第1章-矢量分析-电磁场电磁波课件.ppt

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 12023-1-25电磁场与电磁波电磁场与电磁波Electromagnetic Fields&Magnetic Wave韦康韦康 范之国范之国电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 22023-1-25一一 本课程的地位、作用与任务本课程的地位、作用与任务二二 电磁场理论的发展简史电磁场理论的发展简史 三三 电磁场理论的主要应用领域电磁场理论的主要应用领域四四 本课程的基本内容与要求本课程的基本内容与要求前前 言言电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 32023-1-25一、本课程的地位

2、、作用与任务一、本课程的地位、作用与任务 电子信息类本科各专业许多主要课程的核心内容都是宏观电磁现象在特定条件下的具体表现。同时，电磁场理论也是一些交叉学科和边缘学科发展的理论基础之一。电磁场与电磁波课程是电子信息类本科各专业学生必修的一门核心基础课，它所涉及的内容是电子信息类本科学生知识结构的必要组成部分。本课程的主要任务是：在大学物理（电磁学）的基础上，进一步论述宏观电磁场的基本概念和基本特性，要求学生建立场的观念，学会运用场的观点对电磁现象进行分析和求解。为进一步学习有关专业课程奠定必要的理论基础。电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 42023-1-25 电磁学

3、是研究电、磁和电磁的相互作用现象，及其规律和应用的物理学分支学科。电磁学的建立，实际上是人类对早期发现的一些电磁现象进行的物理解释。二、电磁场理论发展简史二、电磁场理论发展简史 电磁场理论的早期研究电磁场理论的早期研究电磁作用的机制或者本质是什么？也就是作用力是怎么传递的？电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 52023-1-25超距作用 与 近距作用l 超距作用：认为电荷之间存在“超距力”，这种力的传递不需时间，是一种能超越一无所有空间的作用力。l 近距作用：认为宇宙间充满着一种不可见的流质“以太”，起着力的传递作用。前言 在19世纪以前，电、磁现象是作为两个独立的物

4、理现象进行研究的，当时还没有发现电与磁的联系。这些早期的研究为电磁学理论的建立奠定了基础。其中贡献较大的有莱顿、富兰克林、伏特、库仑等科学家。电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 62023-1-25 18世纪末期，德国哲学家谢林认为，宇宙是有活力的，而不是僵死的。他认为电就是宇宙的活力，是宇宙的灵魂；电、磁、光、热是相互联系的。奥斯特是谢林的信徒，他从1807年开始研究电磁之间的关系。1820年，他发现电流以力作用于磁针（电流的磁效应）。宏观电磁场理论的建立宏观电磁场理论的建立前言电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 72023-1-25 安培

5、 发现作用力的方向和电流的方向以及磁针到通过电流的导线的垂直线方向相互垂直，并定量建立了若干数学公式（Ampere定律），揭示了磁的本质。法拉第 奥斯特1820年发现电流的磁效应后，法拉第敏锐地意识到，电可以对磁产生作用，磁也一定能够对电产生影响。1831年他发现，当磁捧插入导体线圈时；导线圈中就产生电流。这表明，电与磁之间存在着密切的联系（Faraday定律）。前言电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 82023-1-25 麦克斯韦 1865年，英国物理学家麦克斯韦（J.C.Maxwell 1831-1879)在前人实践和理论的基础上，总结出宏观电磁现象的一般规律麦克

6、斯韦方程组，并于1873年发表了详述该理论的电磁学通论。其核心思想是：变化着的电场能产生磁场，与变化着的磁场产生电场相对应。并预言了电磁波的存在。在1888年赫兹用实验方法证实了电磁波的存在后，麦克斯韦方程组成为经典电动力学的公理，麦克斯韦成为宏观电磁场理论的奠基人。前言电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 92023-1-25作为理论物理学的一个作为理论物理学的一个重要研究分支，主要致重要研究分支，主要致力于统一场理论和微观力于统一场理论和微观量子电动力学的研究量子电动力学的研究。电磁电磁场的场的主要主要研究研究领域领域 作为无线电技术的理论作为无线电技术的理论基础，

