2020年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（3）.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设全集 U1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A2，3，4，6，B1，4，7， 8，则 A（UB）（ ） A4 B2，3，6 C2，3，7 D2，3，4，7 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足12 = 1 + ，则|z|（ ） A 5 2 B32 2 C 10 2 D3 3 （5 分）函数 f（x）ln（1x）的定义域是（ ） A （0，1） B0，1）

2、C （1，+） D （，1） 4 （5 分）设 xR，则“|x1|1”是“x24”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）在我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一道数学名题叫“宝 塔装灯” ，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏 灯？”（ “倍加增” 指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为 2 的等比数列递增） 根据此诗， 可以得出塔的顶层和底层共有（ ） A3 盏灯 B192 盏灯 C195 盏灯 D200 盏灯 6 （5 分）如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较

3、大底面圆重合已知圆台的较小底面圆的半径为 1，圆锥与圆台的高分别为5 1 和 3， 则此组合体的外接球的表面积是（ ） A16 B20 C24 D28 7 （5 分）某市举行“中学生诗词大赛” ，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大 于 90 分的具有复赛资格， 某校有 800 名学生参加了初赛， 所有学生的成绩均在区间 （30， 150内，其频率分布直方图如图则获得复赛资格的人数为（ ） 第 2 页（共 17 页） A640 B520 C280 D240 8 （5 分）已知 sin（+）= 1 3，则 2 =（ ） A 3 7 B 7 3 C3 7 D7 3 9 （5 分）在二项式(

4、+ 3 ) 的展开式中，各项系数之和为 A，各项二项式系数之和为 B， 且 A+B72，则展开式中常数项的值为（ ） A6 B9 C12 D18 10 （5 分）下列命题中，假命题的个数是（ ） （1）若直线 a 在平面 上，直线 b 不在平面 上，则 a、b 是异面直线 （2）若 a、b 是异面直线，则与 a、b 都垂直的直线有且只有一条 （3）若 a、b 是异面直线，则与 c、d 与直线 a、b 都相交，则 c、d 也是异面直线 （4）设 a、b 是两条直线，若 a平面 ，ab，则 b平面 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 11 （5 分）函数() = () 的部分图象大致是（ ）

5、A B 第 3 页（共 17 页） C D 12 （5 分）设双曲线 C： 2 9 2 16 =1 的右顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 作平行 C 的一条 渐近线的直线与 C 交于点 B，则AFB 的面积为（ ） A15 B32 15 C15 32 D64 15 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 已知函 f （x） = ，01 2( 1)， 1， 若 f （a） f （a+1） ， 则 f （ 1 ） 的值为 14 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S918，则 a3+a5+a7的值为 15 （

6、5 分）lg0.25+2lg2 16 （5 分）函数 f（x）ax3+3x2+2，若 f（1）4，则 a 的值等于 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知函数 f（x）= 3 2 sin2xcos2x 1 2 （1）求 f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量 x 的集合 （2）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c= 3，f（C）0，若 sinB 2sinA，求 a，b 的值 18 （12 分）某次数学知识比赛中共有 6 个不同的题目，每位同学从中随机抽取 3 个题目进 行作答，已知

7、这 6 个题目中，甲只能正确作答其中的 4 个，而乙正确作答每个题目的概 率均为2 3，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的 （1）求甲、乙两位同学总共正确作答 3 个题目的概率； （2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是 m，n，由于甲所在班级少一名学生参赛， 故甲答对一题得 15 分，乙答对一题得 10 分，求甲乙两人得分之和 X 的期望 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，BCD135，PA 平面 ABCD，ABACPA2，E，F，M 分别为线段 BC，AD，PD 的中点 （1）求证：直线 EF平面 PAC； 第 4 页（共 1

8、7 页） （2）求平面 MEF 与平面 PBC 所成二面角的正弦值 20 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的右 焦点为 F（c，0） ，下顶点为 P，过点 M（0， 2）的动直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点 （1）当直线 l 平行于 x 轴时，P，F，A 三点共线，且 PA= 33 2 ，求椭圆 C 的方程； （2）当椭圆 C 的离心率为何值时，对任意的动直线 l，总有 PAPB？ 21 （12 分）已知函数() = + + （1）若 a1，求曲线 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）对任意的 (1 2，

