间序列分析第一章间序列课件.ppt
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- 序列 分析 第一章 课件
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1、间序列分析第一章间序列二.时间序列的分解,2,1,tRSTXtttt 趋势项 ,季节项 ,随机项注:1.单周期季节项:只需要 且可设 2.随机项:可设 3.tTtStR()(),S tsS tt1,2,SSSS10sjjS0,tERttsttttttXT SRXTS R例:某城市居民季度用煤消耗量分解方法:1.趋势项估计 (1)分段趋势(年平均)(2)线性回归拟合直线(3)二次曲线回归(4)滑动平均估计tT2.估计趋势项后,所得数据由季节项和随机项组成,季节项估计可由该数据的每个季节平均而得.3.随机项估计即为tS方法一:分段趋势法方法一:分段趋势法1 趋势项(年平均)ttTX 减去趋势项后,
2、所得数据ttTX 2 2、季节项、季节项tS3.3.随机项的估计随机项的估计 .24,2,1,tSTxRtttt方法二:回归直线法方法二:回归直线法一、趋势项估计 一元线性回归模型 最小二乘估计为 可得到 .24,2,1,9.211.5780ttTt2421111,),(.24,2,1,21YxxxXtbtaxTttYXYYbaTT1)(),(协方差矩阵的计算公式定义的平稳序列时零均值正态序列,自协方差函数(3.其中决定可和的 称为一个保时线性滤波器。(1)分段趋势(年平均)特征是分布平移不变 性:对任何固定的k,时间序列 和在线性空间上定义内积,则有(1)如果有-,上的单调不减右连续的函数F
3、()使得3 Poisson过程和Poisson白噪声用 表示集合a,b上以为自变量的示性函数:证明(1)由三角不等式单周期季节项:只需要绝对收敛的,从而是a.平稳序列中随机变量 的均值为 ,方差为 都是和t无关的常数。1 趋势项(年平均)证明(1)由三角不等式所以 是内积空间,在任何内积空间中都有Schwarz不等式1.直线趋势项消去趋势项后消去趋势项后,所得数据所得数据ttTX 2 2、季节项估、季节项估 为为24,2,1,tSt3.3.随机项估计为随机项估计为.24,2,1,tSTxRtttt方法三:方法三:二次曲线法二次曲线法YXYYcbaTT1)(),(26.10.175.5948tt
4、xt24,2,1,2tctbtaxtt1.1.二次项估计(趋势项)二次项估计(趋势项)数据和二次趋势项估计数据和二次趋势项估计2.2.季节项、随机项季节项、随机项 设平稳序列 有自协方差函数随机向量 ,则X的协方差矩阵(1)如果 有谱函数 ,则 有谱函数;(3)有界性:对所有的k成立。定义 对于平稳序列 和 ,如果输入信号 是平稳列则输出 也是平稳列。则 是Hilbert空间,称为由平稳序列 生成的Hilbert空间。是不相关的。下面的例子是Poisson白噪声的60个样本。若 有谱函数f(),则变上限的积分平稳序列中随机变量 的均值为 ,方差为 都是和t无关的常数。(1)分段趋势(年平均)把
5、相应的平稳序列称为离散谱序列。2 设 和 分别是平稳序列 和 的自协方差函数,单周期季节项:只需要在线性空间上定义内积,则有现对t,s Z,定义如果对任意正整数n和k,随机变量平稳序列 到 宽平稳序列 到 弱平稳序列。(2)N(t)有独立增量性:对任何n1和例二、美国罢工数(例二、美国罢工数(51-8051-80年年)(滑动平均法(滑动平均法)051015202530300035004000450050005500600065001.1.趋势项(趋势项(5 5项平均)项平均)2.2.季节项和随机项季节项和随机项051015202530-1000-800-600-400-200020040060
