南京市2020届高三数学二轮专题复习资料专题1:基本初等函数.doc
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1、第 1 页 共 14 页 专题专题 1:基本初等函数:基本初等函数 问题归类篇问题归类篇 类型一:类型一:分段函数分段函数 一、前测回顾一、前测回顾 1已知函数 f(x) x1, x1, x24, x1 ,若 f(x)2,则 x 的取值范围为 f(x)在区间1,3的 值域为 答案: 2,);2,4 2设函数 f(x) 2x 3 1, x0, 1 x, x0 ,若 f(f(b)2,求实数 b 的值 答案:b3 4或2 二、方法联想二、方法联想 方法 1:分类讨论,按分段区间进行分类讨论,最后汇总(求并集); 方法 2:图象法,画出分段函数的图象,根据图象探讨不等式解集及值域问题 三、归类巩固三、
2、归类巩固 *1已知 f(x) 2x, x1, log2x1, x1 ,则 ff(1) 答案:0(考查分段函数求值问题) *2设函数 f(x) 1log2(2x),x1 2x1,x1 ,则 f(2)f(log212) 答案:9 *3设函数 f(x) 21 x,x1, 1log2x,x1, 则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是_ 答案:0,) *4已知函数 f(x) x22x,x0 ln(x1),x0 ,若|f(x)|ax,则 a 的取值范围是 答案:2,0 *5已知函数 f(x) |lnx|,x0 x24x1,x0,若关于 x的方程 f(x)2bf(x)c0(b,cR)有 8 个不同的实数
3、根,则 bc 的取值范围是 答案:(0,3) 第 2 页 共 14 页 6 已知函数 f(x)|lnx|,g(x) 0,0x1 |x24|2,x1,则方程|f(x)g(x)|1 实根的个数为_ 答案:4 类型二:求函数的解析式类型二:求函数的解析式 一、前测回顾一、前测回顾 1已知 ff(x)94x,且 f(x)是一次函数,则 f(x) 若 f(x21)x2,则 f(x) 答案:2x3 或2x9;x1(x1) 2已知函数满足 2f(x)f(1 x)x,则 f(2) ;f(x) 答案:7 6, 2 3x 1 3x 二、方法联想二、方法联想 方法 1:待定系数法; 方法 2:换元法、拼凑法; 方法
4、 3:函数方程法 三、归类巩固三、归类巩固 *1已知 f(x)x23x2,则 f(x1)_答案:x25x6 *2已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x1)2f(x1)2x17,则 f(x)_答案:2x7 *3已知 f(x)是二次函数,若 f(0)0,且 f(x1)f(x)x1,则 f(x)的表达式为_答案:1 2x 21 2x *4已知 f 2 x1 lgx,则 f(x)_答案:lg 2 x2 *5若 2f(x)f(x)x,则 f(x) 答案:则 f(x)x 3 *6若 f(x2 x)x 24 x23x 6 x,则 f(x) 答案:x 23x4 类型三:二次函数类型三:二次函数 一、前测回
5、顾一、前测回顾 1若二次不等式 f(x)0 的解集为(1,2),且函数 yf(x)的图象过点(1,2),则 f(x) 答案:1 3x 2x2 3; 2已知 f(x)x22x2,xt,t1,若 f(x)的最小值为 h(t),则 h(t) 已知函数满足 2f(x)f(1 x)x,则 f(2) ;f(x) 答案: t 22t2,t1 2 t21, t1 2 第 3 页 共 14 页 二、方法联想二、方法联想 二次函数的解析式一般设为三种形式:(1)一般式:f(x)ax2bxc(a0); (2)顶点式:f(x)a(xh)2k(a0); (3)零点式:f(x)a(xx1)(xx2)(a0) 二次函数在给
