2020年北京市高考数学模拟试卷（10）.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年北京市高考数学模拟试卷（年北京市高考数学模拟试卷（10） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 2 （4 分）若复数 z 满足（1+i）z|3 i|，则 z（ ） A2 B2 C1i D2 2 3 （4 分）已知函数 f（x）ax3+bx+2，a，bR，且 f（1）0，则 f（1）（ ） A2 B2 C4 D4 4 （4 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若

2、 a32，a1+a45，则 S6（ ） A10 B9 C8 D7 5 （4 分）设 A（2，1） ，B（4，1） ，则以线段 AB 为直径的圆的方程是（ ） A （x3）2+y22 B （x3）2+y28 C （x+3）2+y22 D （x+3）2+y28 6 （4 分）已知实数 a，b 满足 ab0 且 ab，则下列命题成立的是（ ） A|a|b| Ba2b2 Ca3b3 D 7 （4 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积是（ ） （单位： cm3） A2 B6 C10 D12 8 （4 分） “x23“是“log2x1”的（ ） A充分必要条件 B充分不必要条件

3、第 2 页（共 17 页） C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 9 （4 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 10 （4 分）设函数 f（x）= 2 + 10 + 1， 0 |，0 ，若关于 x 的方程 f（x）a（aR）有 四个实数解 xi（i1，2，3，4） ，其中 x1x2x3x4，则（x1+x2） （x3x4）的取值范围 是（ ） A （0，101 B （0，99 C （0，100 D （0，+） 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 25 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分）在( + 1 ) 6的展开式中，常数项

4、为 （用数字作答） 12 （5 分）等腰直角三角形 ABC 中，C90，CACB= 2，则有 = 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的离心率为5 4， 则该双曲线的渐近线方程为 14 （5 分）函数() = (2 + 4)的最小正周期为 ；若函数 f（x）在区间（0，a） 上单调递增，则 a 的最大值为 15 （5 分）如图，已知在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA15，点 E 为 CC1上的一个动点，平面 BED1与棱 AA1交于点 F，给出下列命题： 四棱锥 B1BED1F 的体积为 20； 存在唯一的点 E，

5、使截面四边形 BED1F 的周长取得最小值274； 当 E 点不与 C，C1重合时，在棱 AD 上均存在点 G，使得 CG平面 BED1； 存在唯一的点 E，使得 B1D平面 BED1，且 = 16 5 其中正确的命题是 （填写所有正确的序号） 第 3 页（共 17 页） 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 85 分）分） 16 （14 分）如图（1） ，在平面四边形 ABCD 中，AC 是 BD 的垂直平分线，垂足为 E，AB 中点为 F，AC3，BD2，BCD90，沿 BD 将BCD 折起，使 C 至 C位置，如 图（2） （1）求证：ACBD； （2）当平面 BCD平面

6、ABD 时，求直线 AC 与平面 CDF 所成角的正弦值 17 （14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 =（a，c2b） ， =（cosC，cosA） ，且 （1）求角 A 的大小； （2）若 b+c5，ABC 的面积为3，求ABC 的周长 18 （14 分）2019 年底，北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人 数便突破 60 万，其中青年学生约有 50 万人现从这 50 万青年学生志愿者中，按男女分 层抽样随机选取 20 人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录 如图： （）试估计在这 50 万青年学生志愿

7、者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数； （）从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人，记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望； （） 为便于联络， 现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组 （每组人数不少于 5000） ， 并在每组中随机选取 m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成 第 4 页（共 17 页） 绩在 70 分以上的概率大于 90% 根据图表中数据， 以频率作为概率， 给出 m 的最小值（结 论不要求证明） 19 （14 分）已知函数 f（x）4e3x3（xa）4+16，a1 （1）若函数 yf（x）的图象在 x1 处

8、的切线与 x 轴平行，求 a 的值； （2）当 x0 时，f（x）0 恒成立，求 a 的最小值 20 （15 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2=1（a1）的左顶点为 A，右焦点为 F，斜率为 1 的直 线与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 OBAB，其中 O 为坐标原点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 设过点F且与直线AB平行的直线与椭圆C交于M、 N两点， 若点P满足 = 3 ， 且 NP 与椭圆 C 的另一个交点为 Q，求| |的值 21 （14 分）若排列 a1，a2，an中存在 ai使得 ai1aiai+1（i2，n1） ，则称 ai为排列 a1，a2，an的一个“极小值”

