第一章-偏微分方程概论讲解课件.ppt

1、数字图像数字图像像素的灰度值像素的灰度值引引 言言 基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法 (Partial Differential Equations,简称简称PDE)定义定义 图像图像u 连续信号连续信号 图像处理操作图像处理操作F 偏微分算子偏微分算子 原始图像原始图像I 初始条件初始条件 结果图像结果图像u 方程的解方程的解 ),(tyxuFutyxIyxu,0,应用应用 图像滤波、图像修复、对比度增强、提取骨架线、图像滤波、图像修复、对比度增强、提取骨架线、二值化、边缘检测、图像分割等二值化、边缘检测、图像分割等。一、背景介绍一、背景介绍从高斯平滑从高斯平滑算子导

2、出的算子导出的偏微分方程偏微分方程 偏微分方程偏微分方程 滤波模型的导出滤波模型的导出 从最优化的从最优化的问题出发，问题出发，即变分方法即变分方法导出的偏微导出的偏微分方程分方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法从高斯平滑算子导出的偏微分方程从高斯平滑算子导出的偏微分方程 热传导方程热传导方程(Witkin)不足：不足：各向同性扩散方程。各向同性扩散方程。在各个方向上同等扩散，滤波的同时破坏图像内容，在各个方向上同等扩散，滤波的同时破坏图像内容，即图像边缘。即图像边缘。高斯滤波高斯滤波yxItyxGtyxu,高斯滤波器高斯滤波器uut2yxIyxu,0,热传导方

3、程热传导方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法4)(exp,2221yxCyxG从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程 变分图像去噪方法通过引入能量函数，将图像去噪问变分图像去噪方法通过引入能量函数，将图像去噪问题转化成泛函求极值问题，即变分问题。变分法是研究泛题转化成泛函求极值问题，即变分问题。变分法是研究泛函求极值问题的方法，它的主要步骤为：函求极值问题的方法，它的主要步骤为：u 第一步，从物理问题上建立泛函及其约束条件；第一步，从物理问题上建立泛函及其约束条件；u 第二步，通过泛函变分，求得欧拉拉格朗日方

4、程；第二步，通过泛函变分，求得欧拉拉格朗日方程；u 第三步，在边界条件下求解，即求解微分方程。第三步，在边界条件下求解，即求解微分方程。二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法偏微分方程的图像处理方法的优点偏微分方程的图像处理方法的优点 方案灵活多样，借助数学的手段建立模型便于方案灵活多样，借助数学的手段建立模型便于对实际问题的理解和数值处理。对实际问题的理解和数值处理。对于视觉上重要的几何特征（例如梯度、切线对于视觉上重要的几何特征（例如梯度、切线和曲率等）具有较好的控制。和曲率等）具有较好的控制。能够模拟动态视觉处理过程。能够模拟动态视觉处理过程。二、基于偏微分方程

5、的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法可以同时完成多个图像处理任务，比如同时进可以同时完成多个图像处理任务，比如同时进行滤波和修复。行滤波和修复。第一章第一章 常微分方程与偏常微分方程与偏微分方程概论微分方程概论主要内容：主要内容：常微分方程的基本知识，包括：方程的建立、常微分方程的基本知识，包括：方程的建立、解的概念、最基本的求解方法等；解的概念、最基本的求解方法等；偏微分方程基本知识，包括数学物理方程的导偏微分方程基本知识，包括数学物理方程的导出，初边值问题、方程的傅立叶变换等；出，初边值问题、方程的傅立叶变换等；略微详细介绍略微详细介绍热传导方程热传导方程。1.1 常微分方程简介

6、常微分方程简介1.1.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念牛顿第二定律牛顿第二定律：ddrmFdtdt其中：其中：m是质量，是质量，r是位置向量，是位置向量，t是时间，是时间，F是作用于质点的是作用于质点的力力牛顿引力定律：牛顿引力定律：2MmrFGrr 其中：其中：G是万有引力常数，是万有引力常数，M与与m是一对相互是一对相互吸引的质点，吸引的质点，r是从是从M到到m的向量，的向量，r|r|是与是与r同同向的单位向量向的单位向量2ddrMmrmGdtdtrr 这就是描述行星运动的微分方程这就是描述行星运动的微分方程微分微分方程中未知函数只出现一个自变量。方程中未知函数只出现一个自变量