7、集中于基础，集中于三大类应三大类应用问题的研究用问题的研究。三、电磁场理论的主要应用领域三、电磁场理论的主要应用领域电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 102023-1-25 电磁场（波）作为能量的一种形式电磁场（波）作为能量的一种形式，是当今世，是当今世界最重要的能源，其研究领域涉及电磁能量的界最重要的能源，其研究领域涉及电磁能量的产生、储存、变换、传输和综合利用。产生、储存、变换、传输和综合利用。电磁波作为信息传输的载体电磁波作为信息传输的载体，成为当今人类社，成为当今人类社会发布和获取信息的主要手段，主要研究领域会发布和获取信息的主要手段，主要研究领域为信息的产

8、生、获取、交换、传输、储存、处为信息的产生、获取、交换、传输、储存、处理、再现和综合利用。理、再现和综合利用。电磁波作为探测未知世界的一种重要手段电磁波作为探测未知世界的一种重要手段，主，主要研究领域为电磁波与目标的相互作用特性、要研究领域为电磁波与目标的相互作用特性、目标特征的获取与重建、探测新技术等。目标特征的获取与重建、探测新技术等。三大类应用问题三大类应用问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 112023-1-25无线电通信无线电通信电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 122023-1-25雷达雷达气象雷达气象雷达军用雷达军用雷达电

9、磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 132023-1-25电子对抗电子对抗美空军美空军E-3“哨兵哨兵”预警飞机预警飞机 中国空警中国空警2000预警机预警机 电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 142023-1-25高能武器高能武器电磁轨道炮电磁轨道炮高能微波武器高能微波武器美机载激光武器美机载激光武器电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 152023-1-25原子核物理原子核物理欧洲大型强子对撞机欧洲大型强子对撞机电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 162023-1-25受控热核聚变受控热核

10、聚变中国自行研制的全超导托卡马克中国自行研制的全超导托卡马克EAST核聚变实验装置核聚变实验装置 电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 172023-1-25射电天文学射电天文学 北京天文台密云观测站北京天文台密云观测站电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 182023-1-25航空、航天航空、航天 电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 192023-1-25遥感、遥测遥感、遥测 电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 202023-1-25磁悬浮列车磁悬浮列车电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学

11、合肥工业大学Page 212023-1-25医疗医疗 电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 222023-1-25食品加工食品加工 电磁炉电磁炉微波炉微波炉电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 232023-1-25掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律掌握宏观电磁场问题的基本求解方法掌握宏观电磁场问题的基本求解方法了解宏观电磁场的主要应用领域及其原理了解宏观电磁场的主要应用领域及其原理掌握电磁波的概念及其传播特性掌握电磁波的概念及其传播特性培养用场的观念分析问题、解决问题的能力培养用场的观念分析问题、解决问题的能力

12、培养用数学解决实际问题的能力培养用数学解决实际问题的能力独立完成作业，做好课堂笔记独立完成作业，做好课堂笔记精读一本教学参考书精读一本教学参考书四、本课程的基本内容和要求四、本课程的基本内容和要求电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 242023-1-25 矢量分析矢量分析 6 学时 静态电场理论静态电场理论 12 学时 恒定磁场理论恒定磁场理论 8 学时 静态场边值问题静态场边值问题 8 学时 时变电磁场理论时变电磁场理论 10 学时 电磁波基本理论电磁波基本理论 12 学时本课程的学时安排本课程的学时安排电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page

13、252023-1-25【1】孙玉发等，电磁场与电磁波，合肥工业大学孙玉发等，电磁场与电磁波，合肥工业大学出版社出版社【2】马冰然，电磁场与微波技术（上册）华南理马冰然，电磁场与微波技术（上册）华南理工大学出版社工大学出版社【3】谢处方，电磁场与电磁波，高等教育出版社谢处方，电磁场与电磁波，高等教育出版社【4】王蔷等，电磁场理论基础，清华大学出版社王蔷等，电磁场理论基础，清华大学出版社主要教学参考书主要教学参考书电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 262023-1-25第一章第一章 矢量分析矢量分析1.三种常用坐标系2.矢量运算3.标量场的梯度4.矢量场的散度5.矢量场

