南京市2020届高三数学二轮专题复习资料专题5：不等式问题.doc

1、 1 专题专题 5：不等式问题：不等式问题 问题归类篇问题归类篇 类型类型一一: : 解不等式解不等式 一、前测回顾一、前测回顾 1 解下列不等式： (1)3x24x40 (2)2x x1 2 (3) 4x32x 1 280 （4）ax2ax10 答案：(1)(2 3，2)；(2) (，4(1，)； (3)(， 5 2； (4) 当 0a4 时，解集为；当 a4 时，a a 24a 2a xa a 24a 2a ； 当 a0 时，xa a 24a 2a 或 xa a 24a 2a 二、方法联想二、方法联想 一元二次不等式 从四个方面考虑：(1)二次项系数为 0 和正负情况；(2)二次方程根是否

2、存在情况(优先用十字相乘法 求根)；(3)二次方程根的大小情况； (4)二次不等式的不等号方向 分式不等式 (1) f(x) g(x)0 等价于 f(x)g(x)0； f(x) g(x)0 等价于 f(x)g(x)0 (2) f(x) g(x)0 等价于 f(x)g(x)0， g(x)0； f(x) g(x)0 等价于 f(x)g(x)0， g(x)0 三、归类巩固三、归类巩固 *1、设0,不等式 2 8(8sin)cos20xx对xR恒成立,则的取值范围为_. (一元二次不等式恒成立)答案： , 6 5 6 , 0 *2、已知实数a，b，c满足abc0，a2b2c21，则a的最大值是_答案：

3、 3 6 (判别式法) 类类型二型二: :不等式恒成立不等式恒成立 一、前测回顾一、前测回顾 1若对任意 xR，都有(m2)x22(m2)x40 恒成立，则实数 m 的取值范围是 2 若对任意 x0，都有 mx22x10 恒成立，则实数 m 的取值范围是 3 若对任意1m1，都有 mx22x1m0 恒成立，则实数 x 的取值范围是 答案：(1)(2，2；(2)(，0；(3)( 31，2) 二、方法联想二、方法联想 恒成立问题 (1)二次不等式恒成立问题 2 方法 1 结合二次函数图象分析 方法 2 分离变量法 (2)一次不等式恒成立问题 若关于 x 的不等式 axb0 对任意 x m，n上恒成

4、立，则 f(m)0， f(n)0； 若关于 x 的不等式 axb0 对任意 xm，n上恒成立，则 f(m)0， f(n)0 三、归类巩固三、归类巩固 *1、已知当x(0，+)时，不等式9x-m 3x+m+10恒成立，求实数m的取值范围. 答案：m0，b0，a+b=5，则 a+1+ b+3的最大值为 .解答：3 2 *2、若不等式x22xya(x2y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为_ (结构特征,消元)答案： 2 15 *3.若正实数yx,满足xyyx62，则xy的最小值是 ； (考查基本不等式)答案 )0 ,( *4已知 f(x)32x(k1)3x2，当 xR 时，若 f(x)

5、恒为正值，则 k 的取值范围是_； (考查不等式恒成立).答案 (，12 2) *5已知二次函数 f(x)ax22xc(xR)的值域为0，)，则a1 c c1 a 的最小值为 _； (考查函数性质应用,基本不等式).答案 4 类类型四型四: f(x)xa x型函数 型函数 一、前测回顾一、前测回顾 求下列函数的值域： (1)y x25 x24； (2)f(x)x a x，x1，2 答案：(1)5 2； (2)当 a1 时，值域为1a，2a 2，当 1a2 时，值域为2 a，2a 2， 当 2a4值域为2 a，1a，当 a4 时，值域为2a 2，1a 二、方法联想二、方法联想 对于 f(x)xa

6、 x， 当 a0 时，f(x)在(，0)，(0，)为增函数； 当 a0 时，f(x)在(， a)，( a，)为增函数；在( a，0)，(0， a)为减函数 4 注意 在解答题中利用函数 f(x)xa x的单调性时，需要利用导数进行证明 三、归类巩固三、归类巩固 *1、若函数2 2 2)( x x a xf的值域为, 0,则实数a的取值范围是 . 答案：1 , (问题转化) *2、设k0，若关于x的不等式kx+ 4 x-15在(1，+)上恒成立，则k的最小值为 . 答案：1 类型五类型五: f(x)ax 2bxc dxe (或 f(x) dxe ax2bxc)型 一、前测回顾一、前测回顾 求下列

7、函数的值域： (1)y x22x2 2x1 (x1 2) (2)y x1 x2x2(x1) 答案：(1) 51 2 ，)；(2)1 2，0) 二、方法联想二、方法联想 令 dxet 进行换元(即将二次部分用一次部分表示)，转化为 f(x)xa x型函数问题 三、归类巩固三、归类巩固 *1、已知 x5 2，求 f(x) x24x5 2x4 最小值 答案：1 4 *2、若不等式)(3 22 babba对任意Rba,恒成立,则实数的最大值为 . (结构特征,消元) 答案：2 类型六类型六: 线性规划线性规划 一、前测回顾一、前测回顾 设 x，y 满足约束条件 x4y3 3x5y25 x1 ，则 (1

