第7章线性离散系统的分析与校正课件.ppt
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1、第7章 采样系统的分析 本章主要内容与重点 离散采样系统的基本概念 信号的采样与保持 Z变换理论 离散系统的数学模型 离散系统的稳定性与稳态误差 离散系统的动态性能分析本章主要内容本章在阐述了离散控制系统相关基本概念后,学习了采样过程及采样 定理、保持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、基本性质和z反变换的求法、线性差分方程的建立及其解法、脉冲传递函数的概念及求取方法、离散系统时域分析。本章重点学习本章,需要掌握离散系统的相关基本概念,特别是采样过程和采样定理、z变换和z反变换及其性质、差分方程和脉冲传递函数等概念。在此基础上重点掌握利用脉冲传递函数求解离散系统的暂态响应,离散系统稳定性和
2、稳态性能计算等内容。7-1 离散采样系统的基本概念离散采样系统的基本概念1.控制系统中有一个或若干个部件的输出信号是一串脉冲形式或是数字(数码),由于信号在时间上是离散的这类系统称为离散系统。两类离散系统:两类离散系统:(1)采样控制系统或脉冲控制系统)采样控制系统或脉冲控制系统离散信号是脉冲序列(时间上离散)(2)数字控制系统或计算机控制系统)数字控制系统或计算机控制系统离散信号是数字序列(时间上离散、幅值上整量化)采样系统的典型结构图 一般来讲采样系统对来自传感器的连续信息在规定的时间瞬时上取值。Gh(s)被控对 象r(t)e(t)sb(t)eh(t)c(t)(*te采样系统中有两个特殊环
3、节采样器,保持器。采样:连续信号转为脉冲序列的过程称为采样,实现的装置称为采样器。T表示采样周期,采样频率,采样角频率。采用持续时间为 远小于T近似为0,保持器:把脉冲信号变为连续信号的过程称为信号的复现过程,实现装置为保持器。保持器不仅有复现信号的作用,还有滤波作用。开环采样系统:采样器位于系统的闭合回路之外,或者系统本身不存在闭合回路。闭环采样系统:如果采样器位于系统闭合回路之内。一般为误差采用控制的闭合系统。Tfs1Tws2线性采样系统:采样开关输出和输入幅值为线性关系,系统其余的部分传递函数为线性时。典型数字控制系统如下图所示r e e*c 数字控制系统:以计算机为控制器去控制具有连续
4、工作状态的被控对象的闭环控制系统与模拟系统比较系统中信号的性质发生很大的变化出现时间上离散信号。系统中同时存在连续信号和离散信号,称为采样控制系统。采样数字控制器D/A保持被控对 象数字控制系统的特点数字控制系统的特点(1)控制器的控制规律由计算机实现,使得控制规律比较灵活、控制精度高,而且可以借助计算机实现许多附加功能,(2)数字信号传递抑制噪声,提高抗干扰能力。(3)滞后系统可以引入采样的方式来稳定。在航空航天、军事、工业、公用事业系统中的各类控制系统已经广泛地运用计算机控制。两个特殊环节是A/D和D/A转换器,A/D作用为采样和量化,D/A作用为解码和复现。离散采样系统的研究方法离散采样
5、系统的研究方法(1)用Z变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。(2)用离散系统的状态空间分析法(一阶差分方程组)对系统进行分析、设计。7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持 一、信号采样一、信号采样 采样过程:连续信号 采样器 离散信号 )(*teT0T)(*te)(tesT)(*te)(te采样过程丢采样间隔之间的 信息理想采样过程的数学描述:理想采样过程的数学描述:)()()(*tteteT0)()(nTnTtt00*)()()()()()()(nnTnTtnTenTttettete采样信号的采样信号的Laplace变换:变换:000*)()()()()()()(nnTsnnen