14、的旋度6.亥姆霍兹定理主主 要要 内内 容容电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 272023-1-25 坐标变量（x，y，z）xxyyzzAAA e A e A e A e一、直一、直 角角 坐坐 标标 系系其中：其中：分别是矢量分别是矢量 在在 方向的方向的投影投影，称，称为矢量为矢量 的三个相应的的三个相应的坐标分量坐标分量。分别表示坐分别表示坐标轴的三个方向，称为标轴的三个方向，称为坐标单位矢量坐标单位矢量。,xyzA AAA,xyze e e A,xyze e e 坐标表示AxA 若矢量的大小和方向均与空间坐标无关，这种矢量称若矢量的大小和方向均与空间坐标无关

15、，这种矢量称为为常矢量常矢量或常矢。或常矢。1.1 1.1 三种常用坐标系三种常用坐标系电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 282023-1-25x xy yz zdsds eds e ds e dsnzzyyxxedxdydsedxdzdsedydzdsdxdydzdv xyzldldxedyedzedle 体积元 线元 直角坐标系 面元 其中其中电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 292023-1-25 坐标变量 坐标表示 线元 面元 体积元 002 zzzAAA eA eA e A ezldlde de dze dl ez zdsds

16、e ds e ds e dsn zzedddsedzddsedzddsdzdddv二、柱二、柱 坐坐 标标 系系电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 302023-1-25 坐标变量 坐标表示 线元 面元 体积元 200r0rrAAA e A e A e A e r r dsds eds e ds e dsn 2rrdsr sinddedsrsindrdedsrdrderldldre rde rsind edl edddrrdvsin2三、球三、球 坐坐 标标 系系电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 312023-1-25 直角坐标系与柱坐标系

17、的关系cossinxyzzoxz(,)(,)(,)x y zMzr yzxry221112222sincosxyyyxtgxxyxyzz四、三种坐标系坐标变量之间的关系四、三种坐标系坐标变量之间的关系电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 322023-1-25 直角坐标系与球坐标系的关系sincossinsincosxryrzroxz(,)(,)(,)x y zMzr yzxry22222112222221112222cossinsincosrxyzxyzxyzxyzyyxtgxxyxy三种坐标系坐标变量之间的关系三种坐标系坐标变量之间的关系电磁场与电磁波电磁场与电磁波

18、合肥工业大学合肥工业大学Page 332023-1-25 柱坐标系与球坐标系的关系sincosrzroxz(,)(,)(,)x y zMzr yzxry22112222sincosrzzzz三种坐标系坐标变量之间的关系三种坐标系坐标变量之间的关系电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 342023-1-25 直角坐标系与柱坐标系的关系cossin0sincos0001xyzz eeeeeecossin0sincos0001xyzz eeeeee五、三种坐标系坐标单位矢量之间的关系五、三种坐标系坐标单位矢量之间的关系电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Pag

19、e 352023-1-25sin0coscos0sin010rz eeeeeesincos0001cossin0rzeeeeee 柱坐标系与球坐标系的关系三种坐标系坐标单位矢量之间的关系三种坐标系坐标单位矢量之间的关系电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 362023-1-25sin cossin sincoscos coscos sinsinsincos0rxyz eeeeeesin coscos cossinsin sincos sincoscossin0 xryzeeeeee 直角坐标系与球坐标系的关系三种坐标系坐标单位矢量之间的关系三种坐标系坐标单位矢量之间的关

20、系电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 372023-1-25 标量标量:只有大小没有方向的物理量称为只有大小没有方向的物理量称为标量标量。如：。如：时间、质量、温度、功等。时间、质量、温度、功等。矢量矢量:既有大小又有方向的物理量称为既有大小又有方向的物理量称为矢量矢量。如：。如：力、速度、力矩等。力、速度、力矩等。一、矢量表示法一、矢量表示法矢量矢量A A的几何表示是用一条的几何表示是用一条有向线段有向线段来表来表示，线段的示，线段的长度长度表示矢量表示矢量A A的的大小大小，其，其指指向向表示矢量表示矢量A A的的方向方向。几何法几何法1.2 1.2 矢量表示法与

21、矢量的微积分矢量表示法与矢量的微积分电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 382023-1-25xxyyzzAA e A e A e 单位矢量单位矢量（unit vectorunit vector）：）：AAeAA的模值：的模值：222xyzAAAA方向余弦：方向余弦：AAcosAAcosAAcoszyxyxzAxyzxyzAAAeeeecosecos ecos eAAA 分量法分量法或或AAe矢量表示法电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 392023-1-25 矢量加减法 xxxyyyzzzAB(AB)e(AB)e(AB)e二、矢二、矢 量量

