物理竞赛1(力学)课件.ppt

1、物理竞赛辅导物理竞赛辅导 力力 学学()N个粒子系统，定义质量中心个粒子系统，定义质量中心mrmmrmrNiiiNiiNiiic 111mxmxNiiic 1mymyNiiic 1mzmzNiiic 1一、质心一、质心xyzmiircrO对连续分布的物质，可以将其分为对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元个小质元mmrrc dmmxxcdmmyycdmmzzcdVmddSmddlmddxyzmiO二、质心系二、质心系011 NiiiNiciirmrrm)(ciirrr 01 Niiirm0 1 Niiivm质心在其中静止的平动参照系。质心在其中静止的平动参照系。irir crCyxOzyxx

2、yzmiirir COOcrz0 1 Niiivm质心系可能不是惯性系，但质心系特殊，动量质心系可能不是惯性系，但质心系特殊，动量守恒定律适用，而且，守恒定律适用，而且，总动量总动量 为零为零。ciivvv 质心系中质点质心系中质点 mi 的速度的速度:（零动量参照系）（零动量参照系）质心系中质心系中三、质心运动定律三、质心运动定律 NiipP1tPFddcamF*在质心系中惯性力和外力完全抵消，故动量守恒。在质心系中惯性力和外力完全抵消，故动量守恒。trmtrmccddd)(dmrmrNiiic 1质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。trm

3、trmNiiiNiiidddd11cvmp jiijiiifFrM)(内力矩内力矩 ijiijiinfrM)(jijijifrfr iiiiiiiLtFrMM)(dd合合外力矩为零外力矩为零，质点系总角动量守恒，质点系总角动量守恒i joipirjriFijfjifijjifrr )(为零为零0 inMtLMdd tLidd合外力矩合外力矩)(ijjijifrfr iiiprLoicirrr oprLLcc iiL iiiivrmicivvv iicicivvrrm)()(iiiciiiicccvrmvrmvmrvmr )()(cL零零零零pzyxxyzmiirir COOcr0dd Ptrc

4、 prLLccO d)(dddddtprtLtLccO ptrtprtLccc ddddddtprtLtLccOdddddd yxxyzmiirir COOcrOM z质心系中：质心系中：tprtLtLccOdddddd OOMtL dd iiOFrMiciFrr )(tprFrcidd cMtLMccdd tprtLccdddd iciiFrFrtprtLccdddd 例：（例：（18th,9分分）均匀细杆）均匀细杆AOB 的的A 端，端，B 端和中央位置端和中央位置O处各有处各有1个光滑的小孔先让杆在光滑的水平大桌面上绕个光滑的小孔先让杆在光滑的水平大桌面上绕 O 孔以孔以角速度角速度 w

5、 w。作顺时针方向旋转如图（图平面为大桌面）。今。作顺时针方向旋转如图（图平面为大桌面）。今将一光滑的细杆迅速插入将一光滑的细杆迅速插入 A 孔，棍在插入前后无任何水平方孔，棍在插入前后无任何水平方向的移动，稳定后，在迅速拔向的移动，稳定后，在迅速拔A棍的同时，将另一光滑细棍如棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入前所述插入B 孔，再次稳定后，又在迅速拔出孔，再次稳定后，又在迅速拔出 B 棍的同时，棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入将另一光滑细棍如前所述插入 O 孔。试求：最终稳定后，细孔。试求：最终稳定后，细杆杆AOB 绕绕O 孔旋转方向和旋转角速度的大小。孔旋转方向和旋转角速度的大小。解：

6、解：AOB m,l2231,121mlIImlIBAo AALLPrLLccA 0w w ocAILLAAAILw w 插入插入A孔前后孔前后AOB m,l0w w ocAILLAAAILw w 0041w w w w w wAoAII 插入插入 B 孔前后孔前后PrLLccB crcvPrc cLOAAoBmulIL2 w w AAcOAlruw w w w 202241w wmlLB BBBILw w 081w w w wBw wB反向转了反向转了 再次插入再次插入O孔前后孔前后BOOILw w w w oooIL0081w w w w w wBAOB m,l逆时针转逆时针转例例（19th

