第7章非线性控制系统分析讲解课件.ppt

1、2023-2-15第7章 非线性控制系统分析1第第7章章2023-2-15第7章 非线性控制系统分析2主要内容主要内容描述函数的基本概念和应用条件以及典型非线性环节描述函数的基本概念和应用条件以及典型非线性环节的描述函数的描述函数相平面图的基本概念以及非线性系统的典型相平面图相平面图的基本概念以及非线性系统的典型相平面图如何运用典型非线性特性的串并联分解求取复杂非线如何运用典型非线性特性的串并联分解求取复杂非线性特性的描述函数性特性的描述函数如何运用描述函数法分析非线性系统的稳定性如何运用描述函数法分析非线性系统的稳定性如何运用相平面法分析非线性系统的动态响应如何运用相平面法分析非线性系统的动

2、态响应2023-2-15第7章 非线性控制系统分析37.17.1非线性控制系统的基本概念和特点非线性控制系统的基本概念和特点 7.27.2描述函数法描述函数法 7.37.3相平面法相平面法 7.47.4用用MATLABMATLAB进行非线性控制系统分析进行非线性控制系统分析 小结小结 2023-2-15第7章 非线性控制系统分析47.17.1非线性控制系统的基本概念和特点非线性控制系统的基本概念和特点 前面几章所讨论的系统都是基于线性系统的分析设计前面几章所讨论的系统都是基于线性系统的分析设计方法的，但实际控制系统在某种程度上均不可避免地具有某方法的，但实际控制系统在某种程度上均不可避免地具有

3、某种程度的非线性特性，系统中只要具有一个非线性环节，就种程度的非线性特性，系统中只要具有一个非线性环节，就称之为非线性系统，因此实际的控制系统大都是非线性系统。称之为非线性系统，因此实际的控制系统大都是非线性系统。前面章节中所讨论的系统的线性特性很多情况下是将系统的前面章节中所讨论的系统的线性特性很多情况下是将系统的非线性特性在工作点附近进行泰勒级数展开，忽略变量增量非线性特性在工作点附近进行泰勒级数展开，忽略变量增量的高次项，仅取变量增量的一次项而使其在小范围内线性化。的高次项，仅取变量增量的一次项而使其在小范围内线性化。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析5 例如，某非线性特性为例

4、如，某非线性特性为 ，为工作点，则有为工作点，则有)(xfy 0 x200 000)()(21)()()()(xxxfxxxfxfxfy忽略高次项后有忽略高次项后有 xxfy)(0其中，其中，为函数增量，为函数增量，为变量增量。为变量增量。这时这时 与与 是线性关系，经过这样处理的系统可以近似是线性关系，经过这样处理的系统可以近似当作线性系统来研究。当作线性系统来研究。)()(0 xfxfy0 xxxyx2023-2-15第7章 非线性控制系统分析67.1.17.1.1典型非线性环节典型非线性环节为简化对问题的分析，通常将本质非线性特性用简单为简化对问题的分析，通常将本质非线性特性用简单的折线

5、来代替，称为典型非线性特性。的折线来代替，称为典型非线性特性。1.饱和特性饱和特性其数学表达式为其数学表达式为axMaxkxaxMya a为线性区宽度；为线性区宽度；k k为线性区斜率。为线性区斜率。饱和特性的特点饱和特性的特点是，输入信号超是，输入信号超过某一范围后，输出不再随输入的变化而变化，而是保持在某一常过某一范围后，输出不再随输入的变化而变化，而是保持在某一常值上。饱和特性在控制系统中是普遍存在的，常见的调节器就具有值上。饱和特性在控制系统中是普遍存在的，常见的调节器就具有饱和特性。当输入信号较小而工作在线性区时，可视为线性元件。饱和特性。当输入信号较小而工作在线性区时，可视为线性元

6、件。但当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线性元件来处但当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线性元件来处理。理。在实际系统中，有时还人为地引入饱和特性，以便对控制信号在实际系统中，有时还人为地引入饱和特性，以便对控制信号进行限幅，保证系统或元件在额定或安全情况下运行。进行限幅，保证系统或元件在额定或安全情况下运行。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析72.死区特性死区特性其数学表达式为其数学表达式为axxasignxkaxy)(0 为符号函数。死区特性常见为符号函数。死区特性常见于许多控制设备与控制装置中，于许多控制设备与控制装置中，如各种测量元件的不灵敏区，在如各种测