9、，例如：排列 2，1，4，3，5 中有两个极小值 1 和 3记正整数 1，2，n 的所有排列中有且仅有一个“极小值”的排列的个数为 f （n） （n3，nN*） （1）求 f（3） ，f（4） ； （2）求 f（n） 第 5 页（共 17 页） 2020 年北京市高考数学模拟试卷（年北京市高考数学模拟试卷（10） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 【解答】解：Ax|

10、2x3，Bx|x2， AB（2，3） 故选：A 2 （4 分）若复数 z 满足（1+i）z|3 i|，则 z（ ） A2 B2 C1i D2 2 【解答】解：由（1+i）z|3 i|2， 得 z= 2 1+ = 2(1) (1+)(1) = 1 ， 故选：C 3 （4 分）已知函数 f（x）ax3+bx+2，a，bR，且 f（1）0，则 f（1）（ ） A2 B2 C4 D4 【解答】解：因为 f（x）+f（x）ax3bx+2+ax3+bx+24 所以 f（1）+f（1）0+f（1）4， 所以 f（1）4 故选：C 4 （4 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a32，a1+a45，

11、则 S6（ ） A10 B9 C8 D7 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a32，a1+a45， a32d+a3+d5， 4d5， 解得 d1， a12+24，a6a1+5d451， S6= 6(1+6) 2 = 6(41) 2 =9， 故选：B 5 （4 分）设 A（2，1） ，B（4，1） ，则以线段 AB 为直径的圆的方程是（ ） 第 6 页（共 17 页） A （x3）2+y22 B （x3）2+y28 C （x+3）2+y22 D （x+3）2+y28 【解答】解：弦长 AB= (4 2)2+ (1 + 1)2=22，所以半径为2，中点坐标（3，0） ， 所以圆的

12、方程（x3）2+y22， 故选：A 6 （4 分）已知实数 a，b 满足 ab0 且 ab，则下列命题成立的是（ ） A|a|b| Ba2b2 Ca3b3 D 【解答】解：对于 A 选项，取 a2，b1，则|a|b|，A 选项错误；对于 B 选项，取 a1，b2，则 a2b2，B 选项错误；对于 C 选项，由于函数 yx3在 R 上是增函数， 且 ab，则 a3b3，C 选项正确；对于 D 选项，取 a1，b2，则 ，D 选项错误 故选：C 7 （4 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积是（ ） （单位： cm3） A2 B6 C10 D12 【解答】解：根据几何体的

13、三视图转换为几何体为： 如图所示： 该几何体的底面为直角梯形，高为 2 四棱锥体 故 V= 1 3 1 2 (1 + 2) 2 2 = 2 故选：A 第 7 页（共 17 页） 8 （4 分） “x23“是“log2x1”的（ ） A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：由 x23 得 x3或 x 3， 由 log2x1 得 x2， 则“x23“是“log2x1”的必要不充分条件， 故选：C 9 （4 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：当 x时， 0:， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f

14、（x）0+，排除 C， D； 因为 x+时， +， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）+，因此排除 B， 故选：A 10 （4 分）设函数 f（x）= 2 + 10 + 1， 0 |，0 ，若关于 x 的方程 f（x）a（aR）有 四个实数解 xi（i1，2，3，4） ，其中 x1x2x3x4，则（x1+x2） （x3x4）的取值范围 是（ ） 第 8 页（共 17 页） A （0，101 B （0，99 C （0，100 D （0，+） 【解答】解：函数 f（x）= 2 + 10 + 1， 0 |，0 的图象如右： 关于 x 的方程 f（x）a（aR）有四个实数解， 可得 yf

15、（x）的图象与直线 ya 有四个交点， 可以判断 0a1，x1+x22（5）10， |lgx3|lgx4|1， 且 1 10 x31，1x410，可得lgx3lgx4， 即 lgx3+lgx40， 即有 x3x41， x4= 1 3， 故（x1+x2） （x3x4）10（x3 1 3） ， 又由函数 yx 1 在 1 10，1）上递增， 可得函数 yx 1 在 1 10，1）上的值域为9.9，0） ， 可知10（x3 1 3）的取值范围为（0，99 故选：B 第 9 页（共 17 页） 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 25 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分