7、,4）质量分别为）质量分别为 m1 和和 m2 的的 两物块与劲度系数为两物块与劲度系数为 k 的的 轻弹簧构成系统如图，物块与物体（平面）光滑接触，右侧水轻弹簧构成系统如图，物块与物体（平面）光滑接触，右侧水平外力使弹簧压缩量为平外力使弹簧压缩量为 l 。物体静止。将右侧外力撤去，系统。物体静止。将右侧外力撤去，系统质心质心 C 可获得的最大加速度为可获得的最大加速度为 ，可获得的最大，可获得的最大速度值为速度值为 。m1 m2 k解：解：F m1N f fF m2cammkxN)(21 lx xmmkac21 21maxmmklac 质心质心 的最大加速度的最大加速度质心质心 的最大速度的

8、最大速度 m1 m2 kF m2 过平衡位置时的速度过平衡位置时的速度2max222121mvkl lmkv2max2 max212211max)(mmvmvmvc lmmkm212 =0例：长为例：长为 l，质量为，质量为m 的匀质细杆，置于光滑水平面上，可绕过的匀质细杆，置于光滑水平面上，可绕过杆的中点杆的中点 O 的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止。有一质量与的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止。有一质量与光滑杆相同的小球沿与杆垂直的速度光滑杆相同的小球沿与杆垂直的速度 v 飞来，与杆碰撞并粘在杆飞来，与杆碰撞并粘在杆端点上，如图。（端点上，如图。（1）定量分析系统碰撞后的运动状态。（）定

9、量分析系统碰撞后的运动状态。（2）若）若去掉固定轴，杆中点不固定，再求系统碰撞后的运动状态。去掉固定轴，杆中点不固定，再求系统碰撞后的运动状态。v m m C解：解：（1）角动量守恒）角动量守恒w w)41121(222mlmllmv lv23 w w 以以 3v/2l 为角速度做匀角速转动。为角速度做匀角速转动。O v m C去掉固定轴，杆中点不固定去掉固定轴，杆中点不固定质心质心的平动的平动绕质心绕质心的转动的转动杆小球系统，动量守恒杆小球系统，动量守恒cmvmv2 2vvc 杆小球系统，外力矩为零，角动量守恒，杆小球系统，外力矩为零，角动量守恒，C新质心新质心C位置位置402lmmmlm

10、 对新质心对新质心Cw w )(421ccJJlmv O v m C C4l对新质心对新质心Cw w )(421ccJJlmv221)4(121lmmlJc 2487ml（平行轴定理）（平行轴定理）22)4(lmJc lv56 w w系统的质心以系统的质心以 v/2 速度平动，速度平动，系统绕过质心的轴以系统绕过质心的轴以 w w 6v/5l 为角速度做匀角速为角速度做匀角速转动。转动。例例（19th,9）如图所示。表面呈光滑的）如图所示。表面呈光滑的 刚体无转动地竖直下落。刚体无转动地竖直下落。图中虚线对应过刚体唯一地图中虚线对应过刚体唯一地 最低点部位最低点部位P1 的水平切平面。图中的水

11、平切平面。图中竖直虚线竖直虚线P1 P2 对应着过对应着过 P1 点的铅垂线，点的铅垂线，C 为刚体的为刚体的 质心。设质心。设C与铅垂线与铅垂线P1 P2确定的平面即为铅垂面，将确定的平面即为铅垂面，将C到到P1 P2 的距离记为的距离记为 d ，刚体质量为，刚体质量为 。刚体相对于过。刚体相对于过 C 点且与图平面垂直的水平点且与图平面垂直的水平转轴的转轴的 转动惯量为转动惯量为 IC.设设 ICm d 2。已知刚体与水平地面将发。已知刚体与水平地面将发生的碰撞为弹性碰撞，且无水平摩擦力，试在刚体中找出这样的生的碰撞为弹性碰撞，且无水平摩擦力，试在刚体中找出这样的点部位，它们在刚体与地面碰

12、撞前、后的两个瞬间，速度方向相点部位，它们在刚体与地面碰撞前、后的两个瞬间，速度方向相反，大小不变。反，大小不变。CdP1P2v0解：解：CdP1P2N yvc)(0vmmvtNc 解：解：CdP1P2N yw wcItdN 2022212121mvImvcc w w022vmdImdIvccc 022vmdImdc w wP0cv0vdvvc w w例例:(15th,11)两个质量相同的小球两个质量相同的小球A、B,用长为用长为 2a 的无弹性且的无弹性且的不可伸长的绳子联结。开始时的不可伸长的绳子联结。开始时A、B 位于同一竖直线上，位于同一竖直线上，B在在A 的下方，的下方，相距为相距为

