南京市2020届高三数学二轮专题复习资料专题12:圆锥曲线.doc
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1、第 1 页 共 14 页 专题专题 12:圆锥曲线圆锥曲线 问题归类问题归类篇篇 类型一:类型一:方程的标准形式方程的标准形式 一、前测回顾一、前测回顾 1椭圆x 2 m y2 41 的焦距是 2,则 m 的值是 2.双曲线x 2 4 y2 k 1 的离心率 e(1,2),则 k 的取值范围是 3.若 a0,则抛物线 y4ax2 的焦点坐标为 答案:答案:1.3 或 5;2.(12,0);3.(0, 1 16a) 二、方法联想二、方法联想 方程的标准形式方程的标准形式 涉及方程标准形式时, 必须先设(或化)为方程的标准形式, 注意椭圆和双曲线区分(或讨论)焦点在哪轴 上,抛物线要注意开口方向
2、三、归类巩固三、归类巩固 *1.以 y 2x 为渐近线的双曲线的离心率是 答案: 3或 6 2 (已知双曲线的渐近线,讨论焦点的位置,确定基本量的关系) *2.以抛物线 y24x 的焦点为焦点,以 yx 为渐近线的双曲线的标准方程为 答案:x 2 1 2 y 2 1 2 1 (已知两个圆锥曲线,判断焦点的位置,确定基本量的的关系) 类型类型二二:圆锥曲线圆锥曲线定义定义及几何性质及几何性质的应用的应用 一、一、前测回顾前测回顾 1. 已知 F1、F2是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且 PF1PF2 若PF1F2的面积为 9,则 b 的值为_
3、2.已知定点 A(3,2),F 是抛物线 y22x 的焦点,点 P 是抛物线上的动点,当 PAPF 最小时,点 P 的坐标 为 3. 点 F 为椭圆x 2 4 y 2 3 1 的右焦点,过点 F 且倾斜角为 3的直线交椭圆于 A,B 两点(AF0,b0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半径作圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点.若MAN=60,则 C 的离心率为 . 答案: 2 3 3 (已知双曲线渐近线与圆的位置关系,求离心率) *3.双曲线x 2 4 y2 k 1 的离心率 e(1,2),则 k 的取值范围是 答案: (0,12);(已知离心率的范围,求参数取
4、值范围) *4设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A,B 两点,左焦点在以 AB 为直径的圆内,则该双曲线的离心 率的取值范围为 答案:(1, 2) (考查圆、双曲线的几何性质,双曲线的准线与渐近线,离心率问题) *5设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A,B 两点,左焦点在以 AB 为直径的圆内,则该双曲线的离心 率的取值范围为 答案:(1, 2) (考查圆、双曲线的几何性质,双曲线的准线与渐近线,离心率问题) *6已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左,右顶点P 为 C 上一点,且 PFx 轴,过点 A 的直线 l 与线段
5、PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为 答案:1 3 (考查椭圆的定义,离心率及椭圆的方程) *7.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点,且左右焦点分别是 F1,F2,这两条曲线在第一象限 的交点为 P,PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若 PF110,椭圆和双曲线的离心率分别是 e1,e2, 则 e1e2的取值范围是 答案:(1 3,)(已知有联系的两个圆锥曲线,求离心率的取值范围) *8.设ABC 是等腰三角形,ABC120 ,则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为_ 答案: 31 2 (三角形与圆锥曲线相结合,求
6、离心率的取值范围) 类型类型四四:直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的综合问题 一、一、 前测回顾前测回顾 1(1)点 A 是椭圆x 2 36 y2 201 的左顶点,点 F 是右焦点,若点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,满足 PAPF, 第 5 页 共 14 页 则点 P 的坐标为 (2)若点 O 和点 F 分别为椭圆x 2 4 y2 31 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则OP FP 的最大 值为 答案:(1)(3 2, 5 2 3)(2)6 2(1)如图,椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的上、下顶点分别为 A,B,右焦点为 F,点 P 在椭圆 C 上,且
