2020届北京朝阳区高三数学一模试卷含答案.docx

1、 高三数学试卷 第 1 页（共 14 页） 北京市朝阳区高三年级高考练习一北京市朝阳区高三年级高考练习一 数数 学学 2020.4 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合1,3,5A，|(1)(4)0BxxxZ，则AB （A） 3 （B）1,3 （C）1,2,3,5 （D）1,2,

2、3,4,5 （2）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 （A） 3 yx （B） 2 1yx （C） 2 logyx （D） | | 2 x y （3）在等比数列 n a中， 1 1a ， 4 8a ，则 n a的前6项和为 （A）21 （B） 11 （C） 31 （D）63 （4） 如图， 在ABC中， 点D，E满足2BCBD，3CACE 若D ExA B yA C ( ,)x yR， 则x y （A） 1 2 （B） 1 3 （C） 1 2 （D） 1 3 （5）已知抛物线C： 2 2(0)ypx p的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，ADl于D. 若4AF ，60DAF，

3、则抛物线C的方程为 （A） 2 8yx （B） 2 4yx （C） 2 2yx （D） 2 yx (0,) E DCB A （第 4 题图） 高三数学试卷 第 2 页（共 14 页） （6）现有甲、乙、丙、丁、戊 5 种在线教学软件，若某学校要从中随机选取 3 种作为教师“停课不停学” 的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有 2 种被选取的概率为 （A） 2 3 （B） 2 5 （C） 3 5 （D） 9 10 （7）在ABC中，BCAB ，120ABC若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心 率为 （A） 2 5 （B） 2 7 （C） 31 2 （D）3 （8）已知函数( )=3si

4、n()(0)f xx-的图象上相邻两个最高点的距离为，则“ 6 ”是“ f x 的图象关于直线 3 x 对称”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）已知函数 2 22 ,1, ( ) 2ln ,1. xaxax f x xaxx 若关于x的不等式( ) 2 a f x 在R上恒成立，则实数a的取值范 围为 （A）(,2 e （B） 3 0, 2 （C）0,2 （D）0,2 e （10）如图，在正方体 1111 ABCDABC D-中，M，N分别是棱AB， 1 BB的中点，点P在对角线 1 CA上运 动当PMN的面积取得最小值时

5、，点P的位置是 （A）线段 1 CA的三等分点，且靠近点 1 A （B）线段 1 CA的中点 （C）线段 1 CA的三等分点，且靠近点C （D）线段 1 CA的四等分点，且靠近点C 第二部分（非选择题 共 110 分） P M N A B C D D1 C1 B1 A1 （第 10 题图） 高三数学试卷 第 3 页（共 14 页） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）若复数 2 1i z ，则| |z _ （12）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为_，它的体积为 （13）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号

6、的方式决定 能否成功购买到该商品规则如下： （）摇号的初始中签率为0.19； （）当中签率不超过1时，可 借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05 为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请_位好友参与到“好友助力”活动 （14）已知函数( )cos 2 x f xx 数列 n a 满足 ( )(1) n af nf n （ * nN） ，则数列 n a 的前100项和 是_ （15）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 22 322 :()4Cxyx y 被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）. 给出下列三个结论： 曲线C关于直线yx对称； 曲线C上任意一

7、点到原点的距离都不超过1； 存在一个以原点为中心、边长为2的正方形， 使得曲线C在此正方形区域内（含边界） 其中，正确结论的序号是_ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5 分，不选或有错选得分，其他得3 分。 0 （第 15 题图） （第 12 题图） 俯视图 正（主）视图 侧（左）视图 3 2 2 2 2 高三数学试卷 第 4 页（共 14 页） 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 14 分） 在ABC中，sincos() 6 bAaB =- （）求B； （）若5c =， 求a. 从7b=， 4 C =这两个条

8、件中任选一个，补充在上面问题中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 （17） （本小题 14 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC-中，平面 11 ACC A 平面ABC，四边形 11 ACC A是正方形，点D，E 分别是棱BC， 1 BB的中点，4AB=， 1 2AA =，2 5BC= （）求证： 1 ABCC； （）求二面角 1 DACC-的余弦值； （）若点F在棱 11 BC上，且 111 4BCB F=，判断平面 1 AC D 与平面 1 AEF是否平行，并说明理由 A B B1 E C C1 A1 D F 高三数学试卷 第 5 页（共 14 页） （18）

