南京市2020届高三数学二轮专题复习资料专题7：导数及其应用.doc

1、第 1 页 共 28 页 专题专题 7：导数及其应用：导数及其应用 问题归类问题归类篇篇 类型一：类型一：切线方程切线方程 一、前测回顾一、前测回顾 1曲线 yx3上在点(1，1)的切线方程为 答案：y3x2 解析：y 3x2，则切线的斜率是 3 (1)2，再利用点斜式 2曲线 yx33x22x 过点(0，0)的切线方程为 答案：y2x 或 y1 4x 解析：y 3x26x2，设切点为（x0，x033x022x0） ，则切线的斜率为 3x026x02 切线方程为 y(x033x022x0)(3x026x02)(xx0)， （0，0）代入，得 x0的值，从而得到切 线方程 二、方法联想二、方法联

2、想 涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则先设切点坐标求出切线 方程的一般形式再来利用已知条件 注意：(1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点 (2)切点的三个作用：求切线斜率；切点在切线上；切点在曲线上 三、归类巩固三、归类巩固 *1若曲线 y1 2xb 是曲线 ylnx (x0)的一条切线，则实数 b 的值为 . (已知切线方程求参数值已知切线方程求参数值) 答案：ln21， *2曲线 y1 x(x0)与曲线 ylnx 公切线（切线相同）的条数为 . （求两曲线的公切线条数）（求两曲线的公切线条数） 答案：1 *3在平面直角

3、坐标系 xOy 中，直线l与曲线 yx2(x0)和 yx3(x0)均相切，切点分别为 A(x1，y1) 和 B(x2，y2),则x1 x2的值是 （已知两曲线的公共切线，求切点）（已知两曲线的公共切线，求切点） 答案 4 3 解析：由题设函数 yx2在 A(x1，y1)处的切线方程为：y2x1 xx12， 函数 yx3在 B(x2，y2)处的切线方程为 y3 x22 x2x23 所以 2x13x22 x122x23 ，解之得：x132 27，x2 8 9 所以 x1 x2 4 3 第 2 页 共 28 页 *4若存在过点(1，0)的直线与曲线 yx3和 yax215 4 x9 都相切，求 a

4、的值 (已知公切线，求参数的值已知公切线，求参数的值) 答案：25 64或1 解析：设曲线 yx3的切点(x0，x30)，则切线方程为 yx303x20 (xx0)， 切线过点(1，0)，所以x303x20 (1x0)，所以 x00 或 x03 2， 则切线为 y0 或 y27 4 x27 4 ， 由 y0 与 yax215 4 x9 相切，则 ax215 4 x90，所以 a0 且0； 由或 y27 4 x27 4 与 yax215 4 x9 相切，则 ax215 4 x927 4 x27 4 ，所以 a0 且0。 解得 a 的值为25 64或1 *5函数 f(x)alnxbx2上一点 P(

5、2，f(2)处的切线方程为 y3x2ln22，求 a，b 的值 （已知切线方程求参数）（已知切线方程求参数） 答案：a2，b1， *6已知函数 f(x)2x33x，若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切，求t的取值范围 （已知公切线条数，研究参数的范围） 答案：t(3，1) 解：设切点坐标(x0，y0)，切线斜率为k，则有 y02x 3 03x0 kf(x0)6x203 切线方程为：y(2x303x0)(6x203)(xx0) 因为切线过 P(1，t)，所以将 P(1，t)代入直线方程可得： t(2x303x0)(6x203)(1x0) t(6x203)(1x0)(2x30

6、3x0) 6x2036x303x02x303x04x306x203 所以问题等价于方程 t4x306x203，令 g(x)4x36x23 即直线 yt 与 g(x)4x36x23 有三个不同交点 g(x)12x212x12x(x1) 令 g(x)0 解得 0x1 所以 g(x)在(，0)，(1，)单调递减，在(0，1)单调递增 g(x)g(1)1，g(x)g(0)3 所以若有三个交点，则 t(3，1) 所以当 t(3，1)时，过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切 类型二类型二 利用导数研究函数的单调性问题利用导数研究函数的单调性问题: 一、前测回顾一、前测回顾 1.函数 f

