2020年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（4）.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 UR，Ax|x40，Bx|x2，则 A（UB）（ ） A2，+） B （2，+） C4，+） D （4，+） 2 （5 分）已知复数 = 5 2 + 5，则|z|（ ） A5 B52 C32 D25 3 （5 分）已知集合 Ax|2x2，集合 B 为函数 f（x）lg（mx）的定义域，且 AB R，那么 m 的值可以是（ ） A1 B0 C1 D2 4 （5 分）

2、 “m1，2“是“lnm1”成立的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 5 （5 分）古代数字著作九章算术有如下问题： “今有女子善织，日自倍，五日五尺， 问日织几何？”意思是： “一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天 共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺 数不少于 50 尺，该女子所需的天数至少为（ ） A7 B8 C9 D10 6 （5 分）设长方体的长、宽、高分别为3、2、a，其顶点都在一个球面上，则该球的 表面积为（ ） A3a2 B6a2 C12a2 D24a2 7 （5

3、分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中 小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 4%的学生进行调查，则样本容量和抽取 的初中生近视人数分别为（ ） 第 2 页（共 17 页） A600，72 B1200，90 C1200，300 D600，80 8 （5 分）若(5 8 ) = 1 6 ，则(2 + 3 4 )的值为（ ） A17 18 B 17 18 C18 19 D 18 19 9 （5 分）若 a= 0 ，则二项式（a 1 ） 6 的展开式中含 x 项的系数是（ ） A210 B210 C240 D240 10 （5 分）设 l 是直线， 是两个不

4、同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A若 l，l，则 B若 l，l，则 C若 ，l，则 l D若 ，l，则 l 11 （5 分）函数() = 2| 21的图象大致为（ ） A B C D 12 （5 分）斜率为 2 的直线 l 过双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右焦点，且与双 第 3 页（共 17 页） 曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ） A2，+） B （1，3） C(1，5) D （5，+） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 若函数() = ，0 + ， 0且 f

5、（0） 3， f （1） 4， 则 f （f （3） ） 14 （5 分）记等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2+a86，则 S9 15 （5 分）计算 lg 1 100 ln +2 1:23的结果是 16（5 分） 已知函数 f （x） 的导函数为 f （x） ， 且满足 f （x） 2xf （1） +lnx， 则 f （1） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知函数() = 4( 2) ( 3) 1 （1）求函数 yf（x）的最小正周期； （2）已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c

6、，且 a，b，c 成等比数列，求 f （B）的范围 18 （12 分）高二某班选出甲乙两位学生参加数学素养知识竞赛，在决赛前举行了预赛： （1）若预赛共进行了 12 次测试，甲乙两人成绩分别如表： 甲 58 76 92 67 89 56 85 75 68 75 84 75 乙 85 70 92 81 92 68 73 75 56 65 51 92 完成答题卡中的茎叶图，分别答出甲乙两人成绩的众数，中位数，平均数； 比较两人的方差，S甲 2 与 S乙 2 哪个较大？（只答出结论） 若已经知道决赛成绩至少 92 分才能获奖，你判断选谁参加决赛更合适？请说明理由 （2）若预赛命题组只准备八道题目，每

7、人随机抽出四道题目回答，若至少答对三道题目 者方可参加决赛，已知甲只能答对其中六道题，乙答对每题的概率都为3 4，试求出甲，乙 答对题目数的期望，方差及答对至少三道题目的概率 （结果保留最简分数） 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，AD平面 ABP，BCAD，PAB90PA AB2，AD3，BCm，E 是 PB 的中点 （）证明：AE平面 PBC； （）若二面角 CAED 的余弦值是 3 3 ，求 m 的值； （）若 m2，在线段 AD 上是否存在一点 F，使得 PFCE若存在，确定 F 点的位 第 4 页（共 17 页） 置；若不存在，说明理由 20 （12 分）椭圆 C： 2

8、 2 + 2 2 = 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 3 2 ， 过焦点 F2且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 （）求椭圆 C 的方程； （）已知点 M（0，1） ，直线 l 经过点 N（2，1）且与椭圆 C 相交于 A，B 两点（异 于点 M） ，记直线 MA 的斜率为 k1，直线 MB 的斜率为 k2，证明：k1+k2为定值，并求出 该定值 21 （12 分）设函数 f（x）（mx）ex（mZ） （1）当 m0 时，求函数 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）当 x0 时，f（x）x+3 恒成立，求整数 m 的最大值 四解答题（共四