6、TenTtLnTenTtnTeLteLsE为理想脉冲序列)(tT)(tT2T)(te2T)(*te)(t理想采样器看成载波 为的幅值调制器)(tT同样不能给出e(t)在采样间隔之间的信息)(*sE指数的存在使系统的分析不方便例1 设 ,求 的L变换 )(1)(tte)(*te)1(1111)()(20*TsTsTsTsTsTsnTseeeeeeenTesEateteat,0,)(例2 设 为常数,求 的L变换)(*te)1)()(110)(0)(*TaseaTeTseTseTasenTasnenTseanTesE采样信号的频谱:采样信号不等于连续信号,研究频谱的目的在于找出 和E(s)之间的联
7、系。如 无右半平面极点则有以 为周期无数频谱之和。一般 频谱为单一频谱,最大角频率为)(*sE)(*sEnsnwwjETjwE)(1)(*sw)(jwEhw)(*jwE的频谱以为周期的无穷多个频谱之和,两者形状一致,只是幅值变化了1/T.hwhw)(jwEw)(*jwEw2/swswsw2/swhsww2n=0成为采样频谱的主分量其余频谱为采样频谱的补分量(高频)whsww2)(*jwE时采样频谱的主,补分量相互叠加hsww2结论:完全复现 e(t)对 有 要求。)(*tesw香农采样定理香农采样定理:如果采样器的 输入信号 具有有限带宽,具有最高频率为 的分量,只要采样周期满足以下条件:)(
8、teh)2(hs)(22sThs利用理想滤波器信号 可以从采样信号 中恢复。)(te)(*te信号保持信号保持:数字量(脉冲信号)转换为连续量的装置称为保持器。和 在nT时刻相等,在nT和(n+1)T之间e(nT+t)与e(nT)关系如何?由保持器解决。每个采样值能保持到下一个采样值到来之前,信号幅值没有变化。定理指明了不失真采用的条件 二、信号保持)(te)(*te零阶保持器:零阶保持器:当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲 ,则脉冲响应(输出))(t)(tgh)(tgh)(1)(1)(Ttttgh脉冲过渡函数:幅值为1,持续时间为 T对应的L变换sesesTttLtgLsGTsTshh11)
9、(1)(1)()(零阶保持器的频率特性 T 2T 3T 4T 5T 6T 零阶保持器输出特性表达式 e(nT+t)=e(nT)0tT阶梯中点连接得到与e(t),形状一样但滞后 T/2 的响应e(t-T/2)/(2/2/2/)/()/(sin22)(21)(sjsssjTjTjTjThejeeejejGTs/2ss3s2)(jGhT零阶保持器的特性:(1)低通特性:允许主要频谱通过,和部分高频频谱通过,使输出存在波纹不能完全复现原信号(2)相角迟后特性随w增大而增大,w=ws时可达-180度,使闭环稳定性变差。(3)时间迟后特性 (平均迟后时间 T/2)对稳定性有影响,阶梯使输出增加了波纹。一、
10、Z变换定义 采样信号 的表达式为 7-3 Z变换理论变换理论)(*tenTsnnnenteSetenTtntenTttete0*00*)()()()()()()()(的拉氏变换为是对采样后的信号 的拉氏变换进行Z变换)(*te上式含有指数因子为超越函数采用变量代换 变量 代换T为采样周期z为复数平面的复变量称为变换因子则采样信号的z变换定义为sTez nznTezTssEzE0)(ln1|)(*)(记作E(z)=Z =Ze(t)通过变换把超越函数变为z的幂级数或有理分式二、Z变换方法 部分分式法先求出连续时间函数的拉氏变换然后展开部分分式和的形式,查表即可解:展开分式为 变换求相应的例zass
11、asE)()(ateteasssE1)(11)(相应的时间函数为)(*te 上两式为相应的分式 的Z变换为三、Z 变换的性质(1)线性定理 a,b为常数aTezzzzzE1)(1)(1 zztZaTezzateZ)(2)(2)(1)(1teZzEteZzE)(2)(1)(2)(1zbEzaEtbetaez(2)实数位移定理(平移定理)整个采样序列在时间轴左右平移几个采样周期左移为超前,右移为滞后。K为正整数上两式分别为滞后和超前定理10)()()()()(knnznTezEkzkTteZZEkzkTteZ滞后定理Z有明确的物理意义 代表时域中滞后环 节把采样信号滞后k个采样周期。表超前环节采样