7、(x)2x2lnx 的减区间为 第 3 页 共 28 页 答案： (0，1 2) 解析：定义域为（0，） ；求导，f (x)4x1 x，令 f (x)0，得 x(0， 1 2) 2函数 f(x)1 3x 3ax24 在(3，)上是增函数，则实数 a 的取值范围为 答案： a3 2 解析： f(x)1 3x 3ax24 在(3，)上是增函数，则 f (x)x22ax0 对 x(3，)恒成立 2ax，2a3，则实数 a 的取值范围为 a3 2 3. 已知函数 f(x)lnxxa x，aR，求函数 f(x)的单调区间. 解析：f(x)1 x1 a x2 x2xa x2 . 令 f(x)0，得x2xa

8、0，记14a. (i) 当 a1 4时，f(x)0， f(x)单调减区间为(0，)； (ii) 当 a1 4时，由 f(x)0 得 x11 14a 2 ，x21 14a 2 ， 若1 40， 由 f(x)0，得 x20x2， 由 f(x)x1；由 f(x)0，得 00 时，x(，a)，f(x)0，所以 f(x)在区间(，a)上是单调递增；x(a，0)，f (x)0 时，f(x)单调增区间为(， a)，(a，)，单调减区间为(a，0)，(0，a) *5.设函数 f(x)lnx，g(x)axa1 x 3（aR） 求函数 (x)f(x)g(x)的单调增区间。 （考查函数单调性的讨论（考查函数单调性的

9、讨论) 解析：因为 (x)f(x)g(x)lnxaxa1 x 3 (x0)， 所以 (x) 1 xa a1 x2 ax2x(a1) x2 (ax(a1)(x1) x2 （x0） 当 a0 时，由 (x)0，解得 x0； 当 a1 时，由 (x)0，解得 x a1 a ； 当 0a1 时，由 (x)0，解得 x0； 当 a1 时，由 (x)0，解得 x0； 当 a0 时，由 (x)0，解得 0xa1 a 所以，当 a0 时，函数 (x)的单调增区间为 (0，a1 a )； 当 0a1 时，函数 (x)的单调增区间为(0，)； 当 a1 时，函数 (x)的单调增区间为(a1 a ，) *6(15

10、年高考题). 已知函数 f(x)x3ax2b(a，bR)，试讨论 f(x)的单调性； （考查函数单调性的讨论（考查函数单调性的讨论) 解析：(1) f(x)3x22ax，令 f(x)0，解得 x10，x22a 3 . 当 a0 时，因为 f(x)3x20(x0)，所以函数 f(x)在(，)上单调递增； 当 a0 时，x ，2a 3 (0，)时，f(x)0，x 2a 3 ，0 时，f(x)0.又令 b(a)lna0，解得 a1， 当 a1 时，b 取得最小值1. 3. 函数 f(x)x3ax2bxa2在 x1 时有极值 10，那么 ab 的值分别为_. 答案：15 4已知函数 f(x)x(xa)

11、2和 g(x)x2(a1)xa 有相同的极值点，则 a 答案：1 或 3 第 7 页 共 28 页 二、方法联想二、方法联想 (1)求函数的极值求函数的极值(或最值或最值) 步骤：求函数的定义域； 求 f (x)0 在区间内的根； 讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值 将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值 (2)已知函数的极值点已知函数的极值点 x0，求参数的值，求参数的值 方法：根据取极值的必要条件 f (x0)0，求出参数的值， 要注意验证 x0左右的导数值的符号是否符合取极值的条件。 三、归类巩固三、归类巩固 * 1已知函数 f(x)lnxx，则函数 f(x