9、+ )，xf（x）ex+x2恒成立，请求出 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C1的极坐标方程是 cos（+ 4）22以极点为平面直角坐标系 的原点， 极轴为 x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系， 曲线 C2的参数方程是： = 4 2 = 4 (是 参数） （1）将曲线 C1和曲线 C2的方程转化为普通方程； （2）若曲线 C1与曲线 C2相交于 A、B 两点，求证 OAOB； （3）设直线 ykx+b 与曲线 C2交于两点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，且|y1y2|a（a0

10、 且 a 为常数） ，过弦 PQ 的中点 M 作平行于 x 轴的直线交曲线 C2于点 D，求证：PQD 的面积是定值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 第 5 页（共 17 页） 23求下列函数的定义域： （1）y= +1 +2 ； （2）y= 21 1 +（5x4）0 第 6 页（共 17 页） 2020 年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设全集 U1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A2，3，

11、4，6，B1，4，7， 8，则 A（UB）（ ） A4 B2，3，6 C2，3，7 D2，3，4，7 【解答】解：U1，2，3，4，5，6，7，8，A2，3，4，6，B1，4，7，8， UB2，3，5，6，A（UB）2，3，6 故选：B 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足12 = 1 + ，则|z|（ ） A 5 2 B32 2 C 10 2 D3 【解答】解：由12 =1+i，得 z= 12 1+ = (12)(1) (1+)(1) = 1 2 3 2， |z|=( 1 2) 2+ (3 2) 2 = 10 2 故选：C 3 （5 分）函数 f（x）ln（1x）的定义域是（

12、） A （0，1） B0，1） C （1，+） D （，1） 【解答】解：要使 f（x）有意义，则 1x0； x1； f（x）的定义域为（，1） 故选：D 4 （5 分）设 xR，则“|x1|1”是“x24”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：|x1|10x2， x242x2， （0，2）（2，2） ， “|x1|1”是“x24”的充分不必要条件， 故选：A 第 7 页（共 17 页） 5 （5 分）在我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一道数学名题叫“宝 塔装灯” ，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请

13、问顶层几盏 灯？”（ “倍加增” 指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为 2 的等比数列递增） 根据此诗， 可以得出塔的顶层和底层共有（ ） A3 盏灯 B192 盏灯 C195 盏灯 D200 盏灯 【解答】解：由题意设顶层的灯数为 a1， 则有7= 1(127) 12 =381， 解得 a13， 7= 1 26=326192， a1+a7195 故选：C 6 （5 分）如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较 大底面圆重合已知圆台的较小底面圆的半径为 1，圆锥与圆台的高分别为5 1 和 3， 则此组合体的外接球的表面积是（ ） A16 B20 C24 D28 【解

14、答】解：设外接球半径为 R，球心为 O，圆台较小底面圆的圆心为 O1， 则：12+ 12= 2， 而1= 5 + 2 ， 故2= 1 + (5 + 2 )2， = 5， S4R220， 故选：B 7 （5 分）某市举行“中学生诗词大赛” ，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大 于 90 分的具有复赛资格， 某校有 800 名学生参加了初赛， 所有学生的成绩均在区间 （30， 150内，其频率分布直方图如图则获得复赛资格的人数为（ ） 第 8 页（共 17 页） A640 B520 C280 D240 【解答】解：初赛成绩大于 90 分的具有复赛资格，某校有 800 名学生参加了初赛， 所

15、有学生的成绩均在区间（30，150内， 由频率分布直方图得到初赛成绩大于 90 分的频率为：1（0.0025+0.0075+0.0075）20 0.65 获得复赛资格的人数为：0.65800520 故选：B 8 （5 分）已知 sin（+）= 1 3，则 2 =（ ） A 3 7 B 7 3 C3 7 D7 3 【解答】解：sin（+）= 1 3， sin= 1 3，cos212sin 212 9 = 7 9， 2 = 7 9 1 3 = 7 3 故选：B 9 （5 分）在二项式( + 3 ) 的展开式中，各项系数之和为 A，各项二项式系数之和为 B， 且 A+B72，则展开式中常数项的值为（