16、）在( + 1 ) 6的展开式中，常数项为 20 （用数字作答） 【解答】解：:1= 6 6; = 6 6;2 令 62k0 得，k3 常数项为 T4= 6 3 = 20 故答案为：20 12 （5 分）等腰直角三角形 ABC 中，C90，CACB= 2，则有 = 2 【解答】解：如图， = 90， = = 2， = ( ) = 2 = 2 故答案为：2 第 10 页（共 17 页） 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的离心率为5 4， 则该双曲线的渐近线方程为 = 3 4 【解答】 解： 因为双曲线 2 2 2 2 = 1 （a0，

17、b0） 的离心率为5 4， 可得 = 5 4， 所以 = 3 4， 所以渐近线方程为 y3 4x 故答案为：y3 4x 14 （5 分）函数() = (2 + 4)的最小正周期为 ；若函数 f（x）在区间（0，a） 上单调递增，则 a 的最大值为 8 【解答】解：函数() = (2 + 4)的最小正周期为；若函数 f（x）在区间（0，a）上 单调递增， 当 x0 时，2x+ 4 = 4；当 xa 时，2x+ 4 =2a+ 4， 2a+ 4 2，0a 8， 故答案为：； 8 15 （5 分）如图，已知在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA15，点 E 为 CC1上的一个动点，

18、平面 BED1与棱 AA1交于点 F，给出下列命题： 四棱锥 B1BED1F 的体积为 20； 存在唯一的点 E，使截面四边形 BED1F 的周长取得最小值274； 当 E 点不与 C，C1重合时，在棱 AD 上均存在点 G，使得 CG平面 BED1； 存在唯一的点 E，使得 B1D平面 BED1，且 = 16 5 其中正确的命题是 （填写所有正确的序号） 第 11 页（共 17 页） 【解答】解：由题意可得D1FBE， V 1;1=V1;1+V1;1=V1;1+V1;1= 1 3 1 2 1 AB+ 1 2 1 11AB= 1 3 1 2(5 4 3 + 5 4 3) =20，所以正确； 将

19、长方体展开， 如图所示， 恰好过 B 点时， 截面的周长为 2BD1， 而在BDD1中， BD1= 52+ (3 + 4)2= 74，所以最小值为 274，由面面平行的性质可得四边形 BED1F 为平 行四边形，且 E 为展开图中唯一的点所以正确； E 嗲不与 C，C1重合，则 F 不会为 A，即 CG 不在面 EBD1内，可作出 CG 的平面与 EBD1平行，所以在棱 AD 上均有相应的 G，使得 CG面 EBD1，故正确； 因为 BB1BD，可得对角面 BB1D1D 为正方形，可得 B1DBD1，若 BEB1C 时，由 三垂线定理可得 B1DBE， 即有B1D面EBD1， 在矩形BB1C1

20、C中， BEB1C， 所以 = 1， 所以CE= 1 = 16 5 ， 故正确 综上可得：正确为 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 85 分）分） 16 （14 分）如图（1） ，在平面四边形 ABCD 中，AC 是 BD 的垂直平分线，垂足为 E，AB 中点为 F，AC3，BD2，BCD90，沿 BD 将BCD 折起，使 C 至 C位置，如 图（2） （1）求证：ACBD； （2）当平面 BCD平面 ABD 时，求直线 AC 与平面 CDF 所成角的正弦值 第 12 页（共 17 页） 【解答】解： （1）证明：在平面四边形 ABCD 中，AC 是 BD 的垂直

21、平分线，垂足为 E， 将BCD 沿 BD 折起，使 C 到 C，则 CEBD，AEBD， CEAEE，BD平面 ACE， AC平面 ACE，ACBD （2）解：由平面 BCD平面 ABD，CEBD，得 CE平面 ABD， AEBD，以 E 为原点，EA，EB，EC为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， BCD90，BCD90，BD2，E 是 BD 中点，CE1， AC3，CECE1，AE2， C（0，0，1） ，A（2，0，0） ，B（0，1，0） ，D（0，1，0） ，F（1，1 2，0） ， =（2，0，1） ， =（0，1，1） ， =（1，1 2 ， 1） ， 设平面 CDF 的一个