12、)的极大值为 (考查利用单调性判断极值考查利用单调性判断极值) 答案：1 解析：函数 f(x)的定义域为(0，) 当 a0 时，f(x)lnxx，f(x)1 x1， 令 f(x)0 得 x1.(1 分) 列表： x (0，1) 1 (1，) f(x) 0 f(x) Z 极 大值 f(x)的极大值为 f(1)1. *2.已知函数 h(x)2 3h(1)x 21 2lnx，求函数 h(x)的极值； (考查利用单调性判断极值考查利用单调性判断极值) 解析：h(x)4 3h(1)x 1 x，所以 h(1) 4 3h(1)1，所以 h(1)3，则 h(x)2x 21 2lnx， h(x)4x1 x （2

13、x1）（2x1） x (x0)， 令 h(x)0，得 x1 2或 x 1 2(舍去)， 当 00， 此时函数 h(x)在 1 2， 上单调递增， 当 x1 2时，h(x)有极小值 h 1 2 1ln2. * 3 已知函数 f(x)的导函数 f (x)a(x1)(xa)， 若 f(x)在 xa 处取到极大值， 则 a 的取值范围是_ （已知极大（小）值点，求参数范围）（已知极大（小）值点，求参数范围） 答案：(1,0) 解析：因为 f(x)在 xa 处取到极大值，所以 xa 为 f (x)的一个零点，且在 xa 的左边 f (x)0，右 边 f (x)0，所以导函数 f (x)的开口向下，且 a

14、1，即 a 的取值范围是(1,0) 第 8 页 共 28 页 *4函数 f(x)lnx1 2ax 2bx2，若 x1 是 f(x)的极大值点，则的取值范围是_ （已知极大（小）值点，求参数范围）（已知极大（小）值点，求参数范围） 答案：(1,) *5.已知函数 f(x)x3ax2x2(a0)的极大值点和极小值点都在区间(1,1)内， 则实数 a 的取值范围 是_ （已知极值点范围求参数范围）（已知极值点范围求参数范围） 答案：( 3，2) 解析：由题意可知 f(x)0 的两个不同解都在区间(1，1)内因为 f(x)3x22ax1， 所以根据导函数图象可 2a24 3 10， 10， 又 a0，

15、解得 30，解得 k22k0，得 xlnb；由 (x)0 时，f(x)f(x) 2xa 3 x21 2x a3 x21. 当 a0 成立，即 2xa 3 x2a 对一切 x0 成立而当 x a 20 时， 有a4aa，所以 a0，这与 a0 成立，故 a0 满足题设要求 当 a0 时，由(1)可知 f(x)在(0， a)上是减函数，在(a， )上是增函数 所以 fmin(x)f(a)3a1a 1，所以 a0 时也满足题设要求 综上所述，a 的取值范围是0，) 3. 已知实数 kR，且 k0，e 为自然对数的底数，函数 f(x) k ex ex1，g(x)f(x)x.如果函数 g(x)在 R 上

16、为减函数，求 k 的取值范围。 解析： g(x)f(x)x k ex ex1x 在 R 上为减函数， g(x)k e x（ex1）k exex （ex1）2 1 k ex （ex1）210 恒成立， 即 k（e x1）2 ex 恒成立 （ex1）2 ex ex 1 ex2224， 当且仅当 ex1 ex，即 x0 时， （ex1）2 ex 的最小值为 4， k4. 二、方法联想二、方法联想 （1）若不等式的左右都是相同的变量 x，如：对xD，f(x)g(x)恒成立 方法 1 分离变量看最值法(优先) 方法 2 构造含有参数的函数 方法 3 构造两个函数的图象判断位置关系(限于解填空题) 方法