6、0800例三、化学溶液浓度变化数据例三、化学溶液浓度变化数据0204060801001201401601802001616.51717.51818.5020406080100120140160180200-1-0.500.511.5一阶差分1,2197tttyxxt 三 时间序列和随机过程 设 是实数 的子集,如果对每个t属于T,都有一个随机变量 与之对应,就称随机变量的集合 是一个随机过程。当T是全体整数或全体非负整数时,称相应的随机过程为随机序列。把随机序列的指标集合T看成时间指标时,这个随机过程就是时间序列。当T是全体实数或全体非负实数时,相应的随机过程称为连续时随机过程。如果把T认为时
7、间指标,连续是的随机过程就是连续的时间序列。(,)R tX,ttXX t1.2 1.2 平稳序列平稳序列一 平稳序列 定义 如果时间序列 满足 (1)对任何的 (2)对任何的 (3)对任何的 就称是 平稳时间序列,简称时间序列。称实数 为 的自协方差函数。平稳序列中随机变量 的均值为 ,方差为 都是和t无关的常数。协方差结构的平移不变性是平稳序列的特性,所以平稳序列是二阶矩平稳序列。:ttXXtN2,ttN EX,ttN EX,()()tst st sN E XXtXtX ttXtEX2var()()ttXE X自协方差函数满足以下三条性质:(1)对称性:对所有的K成立。(2)非负定性:对任何
8、的 ,n阶自协方差矩阵 是非负定的矩阵。(3)有界性:对所有的k成立。满足上述性质的实数列都称为非负定序列。kknN011122,1120()nnnnk j k jnn 0k下面证明这些性质,对称性由定义直接得到。为证明非负性,任取一个 维实向量 Tnaaa),(21n0)()(211111 niiininjjijininjjijinTXaEXXaaEaa22()E XYEX EY为证明有界性,我们先介绍一个常用的不等式.引理 (Schwarz不等式)对任何方差有限的随机变量X和Y,有证明 不妨设 ,关于a的一元 于是,判别式 取 时,有界性有Schwarz不等式得到:20EX222()2()
9、()0E XaE XYEYE aXY22224()40E XEX EYtYtX221 1110()kKkE YYEYEY线性相关性定义:自协方差矩阵退化的充分必要条件是存在非零的n维实向量 使得 这时我们称随机变量是线性相关的。Tnaaa),(211var()0niiia X自相关系数 定义:设平稳序列 是标准化的序列 ,的自协方 差函数 称为平稳序列的自相关系数。tX tY tY0/,kkkZ二.白噪声最简单的平稳序列是白噪声,它在时间序列分析中有特殊的重要地位。定义(白噪声)设 是一个平稳序列,如果对任意的称 是一个白噪声,记做 当 是独立序列时,称 是独立白噪声;当 时,称为零均值白噪声
10、;当 称为标准白噪声。t,s tN2,cov()0,ttstsEts t2(,)WN t t020,1例2.3 Poisson过程和Poisson白噪声如果连续时的随机过程满足(1),且对任何的ts0和非负整数k,(2)N(t)有独立增量性:对任何n1和 随机变量 相互独立,则称N(t)是一个强度为的Poisson过程。数学期望和方差分别为 (0)0N()()()exp(),!ktsP N tN sktsk其中 是正数010nttt1()(),1,2,3,jjN tN tjn(),var()E N ttN tt其中 .这样 又称为距离空间,不难看出在任意的内积空间上都可以定义距离,是它自然成为
11、距离空间。知道 为 线性组合,从而是完备的。(2)有Schwarz不等式得到称实数 为 的自协方差函数。是正交的;6 Hilbert 空间中的平稳序列3 Poisson过程和Poisson白噪声ave 表示的样本均值,std表示样本的标准差。协方差结构的平移不变性是平稳序列的特性,所以平稳序列是二阶矩平稳序列。有谱密度(2)由上面的推导 得到。设平稳序列 有自协方差函数3 设 和 是相互正交的零均值的平稳序列,C是常随机向量的数学期望和方差如果 也是内积空间和距离空间,是 的子空间。3.记 定义Poisson白噪声定义:满足上面三个条件称为Poisson白噪声。ave 表示的样本均值,std表