22、 代代 数数 矢量乘积 标量积（点乘积）ABcosB AzzyyxxBABABA两矢量垂直的充要条件：标量积等于零。ABB A交换率：交换率：电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 402023-1-25矢量积（叉乘积）矢量积（叉乘积）zxyyxyzxxzxyzzyeBABAeBABAeBABA)()()(0A BABsincx yzxyzxyzeeeAAABBB两矢量平行的充分必要条件：矢量积等于零。交换率：ABBA电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 412023-1-25例例1-11-1：用球坐标表示的场：用球坐标表示的场 ，1 1）求在点（

23、）求在点（3 3，4 4，5 5）处的）处的 和和 ，2 2）求）求 与矢量与矢量 构成的夹角。构成的夹角。rerA225AxAAzyxeeeB22解：解：1 1）5.0)5(4)3(2525252222222zyxrAzzyyxxreAeAeAerA225zyxzyxrerzeryerxeeeecossinsincossincossinrx 矢量代数电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 422023-1-25)(252532zyxrezeyexrerA2）896.095015)2(423cos BABA6.153212.0502532532rrxAx矢量代数电磁场与电

24、磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 432023-1-25l矢量函数矢量函数 ,xxyyzzx,y,zEx y zEx y zEx y zEe+e+el 矢量函数的导数矢量函数的导数 对空间坐标的导数 三、矢三、矢 量量 微微 积积 分分,zzzEEE EeeezzEEEEE Eeeeee例如例如zzEEEEEeee电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 442023-1-25dd22200eeedcossindcos dsin d022xy0022xy00 ee+eeecossinxye=e+e?矢量微积分 对时间的导数 rrrrEEEEEEtttttE

25、eeeeee电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 452023-1-25l场（field）是描述空间中所有点上的某一物理量的函数。),(zyxf),(tzyxf(,)F x y z(,)F x y z t一、场的概念一、场的概念 静态场 动态场 Static field Time-varying field 标量场 矢量场 1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 462023-1-25l等值面 空间内标量值相等的点的集合所形成的曲面。l等值面方程 （C 为任意常数）二、标量场的等值面二、标量场的等值面(,)U

26、 x y zC电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 472023-1-25l标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向的变化率。llM0MUlMuMululM)()(lim|000coscoscoszuyuxulu计算：定义：三、方向导数三、方向导数电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 482023-1-25四、梯四、梯 度度 gradient l在无穷多个方向中沿哪个方向的变化率最大呢？这个最大的变化率又是多少呢？maxlugraduel定义：标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向就是该点具有最大方向导数的方向，并记为g

27、radu,即电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 492023-1-25 上式表明当矢量G与L方向一致时，方向导数有最大值，其值为：可见矢量G就是梯度。coscoscoslxyzeeeexyzuuuGeeexyz在直角坐标系中，令：则：coscoscoscosluuuuG eGxyzlGlumax梯度的计算梯度的计算电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 502023-1-25 标量场的梯度是一个矢量。在给定点，梯度的方向就是函数u变化率最大的方向，它的模值就是该点最大变化率的数值。标量场u在给定点沿任意l方向的方向导数就等于函数u的梯度在l方向的

28、投影。任一点的梯度总是垂直于过该点的等值面（线），且指向函数u增加方向。梯度的物理意义梯度的物理意义电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 512023-1-25例1 三维高度场的梯度例2 电位场的梯度高度场的梯度 与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最 大变化率；指向地势升高的方向。电位场的梯度 与过该点的等位线垂直；指向电位增加的方向。数值等于该点的最大方向导数；三维高度场的梯度电位场的梯度梯 度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 522023-1-25l哈密顿（Hamilton）算子 又称那勃勒算子(nabla)xyzeeexyz()x

29、yzxyzuuuueee ueeexyzxyz graduu lugradu el梯 度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 532023-1-25 例例1-2 1-2 求求 在在 点沿点沿 的方向导数。的方向导数。222uxyz22xyzleee解：解：222zyxxxu222222zyxzzuzyxyyu21021000MMMzuyuxu2221cos3xxyzllll32cos32cos21coscoscos0zuyuxuluM0(1,0,1)M梯 度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 542023-1-25例例1-31-3 求求 在在M