17、4 变换角度看函数 技巧技巧 可以通过先取满足条件的特殊值来缩小变量的范围可以通过先取满足条件的特殊值来缩小变量的范围 （2）若不等式的左右都是不相同的变量，如：对x1D1，x2D2， f(x1)g(x2)恒成立， 则 f(x)maxg(x)min 说明：若是不等式有解问题，则求最值与恒成立的问题正好相反说明：若是不等式有解问题，则求最值与恒成立的问题正好相反 第 13 页 共 28 页 三、归类巩固三、归类巩固 *1已知函数 f(x)exax(a0).若对一切 x0,f(x)1 恒成立,则 a 的取值集合是 . ( (不可分离变量不可分离变量, , 注意到注意到 f( (0) )1, ,通过

18、研究含参函数的单调性，求最值解决通过研究含参函数的单调性，求最值解决) ) 答案：1 *2已知函数 f(x) x ex对任意的 x(0,2)，都有 f(x) 1 k2xx2成立，求 k 的取值范围. （已知（已知 f(x)g(x)恒成立，求参数取值范围，首选参变分离，注意不等号的符号变化）恒成立，求参数取值范围，首选参变分离，注意不等号的符号变化） 答案： f(x)x ex 1 k2xx2对任意 x(0，2)都成立， 所以 k2xx20，即 kx22x 对任意 x(0，2)都成立，从而 k0. 又不等式整理可得 ke x x x22x，令 g(x)e x x x22x， 所以 g(x)e x(

19、x1) x2 2(x1)(x1)(e x x22)0，得 x1， 当 x(1，2)时，g(x)0，函数 g(x)在(1，2)上单调递增， 同理，函数 g(x)在(0，1)上单调递减，所以 kg(x)ming(1)e1， 综上所述，实数 k 的取值范围是0，e1). *3已知函数 f(x)x 2 2e，g(x)lnx证明：f(x)g(x). （证明（证明 f(x)g(x)，转化为求，转化为求 h(x)f(x)g(x)的最小值大于的最小值大于 0） 答案：设 h(x)f(x)g(x)x 2 2elnx，则 h(x) x e 1 x x2e ex 令 h(x)0，得 x e，列表如下： x (0，

20、e) e ( e，) h(x) 0 h(x) 极小值 . 所以函数 h(x)的最小值为 h( e)0， 所以 h(x)x 2 2elnx0，即 f(x)g(x) *4已知函数 f(x) |x32x2x|， x1， lnx，x1 ，若对于tR，f(t)kt 恒成立，则实数 k 的取值范围是_ （已知（已知 f(x)g(x)恒成立，恒成立，构造两个函数，判断函数图象的位置关系，利用数形结合的方法解决）构造两个函数，判断函数图象的位置关系，利用数形结合的方法解决） 答案：1 e，1 *5.若函数 f(x)x1 3sin2xasinx 在 , 单调递增,则a的取值范围是（ ） (本题把导数与三角函数结

21、合在一起进行考查本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新有所创新,求解关键是求解关键是把把函数单调函数单调性性转化为不等式恒成立转化为不等式恒成立, 再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意注意与三角函数值域或最值有关的问题与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函要注意弦函 数的有界性数的有界性) 答案：1 3, 1 3 解析：f(x)12 3cos2xacosx0 对 xR 恒成立, 故 12 3(2cos 2x1)acosx0,即 acosx4 3cos 2x5 30 恒成立, 第 14 页 共 28 页 即4 3t 2at5 3

22、0 对 t1，1恒成立,构造 f(t) 4 3t 2at5 3,开口向下的二次函数 f(t)的最小值的 可能值为端点值,故只需保证 f(1)1 3t0 f(1)1 3t0 ,解得1 3a 1 3 *6.已知函数 f(x)alnx，g(x)1 2x 22x3 2，对任意的 x1，),都有 f(x)g(x)恒成立,则实数 a 的最小值是_ (恒成立问题恒成立问题,要注意到端点值要注意到端点值 f(1)g(1)，讨论函数单调性，讨论函数单调性) 答案：1 *7已知函数 f(x)lnx x axb 的图象在点 A(1，f(1)处的切线与直线 l：2x4y30 平行 记函数 g(x)xf(x)c，若 g