16、 ） A6 B9 C12 D18 【解答】解：在二项式( + 3 ) 的展开式中， 令 x1 得各项系数之和为 4n A4n 据二项展开式的二项式系数和为 2n 第 9 页（共 17 页） B2n 4n+2n72 解得 n3 ( + 3 ) = ( + 3 ) 3的展开式的通项为+! = 3 ()3(3 ) = 33 33 2 令33 2 = 0得 r1 故展开式的常数项为 T23C319 故选：B 10 （5 分）下列命题中，假命题的个数是（ ） （1）若直线 a 在平面 上，直线 b 不在平面 上，则 a、b 是异面直线 （2）若 a、b 是异面直线，则与 a、b 都垂直的直线有且只有一条

17、 （3）若 a、b 是异面直线，则与 c、d 与直线 a、b 都相交，则 c、d 也是异面直线 （4）设 a、b 是两条直线，若 a平面 ，ab，则 b平面 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：在（1）中，若直线 a 在平面 上，直线 b 不在平面 上，则 a、b 相交、 平行或异面，故（1）是假命题； 在（2）中，若 a、b 是异面直线，则与 a、b 都垂直的直线有有无数条，故（2）是假命 题； 在（3）中，若 a、b 是异面直线，c、d 与直线 a、b 都相交，则 c、d 相交、平行或异面， 故（3）是假命题； 在（4）中，设 a、b 是两条直线，若 a平面 ，ab，则 b

18、平面 或 b，故（4） 是假命题 故选：D 11 （5 分）函数() = () 的部分图象大致是（ ） A B 第 10 页（共 17 页） C D 【解答】解：函数的定义域为（，0）（0，+） ， () = ()() = () = ()， 故函数 f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除 CD； 又 f（）0，故排除 B 故选：A 12 （5 分）设双曲线 C： 2 9 2 16 =1 的右顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 作平行 C 的一条 渐近线的直线与 C 交于点 B，则AFB 的面积为（ ） A15 B32 15 C15 32 D64 15 【解答】解：a29，b216，故 c

19、5， A（3，0） ，F（5，0） ，渐近线方程为 y= 4 3x， 不妨设 BF 的方程为 y= 4 3（x5） ， 代入双曲线 2 9 2 16 =1，解得：B（17 5 ， 32 15） SAFB= 1 2|AF|yB|= 1 2 2 32 15 = 32 15 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函 f（x）= ，01 2( 1)， 1，若 f（a）f（a+1） ，则 f（ 1 ）的值为 6 【解答】解：() = ，01 2( 1)， 1，f（a）f（a+1） ， 当 0a1 时， = 2( + 1

20、 1)，解得 a0（舍）或 a= 1 4； 当 a1 时，2（a1）2（a+11） ，无解 第 11 页（共 17 页） 综上：a= 1 4， f（1 ）f（4）2（41）6 故答案为：6 14 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S918，则 a3+a5+a7的值为 6 【解答】解：由题意可得，9(1+9) 2 =18， a1+a92a54， 根据等差数列的性质可知，a3+a5+a73a56 故答案为：6 15 （5 分）lg0.25+2lg2 0 【解答】解：原式lg4+2lg22lg2+2lg20， 故答案为：0 16 （5 分）函数 f（x）ax3+3x2+2，若 f（

21、1）4，则 a 的值等于 2 3 【解答】解：f（x）ax3+3x2+2，f（x）3ax2+6x， f（1）3a+6， 已知 f（1）4， 3a+64，解得 a= 2 3 故答案为： 2 3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知函数 f（x）= 3 2 sin2xcos2x 1 2 （1）求 f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量 x 的集合 （2）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c= 3，f（C）0，若 sinB 2sinA，求 a，b 的值 【解答】 （本题满分为 14 分

22、） 解： （1）f（x）= 3 2 sin2xcos2x 1 2 = 3 2 sin2x 1+2 2 1 2 =sin（2x 6）1，4 分 当 2x 6 =2k 2，即 xk 6（kZ）时，f（x）的最小值为2，6 分 第 12 页（共 17 页） 此时自变量 x 的集合为：x/xk 6，kZ7 分 （2）f（C）0， sin（2C 6）10， 又0C， 2C 6 = 2，可得：C= 3，9 分 sinB2sinA，由正弦定理可得：b2a，又 c= 3， 由余弦定理可得： （3）2a2+b22abcos 3，可得：a 2+b2ab3，13 分 联立解得：a1，b214 分 18 （12 分）