30、 M0 0（2 2，-1-1，1 1）点的梯）点的梯度及沿度及沿 的方向导数。的方向导数。32yzxyu22xyzleee解：解：232(2)3xyyxyzuuuueeey exyz eyz exyy 033Mxyyueee31coscoscos0zuyuxuluM002 2111,3,3,3 333MlMuu el 或者：梯 度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 552023-1-25 矢量线是这样的一些曲线，曲线上每一点的切线方向与该点的矢量场方向一致，曲线的稠密度正比于场量的大小。0Fdl（矢量线的任一点的切向和平行）矢量线方程：一、矢量场的矢量线一、矢量场的矢

31、量线F1.4 1.4 矢量场的散度矢量场的散度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 562023-1-25l矢量在场中某一个曲面上的面积分，称为该矢量通过此曲面的通量。cossssF dSF ndSFdS ssF dSF ndS 二、通二、通 量量 flow of flux对于闭合曲面有：电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 572023-1-25l通量可认为是穿过1S1面的矢量线的总数，故矢量线又叫通量线；模1F1等于在某点与1F1垂直的单位面积上通过的矢量线的数目，故1F1又称为通量面密度矢量。0 0(有正源)0 0(有负源)=0=0(无源)

32、通 量电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 582023-1-25l当闭合面S向某点无限收缩时，矢量F通过该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限，称为矢量场F在该点的散度。定义：定义：sV0F dSdivFlimV 散度是通量对体积的变化率（单位体积内所穿出的通量），所以散度又称为通量源密度。三、散三、散 度度 divergence电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 592023-1-25yxzFFFdivFxyzF 散度的计算散度的计算直角坐标系直角坐标系()11zFFFFz圆柱坐标系圆柱坐标系22(sin)()111sinsinrFF

33、r FFrrrr球坐标系球坐标系电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 602023-1-25 矢量的散度是一个标量，是空间坐标 点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。A A=0(无源）A A=0(负源)A A=0 (正源)在矢量场中，若A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处A A=0，称之为无源场。散度的物理意义散度的物理意义电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 612023-1-25上式表明：任意矢量场的散度，在场中任意一个体积内的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分。四、高斯散度定理四、高斯

34、散度定理SVF dSFdV散 度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 622023-1-25 例例1-4 1-4 点电荷位于坐标原点，在离其点电荷位于坐标原点，在离其r r处产生的电处产生的电通量密度为：通量密度为：其中，其中，34qrDrxyzrxeyeze求：任意点处电通量密度的散度；求：任意点处电通量密度的散度；r并求穿出以并求穿出以为半径的球面的电通量为半径的球面的电通量 。解：解：222 3 24()xyzxxyyzzxeyezeqD eD eD exyzD222 3 2222222 3 2222 5 254()1334()()4xDqxxxxyzqxq rx

35、xyzxyzr散 度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 632023-1-25所以所以2222533()04yxzDDDqrxyzDxyzr同理可得同理可得22225533,44yzDDq ryq rzyrzr 可见，除点电荷所在源点（可见，除点电荷所在源点（0r）外，）外，空间各点的散度均为空间各点的散度均为0 0。34rSSqD dSr edSr qrrqdSrqS222444散 度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 642023-1-2522211sinsin0sinsin4rqDrDrrrr 221sinsinsinrFrFrFrFr

36、r3244rrrqqDreD err或先变换为球坐标系：或先变换为球坐标系：222444SSqqD dSdSrqrr 散 度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 652023-1-25例例1-51-5 在 的矢量场中，假设有一个边长为 ，中心在直角坐标系原点，各表面与三个坐标面平行的正六面体。试求从正六面体内穿出的电场净通量 ，并验证高斯散度定理.3238xEx y ea2解：解：先用公式 计算通量 dsES 因为 只有 分量，在六面体的上、下、左、右四个表面上和 垂直，面积分为零。ExdsE散 度xzyosssE dSE dSE dS 前后电磁场与电磁波电磁场与电磁波