12、示样本的标准差。下面的例子是Poisson白噪声的60个样本。(1),1,2,nN nN nn(10(2)var(3)nnnE()是一个独立的白噪声Poisson白噪声的60样本的产生1.随机产生服从(0,1)上均匀的200个样本:2.给出服从参数为1的指数分布的200个独立样本;3.给出参数为1的Poisson过程一条样本轨道在i=1,61上的取值;参数为1的Poisson白噪声的60个样本I0102030405060-1-0.500.511.522.533.54样本II0102030405060-1-0.500.511.52标准正态白噪声的60个样本:A=randn(1,60);plot(
13、A)三.正交平稳序列 设X和Y是方差有限的随机变量,如果E(XY)=0,就称X和Y是正交的,如果c o v(X,Y)=0,就称X和Y是不相关的。定义 对于平稳序列 和 ,(1)如果对任何的 s,t Z,,则称 和 是正交的;(2)如果对任何的 s,t Z,则称 和 是不相关的。定理2.2 设 和 分别是平稳序列 和 的自协方差函数,记 定义 tXt Y()0tsE XY tXt Ycov()0tsX YtXt Y()Xk()YktXt YxtytEXEY和t,ttZXY tZ(1)如果 和 正交,则 是平稳序列,有自协方差函数 (2)如果 和 不相关,则 是平稳序列,有自协方差函数 证明:(1
14、)当 和 正交,利用cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)得到 (2)由上面的推导 得到。tXtXt Yt YtZtZ()()()2,0,1,2,ZXYXYkkkk()()(),0,1,2,ZXYkkk ktXt Ycov(,)ov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)()()()()2tstssttstststsXYtstsXYXYZ ZcXY XYXXY YX YY XtstsEX EYEYEXtsts cov(,)cov(,)0tstsX YY X1.3 线性平稳序列和线性滤波一.有限运动平均 定义:设 是WN(O,),对于非负整数q和常数a0,a1,aq,我们称
15、 是白噪声 的(有限)运动平均,简称为MA,运动平均又称 滑动平均。MA的平稳性 :tttZ20110,qtjtjttqt qjXaaaatZ t200,00,tq kjj kjt kttEXa akqEXXkqX平稳)2,0(,*85.0*36.0221WNXttttt0102030405060708090100-8-6-4-202468例:概率极限定理:定理 (单调收敛定理)如果非负随机变量序列单调不减:则当 时,有对于任何时间序列 ,利用单调收敛定理得到 定理 (控制收敛定理)如果随机变量序列 满足 和 时,则当 时,并且 120,naslimnnEElim ntttnttntEYEYE
16、 Yt Y,nas n0.nas0E E nEE二.线性平稳序列定义:如果实数列 满足 则称 是绝对可和的。对于绝对可和的实数列 ,定义零均值白噪声 的无穷滑动和如下 ,则 是平稳序列。下面说明 是平稳序列。由 Schwarz不等式得到于是Xt右边的无穷级数是a.s.绝对收敛的,从而是a.s.收敛的。由于 所以用控制收敛定理得到 现对t,s Z,定义 jajja ja tja,tjtjjXatZtXtXjtjjtjjjjjEaa Ea njtjjtjjnjaalim 0njtjnjnEXEatXtX当输入过程是时,输出过程是称实数 为 的自协方差函数。减去趋势项后,所得数据三 时间序列和随机过
17、程(1)分段趋势(年平均)用 表示集合a,b上以为自变量的示性函数:平稳时间序列的二阶性质也可以从其频率分解来研究,称为频域分析。严平稳序列到强平稳序列。(1)如果 和 正交,则 是平稳序列,有自协方差函数设 是实数 的子集,如果对每个t属于T,都有一个随机变量 与之对应,就称随机变量的集合 是一个随机过程。实值平稳序列的谱密度是偶函数。是Hilbert空间称为有X生成的Hilbert空间。协方差矩阵的计算公式用 表示集合a,b上以为自变量的示性函数:间和内积空间下面我们来证明的完备性。正态平稳列既是宽平稳也是严平稳。给出参数为1的Poisson过程一条样本轨道在i=1,61上的取值;,nnn
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