7、 OPAF, 延长 AF 交椭圆 C 于点 Q,若直线 OP 的斜率是直线 BQ 的斜率的 2 倍,则椭圆 C 的离心率为 (2)已知椭圆的方程为x 2 6 y2 21,与右焦点 F 相应的准线 l 与 x 轴相交于点 A,过 点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点设AP AQ(1),过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相 交于另一点 M, 证明:FMQF (3) 过点 M(1,1)作斜率为1 2的直线与椭圆 C: x2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A,B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于_ 答案:(1) 2 2 ;(2)略;(3) 2 2 3 (1)
8、设 P, Q 分别为圆 x2(y6)22 和椭圆x 2 10y 21 上的点, 则 P, Q 两点间的最大距离是 (2)已知椭圆 C:x22y24,O 为原点若点 A 在直线 y2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OAOB,则线 段 AB 长度的最小值为 答案: (1)6 2; (2)2 2 二、方法联想二、方法联想 1椭圆上一个点问题椭圆上一个点问题 方法 1:设点. 设点(x0,y0)代入方程、列式、消元;设点(acos,bsin) 方法 2:求点. 代入方程、列式、求解 注意 考虑 x0(或 y0)的取值范围 变式:如图,椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的上、下顶点分别为
9、A,B,右焦点为 F,点 P 在椭圆 C 上,且 OPAF. 求证:存在椭圆 C,使直线 AF 平分线段 OP. 答案:略(已知椭圆上一点,利用该点坐标满足椭圆方程,方程有解进行证明) 2直线与椭圆相交于两点问题直线与椭圆相交于两点问题 已知其中一点坐标(x0,y0),设出直线的方程,与椭圆方程联立,可用韦达定理求出另一根; 两点均未知 方法 1 设两点 A(x1,y1)、B(x2,y2),直线方程与椭圆方程联立,消去 y 得关于 x 的方程 Ax2BxC 0,由韦达定理得 x1x2B A,x1x2 C A,代入已知条件所得式子消去 x1,x2(其中 y1,y2 通过直线方 程化为 x1,x2
10、) 有时也可以直接求出两交点. 注意:(1)设直线方程时讨论垂直于 x 轴情况; (2)通过判断交点个数; 第 6 页 共 14 页 (3)根据需要也可消去 x 得关于 y 的方程 结论:弦长公式 AB 1k2x1x21 1 k2y1y2 方法 2 设两点 A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程得 x12 a2 y12 b21, x22 a2 y22 b21, 通过已知条件建立 x1、y1与 x2、 y2的关系,消去 x2、y2解关于 x1、y1的方程组(或方程) 方法 3 点差法 设两点 A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程得 x12 a2 y12 b21, x22 a
11、2 y22 b21, 两式相减得y1y2 x1x2 b2 a2 x1x2 y1y2, 即 kABb 2 a2 x0 y0,其中 AB 中点 M 为(x0,y0) 注意:点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题 3.3. 圆锥曲线的最值与范围问题圆锥曲线的最值与范围问题 (1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下,求相关式子(目标函数)的取值范围问题,常用参数方 程代入转化为三角函数的最值问题, 或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理 (2)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系, 求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题, 常把所求 参数作为函数,另一个元
12、作为自变量求解 三、归类巩固三、归类巩固 *1.由椭圆x 2 2y 21 的左焦点作倾斜角为 45 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点则OA OB 答案:1 3 (考查直线与椭圆的交点问题,向量的数量积) 2如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ,长轴长为 4.过椭圆的左 顶点 A 作直线 l,分别交椭圆和圆 x2y2a2于相异两点 P,Q. *若直线 l 的斜率为1 2,求 AP AQ的值; *若PQ AP ,求实数 的取值范围 答案:5 6;(0,1) (已知直线与椭圆、圆分别交于两点,并且其中一点已知,求另一点) *3.设椭圆