22、法向量 =（x，y，z） ， 则 = = 0 = + 1 2 = 0 ，取 z2，则 =（3，2，2） ， cos ， = | | | = 4 175 = 485 85 ， 直线 AC 与平面 CDF 所成角的正弦值为485 85 17 （14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 =（a，c2b） ， =（cosC，cosA） ，且 第 13 页（共 17 页） （1）求角 A 的大小； （2）若 b+c5，ABC 的面积为3，求ABC 的周长 【解答】解： （1）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 =（a， c2b） ， =（c

23、osC，cosA） ， 且 所以 acosC+（c2b）cosA0， 利用正弦定理整理得：sinAcosC+sinCcosA2sinBcosA0， 所以 sin（A+C）2sinBcosA0， 即 sinB2sinBcosA0，由于 sinB0， 故 cosA= 1 2， 由于 0A，所以 A= 3 （2）由于ABC 的面积为3， 所以1 2 =3，整理得 bc4 利用余弦定理 a2c2+b22bccosA，解得 a= 13， 所以周长 la+b+c5+13 18 （14 分）2019 年底，北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人 数便突破 60 万，其中青年学生约有

24、 50 万人现从这 50 万青年学生志愿者中，按男女分 层抽样随机选取 20 人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录 如图： （）试估计在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数； （）从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人，记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望； （） 为便于联络， 现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组 （每组人数不少于 5000） ， 并在每组中随机选取 m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成 绩在 70 分以上的概率大于 90% 根据图表中数据， 以频率作为概率

25、， 给出 m 的最小值（结 论不要求证明） 第 14 页（共 17 页） 【解答】解： （I）由图表可知，测试成绩在 80 分以上的女生有 2 人，占比为 2 20 = 0.1， 在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数约为 500.15 万 人； （II）由图表得，选取的 8 名男生中，成绩在 70 分以上的有 3 人，70 分及其以下的有 5 人， 记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X， 选出的 8 名男生中随机抽取 2 人， 则 X0， 1， 2， 则 P（X0）= 5 2 8 2 = 5 14， P（X1）= 5 1 3 1 8 2 = 15 28，

26、 P（X2）= 3 2 8 2 = 3 28， X 的分布列如下： x 0 1 2 p 5 14 15 28 3 28 故 E（X）0 5 14 + 1 15 28 + 2 3 28 = 3 4， （III）m 的最小值为 4 19 （14 分）已知函数 f（x）4e3x3（xa）4+16，a1 （1）若函数 yf（x）的图象在 x1 处的切线与 x 轴平行，求 a 的值； （2）当 x0 时，f（x）0 恒成立，求 a 的最小值 【解答】解： （1）由题可知 f（x）12e3x（xa）3，则 f（1）12e3（1a） 30，故 a1e； （2）f（x）12e3x（xa）312（exx+a）e

27、2x+ex（xa）+（xa）212（ex 第 15 页（共 17 页） x+a）（1 2 + ）2+ 3 4 2， 显然（1 2 + ）2+ 3 4 20， 令 g（x）exx+a，则 g（x）ex10，所以 g（x）exx+a 在0，+）上单调 递增，且 g（x）g（0）1+a， 当 1+a0，即1a1 时，f（x）0，f（x）在0，+）上单调递增，故 f（x） 0 等价于 f（0）203a40，此时式子成立，从而1a1； 当 1+a0，即 a1 时，由 g（x）exx+a 在0，+）单调递增，g（0）1+a 0，g（a）e a+2ae（a）+2aa（2e）0， 故x0（0，a）使得 g（x