7、。求解方程，可引入极坐标变换，令求解方程，可引入极坐标变换，令 u=1r则得到下面的二阶常系数线性微分方程：则得到下面的二阶常系数线性微分方程：222d umuG MdK001cosmuuG MrKu0,0是由初始条件确定的是由初始条件确定的2个常数。个常数。1.1.2 一些典型的常微分方程一些典型的常微分方程一、可分离变量的方程一、可分离变量的方程具有如下形式：具有如下形式：()()d yfxgyd x1()()d yfxgyd x可转化为可转化为两边对两边对x积分（如果可能的话）积分（如果可能的话）1()()dydxfx dxg ydx得得 G(y)+C1=F(x)+C2即即 G(y)=F

8、(x)+C二、齐次方程二、齐次方程具有如下形式具有如下形式d yyfd xx作变量替换，令作变量替换，令 u=yx y=ux()()duduf uuxuf udxdxx是可分离变量的方程是可分离变量的方程三、线性变系数方程三、线性变系数方程具有如下形式（一阶）具有如下形式（一阶）()()dyp xyq xdx相应的齐次方程相应的齐次方程()0dyp xydx显然是个可分离的方程显然是个可分离的方程()(0)dyp x dxyy 积分得通解积分得通解 yh(x)=Cexp-P(x)其中：其中：定义积分因子定义积分因子则则 m(x)yh(x)=C()Pp xxxd()expexp)()m xp x

9、 dxP x两边求导两边求导0()()()()()()()()()()()()()()()hhhhhhhdm xyxdxm xyxmxyxmm xyxpxyxm xp xyxxyx对于对于q(x)0 时时 m(x)y(x)=C 不成立。不成立。但由上面的推导，可有但由上面的推导，可有()()()()()()()()dm xy xm xy xp xy xdxm xq x对上式积分得对上式积分得()()()()m xy xm xq x dxC即有即有1()()()()y xm xq x dxCm x伯努利方程伯努利方程111()()()()1()()1nnnnndyp xyq xydxdyyp x

10、yq xdxdyp xyq xndx作变换，令作变换，令 u =y1-n()()dup xuq xdxn 阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0()mnmmmdyafxd x其中，其中，a0,an均为常数。均为常数。先考虑齐次情形先考虑齐次情形00mnmmmdyadx令令 y=el lx 代入得代入得00nmmmal解这个方程得解这个方程得 l l=l l1 1,l ln 若若 l lil lj ,i j方程通解为方程通解为1mnxmmycel若某个若某个l lj是是 h 重根，则对应还有如下的重根，则对应还有如下的h个解个解10jhxkkkyedxl可以证明上面两种形式的解都是线性无关的

11、，它们可以证明上面两种形式的解都是线性无关的，它们的任意线性组合都是齐次方程的通解。的任意线性组合都是齐次方程的通解。下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令00()()()()xnxnnmxnmmxnmnnd eadxyez xd za ez xf xdxd zdzabef xdxdxllll令令 dzdx=u10()()mnxmmmd ubef xG xdxl这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个特解特解 y =y0(x)则，原方程通解为则，

12、原方程通解为01()mnxmmyyxcel1.2.1 偏微分方程的概念偏微分方程的概念 未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程称为对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程称为偏微分方程（数学物理方程）。偏微分方程（数学物理方程）。几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域的几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受一个因素的影物体运动、状态变化等都不可能只受一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才

13、能描述和求解。，因此必须用偏微分方程才能描述和求解。偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解1.2.1 偏微分方程的概念偏微分方程的概念但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性的也会复但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性的也会复杂到难以处理的程度。至于非线性方程，也只能针杂到难以处理的程度。至于非线性方程，也只能针对具体问题，提出个别的解决方法。所以，在数学对具体问题，提出个别的解决方法。所以，在数学上无法建立起偏微分方程研究的一般性理论。上无法建立起偏微分方程研究的一般性理论。1.2.2 几个典型的数学物理方程几个典型的数学物理方程热传导方程（温度

14、分布）热传导方程（温度分布）扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）2222222(,)uu t x y zuuuuatxyz其中其中 a0，a2=kQ，k是传热系数，是传热系数，Q是热容量。是热容量。偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解拉普拉斯方程拉普拉斯方程调和方程调和方程当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电磁场。经典的引力场、或流体的某种稳定状态）磁场。经典的引力场、或流体的某种稳定状态）2222220uuuuxyz 1.2.2 几个典型的数学物理方程几个典型的数学物理方程偏微分方程的导出与定解偏微分方程