7、量元件的不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输出死区内虽有输入信号，但其输出为零。当死区很小，或对系统的为零。当死区很小，或对系统的性能不会产生不良影响时，可以性能不会产生不良影响时，可以忽略不计。否则，必须将死区特忽略不计。否则，必须将死区特性考虑进去。性考虑进去。在工程实践中，为在工程实践中，为了提高系统的抗干扰能力，有时了提高系统的抗干扰能力，有时又故意引入或增大死区。又故意引入或增大死区。)(xsign2023-2-15第7章 非线性控制系统分析83.滞环特性滞环特性又称间隙特性，又称间隙特性，其数学表达式为其数学表达式为0)(0)(yxsignbyxasignxky 这类特性表现为正

8、向与反向特性不是重叠在一起，而是在这类特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是在输入输入输出曲线上出现闭合环路。滞环特性表示，当输入输出曲线上出现闭合环路。滞环特性表示，当输入信号小于间隙信号小于间隙a a时，输出为零。只有当时，输出为零。只有当xaxa后，输出随输入而后，输出随输入而线性变化。当输入反向时，其输出则保持在方向发生变化时线性变化。当输入反向时，其输出则保持在方向发生变化时的输出值上，直到输入反向变化的输出值上，直到输入反向变化2a2a后，输出才线性变化。后，输出才线性变化。例例如，铁磁元件的磁滞，齿轮传动中的齿隙，液压传动中的油如，铁磁元件的磁滞，齿轮传动中的齿隙，液压传动

9、中的油隙等均属于这类特性。隙等均属于这类特性。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析94.继电特性继电特性其数学表达式为其数学表达式为0,00,0,0,0maxa xaxma xybsignxxabxma xbxma x 2023-2-15第7章 非线性控制系统分析10 继电特性曲线如图所示，这类特性不仅包含有死区特性，继电特性曲线如图所示，这类特性不仅包含有死区特性，而且具有滞环特性。若分别取而且具有滞环特性。若分别取a=0,m=1,m=-1a=0,m=1,m=-1时继电特性表现时继电特性表现为不同的特殊情况，为不同的特殊情况，分别为这三种特殊情况下的继电特性。分别为这三种特殊情况下的

10、继电特性。（a a）a a=0=0时继电特性时继电特性 （b b）m=1m=1时继电特性时继电特性 （c c）m=-1m=-1时继电特性时继电特性2023-2-15第7章 非线性控制系统分析117.1.27.1.2非线性系统的特点非线性系统的特点与线性系统相比，非线性系统具有与线性系统相比，非线性系统具有以下几个方面的特点以下几个方面的特点：1.1.不具有叠加性和均匀性（齐次性）不具有叠加性和均匀性（齐次性）线性系统具备叠加性和均匀性，但对非线性系统，这线性系统具备叠加性和均匀性，但对非线性系统，这两个性质都不具备。两个性质都不具备。2 2稳定性稳定性 线性系统的稳定性，只取决于系统的结构和参

11、数，与线性系统的稳定性，只取决于系统的结构和参数，与初始状态无关关，但非线性系统的稳定性，除与系统的结初始状态无关关，但非线性系统的稳定性，除与系统的结构、参数有关外，还和初始状态有关。初始条件不同，非构、参数有关外，还和初始状态有关。初始条件不同，非线性系的稳定性就可能不一样。所以不能笼统地说某个非线性系的稳定性就可能不一样。所以不能笼统地说某个非线性系统稳定与否，必须声明是在什么条件、什么范围下线性系统稳定与否，必须声明是在什么条件、什么范围下的稳定性。的稳定性。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析123.3.运动形式运动形式 线性系统在任何初始偏移下的时间响应曲线都具有相同线性系

12、统在任何初始偏移下的时间响应曲线都具有相同的形式。非线性系统则不同，当初始偏移变化以后，其时的形式。非线性系统则不同，当初始偏移变化以后，其时问响应曲线可以发生很大变化，可能由原来的振荡收敛形问响应曲线可以发生很大变化，可能由原来的振荡收敛形式变为非周期形式，甚至出现发散的情况。式变为非周期形式，甚至出现发散的情况。4 4自激振荡自激振荡 如果线性系统有一对闭环纯虚极点，其他闭环极点均在如果线性系统有一对闭环纯虚极点，其他闭环极点均在s s左半平面，则该系统会出现等幅周期运动，但这种周期运动左半平面，则该系统会出现等幅周期运动，但这种周期运动是不稳定的，其振幅和频率在扰动影响下均会发生变化，由