28、0）= 0 0+ =0，即0=x0a， 令 f（x）0，即 g（x）0，得 xx0， 又令 f（x）0，即 g（x）0，得 0xx0， 因此 f（x）在 xx0处取得最小值，f（x0）= 430 3(0 )4+ 16， 设 t= 0（t1） ，且 h（t）4t33t4+16， 则 h（x）12x212t30，故 h（t）在（1，+）上单调递减， 由 h（t）0h（2）可知 t2，即 0x0ln2，ax00， 有因为函数 yxex在（0，ln2上单调递减，所以 ln22x001，即 ln22a 1； 综上 a 的最小值为 ln22 20 （15 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2=1（a1）的左

29、顶点为 A，右焦点为 F，斜率为 1 的直 线与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 OBAB，其中 O 为坐标原点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 设过点F且与直线AB平行的直线与椭圆C交于M、 N两点， 若点P满足 = 3 ， 且 NP 与椭圆 C 的另一个交点为 Q，求| |的值 【解答】解： （1）由题意得，设直线 AB 的方程：xya，与椭圆联立整理得： （1+a2） y22ay0， yB= 2 1+2， xB= 2 1+2 = 3 1+2， 第 16 页（共 17 页） 因为 OBAB， = 2 ;3 = 1，a1，解得：a23， 所以椭圆 C 的标准方程： 2 3 + 2=1

30、； （2）由（1）得，F（2，0）所以由题意得直线 MN 的方程为： = 2， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，Q（x3，y3） ， 将 = 2代入 2 3 + 2=1，得42 62 + 3 = 0， 1+ 2= 32 2 ，12= 3 4， 12= (1 2)(2 2) = 1 4， = 3 ， = 3 4 ，则(3 41， 3 4 1)， 设| | = ，则 = ，即(3 41 2， 3 4 1 2) = (3 3 41，3 3 41)， 3= 3(+1) 4 1 1 2 3= 3(+1) 4 1 1 2 ， 点 Q（x3，y3）在椭圆 C 上， 1 3 3(:1) 4 1 1

31、 22+ 3(:1) 4 1 1 22= 1， 整理得9(:1) 2 162 (1 3 12+ 12) + 1 2 (1 3 22+ 22) 3(:1) 22 (1 3 12+ 12) = 1， 由上知，1 3 12+ 12= 0，且1 2 3 + 1= 1， 22 3 + 2= 1， 9(:1) 2 16 + 1 2 = 1，即 7m218m250，解得 = 25 7 或 m1（舍） ， 故| | = 25 7 21 （14 分）若排列 a1，a2，an中存在 ai使得 ai1aiai+1（i2，n1） ，则称 ai为排列 a1，a2，an的一个“极小值” ，例如：排列 2，1，4，3，5

32、中有两个极小值 1 和 3记正整数 1，2，n 的所有排列中有且仅有一个“极小值”的排列的个数为 f （n） （n3，nN*） （1）求 f（3） ，f（4） ； （2）求 f（n） 第 17 页（共 17 页） 【解答】解： （1）若将 1，2，3 排成满足题意的排列，只需将 1 排中间即可，所以 f（3） 2 若将 1，2，3，4 排成满足题意的排列，可分成两类： 1 排在首位或末位，此时 2 必须排在 3、4 之间，共有2 122 =4 个； 1 不排在首位也不在末端，共有2 133 =12 个 所以 f（4）16 （2）一般地， 若 1 排在两端， 1 必不为 “极小值” ， 则余下

33、n1 个数中必须有且只有一个 “极小值” ， 此时满足题意的排列共有2 1( 1)个 若 1 排在第 i（i2，3，n1）号位，1 必为极小值，则余下 n1 个数中不得再 有“极小值”出现， 从余下 n1 个数中抽取 i1 个数排在 1 的左侧， 这 i1 个数中的最小数必须排在首位或紧靠 1 的左侧，否则它即为极小值，矛盾 依此类推，这 i1 个数共有;1 ;1 2;2种排法 故此时满足题意的排列共有;1 ;1 2;2 2;1= ;1 ;1 2;3个， 所以 1 不排在两端的排列个数为 ;1 2 ;1 ;1 2;3=2n 3（2n12） 所以 f（n）2f（n1）+22n 42n222f（n2）+22n4+22n52n22n2 2n 3f（3）+（22n4+2n）2n2（n3） 2n 2（2n1n） （n4） ，特别地，当 n3 时，也适合 所以 f（n）2n 2（2n1n）