3-2（P.7476)。 其积分公式见式（其积分公式见式（3,6-40）、（）、（3,6-41）。）。 4.5 平面等参数单元平面等参数单元 4.5.8 作等参元分析时应注意的问题作等参元分析时应注意的问题 等参元分析中要用等参元分析中要用detJ-1， ，可见雅可比行

33、列式等于 可见雅可比行列式等于 零将导致刚度矩阵等无法积分，使分析失效。因此要零将导致刚度矩阵等无法积分，使分析失效。因此要 避免以下可能使避免以下可能使detJ=0的情况：的情况： 1) 子单元边界不能过于扭曲。子单元边界不能过于扭曲。 2) 矩形子单元不能退化成三角形。矩形子单元不能退化成三角形。 3) 子单元角顶处单元边线切线角角不能等于子单元角顶处单元边线切线角角不能等于1800。 上述情况如上述情况如 P.81 图图3-39 示意。示意。 此外此外,子单元边界上结点应尽可能是或接近等分点，子单元边界上结点应尽可能是或接近等分点， 避免产生奇异单元。避免产生奇异单元。 可能情况下应采用

34、直边子单元，这样可使雅可比可能情况下应采用直边子单元，这样可使雅可比 矩阵简单，提高计算效率。矩阵简单，提高计算效率。 4.5 平面等参数单元平面等参数单元 4.5.9 离散化时应注意的问题离散化时应注意的问题 除对等参元应注意上述问题外，任何有限元分析除对等参元应注意上述问题外，任何有限元分析 都还应注意以下几点：都还应注意以下几点： 1) 相互邻接的单元大小应尽可能均匀。相互邻接的单元大小应尽可能均匀。 2) 单元最大尺寸与最小尺寸之比应尽可能接近一，最单元最大尺寸与最小尺寸之比应尽可能接近一，最 多不应大于二。多不应大于二。 3) 应合理编码，使单元结点间的整体编号差值最小。应合理编码，

35、使单元结点间的整体编号差值最小。 4) 应尽可能使各界点的单元数目相同应尽可能使各界点的单元数目相同,如如 P.82 图图3,6-42 左图示意左图示意. 4.6 平面问题程序平面问题程序(二二) 应用本程序时应用本程序时,数据文件的准备见数据文件的准备见 P.217。 运行程序运行程序 查看计算结果查看计算结果 4.7 Wilson非协调单元非协调单元 至今为止所介绍的单元都是能保证收敛的协调单至今为止所介绍的单元都是能保证收敛的协调单 元。单元计算结果的精度，取决于位移模式中坐标完元。单元计算结果的精度，取决于位移模式中坐标完 全多项式的次数。为改进精度全多项式的次数。为改进精度Wilson提出非协调的单提出非协调的单 元，简单介绍如下。元，简单介绍如下。 在矩形双线性单元基础上，增加一位移修正项：在矩形双线性单元基础上，增加一位移修正项： ee aNdNd 21 21 00 00 NN NN N vvuu e aaaaa 2121 2 11 N 2 21 N 显然在四个结点处修正项等于零，因此它只影响单元显然在四个结点处修正项等于零，因此它只影响单元 内部位移，可见内部位移，可见