15、的导出与定解2222222uuuuatxyz波动方程波动方程当声波在空气中传播时，如果当声波在空气中传播时，如果u 表示压强的小扰表示压强的小扰动，动，a0 是声音（电磁波或其他波动）在空气中是声音（电磁波或其他波动）在空气中的传播速度的传播速度222222222uuuuatxyz1.2.2 几个典型的数学物理方程几个典型的数学物理方程偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解1.2.3 初边值问题初边值问题对于最典型的求解问题是初始值问题对于最典型的求解问题是初始值问题柯西问题柯西问题即：求波动方程的解即：求波动方程的解 u，使其满足初始条件，使其满足初始条件01(0,)(,)(0,)(,

16、)ux y zux y zux y zux y ztu0(x,y,z)和和u1(x,y,z),表示在表示在t=0时波的形状和关时波的形状和关于于t 的变化率。的变化率。偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解2222222uuuuatxyz一维情形一维情形弦振动方程弦振动方程222220uuatx初始条件初始条件01(0,)(),(0,)()uuxuxxu xt作变换作变换 x x =x-at ,h h =x+at方程变为方程变为20ux xh h 偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解222222222uuuuatxyz且通解为且通解为 u=f(x-at)+g(x+at)其中其中f

17、与与g是任意两个具有连续二阶导数的是任意两个具有连续二阶导数的函数。函数。并由初始条件，就得到下面弦振动的达朗并由初始条件，就得到下面弦振动的达朗贝尔（贝尔（DAlembert）公式）公式001()()1()22x atx atuxatuxatuuda偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解20ux xh h 高维情形，把高维情形，把(x，y，z)记记 x=(x1,x2,x3),x x=(x x1,x x2,x x3)利用傅立叶变换利用傅立叶变换（Fourier）其中其中 x x x=x x1 x1+x x2 x2+x x3 x3123123()(,)i xff x xx edx dx d

18、xxx 偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解且当且当 f 满足一定条件时有满足一定条件时有Fourier逆变换逆变换12313331()(,)(2)fxfdddxxxxxx另外有另外有123123()(,)i xiififxxxedx dx dxxxxx 偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解222222222uuuuatxyz对于下面方程，利用对于下面方程，利用Fourier变换变换222221232d uaudtxxx 01(0,)(,)(0,)(,)ux y zux y zux y zux y zt0100(),()ttduuuudtxx偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导

19、出与定解变成解常微分方程的初值问题，解得变成解常微分方程的初值问题，解得12301231123(,)(,)cos()sin()+(,)u tuatatuaxxxxxxxxxxxx其中其中做做Fourier逆变换，得泊松（逆变换，得泊松（Poisson）公式）公式222123xxxx偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解01111101221111(,)()()4411 ()()44ttatatttu t xatu x atl dsatu x atl dstaaatu x l dsatu x l dsta tta t 其中其中ds1（dsat）是球面）是球面|l|=1（|l|=at）的面）

20、的面积元素。积元素。偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解1.3 热传导方程初值问题的求解热传导方程初值问题的求解2220(,),0 (,0)(),uuaf x txttxu xuxx 两边关于两边关于x 做做Fourier变换变换220(,)()tduauftdtull l偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解解常微分方程得解常微分方程得22222222()0()0(,)(,)(,)(,)tatattatatutefedu x tefedllllll l 若记若记且有且有从而从而2241(,)2xa tg x teat22(,)ateg x tl偏微分方程的导出与定解偏微分方程的

21、导出与定解2222()41 21 ()2atxa teggx edatlxx2222()()4()1(,)(,)2()xatatfefedatxll x x同理同理偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解代入得代入得其中其中通常称通常称K(x-x x,t-)为热传导方程基本解，且当为热传导方程基本解，且当f(x,t)0、(x)适合一定条件时，可证明泊松公式是适合一定条件时，可证明泊松公式是给出的初值问题解。给出的初值问题解。0(,)(,)()+(,)(,)tu x tK xtddK xtfdx xxxx x221,0(,)20 ,0 xta tetKx tatt偏微分方程的导出与定解偏微分

22、方程的导出与定解1.4 二阶偏微分方程的分类与化简二阶偏微分方程的分类与化简1.4.1 二阶偏微分方程的分类二阶偏微分方程的分类三个典型的二阶偏微分方程的三个典型的二阶偏微分方程的标准形式：标准形式：2222 uauftuauftuf （波动方程）（波动方程）（热传导方程）（热传导方程）（位势方程）（位势方程）偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解其中其中 ：f是是 (x1,xm)或或(x1,xm,t)的函数，的函数，a为常数，为常数，是是Laplace算子。算子。二阶偏微分方程的一般形式：二阶偏微分方程的一般形式：221miix2,11mmijii jiijiuuabcufx xx 其