23、某次数学知识比赛中共有 6 个不同的题目，每位同学从中随机抽取 3 个题目进 行作答，已知这 6 个题目中，甲只能正确作答其中的 4 个，而乙正确作答每个题目的概 率均为2 3，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的 （1）求甲、乙两位同学总共正确作答 3 个题目的概率； （2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是 m，n，由于甲所在班级少一名学生参赛， 故甲答对一题得 15 分，乙答对一题得 10 分，求甲乙两人得分之和 X 的期望 【解答】解： （1）由题意可知共答对 3 题可以分为 3 种情况： 甲答对 1 题乙答对 2 题；甲答对 2 题乙答对 1 题；甲答对 3 题乙

24、答对 0 题 故甲、乙两位同学总共正确作答 3 个题目的概率： = 4 1 2 2 6 3 3 2(2 3) 2(1 3) + 4 2 2 1 6 3 3 1(1 3) 2(2 3) + 4 3 6 3 3 0(1 3) 3 = 31 135 （2）m 的所有取值有 1，2，3 ( = 1) = 4 1 2 2 6 3 = 1 5， ( = 2) = 4 2 2 1 6 3 = 3 5， ( = 3) = 4 3 6 3 = 1 5， 故() = 1 1 5 + 2 3 5 + 3 1 5 = 2 由题意可知(3， 2 3)，故() = 3 2 3 = 2 而 X15m+10n，所以 E（X）

25、15E（m）+10E（n）50 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，BCD135，PA 第 13 页（共 17 页） 平面 ABCD，ABACPA2，E，F，M 分别为线段 BC，AD，PD 的中点 （1）求证：直线 EF平面 PAC； （2）求平面 MEF 与平面 PBC 所成二面角的正弦值 【解答】解： （1）证明：在平行四边形 ABCD 中， ABAC，BCD135，ABAC， E，F，M 分别为线段 BC，AD，PD 的中点EFAB， EFAC， PA底面 ABCD，EF底面 ABCD，PAEF， PAACA，EF平面 PAC （2）解：PA底面

26、 ABCD，ABAC，AP，AB，AC 两两垂直， 以 AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（0，2，0） ，P（0，0，2） ，D（2，2，0） ，E（1， 1，0） ， =（2，2，0） ， =（2，0，2） ， 设平面 PBC 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 2 + 2 = 0 = 2 2 = 0 ，取 x1，得 =（1，1，1） ， M 是 PD 的中点，由（1）知，AC平面 MEF，且 =（0，2，0） ， |cos ， |=| | | | | = 3 3 ， 平面 MEF 与平面 PBC 所成二面角的

27、正弦值为 6 3 第 14 页（共 17 页） 20 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的右 焦点为 F（c，0） ，下顶点为 P，过点 M（0， 2）的动直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点 （1）当直线 l 平行于 x 轴时，P，F，A 三点共线，且 PA= 33 2 ，求椭圆 C 的方程； （2）当椭圆 C 的离心率为何值时，对任意的动直线 l，总有 PAPB？ 【解答】解： （1）当直线 l 与 x 轴平行时，即 l：y= 1 2b， 如图，作 ADx 轴交 x 轴于点 D，则根据 = = 1 2，可得 A（ 3 2c，

28、 1 2b） ， 且 PA= 3 2PF= 3 2 2+ 2 = 3 2a= 33 2 ，解得 a= 3， 又因为 A 在椭圆上，所以 9 4 2 2 + 1 4 2 2 = 1，解得 c2= 1 3a 21，所以 b2312， 所以椭圆 C 的方程为 2 3 + 2 2 = 1； （2）当直线 l 平行于 x 轴时， 由 PAPB，得 kPAkPB= 3 2 3 2 3 2 3 2 = 1， a23b2，又 a2b2+c2，2a23c2，e2= 2 3， 第 15 页（共 17 页） e（0，1） ，e= 6 3 当直线 l 不平行于 x 轴时，下面证明当 e= 6 3 时，总有 PAPB，