37、合肥工业大学合肥工业大学Page 662023-1-25再用公式 计算通量 dVE V32223988Ex yx yx 2222799dd d dddd88aaaVVaaaE vx yx y zxxyyzaddsVFsF V 所以 323233227338833ddd88xxxxssaaaaaaaax y ee dsx y ee dsa yydzayyza 前后散 度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 672023-1-25水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源矢量F F 沿空间有向闭合曲线L L 的线积分，定义为矢量F F 沿此

38、闭合曲线的环量。例：流速场一、环一、环 量量 circulation1.5 1.5 矢量场的旋度矢量场的旋度LFd l电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 682023-1-25l 环量面密度环量面密度过点P作一微小曲面S，它的边界曲线记为L。当S0时，存在极限0lsF dldlimdss 取不同的路径，其环量密度不同。二、旋二、旋 度度 rotation该极限称为矢量F对于方向 的环量强度或环量面密度ne电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 692023-1-25l 旋度的定义旋度的定义旋度是一个矢量，其模值等于环量面密度的最大值；其方向为最大

39、环量面密度的方向。它与环量面密度的关系为：drot F ndS在直角坐标系中xyzxyzxyzeeeFFFFl 旋度的计算旋度的计算rotFF 电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 702023-1-25l旋度与散度的区别旋度与散度的区别 矢量场的旋度是一个矢量函数；矢量场的散度是一个标量函数。旋度表示场中各点的场与漩涡源的关系；散度表示场中各点的场与通量源的关系。旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律;散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理()SlFdSF dlGauss 公式和Stockes公式是两个非常重要的公式。

40、电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 712023-1-250F 标量函数的梯度的旋度恒等于零。矢量函数的旋度的散度恒等于零。推论:如果任一矢量函数的旋度恒等于零，则这个矢量函数可以用一个标量函数的梯度来表示。推论:若一矢量函数的散度恒等于零，则这个矢量函数可以用另外一个矢量函数的旋度来表示。0u四、矢量四、矢量微分算子及恒等式微分算子及恒等式电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 722023-1-25例例1-61-6 已知 计算如图所示的线积分，并验证斯托克斯定理。2xyFxyexe解2F dlxydxxdyxydldxedyeABOcOABF

41、 dlF dlF dlF dl 0303002)2(xBAyxdyxdyxydxxydxdyydxxx302032929)21(9旋旋 度度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 732023-1-25dxdyxS)2(dxdyxx30902)2()21(9所以：所以：SF dS 又因为：又因为：20 xyzeeeFxyzxyx(2)zx e 旋旋 度度()SlFdSF dl电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 742023-1-2512FFFA ,11,44VsF x y zF x y zx y zdVdsRR,11,dd44VsF x y zF

42、 x y zA x y zVsRR 亥姆霍兹定理：亥姆霍兹定理：在空间有限区域内的任一个矢量在空间有限区域内的任一个矢量场，由它的散度，旋度和边界条件唯一地确定，场，由它的散度，旋度和边界条件唯一地确定，并可表示成一个并可表示成一个无旋场无旋场（）和一个（）和一个无散场无散场（）之和即）之和即1F 2FA Fv1.6 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 752023-1-25 可见，该定理表明任一矢量场均是由它的散度和旋度唯一地确定的。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。0F0F 存不存在 且 的场？亥姆霍兹定理电磁场与电磁波

43、电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 762023-1-25矢量分析 小结1.三种常用坐标系三种常用坐标系2.矢量运算矢量运算3.标量场的梯度标量场的梯度4.矢量场的散度矢量场的散度5.矢量场的旋度矢量场的旋度6.亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 772023-1-25u一 梯度矢量标量场 方向导数的最大值。标量函数u梯度dzzudyyudxxudu全微分二 散度标量F矢量场 通量 散度高斯定理 散度表示场中各点的场与通量源的关系;处处为，表示场F若AFJF 中无通量源，称为无散场（sole-noidal vector field）或管形场。可令 且 。矢量场 环 量 旋度斯托克斯定理 三 旋度矢量F中无涡旋源，称为无旋场（irrot-ational）或保守场（conservative）可令 且 。旋度表示场中各点的场与涡旋源的关系；若F处处为，表示场Fu F电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 782023-1-25P47习题1-1、1-3、17、113、118本章作业