8、) zx2y 的最小值为 ；(2)z2xy 的最大值为 ； (3) zx22xy2的最大值为 ；(4) z y x4的最大值为 5 答案：(1)3；(2)8；(3)39；(4)22 25 二、方法联想二、方法联想 利用线性规划区域求最值 将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值 三、归类巩固三、归类巩固 *1.已知实数 x，y 满足 y0， yx10， y2x40， 若 zyax 取得最大值时的最优解 (x，y)有无数个，则 a 的值为_； (考查线性规划). 答案 1 *2、已知函数caxxf 2 )(,且5)2(2 , 3) 1 (1ff,则)3(f的取值范围是 . (看成线性规划问

9、题或同向不等式相加) 答案： 3 35 , 3 1 *3、三次函数 32 , ,f xxbxcxd b c dR在区间1,2上是减函数，那么bc的取值范围是 （线性规划与二次函数、导数等知识结合） 答案： 15 , 2 *4、已知, 是三次函数 32 11 2, 32 f xxaxbx a bR的两个极值点，且0,1 ,1,2， 则 2 1 b a 的取值范围是 （线性规划与根的分布结合） 答案： 1 ,1 4 *5、已知三个正实数, ,a b c满足2 ,2bacb abca，则 a b 的取值范围是_ （三个变量向两个变量转化的线性规划问题） 答案： 2 3 , 3 2 综合应用篇综合应用

10、篇 一、例题分析一、例题分析 6 例例 1 设函数 f(x)x2ax3 (1)当 xR 时，f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围； (2)当 x2，2时，f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围； (3)设不等式 f(x)a 对于满足 1a3 的一切 a 的取值都成立，求 x 的取值范围 解：(1)6a2 (2) 7a2 思路 1：(利用二次函数的图象) 注：此方法可改进，由 f(2)a，f(2)a 得7a7 3对称轴 x a 2 7 6， 7 2，可少讨论一种 情况 思路 2：(求函数的最值) 注：此方法可改进，由 f(2)a，f(2)a 得7a7 3，再进行分类讨论 思路 3：(变量分离后

11、，再求函数的最值) (3) x3 或 x0 【教学建议】 1本题涉及到不等式恒成立问题，通常思路有 3 种， f(x)0， xD 恒成立f(x)min0 转化为求函数 f(x)的最小值(求最值时， 可能要对参数进行讨论)； 选进行变量分离，再求函数的最值；即 f(x)a，xD 恒成立f(x)mina 利用函数的图象和几何意义； 2 本题是二次不等式恒成立问题， 第一问是二次不等式对任意实数恒成立， 可由图象法及判别式处理 第二问是二次不等式对 x2，2恒成立，所以图象法，求最值，或变量分量后求最值均可，以方 法二较优 例例 2 设 m，nR，若直线(m1)x(n1)y20 与圆(x1)2(y1

12、)21 相切，求 mn 的取值范围 解 mn(，22 222 2，) 思路 1：(基本不等式) 思路 2：(消元转化为求函数的值域) 思路 3：(利用图形的几何意义) 【教学建议】 1本题是求二元函数的值域问题这类问题主要有 3 种解题思路： 直接利用基本不等式，这种方法往往只能求最大值或最小值； 消元转化为一元函数，再求最值； 将两个变量看成一个有序实数对，当作平面内一个动点，从图形的几何意义方面，考虑求目标函 数的值域 2本题 3 种方法均可，方法一只适用于本题，方法二是一般方法，本题中方法三难度较大，对思维的 要求很高，但比较直观，在小题中使用较好 例例 3 在ABC 中，ABAC，D

13、为 AC 中点，且 BD 3，求ABC 的面积的最大值 解：S 取最大值 2 思路 1： （代数方法）建立目标函数，求最值 思路 2： （几何方法） 7 【教学建议】 1本题是实际问题中的最值问题这类问题通常有 2 种思路： 根据图形的几何意义，确定取得最值的情形，再进行计算； 建立目标函数，转化为求函数的最值 2本题采用思路 2，通过建立目标函数，再求函数的最值，再表示面积时，有两种方法，一是通过两边 及夹角求面积，一是通过底边与高求面积，因而有方法一与方法二 3方法一有纯代数的方法，转化为求双二次函数的最值，运算量较大；方法二结合图形的几何性质， 由于 BD 已知，因而要使面积最大，只需

14、A 到 BD 的距离最大，由于点 A 要求满足 AB2AD，因而 它的轨迹是一个圆， 问题就转化为求轨迹上的点到直线 BD 距离的最大值问题， 所以法二采用了建系 求轨迹的方法，运算量小，比方法一简单，但思维的要求更高 二、反馈巩固二、反馈巩固 *1 (2016 江苏)已知实数 x，y 满足 240 220 330 xy xy xy ，则 x2+y2的取值范围是 (考查线性规划).答案 4 , 1 3 5 *2设yx,满足约束条件 , 0 , 0 , 048 , 022 y x yx yx 若目标函数)0, 0(bayabxz的最大值为 8， 则ba的 最小值为 (考查线性规划).答案 4 *