23、(x)0 对一切 x(0，)，b 0，3 2 恒成立，求 c 的取值范围 (利用分离变量的方法研究恒成立问题，注意到极值点、极值都与参数利用分离变量的方法研究恒成立问题，注意到极值点、极值都与参数 b 有关，利用其关系可求出极有关，利用其关系可求出极 值点的范围，极值中整体消元，转化成关于极值点的函数的最值问题值点的范围，极值中整体消元，转化成关于极值点的函数的最值问题) 解析：由 g(x)lnx1 2x 2bxc0 恒成立， c1 2x 2bxlnx. 记 h1(x)1 2x 2bxlnx(x0)，则 ch 1(x)min. h1(x)xb1 x.令 h1(x)0，得 x 2bx10， xb

24、 b 24 2 .(10 分) b 0，3 2 ， x1b b 24 2 0，h1(x)单调增， h1(x)minh1(x2)1 2x 2 2bx2lnx2 1 2x 2 21x 2 2lnx21 2x 2 2lnx21.(14 分) 记 h2(x)1 2x 2 2lnx21， h2(x)在(1，2)上单调减， h2(x)h2(2)1ln2， c1ln2， 故 c 的取值范围是(，1ln2 类型类型六六：方程有解（或解的个数）问题方程有解（或解的个数）问题 一、前测回顾一、前测回顾 1已知函数 f(x) 2x33x2m，0x1， mx5，x1. 若函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个不同

25、的交点，则实 数 m 的取值范围为_ 第 15 页 共 28 页 答案：(5，0) 解析：当 m0 时，函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有 1 个交点； 当 m0 时，函数 f(x)的图象与 x 轴没有交点； 当 m2017=g(1)， g(x)g(1)，得 x0 时，f(x)|xa|a 2ln x xaa 2ln x，xa， axa 2ln x，00，此时函数 f(x)的单调递减区间为(0，a)；单调递增区间为(a，)， 由题意，必须 f(a)a 2ln a1. 由 f(1)a1a 2ln 1a10，f(a)1 时，a1ln a0. 设 g(x)x1ln x，x1， 则 g(x)11 x

26、 x1 x 0， g(x)在 x1 时递增，则 g(x)g(1)0， f(a2)a2aaln aa(a1ln a)0，又 f(a)0， x2(a，a2)，综上，1x1ax2a2. 18.已知函数 f(x)lnx x . *(1) 求函数 yf(x)在点(1，0)处的切线方程； *(2) 设实数 k 使得 f(x)kx 恒成立，求 k 的取值范围； *(3) 设 g(x)f(x)kx (kR R)，求函数 g(x)在区间 1 e，e 2 上有两个零点，求 k 的取值范围 （考查切线方程，恒成立问题，零点存在性定理）（考查切线方程，恒成立问题，零点存在性定理） 解：(1) f(x)1lnx x2

27、，则 f(1)1. 函数 yf(x)在点(1，0)处的切线方程为 xy10. (2) 设 h(x)f（x） x lnx x2 (x0)，则 h(x)12lnx x3 (x0) 令 h(x)12lnx x3 0，解得 x e. 当 x 在(0，)上变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表： 知， 当 x e时，由 上 表 可 1 2e， h(x)取得最大值 由 已 知 对任意的 x0，k f（x） x h(x)恒成立， 所以 k 的取值范围是 1 2e， . (3) 令 g(x)0 得 kf（x） x lnx x2 . 由(1)知，h(x)lnx x2 在 1 e， e 上是增函数，在 e，e