12、 信号超前k个采样周期,仅用于运算物理系统中部存在(3)复数位移定理(4)终值定理函数序列e(nT)为有限值(n=0,1,2,)kzkz)()(atzeEteatez)()11lim()()1lim(lim1)()(ZEZzEzZnTenekz(5)卷积定理 设x(nT)和y(nT)为两个采样函数,其离散卷积为 必有G(z)=X(z).Y(z)l、离散系统中卷积定理是沟通时域和Z域的桥梁)()()(0)()()()(nTynTxnTgkTknykTxnTynTx如四、Z反变换 Z反变换已知Z变换表达式E(Z)求相应的离散序列e(nT)的过程。(1)部分分式法(查表法)已知Z变换表达式E(Z)无
13、重极点分解为 然后查表计算得采样函数 niiiniiizzzAzEzzAzzE11)()()()(0 1)()()(*nninttnTiete)()(1*ZEZte一般E(z)分子中含有因子Z,E(z)/z展成部分分式(2)幂级数法(综合除法)式中系数均为常数 直接综合除法得到如下幂级数 直接得到脉冲序列的表达式 nmzazazbzbbzEnnmm111101)(0110)(nnnnnzczczcczE0*)()(nnnTtcte例题已知Z函数求反变换解查表有aTaTaTezzzzEezzZezE11)()(1()1()(aTezzzzE1)(0*)()1()(1)(nanTanTnTtete
14、enTeZ变换的局限性不唯一7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型一、线性系统的差分方程 n阶后向差分方程 n阶前向差分方程nimjjmnjkrbikckcmkrbkrbnkcakcakc1001)()()()()()()1()(或nimjjmnjmkrbinkcnkckrbmkrbkcankcankc1001)()()()()()()1()(或例题已知差分方程如下解1)1(,0)0(0)(2)(3)2(*cctcTtcTtc初始条件2,1,0)2()1()(2123)()(2)(2)(3)1(3)()2(22kkcZzzzzzzzczckczzzckczzzczkczkk带入方程提供解
15、,不便于研究系统的参数变化对系统的影响二、脉冲传递函数:二、脉冲传递函数:在零初始条件下输出采样信号的Z变换与输入采样的Z变换之比。零初始条件指t0输入输出采样序列值为零)()()()(11*zRzGZzCZtc00)()()(/)()(nnnnznTrznTczRzCzGG(s)(zG)(tr)(tc)(*tr)(*tc)(zR)(zC开环离散系统脉冲传递函数的意义:脉冲传递函数的意义:设输入信号r(t)采样后z变换R(z)=1,脉冲传递函数就是就是输出响应采样后z变换,去开环系统的输入信号为(t),则系统的连续部分输出为单位脉冲响应g(t),采样后)()()()()(*tczzczRzcz
16、G0*0*)()()()()()()(kkkzkTgtgzzckTtkTgtgtc连续系统的脉冲响应z变换是系统的脉冲传递函数。脉冲传递函数和差分方程关系 线性系统的差分方程如下nkkkmkkkmjjiniiimjiniizazbzRzczGzzRbzzcazcTjnrbTincantc111111)()()()()()()()()(得形式不同,但可以相互转化。实际开环离散系统的脉冲传递函数:实际开环离散系统的脉冲传递函数:G(s)(zG)(tr)(tc)(*tr)(*tc)(zR)(zC在输出端增设虚拟采样开关脉冲传递函数脉冲传递函数G(z)的求法的求法连续系统的传递函数G(s)脉冲响应函数
17、g(t)按采样周期离散化g*(t)Z变换 G(z)0*)()()()(nnTtnTgtgtc对于虚拟采样开关的输出,相应的脉冲响应对上式取L变换后:0*)()()(nnTsenTgtgLsG0)(ln/1*)()()(nnzTsznTgsGzGTsez 令)()()()(*)(ln/1*sGZsGZsGzGzTs记为:例3 求以下差分方程所示系统的脉冲传递函数。)()(TknrnTckkzzGzRzzC)(,)()(由实数位移定理:例4 )()(assasGassassasG11)()()(1()1(111)(aTaTaTezzezezzzzassZzG开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数