9、（本小题 14 分） 某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某 地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下： （）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率； （）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结 果为阳性的患者人数，利用（）中所得概率，求X的分布列和数学期望； （）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测 结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理

10、由. （19） （本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，圆 222 :O xyr（O为坐标原点）.过点(0, )b且斜率为1的 直线与圆O交于点(1,2)，与椭圆C的另一个交点的横坐标为 8 5 . （）求椭圆C的方程和圆O的方程； （）过圆O上的动点P作两条互相垂直的直线 1 l， 2 l，若直线 1 l的斜率为(0)k k 且 1 l与椭圆C相切， 试判断直线 2 l与椭圆C的位置关系，并说明理由. 患者的检测结果 人数 阳性 76 阴性 4 非患者的检测结果 人数 阳性 1 阴性 99 高三数学试卷 第 6 页（共 14 页） （20） （本小题 1

11、5 分） 已知函数 1 1 ex x x f x （）求曲线 ( )yf x 在点(0, (0)f 处的切线方程； （）判断函数 ( )f x的零点的个数，并说明理由； （）设 0 x是( )f x的一个零点，证明曲线exy 在点 0 0 (,e ) x x处的切线也是曲线 lnyx 的切线 （21） （本小题 14 分） 设数列 12 :, n A a aa（3n ）的各项均为正整数，且 12n aaa 若对任意 3,4, kn ， 存在正整数, (1 )i jijk 使得 kij aaa ，则称数列A具有性质T （）判断数列 1:1,2,4,7 A 与数列 2:1,2,3,6 A 是否具有

12、性质T； （只需写出结论） （）若数列A具有性质T，且 1 1a ， 2 2a ， 200 n a ，求n的最小值； （）若集合 123456 1,2,3,2019,2020SSSSSSS ，且 ij SS （任意,1,2,6i j ， ij ） 求证： 存在 i S， 使得从 i S中可以选取若干元素 （可重复选取） 组成一个具有性质T的数列 北京市朝阳区高三年级高考练习一北京市朝阳区高三年级高考练习一 高三数学试卷 第 7 页（共 14 页） 数学数学 参考答案参考答案 2020.4 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小

13、题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1）C （2）D （3）A （4）B （5）B （6）D （7）C （8）A （9）C （10）B 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分） （11）2 （12）5；4 （13）15 （14） 100 （15） 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）分。解答应写出文字说明、

14、演算步骤或证明过程） （16） （本小题 14 分） 解： （）因为sincos() 6 bAaB =-， sinsin ab AB =，所以sinsinsincos() 6 BAAB =- 又因为sin0A，所以sincos() 6 BB =-，即 31 sincossin 22 BBB=+ 所以sin()0 3 B -= 又因为 333 B -，所以0 3 B -=，所以 3 B = （） 若选7b=，则在ABC中，由余弦定理 222 2cosbacacB=+-， 得 2 5240aa-=，解得8a =或3a = -（舍） 所以8a = 若选 4 C =，则 62 sinsin()sinc

15、oscossin 34344 ABC + =+=+=， 由正弦定理 sinsin ac AC =， 得 5 622 42 a = + ，解得 5 35 2 a + = 所以 5 35 2 a + = 14 分 （17） （本小题 14 分） 高三数学试卷 第 8 页（共 14 页） 解： （） 因为四边形 11 ACC A是正方形，所以 1 CCAC 又因为平面ABC平面 11 ACC A， 平面ABCI平面 11 ACC AAC=， 所以 1 CC 平面ABC 又因为AB平面ABC， 所以 1 ABCC （）由（）知， 1 CCAB， 11 /AACC，所以 1 AAAB 又4AB=， 1

16、2ACAA=，2 5BC=， 所以 222 ABACBC+=所以ACAB 如图， 以A为原点， 建立空间直角坐标系Axyz- 所以(0,0,0)A，(4,0,0)B，(0,0,2)C， 1(0,2,0) A 则有(2,0,1)D， 1(0,2,2) C，(4,1,0)E， 平面 1 ACC的一个法向量为(1,0,0)=u 设平面 1 AC D的一个法向量为( , , )x y z=v， 又(2,0,1)AD uuu r =， 1 (0,2,2)AC uuur =， 由 1 0, 0. AD AC uuu r uuur ? ? v v 得 20, 220. xz yz += += 令1x=，则2