6、定区间内的值域与最值问题二次函数在给定区间内的值域与最值问题: 方法方法: 结合图象,分区间讨论 步骤步骤: 配方求对称轴(也可以用公式) ,画出草图(关注:对称轴,开口方向及给定区间); 结合图象,由函数的单调性,求出最值若对称轴在给定区间内,则考虑顶点及端点的 函数值,若对称轴不在给定区间内,则最值为端点的函数值 三、归类巩固三、归类巩固 *1已知二次函数f(x)ax2bxc图象的顶点为(1,10),且方程ax2bxc0的两根的平方和为12, 则f(x)的解析式是_ 答案:f(x)2x24x8 *2已知函数f(x)x24xa,x0,1若f(x)有最小值2,则f(x)的最大值为_ 答案:1
7、*3若定义域为 R 的二次函数 f(x)的最小值为 0,且有 f(1x)f(1x),直线 g(x)4(x1)被 f(x)的图像 截得的线段长为 4 17,则函数 f(x)的解析式为_ 解析:设 f(x)a(x1)2(a0) 由 yax 2, yx, 得 ax2(42a)xa40 由韦达定理,得 x1x242a a ,x1 x2a4 a 由弦长公式,得 4 17 42 42a a 24 a4 a a1f(x)(x1)2 答案:f(x)(x1)2 *4已知函数 f(x) x24x,x0, 4xx2,x0. 若 f(2a2)f(a),则实数 a 的取值范围是_ 答案:(2,1) *5方程 mx2(m
8、1) x10 在区间(0,1)内有两个不同的实数根,则 m 的取值范围为_ 解析:令 f(x)mx2(m1)x1, 第 4 页 共 14 页 则 f(x)的图像恒过定点(0,1),由题意可得 m0, m 24m0, 0m1 2m 1, f()20. 解得 m32 2 答案:m32 2 *6函数f(x)2x22ax3在区间1,1上的最小值记为g(a),求g(a)的函数表达式为_ 答案:g(a) 2a5,a2 3a 2 2 ,2a2 52a,a2 类型四:指数函数与对数函数类型四:指数函数与对数函数 一、前测回顾一、前测回顾 1已知 2x 2x(1 4) x2,则函数 y( 3)x 22x的值域为
9、 答案: 答案: 3 3 ,81 2设 loga1 32,则实数 a 的取值范围为 答案: 答案:(0, 3 3 )(1,) 3已知函数 ylog0.5(x22x2),则它的值域为 答案:答案:(,0 二、方法联想二、方法联想 (1)指指(对对)数方程与不等式问题:数方程与不等式问题: 方法 1:转化为同底的指(对)数,利用指(对)数函数的单调性化简方程或不等式,与对数有关问题 要注意定义域及转化过程中的等价性 方法 2:利用换元法,转化为代数方程或不等式 变式:解不等式 lg2xlgx230 (答案:0x 1 10或 x1000,考查利用换元法解指(对)不等式) (2)与指)与指(对对)数函
10、数有关的值域问题,数函数有关的值域问题, 方法 1:复合函数法,转化为利用指(对)数函数的单调性; 方法 2:换元法,转化为基本初等函数的复合函数来求 (3)指数首先要注意值域,对数首先要注意定义域,其次这两个函数都要考虑单调性 三、归类巩固三、归类巩固 *1若点(a,9)在函数 y3x的图像上,则 tana 6 的值为_ 答案: 3 第 5 页 共 14 页 *2已知 a 51 2 ,函数 f(x)ax,若实数 m,n 满足 f(m)f(n),则 m,n 的大小关系为_ 答案:mn *3函数yax 21(a0,a1)的图像恒过定点_答案:(2,0) *4解不等式 lg2xlgx230 的解集
11、是_答案:0x 1 10或 x1000 *5已知函数 f(x)axlogax(a0,且 a1)在1,2上的最大值与最小值之和为 loga26,则 a 的值为 _ 解析:由题可知函数 f(x)axlogax 在1,2上是单调函数,所以其最大值与最小值之和为 f(1)f(2) aloga1a2loga2loga26,整理可得 a2a60,解得 a2 或 a3(舍去),故 a2 答案:a2 *6已知函数 f(x)log2(a2x)x2,若 f(x)0 有解,则实数 a 的取值范围是_ 解析:方法一:f(x)log2(a2x)x20,得 a2x22 x,即 a2x4 2x,令 t2 x(t0),则 t