13、是不稳定的，其振幅和频率在扰动影响下均会发生变化，由等幅振荡变为收敛或发散振荡。在非线性系统中，却可能出等幅振荡变为收敛或发散振荡。在非线性系统中，却可能出现稳定的周期运动，称之为自激振荡。自激振荡是系统内部现稳定的周期运动，称之为自激振荡。自激振荡是系统内部产生的一种稳定的周期运动，当扰动的幅值在一定范围内时，产生的一种稳定的周期运动，当扰动的幅值在一定范围内时，这种周期运动的振幅和频率依靠系统内部非线性特性的调节，这种周期运动的振幅和频率依靠系统内部非线性特性的调节，仍能维持不变。仍能维持不变。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析135 5频率响应频率响应 对于线性系统，当输入信号

14、为正弦函数时，其稳态输对于线性系统，当输入信号为正弦函数时，其稳态输出也是同频率的正弦量，可以用频率特性来描述。但在非出也是同频率的正弦量，可以用频率特性来描述。但在非线性系统中，输入是正弦信号时，其稳态输出通常是非正线性系统中，输入是正弦信号时，其稳态输出通常是非正弦周期函数，甚至还会出现分谐波振荡或跳跃谐振等现象。弦周期函数，甚至还会出现分谐波振荡或跳跃谐振等现象。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析147.1.3 7.1.3 非线性系统的研究方法非线性系统的研究方法非线性系统要比线性系统复杂得多，因此到目前为止非线性系统要比线性系统复杂得多，因此到目前为止对非线性系统尚无通用的分

15、析和设计方法，对非线性系统尚无通用的分析和设计方法，目前常用的方法有以下几种：目前常用的方法有以下几种：1.1.相平面法相平面法 相平面法是时域分析法推广应用的一种图解分析方法。该方法相平面法是时域分析法推广应用的一种图解分析方法。该方法通过在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同通过在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运动形式。相平面法仅适用于一阶和二阶系统。初始条件下解的运动形式。相平面法仅适用于一阶和二阶系统。2.2.描述函数法描述函数法 描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分

16、析方法。该方法对于满足结构要求的一类非线性系统，种图解分析方法。该方法对于满足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析153.3.计算机求解法计算机求解法 用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程，用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程，对于分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。对于分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。4.4.逆

17、系统法逆系统法 逆系统法是在原系统的基础上构造其逆系统，组合成伪线逆系统法是在原系统的基础上构造其逆系统，组合成伪线性系统，并以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数性系统，并以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直接研究非线性控制问题，不必求解非线性系统的运学工具直接研究非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方程，是非线性系统控制研究的一个发展方向。动方程，是非线性系统控制研究的一个发展方向。返回返回2023-2-15第7章 非线性控制系统分析167.2 7.2 描述函数法描述函数法 7.2.17.2.1描述函数的基本思想与应用前提描述函数的基本思想与应用前提 描述函数的基本思

18、想是用非线性元件的输出信号中的基波分描述函数的基本思想是用非线性元件的输出信号中的基波分量，替代非线性元件在正弦输入作用下的实际输出。所以这种方量，替代非线性元件在正弦输入作用下的实际输出。所以这种方法又称为一次谐波法，或称为谐波平衡法、谐波线性化方法等。法又称为一次谐波法，或称为谐波平衡法、谐波线性化方法等。显然，描述函数法的准确度依赖于基波分量是否比高次谐显然，描述函数法的准确度依赖于基波分量是否比高次谐波分量大得多。应用描述函数法时，一定要注意这一条件，否波分量大得多。应用描述函数法时，一定要注意这一条件，否则会导致错误的结果，多数实际工程系统都满足这条件则会导致错误的结果，多数实际工程

19、系统都满足这条件。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析17从上述分析可见，描述函数法的从上述分析可见，描述函数法的应用条件是应用条件是：1.1.非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性环节非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性环节N N和和一个线性部分一个线性部分G(sG(s)串联的闭环结构，如图所示串联的闭环结构，如图所示。2.2.非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，即即y(xy(x)=-)=-y(-xy(-x)。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析183.3.系统的线性部分系统的线性部分G(sG(s)具有良好的低通滤波特