13、a，如图所示。今给，如图所示。今给A 一水平初速度一水平初速度v0，同时静同时静止释放止释放B，不计空气阻力。且设绳子一旦伸直便不再回缩，问：，不计空气阻力。且设绳子一旦伸直便不再回缩，问：经过多长时间，经过多长时间，A、B 恰好在同一水平线上？恰好在同一水平线上？a v0AB解：解：001330cos2vavat 选择质心系，角动量守恒选择质心系，角动量守恒CAB2 a20v20v绳子拉紧前，绳子拉紧前，A、B相对与质心的速度大相对与质心的速度大小为小为20v绳子拉紧后，绳子拉紧后，A、B相对于质心做圆周运动，角速度设为相对于质心做圆周运动，角速度设为 w w从释放到绳子拉直所用时间从释放到

14、绳子拉直所用时间tLMccdd 30CB20v vt t020v 解：对于质心有解：对于质心有6sin22202 w wavmma 212220va w wav40 w w26tw w 02326vat w w 021)323(vattt tLMccdd Mc=030例：例：某惯性系中有两个质点某惯性系中有两个质点A、B，质量分别为质量分别为 m1、m2 ，它，它们之间只受万有引力作用。开始时两质点相距们之间只受万有引力作用。开始时两质点相距 l0，质点，质点A静止，静止，质点质点B 沿连线方向的初速度为沿连线方向的初速度为 v0.为使质点为使质点 B 维持速度维持速度v0不变，不变，可对质点

15、可对质点 B 沿连线方向施一变力沿连线方向施一变力 F，试求：（，试求：（1）两质点的最）两质点的最大间距，及间距为最大时的大间距，及间距为最大时的 F 值（值（2）从开始时刻到间距最大）从开始时刻到间距最大的过程中，变力的过程中，变力 F 作的功（相对惯性系）作的功（相对惯性系）0202lGmv （G为引力常数）为引力常数）l0F v0m1m2AB解：解：以以 m2 为为 S系系SSf0vm1Ffl0F v0m1m2ABSS解：解：（1）以）以 m2 为为 S系系f0vm1Ffmax2102120121lmmGlmmGvm 机械能守恒机械能守恒020022max22lvlGmGml max2

16、21221lmmGrmmGF 2201220024)2(GmlmvlGm l0F v0m1m2ABS（2）S系中系中当当 l=lmax 时，时，m1的速度的速度v=v0由动能定理，对（由动能定理，对（m1+m2）202202121)(21vmvmmWWfF 一对一对 max0dllfrfW一对一对f0vm1rrmmGlldmax0221 021max21lmmGlmmG 202202121)(21vmvmmWWfF 一对一对021max21lmmGlmmGWf 一对一对202202121)(21vmvmmWF 021max21lmmGlmmG 例：（例：（11th,9）质量为）质量为 M 的刚

17、性均匀正方形框架，在某边的中点开的刚性均匀正方形框架，在某边的中点开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以纸平一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以纸平面为代表的光滑水平面后，令质量为面为代表的光滑水平面后，令质量为m 的刚性水球在此水平面上从的刚性水球在此水平面上从缺口处以速度缺口处以速度 v 进入框内，图中进入框内，图中v 的方向的角的方向的角 45 45，设小球与，设小球与框架发生的碰撞均为无摩擦力的弹性碰撞，试证：（）小球必将框架发生的碰撞均为无摩擦力的弹性碰撞，试证：（）小球必将通过缺口离开框架。（）框架每边长为通过缺口离开框架。（）框架每边长为a，则

18、小球从进入框架到，则小球从进入框架到离开框架，相对于水平面的位移为：离开框架，相对于水平面的位移为：vmMvam)(22 v解：（解：（1）vv a22（2）)(mMrmrMrmMc )(.mMrmrMrmMc vMmmrvCc .vv 小小 球在框架内运动的时间为球在框架内运动的时间为 TavvaT22224 在在 T 时间间隔内，质心的位移为时间间隔内，质心的位移为avvMmmTvSc22 vvMmma)(22 vv)(mMrmrMrmMc )(mMrmrMSrmMc MmMmrrr 0 mMr mmmcrmMrmrMSr )(vvMmmaSrm)(22 例：例：（8th,12）小滑块小滑