9、解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在极坐标系中，过曲线 L：sin22acos（a0）外的一点(25， + )（其 中 tan2， 为锐角）作平行于 = 4 ( )的直线 l 与曲线分别交于 B，C （） 写出曲线 L 和直线 l 的普通方程（以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建系） ； （）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求 a 的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23 （1）解关于 x 不等式2;1 1; 1 （2）若函数() = 2 6 + ( + 8)的定义域为 R，求实数 k 的取值范围 第

10、5 页（共 17 页） 2020 年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 UR，Ax|x40，Bx|x2，则 A（UB）（ ） A2，+） B （2，+） C4，+） D （4，+） 【解答】解：因为 UR，Bx|x2，所以UBx|x2， 又 Ax|x4， 所以：A（UB）x|x2， 故选：A 2 （5 分）已知复数 = 5 2 + 5，则|z|（ ） A5 B52 C32 D25 【解答】解： = 5

11、2 + 5 = 5(2+) 5 + 5 = 1 + 7， | = (1)2+ 72= 52 故选：B 3 （5 分）已知集合 Ax|2x2，集合 B 为函数 f（x）lg（mx）的定义域，且 AB R，那么 m 的值可以是（ ） A1 B0 C1 D2 【解答】解：Ax|2x2x|x1， 由 mx0，得 xm， Bx|xm， ABR，m1， 则 m 的值可以是 2 故选：D 4 （5 分） “m1，2“是“lnm1”成立的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【解答】解：lnm10me， 1，2（0，e） ， m1，2“是“lnm1”成立的充分非必要条

12、件， 第 6 页（共 17 页） 故选：A 5 （5 分）古代数字著作九章算术有如下问题： “今有女子善织，日自倍，五日五尺， 问日织几何？”意思是： “一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天 共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺 数不少于 50 尺，该女子所需的天数至少为（ ） A7 B8 C9 D10 【解答】解：设该女子所需的天数至少为 n 天，第一天织布 a1尺， 则由题意知：5= 1(125) 12 =5，解得 a1= 5 31， = 5 31(12 ) 12 50， 解得 2n311，由 29512，28256，

13、要使织布的总尺数不少于 50 尺，该女子所需的天数至少为 9 天 故选：C 6 （5 分）设长方体的长、宽、高分别为3、2、a，其顶点都在一个球面上，则该球的 表面积为（ ） A3a2 B6a2 C12a2 D24a2 【解答】解：设长方体的外接球的半径为 R，则 R= 1 2 (3)2+ (2)2+ 2= 6 2 ， 外接球的表面积为：4R2= 4 6 4 2=6a2 故选：B 7 （5 分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中 小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 4%的学生进行调查，则样本容量和抽取 的初中生近视人数分别为（ ） A600，72 B

14、1200，90 C1200，300 D600，80 第 7 页（共 17 页） 【解答】解：由扇形图得样本容量为： n（18500+7500+4000）4%1200， 由扇形图和频率分布直方图得样本容量和抽取的初中生近视人数为： 75004%30%90 故选：B 8 （5 分）若(5 8 ) = 1 6 ，则(2 + 3 4 )的值为（ ） A17 18 B 17 18 C18 19 D 18 19 【解答】解：sin（5 8 ）sin（3 8 +）= 1 6， cos（2+ 3 4 ）122( + 3 8 ) =12 1 36 = 34 36 = 17 18， 故选：A 9 （5 分）若 a

15、= 0 ，则二项式（a 1 ） 6 的展开式中含 x 项的系数是（ ） A210 B210 C240 D240 【解答】解：a= 0 = cosx|0 =2 （a 1 ） 6（2 1 ） 6 展开式的通项为 Tr+1（1）r26 rC 6rx3 r 令 3r1 得 r2， 故展开式中含 x 项的系数是 16C62240 故选：C 10 （5 分）设 l 是直线， 是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A若 l，l，则 B若 l，l，则 C若 ，l，则 l D若 ，l，则 l 【解答】解：由 l 是直线， 是两个不同的平面，知： 在 A 中，若 l，l，则 与 相交或平行，故 A 错误