23、中其中 aij=aji、b、c、f 都是都是 (x1,xm)的函数。的函数。偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解用用A表示矩阵（表示矩阵（aij)i,j=1,2,.,m对于波动方程，取对于波动方程，取 m=n+1,t=xn+122001aAa偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解2,11mmijii jiijiuuabcufx xx 对于热传导方程，取对于热传导方程，取 m=n+1,t=xn+12120,100naAba偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解2,11mmijii jiijiuuabcufx xx 对于位势方程，取对于位势方程，取 m=n1001A偏微分方程的

24、导出与定解偏微分方程的导出与定解2,11mmijii jiijiuuabcufx xx 如果如果A是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存在一个正交矩阵，一定存在一个正交矩阵 T ，使得，使得 TTAT是对是对角阵，且对角线上的元素就是角阵，且对角线上的元素就是A的特征值。的特征值。位势方程：位势方程：A的特征是都是正（或负）的，即的特征是都是正（或负）的，即A是正定的或负定的；是正定的或负定的；热传导方程：热传导方程：A的特征值有一个为的特征值有一个为0，其它的都，其它的都为正（或负）的，即为正（或负）的，即A是非负（或非正）的；是非负（或非正）的；波

25、动方程：波动方程：A的特征值除了一个为正（负）外，的特征值除了一个为正（负）外，其它的都是负（正）的，即其它的都是负（正）的，即A是不定的。是不定的。偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解设设 x0(x01,.,x0m)是空间中一点，是空间中一点，A(x0)表示矩阵表示矩阵A在在x0点的值点的值定义定义：若：若A(x0)的的m个特征是全是正（或负），称方程个特征是全是正（或负），称方程在在x0点是椭圆型的；若点是椭圆型的；若A(x0)的特征是除了一个为的特征是除了一个为0外外全是正（或负）的，称方程在全是正（或负）的，称方程在x0点是抛物型的；若点是抛物型的；若A(x0)的特征值除了一个

26、为负（或正）外，其它的特征值除了一个为负（或正）外，其它 m-1个个全是正（或负）的，称方程在全是正（或负）的，称方程在x0点是双曲型的。如果点是双曲型的。如果对于区域对于区域上每一个点，方程是椭圆型的，则称方程上每一个点，方程是椭圆型的，则称方程在 区 域在 区 域 W W 上 是 椭 圆 型 的。类 似 有 抛 物 型 的上 是 椭 圆 型 的。类 似 有 抛 物 型 的和双曲型的。和双曲型的。偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解定理定理：如果方程的二阶项系数：如果方程的二阶项系数aij 是常数，即是常数，即A是常是常数矩阵，且它属于椭圆型数矩阵，且它属于椭圆型 （抛物型、双曲型）

27、方（抛物型、双曲型）方程，那么一定可以通过一个非奇异的自变量代换，程，那么一定可以通过一个非奇异的自变量代换，把方程的二阶项化为三个标准形式。把方程的二阶项化为三个标准形式。偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解1.4.2 二阶偏微分方程的化简二阶偏微分方程的化简定义：定义：称称m维空间中的一张曲面维空间中的一张曲面S=(x1,xm)=0为二阶偏微分方程一般形式的为二阶偏微分方程一般形式的特征曲面特征曲面，如果曲，如果曲面面S的每一个点，有的每一个点，有,10mijijijaxx定义：定义：对于固定点对于固定点 x0=(x10,xm0)，如果过，如果过该点的方向该点的方向 l=(a a1

28、 1,a am)满足特征方程满足特征方程则称则称 l 为该点的为该点的特征方向特征方向。0,1()0mijiji jaxaa偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解由于由于 表示曲面表示曲面(x1,xm)=0的法向，所以特征曲面就是每点的法向为该点特的法向，所以特征曲面就是每点的法向为该点特征方向的曲面。征方向的曲面。怎样求特征方向和特征曲面，总假设怎样求特征方向和特征曲面，总假设 a ai2 =1即取即取a ai为特征方向的方向余弦。为特征方向的方向余弦。1,mxx偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解例：例：热传导方程热传导方程的特征方程为的特征方程为 a a12 +a a22