12、2at4 0 在 t(0,)上有解,令 g(t)t2at4,g(0)40,故满足 a 20, a2160, 得 a4 方法二:f(x)log2(a2x)x20,得 a2x22 x,a2x4 2x4 答案:a4 类型五:函数的零点问题类型五:函数的零点问题 一、前测回顾一、前测回顾 1函数 f(x)lgxsinx 零点的个数为 答案:答案:3 2函数 f(x)2xx4 零点所在区间为(k,k1 ),kN,则 k 答案:答案:1 二、方法联想二、方法联想 零点存在定理:零点存在定理:连续函数 yf(x)在区间(a,b)上有 f(a)f(b)0,则 f(x)在(a,b)上至少存在一个零点反 之不一定
13、成立 零点存在问题:零点存在问题:能解出 xx0;x0A(定义域) ;方法 2:分离参数,转化为求值域(要分清谁是 参数,谁是自变量) ;方法 3:数形结合法 零点个数问题:零点个数问题:方法 1:数型结合;方法 2:解出 xxi(1,2,n),根据问题中零点有 k 个, 则选择 k 个 xA(定义域) ,nk 个 xA 三、归类巩固三、归类巩固 *1若一次函数 f(x)axb 有一个零点为 2,那么函数 g(x)bx2ax 的零点是 第 6 页 共 14 页 答案:0 和1 2 *2函数函数 f(x)log2(x+2)x 有_个零点 答案:2 *3已知函数 f(x) 0, x0, 2x, x
14、0 则使函数 g(x)f(x)xm 有零点的实数 m 的取值范围是 答案:m0 或 m1 *4已知三个函数 f(x)2xx,g(x)x2,h(x)log2xx 的零点依次为 a,b,c,则 a,b,c 的大小 关系是_ 解析:由于 f(1)1 21 1 20,f(0)10, 故 f(x)2xx 的零点 a(1,0) 因为 g(2)0,故 g(x)的零点 b2; h 1 2 11 2 1 20,h(1)10, 故 h(x)的零点 c 1 2,1 ,因此 acb 答案:acb *5若函数 x2m x4(x0)存在零点,则实数的取值范围是_答案:2,) *6已知函数 f(x) kx2,x0 lnx,
15、x0 (kR),若函数 y|f(x)|k 有三个零点,则实数 k 的取值范围 是 答案:k2 综合应用篇综合应用篇 一、例题分析一、例题分析 例 1 已知函数 f(x)loga(82x)(a0,且 a1) (1)当 a2 时,求满足不等式 f(x)2 的实数 x 的取值范围; (2)当 a1 时,求函数 yf(x)f(x)的最大值 答案: (1)实数 x 的取值范围为2,3) (2)函数 yf(x)f(x)的最大值为 loga49 教学建议教学建议 (1)主要问题归类与方法:)主要问题归类与方法: 1解指(对)数不等式问题: 方法:利用指(对)数函数的单调性,将不等式转化为代数不等式来解 换元
16、法:转化为整式不等式,指(对)数必须先注意值(定义)域 第 7 页 共 14 页 2与指(对)数有关的函数值域: 方法:考察对应函数(复合函数)的单调性,利用单调性处理 用换元法,转化为几个基本函数的值域问题 (2)方法选择与优化建议:)方法选择与优化建议: 对于问题 1,学生一般会选择方法,因为本题既含对数,也含有指数,用换元不能一次转化 为代数不等式,所以选择方法 对于问题 2,学生一般会选择方法,因为用换元法转化为几个基本函数的值域,处理比较方 便,所以选择方法 指数函数、对数函数的单调性受底数 a 的影响,解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时, 首先要看底数的范围 本题的易错点有
17、两个,一是第一问中的“82x0”的定义域部分;二是第二问中函数 yf(x)f( x)的定义域 例 2 已知函数 f(x)a 1 |x| (1)求证:函数 yf(x)在(0,)上是增函数; (2)若 f(x)2x 在(1,)上恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若函数 yf(x)在m,n上的值域是m,n(mn),求实数 a 的取值范围 解: (1)f(x)在(0,)上为增函数 (2)a 的取值范围为(,3 (3)a 的取值范围为0(2,) 教学建议教学建议 (1)主要问题归类与方法:主要问题归类与方法: 1讨论函数的单调性问题: 方法:利用函数的图象; 复合函数的单调性; 利用函数单调性的定
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