20、性。这样，非具有良好的低通滤波特性。这样，非线性环节正弦输入下的输出中，本来幅值相对不大的那些高线性环节正弦输入下的输出中，本来幅值相对不大的那些高次谐波分量将被大大削弱。因此，可以近似地认为在闭环通次谐波分量将被大大削弱。因此，可以近似地认为在闭环通道内只有基波分量在流通，此时应用描述函数法所得的分析道内只有基波分量在流通，此时应用描述函数法所得的分析结果才比较准确。对于实际的非线性系统来说，由于结果才比较准确。对于实际的非线性系统来说，由于G(sG(s)通通常具有低通特性，因此这个条件是满足的。常具有低通特性，因此这个条件是满足的。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析197.2.2

21、7.2.2描述函数的定义描述函数的定义 设非线性环节输入输出描述为设非线性环节输入输出描述为y=y=f(xf(x)，当输入信号为，当输入信号为tAtxsin)(时，输出量时，输出量y(ty(t)一般都不是同频率的正弦波，而是一个非正一般都不是同频率的正弦波，而是一个非正弦的周期函数，其周期与输入信号的周期相同，一般可以展弦的周期函数，其周期与输入信号的周期相同，一般可以展开为傅里叶级数开为傅里叶级数01()cossiniiiy tAAi tBi t式中式中20201()cos();0,1,2,1()sin();0,1,2,iiAy ti tdtiBy ti tdti2023-2-15第7章 非

22、线性控制系统分析20设非线性特性是关于原点对称的，则设非线性特性是关于原点对称的，则 ，y(ty(t)基基波分量为波分量为 00A11111()cossinsin()y tAtBtYt式中式中 210210221111111()cos()1()sin()Ay ttdtBy ttdtYABAarctgB类似于线性系统理论中的频率特性的概念，把非线性环节输类似于线性系统理论中的频率特性的概念，把非线性环节输出的基波分量的复向量与正弦输入的复向量之比，定义为该出的基波分量的复向量与正弦输入的复向量之比，定义为该非线性环节的描述函数，记为非线性环节的描述函数，记为 。),(jAN2023-2-15第7

23、章 非线性控制系统分析21如果非线性环节没有储能元件，则描述函数仅是输入如果非线性环节没有储能元件，则描述函数仅是输入幅值幅值A A的函数，与的函数，与 无关，可记为无关，可记为N(A)N(A)，AAjABeAYeANANjANj111)(1)()(由描述函数的定义可以看出，求描述函数的步骤为由描述函数的定义可以看出，求描述函数的步骤为绘制非线性特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，绘制非线性特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，且写出波形且写出波形y(ty(t)的数学表达式。的数学表达式。利用傅氏级数求出利用傅氏级数求出y(ty(t)的基波分量。的基波分量。将求得的基波分量代入上式，即得

24、将求得的基波分量代入上式，即得N(A)N(A)。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析227.2.3 7.2.3 典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数1理想继电器特性理想继电器特性当输入为当输入为 时，理想继电器特性的输出波形。时，理想继电器特性的输出波形。tAtxsin)(2023-2-15第7章 非线性控制系统分析23由于输出周期方波信号是奇函数，则傅氏级数中的直流由于输出周期方波信号是奇函数，则傅氏级数中的直流分量与基波偶函数分量系数为零而基波奇函数分量为分量与基波偶函数分量系数为零而基波奇函数分量为010AA2101()sin()By ttdt02()sin()y t

25、tdt02sin()Mtdt4M所以基波分量为所以基波分量为 14()sinMy tt则理想继电特性描述函数为则理想继电特性描述函数为114()YMN AAA2023-2-15第7章 非线性控制系统分析24 2.饱和特性饱和特性当输入为当输入为 ，且，且A A大于线性区宽度大于线性区宽度a a时，饱和时，饱和特性的输出波形特性的输出波形 ()sinx tAt2023-2-15第7章 非线性控制系统分析25显然其输出信号也是奇函数，因此显然其输出信号也是奇函数，因此 ，而，而 010 AA2101()sin()By ttdt11220244sin()sin()2arcsin1kAtdtkAtdt

26、kAaaaAAA式中式中 1arcsinaA因此饱和特性描述函数为因此饱和特性描述函数为212()arcsin1BkAaaaN AAaAAAA2023-2-15第7章 非线性控制系统分析267.2.4 7.2.4 组合非线性环节的描述函数组合非线性环节的描述函数非线性系统中出现多个非线性环节时，不能简单地按非线性系统中出现多个非线性环节时，不能简单地按照线性环节的串、并联求取总的描述函数，而必须根照线性环节的串、并联求取总的描述函数，而必须根据具体情况来求取。据具体情况来求取。1非线性环节并联非线性环节并联非线性环节并联时，结构非线性环节并联时，结构如图所示，总的描述函数如图所示，总的描述函数