13、x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F,离心率为 3 3 ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的 线段长为4 3 3 .设 A, B 分别为椭圆的左、 右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点 若AC DB AD CB8,求 k 的值 答案: 8 6 3 . (已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系,求直线斜率) 第 7 页 共 14 页 *4.已知椭圆 C:x 2 6 y2 21 设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线 交椭圆 C 于点 P,Q. 证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)
14、; 当|TF| |PQ|最小时,求点 T 的坐标 答案: T点的坐标是(3,1)或(3,1) (求取最值时的条件) 综合综合应用应用篇篇 一、例题分析一、例题分析 例例 1. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: x2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为椭 圆上一点(在 x 轴上方) ,连结 PF1并延长交椭圆于另一点 Q,设PF1 F 1Q *(1)若点 P 的坐标为 (1,3 2),且PQF2 的周长为 8,求椭圆 C 的方程; *(2)若 PF2垂直于 x 轴,且椭圆 C 的离心率 e1 2, 2 2 ,求实数 的取值范围 解:解: (1)因为
15、F1,F2为椭圆 C 的两焦点,且 P,Q 为椭圆上的点, 所以 PF1PF2QF1QF22a,从而PQF2的周长为 4a 由题意,得 4a8,解得 a2 因为点 P 的坐标为 (1,3 2),所以 1 a2 9 4b21, 解得 b23 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31 (2)方法一:方法一:因为 PF2x 轴,且 P 在 x 轴上方,故设 P(c,y0),y00设 Q(x1,y1) 因为 P 在椭圆上,所以c 2 a2 y2 0 b21,解得 y0 b2 a ,即 P(c,b 2 a ). 因为 F1(c,0),所以PF1 (2c,b2 a),F1Q (x 1c,y1) 由PF
16、1 F 1Q ,得2c(x 1c),b 2 a y1, (第 18 题) x O y P F1 F2 Q 第 8 页 共 14 页 解得 x12 c,y1b 2 a,所以 Q( 2 c,b 2 a). 因为点 Q 在椭圆上,所以(2 )2e2 b2 2a21, 即(2)2e2(1e2)2,(243)e221, 因为 10, 所以(3)e21,从而 3e 21 1e2 4 1e23 因为 e1 2, 2 2 ,所以1 4e 21 2,即 7 35 所以 的取值范围为7 3,5 方法二:方法二:因为 PF2x 轴,且 P 在 x 轴上方,故设 P(c,y0),y00 因为 P 在椭圆上,所以c 2
17、 a2 y2 0 b21,解得 y0 b2 a ,即 P(c,b 2 a ) 因为 F1(c,0),故直线 PF1的方程为 y b2 2ac(xc) 由 y b2 2ac(xc), x2 a2 y2 b21, 得(4c2b2)x22b2cxc2(b24a2)0 因为直线 PF1与椭圆有一个交点为 P(c,b 2 a )设 Q(x1,y1), 则 x1c 2b2c 4c2b2,即cx1 2b2c 4c2b2 因为PF1 F 1Q , 所以 2c cx1 4c2b2 b2 3c 2a2 a2c2 3e 21 1e2 4 1e23 因为 e1 2, 2 2 ,所以1 4e 21 2,即 7 35 所
18、以 的取值范围为7 3,5 教学建议教学建议 (1)问题归类与方法)问题归类与方法: 本题离心率与参数值有等量关系,求参数范围本质上等价于求离心率范围. 求椭圆、双曲线的离心率的范围,有两种情形,题中给出的是关于基本量 a,b,c 的齐次不等关系; 题中给出的是关于基本量 a,b,c 与某一变化的量之间的一个等量关系,即 f(P)g(a,b,c),根据 g(a, b,c)在 f(P)的值域内,可得关于基本量 a,b,c 的齐次不等关系 (2)方法选择与优化)方法选择与优化:本题既可以从向量式选择坐标形式代入椭圆方程求函数关系式,也可以从 P 点 坐标已知选择联立椭圆的方法求另一点,再求函数关系
19、;最后也可以用 表示离心率 e,解不等式求出 的范围. 例例 2.已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F(c,0),右顶点为 A,点 E 的坐标为(0,c),EFA 的面积 第 9 页 共 14 页 为b 2 2 . *(1)求椭圆的离心率; (2)设点 Q 在线段 AE 上,|FQ|3 2c,延长线段 FQ 与椭圆交于点 P,点 M,N 在 x 轴上,PMQN,且 直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c,四边形 PQNM 的面积为 3c. *(i)求直线 FP 的斜率; *(ii)求椭圆的方程. 解解:(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得1 2(ca)c b2 2 .
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