16、； 在 B 中，若 l，l，则由面面垂直的判定定理得 ，故 B 正确； 在 C 中，若 ，l，则 l 与 相交、平行或 l，故 C 错误； 在 D 中，若 ，l，则 l 与 相交、平行或 l，故 D 错误 故选：B 11 （5 分）函数() = 2| 21的图象大致为（ ） 第 8 页（共 17 页） A B C D 【解答】解：函数的定义域为x|x1，易知函数 f（x）为偶函数，其图象关于 y 轴对 称，故排除 CD； 又(1 2) = 2 3 4 0，故排除 A 故选：B 12 （5 分）斜率为 2 的直线 l 过双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右焦点，且与双 曲线的左右

17、两支都相交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ） A2，+） B （1，3） C(1，5) D （5，+） 【解答】解：依题意，斜率为 2 的直线 l 过双曲线 C： 2 2 2 2 =1 的右焦点 且与双曲线的左右两支分别相交， 结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率 必大于 2，即 b2a， 第 9 页（共 17 页） 因此该双曲线的离心率 e= = 2+2 2 =1 + 2 2 1 + 4 = 5 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 若函数() = ，0 + ， 0且 f （0） 3， f （1

18、） 4， 则 f （f （3） ） 1 【解答】解：函数() = ，0 + ， 0且 f（0）3，f（1）4， f（0）a0+b3，解得 b2， f（1）a 1+b4，解得 a=1 2， f（3）a 3+b23+210 f（f（3） ）f（10）lg101 故答案为：1 14 （5 分）记等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2+a86，则 S9 27 【解答】解：由等差数列的性质可得，a2+a8a1+a96， 则 S9= 9(1+9) 2 =27 故答案为：27 15 （5 分）计算 lg 1 100 ln +2 1:23的结果是 7 2 【解答】解：原式（2） 1 2 + 226= 5

19、 2 +6= 7 2， 故答案为：7 2 16 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且满足 f（x）2xf（1）+lnx，则 f（1） 第 10 页（共 17 页） 1 【解答】解：f（x）2xf（1）+lnx， f（x）2f（1）+ 1 ， f（1）2f（1）+1， f（1）1 故答案为：1 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知函数() = 4( 2) ( 3) 1 （1）求函数 yf（x）的最小正周期； （2）已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 a，b，c 成等比数列

20、，求 f （B）的范围 【解答】解： （1）() = 4(1 2 3 2 ) 1 = (1 22) 23 = 2 32 = 2(2 + 6) 可得：函数 yf（x）的最小正周期 = 2 2 （2）因为 a，b，c 成等比数列，可得：b2ac， 在ABC 中，由余弦定理有： = 2+22 2 = 2+2 2 2 2 = 1 2， 又由 0B，得0 3 又() = 2(2 + 6)， 由0 3，得2 + 6 ( 6 ， 5 6 )， 则(2 + 6) 1 2，1， 故() = 2(2 + 6) 2， 1， 故 f（B）的取值范围是2，1 18 （12 分）高二某班选出甲乙两位学生参加数学素养知识竞

21、赛，在决赛前举行了预赛： （1）若预赛共进行了 12 次测试，甲乙两人成绩分别如表： 甲 58 76 92 67 89 56 85 75 68 75 84 75 第 11 页（共 17 页） 乙 85 70 92 81 92 68 73 75 56 65 51 92 完成答题卡中的茎叶图，分别答出甲乙两人成绩的众数，中位数，平均数； 比较两人的方差，S甲 2 与 S乙 2 哪个较大？（只答出结论） 若已经知道决赛成绩至少 92 分才能获奖，你判断选谁参加决赛更合适？请说明理由 （2）若预赛命题组只准备八道题目，每人随机抽出四道题目回答，若至少答对三道题目 者方可参加决赛，已知甲只能答对其中六道