27、等于各个非线性环节的描等于各个非线性环节的描述函数之和。述函数之和。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析27当输入为当输入为 时，则两个环节输出的基波分时，则两个环节输出的基波分量分别为输入信号乘以各自的描述函数，即：量分别为输入信号乘以各自的描述函数，即：()sinx tAttANtytANtysin)(sin)(212111总的输出基波分量为总的输出基波分量为tANNtysin)()(211总的描述函数为总的描述函数为21NNN2023-2-15第7章 非线性控制系统分析282.非线性环节串联非线性环节串联 若两个非线性环节串联，其总的描述函数不等于两个非线若两个非线性环节串联，其

28、总的描述函数不等于两个非线性环节描述函数的乘积。处理方法之一是忽略一些对系统影性环节描述函数的乘积。处理方法之一是忽略一些对系统影响较小的非线性特性。例如当系统含有小信号非线性特性响较小的非线性特性。例如当系统含有小信号非线性特性（如死区特性等），又含有大信号非线性（如饱和特性等），（如死区特性等），又含有大信号非线性（如饱和特性等），那么，若系统工作信号幅值较大，则可忽略小信号非线性特那么，若系统工作信号幅值较大，则可忽略小信号非线性特性，若系统工作信号幅值较小则可忽略大信号非线性特性。性，若系统工作信号幅值较小则可忽略大信号非线性特性。方法之二是首先求出这两个非线性环节串联后的等效非线性方

29、法之二是首先求出这两个非线性环节串联后的等效非线性特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析29两个非线性环节串联两个非线性环节串联 2023-2-15第7章 非线性控制系统分析30例例7.17.1试求图所示非线性环节的描述函数试求图所示非线性环节的描述函数2023-2-15第7章 非线性控制系统分析31解：解：1.1.（a a）因为）因为 ，且单值奇对称，故，且单值奇对称，故3yx20204311sin1sin10tdtxtdtyBA2034343sin4xtdtx31143)(xAAjABAN

30、2023-2-15第7章 非线性控制系统分析322.2.（b b）因为原图所示非线性可以分解为下图所示）因为原图所示非线性可以分解为下图所示两个环节并联，所以两个环节并联，所以124()()()MN AN ANAKA2023-2-15第7章 非线性控制系统分析337.2.5 7.2.5 基于描述函数的非线性系统稳定性分析基于描述函数的非线性系统稳定性分析 可得到整个系统线性化后的闭环系统频率特性为可得到整个系统线性化后的闭环系统频率特性为()()()()()1()()C jN A G jM jR jN A G j闭环特征方程为闭环特征方程为1()()0N A G j或或1()()G jN A

31、式中，式中，-1-1N(A)N(A)称为非线性特性的负倒描述函数。应用线性系称为非线性特性的负倒描述函数。应用线性系统中的奈氏判据，当满足时，系统是临界稳定的，即系统是等统中的奈氏判据，当满足时，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。因此上式中的幅振荡状态。因此上式中的-1-1N(A)N(A)相当于线性系统中的相当于线性系统中的(-1(-1，j0)j0)点。但线性系统的临界状态是点。但线性系统的临界状态是(-1(-1，j0)j0)点，而非线性系统点，而非线性系统的临界状态是的临界状态是-1-1N(A)N(A)曲线。通常又将曲线。通常又将-1-1N(A)N(A)曲线称为负倒曲线称为负倒特性曲线

32、。特性曲线。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析34 将线性系统的奈氏判据进行推广，可以得到非将线性系统的奈氏判据进行推广，可以得到非线性系统的稳定性判别方法：首先求出非线性环节的线性系统的稳定性判别方法：首先求出非线性环节的描述函数描述函数N(A)N(A)，然后分别画出线性部分的，然后分别画出线性部分的 曲曲线和非线性部分的线和非线性部分的-1-1N(A)N(A)曲线，并假设曲线，并假设G(sG(s)的极点的极点均在均在s s左半平面，有左半平面，有)(jG(1)(1)如图如图(a)(a)所示，如果所示，如果 曲线不包围曲线不包围-1-1N(A)N(A)曲线，曲线，则非线性系统是稳定