17、z = -，2y=所以(1,2,2)=-v 设二面角 1 DACC-的平面角为q，则 |11 |cos | |1 33 q = u v u v 由题知，二面角 1 DACC-为锐角，所以其余弦值为 1 3 A B B1 E C C1 A1 D F z y x F D A1 C1 C E B1 B A 高三数学试卷 第 9 页（共 14 页） （）平面 1 AC D与平面 1 AEF不平行理由如下： 由（）知，平面 1 AC D的一个法向量为(1,2,2)=-v， 1 (4,1,0)AE uuu r =-， 所以 1 20AE uuu r ?v，所以 1 A E与平面 1 AC D不平行 又因为

18、 1 AE 平面 1 AEF， 所以平面 1 AC D与平面 1 AEF不平行 14 分 （18） （本小题 14 分） （） 由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性 所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为 7619 8020 () 由题意可知( , )XB n p，其中3n ， 19 20 p X的所有可能的取值为0，1，2，3 003 3 1911 (0)()() 20208000 P XC， 112 3 19157 (1)()() 20208000 P XC， 221 3 1911083 (2)()() 20208000 P XC

19、， 330 3 1916859 (3)()() 20208000 P XC 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 8000 57 8000 1083 8000 6859 8000 故X的数学期望 57 () 20 E Xnp （）此人患该疾病的概率未超过0.5理由如下： 由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为 119 9900010009909501940 10020 ，其中患者人数为950 高三数学试卷 第 10 页（共 14 页） 若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为 950970 0.5 19401940 所以此人患该疾病的概率未超过0.5

20、14 分 （19） （本小题 14 分） 解： （）因为圆O过点(1,2)，所以圆O的方程为： 22 5xy. 因为过点(0, )b且斜率为1的直线方程为yxb， 又因为过点(1,2)，所以1b . 因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为 83 (,) 55 ， 所以 22 2 83 ()() 55 1 1a ，解得 2 4a . 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. （）直线 2 l与椭圆C相切.理由如下： 设圆O上动点 000 (,)(2)P xyx ，所以 22 00 5xy. 依题意，设直线 1 l： 00 ()yyk xx. 由 22 00 44, () xy ykxykx 得

21、 222 0000 (1 4)8 ()4()40kxk ykx xykx. 因为直线 1 l与椭圆C相切， 所以 222 0000 8 ()4(1 4)4()40k ykxkykx. 所以 22 00 1 4()kykx. 所以 222 0000 (4)2(1)0xkx y ky. 因为 22 00 5xy，所以 22 00 41xy. 所以 222 0000 (1)2(1)0ykx y ky. 设直线 2 l： 00 1 ()yyxx k ， 高三数学试卷 第 11 页（共 14 页） 由 22 00 44, 1 () xy yyxx k 得 2200 00 2 48 (1)()4()40

22、xx xyxy kkkk . 则 222 10000 11 16(4)()2()(1)xx yy kk 222 0000 2 16(4 )2(1)xkx yyk k 222 0000 2 16( 1)2(1)ykx yyk k 222 0000 2 16( 1)2(1)0ykkx yy k . 所以直线 2 l与椭圆C相切. 14 分 （20） （本小题 15 分） 解： （）因为 1 1 ex x x f x ， 所以 0 01 0 1 0)2(ef ， 2 (1) 2 ex x fx ， 0 2 (01) 2 03e( )f 所以曲线 ( )yf x 在点(0, (0)f 处的切线的方程为

23、3 20xy （）函数 ( )f x有且仅有两个零点理由如下： ( )f x的定义域为 |,1x xxR 因为 2 2 ( )e0 (1) x f x x ， 所以 ( )f x在(,1) 和(1, )上均单调递增 因为 (0)20f ， 2 1 ( 2) 3 e0f ， 所以 ( )f x在(,1) 上有唯一零点 1 x 因为 2 e(2)30f ， 5 4 5 ( )e90 4 f， 所以 ( )f x在(1,)上有唯一零点 2 x 综上， ( )f x有且仅有两个零点 （）曲线exy 在点 0 0 (,e ) x x处的切线方程为 00 0 ee () xx yxx，即 000 0 ee