22、题，乙答对每题的概率都为3 4，试求出甲，乙 答对题目数的期望，方差及答对至少三道题目的概率 （结果保留最简分数） 【解答】解： （1）预赛共进行了 12 次测试，由甲乙两人成绩表做出茎叶图如下： 甲的众数为 75，中位数为 75， 平均数为甲= 1 12（56+58+67+68+75+75+75+76+84+85+89+92）75 乙的众数为 92，中位数 74， 平均数为乙= 1 12（51+56+65+68+70+73+75+81+85+92+92+92）75 S甲 2S 乙 2 若已经知道决赛成绩 92 分以上才能获奖，选乙参加决赛更适合 理由如下： 乙 92 分以上的概率为 P乙=

23、3 12 = 1 4， 甲 92 分以上的概率为 P甲= 1 12， P乙P甲， 派乙参加决赛获奖概率大，故派乙较合适 （2）设甲答对题目数为 X，乙答对题目数为 Y， 由 X 的可能取值为 2，3，4， P（X2）= 6 2 2 2 8 4 = 3 14， P（X3）= 6 3 2 1 8 4 = 4 7， P（X4）= 6 4 2 0 8 4 = 3 14， X 的分布列为： X 2 3 3 第 12 页（共 17 页） P 3 14 4 7 3 14 EX= 2 3 14 + 3 4 7 + 4 3 14 =3， DX（23）2 3 14 + (3 3)2 4 7 + (4 3)2 3

24、14 = 3 7， P（X3）= 4 7 + 3 14 = 11 14 Y 的可能取值为 0，1，2，3，4，且 YB（4，3 4） ， EY4 3 4 = 3，DY= 4 3 4 1 4 = 3 4， P（Y3）= 4 3(3 4) 3(1 4) + 4 4(3 4) 4 = 189 256 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，AD平面 ABP，BCAD，PAB90PA AB2，AD3，BCm，E 是 PB 的中点 （）证明：AE平面 PBC； （）若二面角 CAED 的余弦值是 3 3 ，求 m 的值； （）若 m2，在线段 AD 上是否存在一点 F，使得 PFCE若存在，确定

25、 F 点的位 置；若不存在，说明理由 【解答】解： （）证明：因为 AD平面 PAB，BCAD， 所以 BC平面 PAB 第 13 页（共 17 页） 又因为 AE平面 PAB，所以 AEBC 在PAB 中，PAAB，E 是 PB 的中点，所以 AEPB 又因为 BCPBB，所以 AE平面 PBC （）解：因为 AD平面 PAB，所以 ADAB，ADPA 又因为 PAAB，所以，如图建立空间直角坐标系 Axyz 则 A（0，0，0） ，B（0，2，0） ，C（0，2，m） ，E（1，1，0） ，P（2，0，0） ，D（0，0， 3） ， = (0，2，)， = (1，1，0) 设平面 AEC

26、的法向量为 =（x，y，z） 则 = 0 = 0 即 2 + = 0， + = 0. 令 x1，则 y1， = 2 ，于是 =（1，1， 2 ） 因为 AD平面 PAB，所以 ADPB又 PBAE，所以 PB平面 AED 又因为 = (2，2，0)，所以 取平面 AED 的法向量为 =（1，1，0） 所以|cos ，|=| | | |= 3 3 ，即 |;1;1| 22: 4 2 = 3 3 ，解得 m21 又因为 m0，所以 m1 （）解：结论：不存在理由如下： 证明：设 F（0，0，t） （0t3） 当 m2 时，C（0，2，2）. = (2，0，)， = (1， 1， 2) 由 PFCE

27、 知， = 0，22t0，t1这与 0t3 矛盾 所以，在线段 AD 上不存在点 F，使得 PFCE 第 14 页（共 17 页） 20 （12 分）椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 3 2 ， 过焦点 F2且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 （）求椭圆 C 的方程； （）已知点 M（0，1） ，直线 l 经过点 N（2，1）且与椭圆 C 相交于 A，B 两点（异 于点 M） ，记直线 MA 的斜率为 k1，直线 MB 的斜率为 k2，证明：k1+k2为定值，并求出 该定值 【解答】解： （）将 xc 代入方程 2 2