19、块A 位于光滑水平桌面上，小滑块位于光滑水平桌面上，小滑块 B 处于处于位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量均是位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量均是 m，用长为，用长为 L，不可伸长、无弹性的轻绳连接。开始时不可伸长、无弹性的轻绳连接。开始时A、B 间的距离为间的距离为 L/2,A、B 间的连线与小槽垂直（如图间的连线与小槽垂直（如图）。今给滑块一冲击，使）。今给滑块一冲击，使之获得平行于槽的速度之获得平行于槽的速度v0，求滑块，求滑块 B 开始运动时的速度。开始运动时的速度。y解：滑块解：滑块A和和B组成的系统在组成的系统在 y 方向动量守恒。方向动量守恒。ymvmvmv120 A、B组

20、成的系统组成的系统 对原对原B所在处角动量守恒，所在处角动量守恒，cossin2110LmvLmvLmvyx yv1xv12L0v B A L3 yxmvmvmv1103 2v 以以 B 为参照系，为参照系，A 相对于相对于B 的运动为以的运动为以 B 中心的圆，中心的圆，A 相相对于对于B 的速度为的速度为v vvv 21 211cossinvvvvvyx vvx 2310273vv ymvmvmv120 yxmvmvmv1103 2121vvvy y2L0v B Ayv1xv1 L122v Av B L2vxv1yv1例例:(16th,13)两个上下水平放置的相同的均匀薄圆盘两个上下水平放

21、置的相同的均匀薄圆盘A、B，盘的半，盘的半径为径为 R，质量为，质量为 M，两圆盘的中心都在同一竖直轴上，两圆盘的中心都在同一竖直轴上,B 盘与轴盘与轴固定，固定，A 盘与轴不固定。先使盘与轴不固定。先使A 盘转动，盘转动，B 盘不动，然后盘不动，然后A盘下落盘下落到到 B 盘，并与之粘在一起，共同转动。设盘，并与之粘在一起，共同转动。设A 盘将要盘将要 落到落到B 盘上时盘上时的角速度为的角速度为w w0 0,并假设空气对盘表面任意点附近单位面积的摩擦力并假设空气对盘表面任意点附近单位面积的摩擦力，正比于盘在该处的线速度，正比于盘在该处的线速度,比例常数为比例常数为 K K，轴与轴承间的摩擦

22、忽，轴与轴承间的摩擦忽略不计求，略不计求，A A、B B 粘在一起后能转多少圈？粘在一起后能转多少圈？102w ww wJJ 解：解：A、B 相互作用时间极短，忽略阻力矩，角动量守恒相互作用时间极短，忽略阻力矩，角动量守恒w w1 d f rfrdd t tfrdd t trrrkvd2 rrrrkd2)(w w rrkd23w w ABMMRABMMrrkd2d3w w t t Rrrk03d22w w t t4Rkw w JM tMRRkdd)21(224w ww w tMkRdd2w w w w d2MkR 020dd1 w ww wMkR12w w kRM 022w w kRM 220

23、42kRMN w w R23th(13分分)如图所示，如图所示，水平轻绳跨过固定在质量为水平轻绳跨过固定在质量为m1 的水平的水平物块的一个小圆柱棒后，斜向下联结质量为物块的一个小圆柱棒后，斜向下联结质量为m2的小物块，设的小物块，设系统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放后，假设两物系统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放后，假设两物块的运动方向如图所示，即绳与水平桌面的块的运动方向如图所示，即绳与水平桌面的a a 夹角始终不变，夹角始终不变，试求试求a a，a1和和a2。a aa1a2a1m1m2 m2g Ta aa aTT m1gN y x解：解：T(1 cosa a)=m1 a1对于对于m1，x 轴方向有轴方向有 对于对于m2，x 轴方向有轴方向有 Tcosa a=m2(a1 a2 cosa a)m2g Tsina a=m2 a2 sina a a1=a2=a y 轴方向有轴方向有 T(1 cosa a)=m1 a1 Tcosa a=m2(a1 a2 cosa a)m2g Tsina a=m2 a2 sina a a1=a2=acos2a a (k+2)cosa a+1=021mmk 1)4(221)(1)4(221coskkkkkk舍舍a a a1=a2=a=g cosa a )4(221arccoskkka a