29、+a a32 =0由假设有由假设有 a a02 +a a12 +a a22 +a a32 =1从而从而 a a02 =1因此特征曲面为超平面因此特征曲面为超平面 t=常数常数2222222uuuuatxyz偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解例：例：对于两个自变量的二阶线性偏微分方程对于两个自变量的二阶线性偏微分方程其特征方程为其特征方程为 a11a a12 +2+2a12a a1a a2+a22a a22=0 =0 满足上述关系的方向满足上述关系的方向(a a1,a a2)为特征方向，其特为特征方向，其特征线征线 (x,y)=0222211122212222uuuuuaaabbcuf

30、xx yyxy 偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解满足满足 a11 x2 +2 2a a1212 x y+a22 y2=0 *求解这个方程。求解这个方程。对对 (x,y)=0微分并代入上式微分并代入上式 xdx+ydy=0 x=-ydydx a11dy2 -2a12dxdy+a22dx2=0 *偏微化为常微，求出偏微化为常微，求出 *的一族积分曲线的一族积分曲线 1(x,y)=C则，则，z=1(x,y)是是*方程的解。方程的解。偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解求求*的积分曲线，将它分解为两个方程的积分曲线，将它分解为两个方程2121211221121212112211aa

31、a adydxaaaa adydxa此时在此时在(x0,y0)的近旁有三种情况，记的近旁有三种情况，记 0 =a122-a11a22 =0 0偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解即，在即，在 (x0,y0)近旁近旁0 此时此时*有两族不同的实积有两族不同的实积分曲线分曲线 (x,y)=C和和 y y(x,y)=C引入自变量引入自变量 x x=(x,y),h h=y y(x,y)*由由*可看出可看出-x y、-y yx y yy是二次方程是二次方程 a11l l2 +2+2a12l l+a22=0 =0 两个不同实根，从而两个不同实根，从而即，上述自变量变换是可逆的。即，上述自变量变换是

32、可逆的。(,)0(,)xyxyJx yx hyy偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解由于由于ux=uxxx+uhhxuy=uxxy+uhhyuxx=uxxxx2+2uxhxxhx+uhhhx2+uxxxx+uhhxxuxy=uxxxxxy+uxh(xxhy+xyhx)+uhhhxhy +uxxxy+uhhxyuyy=uxxxy2+2uxhxyhy+uhhhy2+uxxyy+uhhyy原方程化为原方程化为 b11uxx+2b12uxh+b22uhh+c1ux+c2uh+Du=f偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解其中其中b11=a11x xx2+2a12x xxx xy+a11x

33、 xy2 b12=a11x xxh hx+a12(x xxh hy+x xyh hx )+a22x xyh hy b22=a11h hx2+2a12h hxh hy+a11h hy2 由由*和和*知知 b11=b22=0,*=b122-b11b12=*J2故故b120从而原方程化为从而原方程化为2(,)(,)(,)(,)uuuvufa x h x hx hx hx hxh 偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解如果令如果令 x x=(s+t)2,h h=(s-t)2方程最终化为方程最终化为12(,)ttsstsuubub ucuf s t222211122212222uuuuuaaabb

34、cufxx yyxy 偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解1.5 与图像处理有关的偏微分方程的例子与图像处理有关的偏微分方程的例子 几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程 1.220(,0)()uautu xux 其对应的滤波器具有锐化作用。其对应的滤波器具有锐化作用。偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解0(,0)()BuDutu xux其中其中D为微分算子，它与膨胀或腐蚀算子的为微分算子，它与膨胀或腐蚀算子的迭代有一定联系。迭代有一定联系。1.5 与图像处理有关的偏微分方程的例子与图像处理有关的偏微分方程的例子 几个常用的与图像处

35、理有关的非线性抛物型方程几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程 2.偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解0curv()(,0)()uuD utu xux这个方程叫做曲率流方程，与中值滤波器的这个方程叫做曲率流方程，与中值滤波器的迭代有一定联系。迭代有一定联系。1.5 与图像处理有关的偏微分方程的例子与图像处理有关的偏微分方程的例子 几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程 3.偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解130()(,0)()ucurv uDutu xux这个方程导出了这个方程导出了AMSS算子，它满足平移算子，它满足平移 不变、不变、灰度平移不变、仿射不变、数学形态学等多种不变灰度平移不变、仿射不变、数学形态学等多种不变性。性。1.5 与图像处理有关的偏微分方程的例子与图像处理有关的偏微分方程的例子 几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程 4.偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解