28、+ 2 2 = 1中， 由 a2c2b2可得2= 4 2， 所以弦长为2 2 ， 所以 2 2 = 1 = 3 2 2= 2+ 2 ， 解得 = 2 = 1， 所以椭圆 C 的方程为： 2 4 + 2= 1； （）若直线 l 的斜率不存在，则直线的方程为 x2， 且直线与椭圆只有一个交点，不符合题意； 设直线 l 的斜率为 k，若 k0，则直线 l 与椭圆只有一个交点，不符合题意，故 k0； 所以直线 l 的方程为 y1k（x2） ，即 ykx2k+1， 直线 l 的方程与椭圆的标准方程联立得： 2 4 + 2= 1， = 2 + 1 ， 第 15 页（共 17 页） 消去 y 得： （1+4

29、k2）x28k（2k1）x+16k216k0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则1+ 2= 8(21) 1+42 ，12= 16216 1+42 ， 1= 1+1 1 ，2= 2+1 2 ， k1+k2= 1+1 1 + 2+1 2 = (1+1)2+(2+1)1 12 = (12+1)2+(22+1)1 12 = 212+(22)2+(22)1 12 2k (22)(1+2) 12 ， 把1+ 2= 8(21) 1+42 ，12= 16216 1+42 代入上式， 得1+ 2= 2 (22)8(21) 16216 = 1； 命题得证 21 （12 分）设函数 f（x）（mx）

30、ex（mZ） （1）当 m0 时，求函数 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）当 x0 时，f（x）x+3 恒成立，求整数 m 的最大值 【解答】解： （1）当 m0 时，f（x）xex，f（x）exxex（x+1）ex， 所以 kf（1）2e，因为 f（1）e， 所以切线方程为 y+e2e（x1） ，整理得：2ex+ye0 （2） （mx）exx+3，因为 ex0，所以 +3 + （x0）恒成立， 设() = + +3 ，则() = 1 + (+3) 2 = 1 + 2 = (+2) ， 设 s（x）ex（x+2） ，则 s（x）ex10， 所以 s （x） 在 （0， +）

31、 上单调递增， 又(1) = 30，(3 2) = 3 2 7 2 = 3 3.520， 所以存在0 (1， 3 2)使得 s（x0）0，x（1，x0）时，s（x）0；x（x0，+）时， s（x）0， 所以 h（x）在（1，x0）上单调递减， （x0，+）上单调递增， 第 16 页（共 17 页） 所以()= (0) = 0+ 0+3 0 ， 又(0) = 0，0 0 2 = 0，0= 0+ 2， 所以()= (0) = 0+ 0+3 0 = 0+ 0+3 0+2 = 0+ 1 + 1 0+2， 当0 (1， 3 2)时，h（x0）= 1 1 (0+2)2 0，所以 h（x0）在(1， 3 2

32、)上单调递增， 所以(1)(0)(3 2)，即 7 3 (0) 39 14， 因为 mZ，所以 m2，所以 m 的最大值为 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在极坐标系中，过曲线 L：sin22acos（a0）外的一点(25， + )（其 中 tan2， 为锐角）作平行于 = 4 ( )的直线 l 与曲线分别交于 B，C （） 写出曲线 L 和直线 l 的普通方程（以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建系） ； （）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求 a 的值 【解答】解： （）根据极坐标的转化可得，

33、曲线的方程为： 2 2 = 2 即 y 22ax，A （2，4） 直线 L 的方程为 y+4x+2 即 yx2（3 分） （）直线 l 的参数方程为 = 2 + 2 2 = 4 + 2 2 （t 为参数） ， 代入 y22ax 得到2 22(4 + ) + 8(4 + ) = 0，则有1+ 2= 22(4 + )，1 2= 8(4+ ) 因为|BC|2|AB|AC|，所以（t1t2）2（t1+t2）24t1t2t1t2 解得 a1（7 分） 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23 （1）解关于 x 不等式2;1 1; 1 （2）若函数() = 2 6 + ( + 8)的定义域为 R，求实数 k 的取值范围 【解答】解： （1）不等式2;1 1; 1化为2;1 1; 10， 即3;2 ;1 0， 解得 x 2 3，或 x1， 第 17 页（共 17 页） 不等式的解集为x|x 2 3，或 x1； （2）若函数() = 2 6 + ( + 8)的定义域为 R， 则 kx26kx+（k+8）0 恒成立， 当 k0 时，不等式化为 80，显然成立； 当 k0 时，应满足0 0， 即0 362 4( + 8) 0，解得 0k1； 综上知，实数 k 的取值范围是 0k1