33、的。则非线性系统是稳定的。)(jG2023-2-15第7章 非线性控制系统分析35(2)(2)如图如图(b)(b)所示，如果所示，如果 曲线包围曲线包围-1-1N(A)N(A)曲线，曲线，则非线性系统是不稳定的。则非线性系统是不稳定的。)(jG2023-2-15第7章 非线性控制系统分析36(3)(3)如图如图(c)(c)所示，如果所示，如果 曲线与曲线与-1-1N(A)N(A)曲线相交，曲线相交，则在交点处将产生等幅振则在交点处将产生等幅振荡，称为自振荡或周期运荡，称为自振荡或周期运动。动。)(jG2023-2-15第7章 非线性控制系统分析377.2.67.2.6非线性系统存在周期运动时的

34、稳定性分析非线性系统存在周期运动时的稳定性分析如图所示，如果如图所示，如果 曲线和曲线和-1-1N(A)N(A)轨迹相交于轨迹相交于a a、b b两点，可得两点，可得)(jGRe()()1Im()()0G jN AG jN A 可解得交点处的频率可解得交点处的频率 和幅值和幅值A A。系。系统处于周期运动时，非线性环节的输入统处于周期运动时，非线性环节的输入近似为等幅振荡近似为等幅振荡 。tAtxsin)(2023-2-15第7章 非线性控制系统分析38下面以奈氏判据为准则，分析产生于下面以奈氏判据为准则，分析产生于a a、b b两点处两点处的周期运动。的周期运动。设系统工作于设系统工作于a点

35、，若受到一微小的扰动，点，若受到一微小的扰动，使非线性元件正弦输入的幅值略有增大。使非线性元件正弦输入的幅值略有增大。工作点由工作点由-1N(A)轨迹上的轨迹上的a点移动到点移动到c点。点。由于由于c点被点被 曲线所包围，因而相应的曲线所包围，因而相应的系统是不稳定的，从而导致系统振荡的加系统是不稳定的，从而导致系统振荡的加剧，振幅继续增大，作点由剧，振幅继续增大，作点由c点向点向b点移动。点移动。反之，若在反之，若在a点处受到的扰动使非线性元件点处受到的扰动使非线性元件输入的幅值略有减小，如使工作点从输入的幅值略有减小，如使工作点从-lN(A)轨迹上的轨迹上的a点偏移到点偏移到d点。由于点。

36、由于d点未点未被被 曲线包围，故此时系统处于稳定曲线包围，故此时系统处于稳定状态，系统的振荡将减弱，振幅会不断地状态，系统的振荡将减弱，振幅会不断地自减，使工作点向左下方移动。由此可见，自减，使工作点向左下方移动。由此可见，在在a点处产生的周期运动是不稳定的。点处产生的周期运动是不稳定的。()G j()G j2023-2-15第7章 非线性控制系统分析39用同样的方法，可判别系统在用同样的方法，可判别系统在b b点点处产生的自振荡是稳定的。这表处产生的自振荡是稳定的。这表示系统工作在示系统工作在b b点处即使受到干扰点处即使受到干扰的作用，使非线性元件正弦输入的作用，使非线性元件正弦输入的幅值

37、不论是增大还是减小的幅值不论是增大还是减小(由由b b点偏移到点偏移到e e点或点或f f点点)，只要干扰信，只要干扰信号一消失，系统最后仍能回到原号一消失，系统最后仍能回到原来的工作状态来的工作状态b b点。由此可见，在点。由此可见，在b b点处产生的周期运动是稳定的。点处产生的周期运动是稳定的。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析40例例7.27.2非线性系统如图非线性系统如图(a)(a)、(b)(b)所示。试确定其稳定性。所示。试确定其稳定性。若产生自振荡，试确定自振荡的振幅和频率（图若产生自振荡，试确定自振荡的振幅和频率（图(b)(b)非线性非线性环节的描述函数为环节的描述函数

38、为 ）。）。2()3/4N Ax2023-2-15第7章 非线性控制系统分析41解：解：(1)(1)图（图（a a）：）：线性部分的开环传递函数为线性部分的开环传递函数为105()(1)(2)(1)(0.51)G ss sss ss理想继电器的描述函数为理想继电器的描述函数为44()MN AAA则负倒描述函数为则负倒描述函数为114()()4MAN AA 在同一坐标系绘制线性部分的奈氏曲线和非线性环节的在同一坐标系绘制线性部分的奈氏曲线和非线性环节的负倒描述函数曲线如图所示。当负倒描述函数曲线如图所示。当A=0A=0时，时，-1/N(A)=0;-1/N(A)=0;时时,。可以看出，在。可以看出