18、采样L变换的两个重要性质:(1)采样函数的L变换具有周期性)()(*sjksGsGnsjnsGTtgLsG)(1)()(*ntjnTTtjnTnntjnntjnnTssssetgTtgTdtetTceTect)(1)(1)(11)(*2/2/其中)()(1)(1)(*sGjmsGTknjsGTjksGnsnss(2))()()()(*sEsGsEsG)()()(1)()()(1)()(1)()(*sEsGjnsGTsEsEjnsGTjnsEjnsGTsEsGnsnsnss具有串联环节的开环具有串联环节的开环脉冲传递函数脉冲传递函数串联形式(1)G2(s)(tc)(*tc)(zCG1(s)(tr
19、)(*tr)(zR)(zG)(td连续对象的输出:)()()()(*21sRsGsGsC)()()(2121zGGzGzG)()()()(21*21*21zGGsGGsGsG0*)()()(nnTsenTrtrLsR其中:对输出的离散化:)()()()()()()()()(*21*21*21*sRsGGsRsGsGsRsGsGsCnssjnsGjnsGTsGsGsGG)()(1)()()(21*21*21注意:一般)()(/)()(21zGGzRzCzGG2(s)(2zG)(tc)(*tc)(zC)(zDG1(s)(1zG)(tr)(td)(*tr)(*td)(zR)(zG串联形式(2))()
20、()(2zDzGzC)()()(1zRzGzD)()()()()()(212zRzGzGzDzGzC)()()(/)()(21zGzGzRzCzG串联环节之间有采样开关以上两种形式求出的脉冲传函,极点相同。零点不同。带有零阶保持器的开环脉冲传递函数带有零阶保持器的开环脉冲传递函数)()(1)(1)(*sRsGsesGssCpTsp)(trGp(s)(tc)(*tc)(*trsesGTsh1)(Gp(s)(tc)(*tc)(*tr1Tse)(tr)()(1)(1)(*sRsGsesGssCpTsp)(1)1()(/)()()()(1)(1)(1*1sGsZzzRzCzGsRsGsZzsGsZzC
21、ezpppTs离散化后:例1:设对象传递函数)()(assasGp求带零阶保持器后系统的脉冲传递函数:)(1)1()(/)()(1sGsZzzRzCzGp)()1()1()1(/1)/1(1)/1()1(/1/11)(1)(1222aTaTaTaTaTpezzeaTezaTeaezzazzazTzasasasZassasZsGsZ当 为 有理分式函数时,上式的Z变换 也必然是的有理分式函数。)(sGps)(1()1()(aTaTezzezzG不带零阶保持器时引入零阶保持器时,不影响系统的极点。改变零点,闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数)()()(*sEsGsC)()()()()()()
22、()()()()(*sEsHGsRsEsGsHsRsCsHsRsE连续输出信号的L变换)()(1)()()()(*sRsGHsGsEsGsC)()(11)(*sRsGHsEG(s)(tc)(*tcH(s)(tr)(*tr)(z)(tb)(*tb)(*te)(te采样位置不同,闭环采样系统无唯一结构图形式误差采样闭环离散系统为例。)(zGH0)(1)(zGHzD对应的Z变换为)()(11)(zRzGHzE)()(1)()(zRzGHzGzC)(1)()()()(zGHzGzRzCz闭环系统的输出对于输入的脉冲传递函数:)(11)()()(zGHzRzEze系统误差对于输入的脉冲传递函数:闭环系统
23、的特征方程:闭环系统的特征方程:开环脉冲传递函数:应当注意:离散系统的闭环脉冲传递函数不能从对应的连续系统传递函数的Z变换直接得到。)()()()(sZzsZzee采样开关位置不同闭环系统中,具有两个不同以上采样开关时的闭环脉冲传递函数:)()()(*1*2*sEsGsC)()()(*1*1sEsGsE)()()()()()()()()()()()()(*1*2*12*sEsGsHGsRsEsGsGsHsRsCsHsRsE)()()()(*1*2*sEsGsGsC)()()()()(*1*2*sEsGsHGsRsE)()(11)()()(*1*2*sGsHGsRsEseG2(s)(*sC)(z
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