28、 2上是减函数 且 h 1 e e2，h( e) 1 2e，h(e 2)2 e4， 当 2 e4k 1 2e时，函数 g(x)在 1 e，e 2 上有两个零点 19已知 a 为实数，函数 f(x)x|xa|lnx. *(1) 若 a1，求函数 f(x)在区间1，e(e 为自然对数的底数)的最大值； *(2) 求函数 f(x)的单调区间； *(3) 若 f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围. (考查函数的单调性，最值，对参数的讨论，恒成立问题考查函数的单调性，最值，对参数的讨论，恒成立问题) 解：(1) 若 a1，则 f(x)x|x1|lnx. x (0， e) e ( e，) h(x) 0

29、h(x) 极大值 1 2e 第 27 页 共 28 页 当 x1，e时，f(x)x2xlnx，f(x)2x11 x 2x2x1 x 0， 所以 f(x)在1，e上单调增， 所以 f(x)maxf(e)e2e1.(2 分) (2) 由于 f(x)x|xa|lnx，x(0，) () 当 a0 时，则 f(x)x2axlnx， f(x)2xa1 x 2x2ax1 x ， 令 f(x)0，得 x0a a 28 4 0(负根舍去)， 且当 x(0，x0)时，f(x)0；当 x(x0，)时，f(x)0， 所以 f(x)在 0，a a 28 4 上单调减，在 a a28 4 ，上单调增(4 分) () 当

30、a0 时， 当 xa 时，f(x)2xa1 x 2x2ax1 x ， 令 f(x)0， 得 x1a a 28 4 x2a a 28 4 a，舍去， 若a a 28 4 a，即 a1，则 f(x)0，所以 f(x)在(a，)上单调增； 若a a 28 4 a，即 0a1，则当 x(a，x1)时，f(x)0；当 x(x1，)时，f(x)0，所以 f(x)在区间 a，a a 28 4 上单调减，在 a a28 4 ，上单调增(6 分) 当 0xa 时，f(x)2xa1 x 2x2ax1 x ， 令 f(x)0，得2x2ax10，记a28， 若a280，即 0a2 2，则 f(x)0，故 f(x)在(

31、0，a)上单调减； 若a280，即 a2 2， 则由 f(x)0，得 x3a a 28 4 ，x4a a 28 4 且 0x3x4a， 当 x(0，x3)时，f(x)0；当 x(x3，x4)时，f(x)0；当 x(x4，a)时，f(x)0，所以 f(x)在区 间 0，a a 28 4 上单调减，在(a a 28 4 ，a a 28 4 )上单调增；在 a a28 4 ，a上单调减(8 分) 综上所述，当 a1 时，f(x)单调递减区间是 0，a a 28 4 ，f(x)单调递增区间是 a a28 4 ，； 当 1a2 2时，f(x)单调递减区间是(0，a)，f(x)单调递增区间是(a，)； 当

32、 a22时，f(x)单调递减区间是 0，a a 28 4 和 a a28 4 ，a，f(x)单调的递增区间是 a a28 4 ，a a 28 4 和(a，)(10 分) (3) 函数 f(x)的定义域为 x(0，) 由 f(x)0，得|xa|lnx x . (*) () 当 x(0，1)时，|xa|0，lnx x 0，不等式(*)恒成立，所以 aR； () 当 x1 时，|1a|0，lnx x 0，所以 a1；(12 分) () 当 x1 时，不等式(*)恒成立等价于 axlnx x 恒成立或 axlnx x 恒成立 第 28 页 共 28 页 令 h(x)xlnx x ，则 h(x)x 21lnx x2 . 因为 x1， 所以 h(x)0，从而 h(x)1. 因为 axlnx x 恒成立等价于 ah(x)min，所以 a1. 令 g(x)xlnx x ，则 g(x)x 21lnx x2 . 再令 e(x)x21lnx，则 e(x)2x1 x0 在 x(1，)上恒成立，e(x)在 x(1，)上无最大值 综上所述，满足条件的 a 的取值范围是(，1)