39、，在A A处产生交点，且交点处具处产生交点，且交点处具有稳定自振荡的特性。有稳定自振荡的特性。AN/12023-2-15第7章 非线性控制系统分析42计算计算A A点处的自振荡频率点处的自振荡频率 ：A()90arctanarctan0.5180arctanarctan0.5902AAAAAAG j 55()322 10.25 2 1543202.123AAAG jAA 2023-2-15第7章 非线性控制系统分析43（2 2）图（）图（b b）：）：线性部分的开环传递函数为线性部分的开环传递函数为100.5()(1)(2)(1)(0.51)G ss sss ss理想继电器的描述函数为理想继电

40、器的描述函数为23()4N AA则负倒描述函数为则负倒描述函数为214()3N AA 在同一坐标系绘制线性部分的奈在同一坐标系绘制线性部分的奈氏曲线和非线性环节的负倒描述氏曲线和非线性环节的负倒描述函数曲线如图所示。可以看出在函数曲线如图所示。可以看出在A A处产生交点处产生交点,且交点处呈不稳定特且交点处呈不稳定特性。这种振荡随时间推移可能发性。这种振荡随时间推移可能发散或可能收敛。散或可能收敛。返回返回2023-2-15第7章 非线性控制系统分析447.3 7.3 相平面法相平面法7.3.17.3.1基本概念基本概念 相平面法是非线性控制系统常用的分析方法之一，是状相平面法是非线性控制系统

41、常用的分析方法之一，是状态空间分析法在二维空间特殊情况下的应用。它以时域分析态空间分析法在二维空间特殊情况下的应用。它以时域分析法为基础，分析非线性反馈控制系统在阶跃输入下的瞬态响法为基础，分析非线性反馈控制系统在阶跃输入下的瞬态响应，以确定系统的稳定性、稳态误差或求解初始条件问题。应，以确定系统的稳定性、稳态误差或求解初始条件问题。相平面法适用于二阶以下的线性控制系统和非线性控制系统相平面法适用于二阶以下的线性控制系统和非线性控制系统。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析45假设二阶系统用下述微分方程来描述假设二阶系统用下述微分方程来描述0),(xxfx 式中式中 是是 和和 的线性

42、函数或非线性函数。该系统的时的线性函数或非线性函数。该系统的时间解，可以用间解，可以用x x同同t t的关系图来表示，也可以用的关系图来表示，也可以用t t为参变量，然为参变量，然后用后用 与与x x的关系图来表示。如果以的关系图来表示。如果以 和和 作平面图的直角作平面图的直角坐标轴，则系统在每一时刻的状态均对应于该平面上的一个坐标轴，则系统在每一时刻的状态均对应于该平面上的一个点，当时间点，当时间t t变化时，这一点在变化时，这一点在 平面上便描绘出一条平面上便描绘出一条相应的轨迹曲线。该轨迹线表征系统状态的变化过程，称为相应的轨迹曲线。该轨迹线表征系统状态的变化过程，称为相轨迹相轨迹。由

43、。由 所组成的平面称为所组成的平面称为相平面相平面，和和 为为相相变量变量，（，（，）为）为相点相点。这种用相轨迹表示系统动态过程。这种用相轨迹表示系统动态过程的几何方法，叫做系统的的几何方法，叫做系统的相平面表示法相平面表示法。初始条件不同，描。初始条件不同，描述系统动态特性的相轨迹也不同。述系统动态特性的相轨迹也不同。),(xxf xx x xx xx xx xx xx 2023-2-15第7章 非线性控制系统分析467.3.2 7.3.2 相平面图绘制方法相平面图绘制方法绘制相平面图的方法常见有两种绘制相平面图的方法常见有两种：解析法解析法图解法图解法解析法解析法是一种最基本的方法。当系

44、统的微分方程比较是一种最基本的方法。当系统的微分方程比较简单，或者系统中非线性特性可以分段线性化简单，或者系统中非线性特性可以分段线性化时，可以用解析法绘制相平面图。时，可以用解析法绘制相平面图。如果用解析法是比较困难、甚至不可能的，则如果用解析法是比较困难、甚至不可能的，则常用常用图解法图解法。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析471解析法解析法 应用解析法求取相轨迹，一般有应用解析法求取相轨迹，一般有两种方法两种方法，一是一是求求出出 和和 对对t t的函数关系，然后从这两个方程中消去的函数关系，然后从这两个方程中消去t t，从而得到相轨迹方程。这种方法实用价值不大，因为假从而得