24、e xxx yxx 高三数学试卷 第 12 页（共 14 页） 设曲线 lnyx 在点 33 (,)xy处的切线斜率为 0 ex， 则 0 3 1 ex x ， 0 3 1 ex x ， 30 yx ，即切点为 0 0 1 (,) ex x 所以曲线 lnyx 在点 0 0 1 (,) ex x处的切线方程为 0 0 0 1 e () e x x yxx，即 0 0 e1 x yxx 因为 0 x是( )f x的一个零点，所以 0 0 0 1 1 ex x x 所以 000 0 0 0000 1 1 eee (1)(1)1 xxx x x xxxx 所以这两条切线重合 所以结论成立 15 分

25、（21） （本小题 14 分） 解： （）数列 1 A不具有性质T；数列 2 A具有性质T （）由题可知 2 2a ， 32 24aa， 43 28aa， 87 2128aa， 所以9n 若9n ，因为 9 200a 且 98 2aa，所以 8 128100a 同理， 76543 6450,3225,1612.5,86.25,43.125.aaaaa 因为数列各项均为正整数，所以 3 4a 所以数列前三项为1,2,4 因为数列A具有性质T， 4 a只可能为4,5,6,8之一，而又因为 4 86.25a ， 所以 4 8a 同理，有 5678 16,32,64,128aaaa 此时数列为1,2,

26、4,8,16,32,64,128,200 但数列中不存在19ij 使得200 ij aa，所以该数列不具有性质T 高三数学试卷 第 13 页（共 14 页） 所以10n 当10n 时，取:1,2,4,8,16,32,36,64,100,200A （构造数列不唯一） 经验证，此数列具有性质T 所以，n的最小值为10 （）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,6) i Si 都有： 若正整数, i a bS ab，则 i ba S 否则，存在 i S满足：存在, i a bS ，a b 使得 i baS ，此时，从 i S中取出, ,a b ba ： 当aba时，,a ba b是一个具有性质T

27、的数列； 当aba时，, ,ba a b是一个具有性质T的数列； 当aba时，, ,a a b是一个具有性质T的数列 （i）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个， 不妨设此集合为 1 S，从 1 S中取出337个数，记为 12337 ,a aa ，且 12337 aaa 令集合 1337 |1,2,336 i NaaiS 由假设，对任意 1,2,336i ， 3371i aaS ，所以 234516 NSSSSS （ii）在 23456 ,SS SS S中至少有一个集合包含 1 N中的至少68个元素，不妨设这个集合为 2 S， 从 21 SN中取出68个数，记为1 2

28、68 ,b bb，且 1268 bbb 令集合 628 |1,2,67 i NbibS 由假设 682i bbS 对任意1,2,68k ，存在1,2,336 k s 使得 337 k ks baa 所以对任意1,2,67i ， 6868 68337337 ()() ii issss bbaaaaaa ， 由假设 68 1 i ss aaS ，所以 681i bbS ，所以 6812i bbSS ，所以 23456 NSSSS （iii）在 3456 ,S S S S中至少有一个集合包含 2 N中的至少17个元素，不妨设这个集合为 3 S， 从 23 SN中取出17个数，记为1 217 ,c c

29、c，且 1217 ccc 高三数学试卷 第 14 页（共 14 页） 令集合 137 |1,2,16 i Ncc iS 由假设 173i ccS对任意1,2,17k ，存在 1,2,67 k t 使得 68 k tk cbb 所以对任意1,2,16i ， 1717 176868 ()() ii itttt ccbbbbbb ， 同样，由假设可得 17 12 it t bbSS ，所以 17123i ccSSS，所以 3456 NSSS （iv）类似地，在 456 ,SSS中至少有一个集合包含 3 N中的至少6个元素，不妨设这个集合为 4 S， 从 34 SN中取出6个数，记为1 26 ,d dd，且 126 ddd， 则 6456 |1,2,5 i ddiSSN （v）同样，在 56 ,SS中至少有一个集合包含 4 N中的至少3个元素，不妨设这个集合为 5 S， 从 45 SN中取出3个数， 记为1 23 ,e e e， 且 123 eee ， 同理可得 153326 ,ee eeSN （vi）由假设可得 2131326 ()()eeeeeeS 同上可知， 1245123 SSSeeSS， 而又因为 21 eeS，所以 216 eeS，矛盾所以假设不成立 所以原命题得证 14 分