15、3函数) 1( 1 107 2 x x xx y的最小值是 (考查基本不等式).答案 9 *4.若实数 x，y 满足 x2y2xy1，则 xy 的最大值为_ (考查基本不等式).答案 2 3 3 *5.（2016 上海）设. 0, 0ba若关于, x y的方程组 1 1 axy xby 无解，则ba的取值范围是 _(考查基本不等式).答案2 +（ ， ） *6.已知632,cbaRcba，则 222 94cba的最小值为 (考查基本不等式).答案 12 *7如果函数 2 1 28100 2 f xmxnxmn，在区间 1 2 2 ，上单调递减，则 mn 的最 大值为_(考查函数的单调性, 线性

16、规划).答案 18 *8.若关于 x 的不等式(2ax1) ln x0 对任意 x(0，)恒成立，则实数 a 的值为_ (考查不等式恒成立问题，不等式与函数的关系). 答案：1 2； 8 *9已知函数 f(x) . 0, 1) 2 1 ( , 0), 1 1 (log2 x x x x 若 f(32a2)f(a)，则实数 a 的取值范围为_； (考查函数性质应用).答案 ，3 2 (1，) *10已知 f(x)是定义在(，4上的减函数，是否存在实数 m，使得 f(msin x)f 12m7 4cos 2x 对定义域内的一切实数 x 均成立？若存在， 求出实数 m 的取值范 围；若不存在，请说明

17、理由 (考查函数性质应用,基本不等式). 解 假设实数 m 存在，依题意， 可得 msin x4， msin x 12m7 4cos 2x， 即 m4sin x， m 12m1 2 sin x1 2 2. 因为 sin x 的最小值为1，且(sin x1 2) 2 的最大值为 0，要满足题意，必须有 m41， m 12m1 20， 解得 m1 2或 3 2m3. 所以实数 m 的取值范围是 3 2，3 1 2 . *11某开发商用 9 000 万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑 面积为 2 000 平方米已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米 4 000 元，从第二层开

18、 始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 100 元 (1)若该写字楼共 x 层，总开发费用为 y 万元，求函数 yf(x)的表达式；(总开发费用总 建筑费用购地费用) (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ (考查函数性质应用,基本不等式). 解 (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 4 0002 0008 000 000(元)800(万元)， 从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 1002 000200 000(元)20(万元)， 9 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800 为首项，20 为公差的等差数列， 所以函数表达式为：

19、yf(x)800xxx1 2 209 000 10x2790x9 000(xN*)； (2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为： g(x) fx 2 000x10 000 510x2790x9 000 x 50 x900 x 79 50(2 90079) 6 950(元) 当且仅当 x900 x ，即 x30 时等号成立来源:学。科。网 Z。X。X。K 答：该写字楼建为 30 层时，每平方米平均开发费用最低 *12某地区共有 100 户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为 3 万元为了调整产 业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工据估计，如果能动员 x(x0)户农民 从事蔬菜加

20、工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高 2x%，从事蔬菜加工 的农民每户年均收入为 3 a3x 50 (a0)万元 (1)在动员 x 户农民从事蔬菜加工后， 要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从 事蔬菜种植的年总收入，试求 x 的取值范围； (2)在(1)的条件下， 要使 100 户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种 植农民的年总收入，试求实数 a 的最大值 (考查函数性质应用,不等式恒成立). 解 (1)由题意得 3(100x)(12x%)3100， 即 x250x0，解得 0x50，又因为 x0，所以 00，所以 a100 x x 251 恒成立，而

21、 100 x x 2515(当且仅当 x50 时取得等号) 所以 a 的最大值为 5. *13. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以 点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成. 10 按设计要求扇环面的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为 10 米. 设小圆弧所在圆的半径为 x 米，圆心角为 (弧度). (1)求 关于 x 的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的 装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y， 求 y 关于 x 的函数关系式， 并求 出 x 为

22、何值时，y 取得最大值？ (考查扇形的面积与弧长，基本不等式求最值的实际应用问题). 答案： （1）102x 10x (0x10)； （2）yx 25x50 17010x ，(0x10)；当 x1 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大 *14设二次函数 f(x)ax2bxc，函数 F(x)f(x)x 的两个零点为 m，n(mn) (1)若 m1，n2，求不等式 F(x)0 的解集； (2)若 a0，且 0xmn1 a，比较 f(x)与 m 的大小 (考查函数性质,二次不等式应用). 解 (1)由题意知，F(x)f(x)xa(xm) (xn)， 当 m1，n2 时，不等式 F(x)0，即 a(x1)(x2)0. 当 a0 时，不等式 F(x)0 的解集为x|x1 或 x2； 当 a0 时，不等式 F(x)0 的解集为x|1x2 (2)f(x)ma(xm)(xn)xm (xm)(axan1)， a0，且 0xmn1 a，xm0,1anax0. f(x)m0，即 f(x)m.