45、到相轨迹方程。这种方法实用价值不大，因为假如微分方程是可积的，也就不必用相平面表示其解。如微分方程是可积的，也就不必用相平面表示其解。xx 另一种方法：另一种方法：常见的一种方法是利用关系式常见的一种方法是利用关系式dxxdxdtdxxdxdt将二阶微分方程将二阶微分方程 变成一阶微分方程变成一阶微分方程(,)xf x x(,)dxf x xdxx2023-2-15第7章 非线性控制系统分析48若该式可以分解为若该式可以分解为()()g x dxh x dx两端积分两端积分 00()()xxxxg x dxh x dx由此可得由此可得 和和 的解析关系式，其中的解析关系式，其中 和和 为初为初

46、始条件，据此便可画出相应的相轨迹。这种方法只有当该始条件，据此便可画出相应的相轨迹。这种方法只有当该一阶微分方程可积时才适用。一阶微分方程可积时才适用。xx 0 x0 x 2023-2-15第7章 非线性控制系统分析49例例7.37.3 某弹簧某弹簧质量质量运动系统如图所示，图中运动系统如图所示，图中m m为物体的质量，为物体的质量，k k为弹簧的为弹簧的弹性系数，若初始条件弹性系数，若初始条件为为 ，试确定系统自由运动的相试确定系统自由运动的相轨迹。轨迹。0)0(xx0)0(xx2023-2-15第7章 非线性控制系统分析50 解：描述系统自由运动解：描述系统自由运动的微分方程式为的微分方程

47、式为0 xx将上式写为将上式写为dxxxdx 令令 ，有，有(),()g xx h xx 002201()2xxxxg x dxxdxxx 002201()2xxxxh x dxxdxxx 整理得整理得 222200 xxxx该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心、为该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心、为 半径的圆，如图所示。半径的圆，如图所示。2200 xx 2023-2-15第7章 非线性控制系统分析512.作图法作图法目前比较常用的图解法有目前比较常用的图解法有等倾线法等倾线法 法法 等倾线法的基本思想是采用直线近似等倾线法的基本思想是采用直线近似。先确定相轨迹的。先确定相轨迹的

48、等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，如果我们能用简便等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，如果我们能用简便的方法确定出相平面中任意一点相轨迹的斜率，则该点附近的方法确定出相平面中任意一点相轨迹的斜率，则该点附近的相轨迹便可用过这点的相轨迹切线来近似。然后从初始条的相轨迹便可用过这点的相轨迹切线来近似。然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析52设系统的微分方程为设系统的微分方程为(,)dxf x xdxx式中，式中，表示相平面上相轨迹的斜率，若取斜率为常数，表示相平面上相轨迹的斜率，若取斜率为常数，则该式可改写成则该

49、式可改写成/dx dx(,)f x xx上式为等倾线方程。对于相平面上满足上式的各点，经过它上式为等倾线方程。对于相平面上满足上式的各点，经过它们的相轨迹的斜率都等于，若将这些具有相同斜率的点连成们的相轨迹的斜率都等于，若将这些具有相同斜率的点连成一线，则此线称为相轨迹的等倾线。给定不同的一线，则此线称为相轨迹的等倾线。给定不同的 值，则值，则可在相平面上画出相应的等倾线。可在相平面上画出相应的等倾线。2023-2-15第7章 非线性控制系统分析53利用等倾线法绘制相轨迹的一般步骤是：利用等倾线法绘制相轨迹的一般步骤是：首先根据式首先根据式 求系统的等倾线方程；求系统的等倾线方程；根据等倾线方

50、程在相平面上画出等倾线分布图；根据等倾线方程在相平面上画出等倾线分布图；利用等倾线分布图绘制相轨迹。即从由初始条件确定的点利用等倾线分布图绘制相轨迹。即从由初始条件确定的点出发，近似地用直线段画出到相邻一条等倾线之间的相轨出发，近似地用直线段画出到相邻一条等倾线之间的相轨迹。该直线段的斜率为相邻两条等倾线斜率的平均值。这迹。该直线段的斜率为相邻两条等倾线斜率的平均值。这条直线段与相邻等倾线的交点，就是画下一段相轨迹的起条直线段与相邻等倾线的交点，就是画下一段相轨迹的起始点。如此继续做下去，即可绘出整个相轨迹曲线，如图始点。如此继续做下去，即可绘出整个相轨迹曲线，如图所示。所示。(,)f x x