29、 事实上，由知椭圆可化为 2 32 + 2 2 =1，x2+3y23b2， 设直线 l 的方程为 ykx+ 2，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 = + 2 2+ 32= 32 ，得（1+3k2）2+ 3 9 4 2=0， 1+ 2= 3 1+32，x1x2= 9 4 2 1+32， = (1，1+ )， = (2，2+ )， =x1x2+（y1+b） （y2+b）= 12+ (1+ 3 2 )(2+ 3 2 ) = (1 + 2)12+ 3 2 (1+ 2) + 9 4 2 = (1 + 2) 9 4 2 1+32 + 3 2 3 1+32 + 9 4 2 = 9 4 2(1+3

30、2) 1+32 + 9 4 2 = 9 4 2+ 9 4 2=0 PAPB， 综上，当椭圆 C 的离心率为 6 3 时，对任意的动直线 l，总有 PAPB 21 （12 分）已知函数() = + + （1）若 a1，求曲线 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）对任意的 (1 2， + )，xf（x）ex+x2恒成立，请求出 a 的取值范围 第 16 页（共 17 页） 【解答】解： （1）因为 a1，所以() = 1 1 2 + 1，f（1）1，f（1）2， 由 y2x1 得： 所求的切线方程为 yx+1 （2）不等式 xf（x）ex+x2，对任意的 (1 2， + )恒成立，

31、 即 aexxlnx 对任意的 (1 2， + )恒成立 令 v （x） exxlnx， 则 v （x） exlnx1， 令 （x） exlnx1， 则() = 1 ， 易知 （x）在(1 2， + )上单调递增， 因为(1 2) = 1 2 20，（1）e10，且 （x）的图象在(1 2 ，1)上连续， 所以存在唯一的0 (1 2，1)，使得 （x0）0，即 0 1 0 = 0，则 x0lnx0 当 (1 2，0)时，（x）单调递减；当 x（x0，+）时，（x）单调递增 则 （x）在 xx0处取得最小值， 且最小值为(0) = 0 0 1 = 1 0 + 0 120 1 0 1 =10， 所

32、以 v（x）0，即 v（x）在(1 2， + )上单调递增， 所以 1 2 1 2 1 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C1的极坐标方程是 cos（+ 4）22以极点为平面直角坐标系 的原点， 极轴为 x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系， 曲线 C2的参数方程是： = 4 2 = 4 (是 参数） （1）将曲线 C1和曲线 C2的方程转化为普通方程； （2）若曲线 C1与曲线 C2相交于 A、B 两点，求证 OAOB； （3）设直线 ykx+b 与曲线 C2交于两点 P（x1，y1） ，Q（x2，

33、y2） ，且|y1y2|a（a0 且 a 为常数） ，过弦 PQ 的中点 M 作平行于 x 轴的直线交曲线 C2于点 D，求证：PQD 的面积是定值 【解答】（1） 解： 曲线C1和曲线C2的方程转化为普通方程为1： 4 = 0，2：2= 4； 第 17 页（共 17 页） （2）证明：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立曲线 C1和曲线 C2的方程并消元得：y2 4y160， y1+y24， y1y216， = 12+ 12= (1+ 4)(2+ 4) + 12= 0， OAOB （3）证明： = + 2= 4 ，消 x 得 ky24y+4b0， 1+ 2= 4 ，12 = 4

34、， 由|y1y2|a（a0 且 a 为常数） ，得(1+ 2)2 412= 2， a2k216（1kb） 又可得 PQ 中点 M 的坐标为(1+2 2 ， 1+2 2 ) = (2 2 ， 2 )， 点 D( 1 2 ， 2 )， = 1 2 |1 2| = 1 2 1 2 = 3 32面积是定值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23求下列函数的定义域： （1）y= +1 +2 ； （2）y= 21 1 +（5x4）0 【解答】解： （1）由 + 1 0 + 2 0，解得 x1，此函数的定义域为x|x1 （2）由 2 1 0 1 0 5 4 0 ，解得 x 1 2，x1，x 4 5 函数的定义域为x|x 1 2，x1，x 4 5