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类型南京市2020届高三数学二轮专题复习资料专题2:函数的图像与性质.doc

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    1、第 1 页 共 12 页 专题二:函数的图像与性质专题二:函数的图像与性质 问题归类问题归类篇篇 类型一:类型一:函数的值域和最值函数的值域和最值 一、前测回顾一、前测回顾 1求下列函数的值域: (1)ysin(2x 3),x0, 6的值域是_; (2)y1x 2 1x2的值域是_; (3)yx 1x的值域是_; (4)f(x)(1 2) xx,x1,2 的值域是_; (5)f(x)x2 2 x21的值域是_ 答案: (1) 3 2 ,1; (2)(1,1; (3)(,5 4; (4) 7 4,3; (5)2 21,) 2函数 f(x)xlnx 的值域是_答案:1 e,) 二、方法联想二、方法

    2、联想 值域求法:值域求法: 1 1初等方法:初等方法: (1)图象法; (2)复合函数法; (3)分离常数或反解法; (4)换元法; (5)单调性法; (6)基本不等式法; (7)配方法 2高等方法(终极方法)高等方法(终极方法) :导数法 三、归类巩固三、归类巩固 *1函数 y 164x的值域是_答案:0,4) *2函数 y xx(x0)的最大值为_ 解析:y xx( x)2 x x1 2 21 4, ymax1 4 答案:1 4 *3设函数 f(x)1 2(x|x|),则函数 ff(x)的值域为_ 解析:先去绝对值, 当 x0 时,f(x)x,故 ff(x)f(x)x, 当 x0 时,f(

    3、x)0,故 ff(x)f(0)0, 第 2 页 共 12 页 即 ff(x) x,x 0,x 易知其值域为0,) 答案:0,) *4已知函数 f(x)满足 2f(x)f 1 x 3 x2,则 f(x)的值域为_ 解析:由 2f(x)f 1 x 3 x2 令式中的 x 变为1 x可得 2f 1 x f(x)3x2 由可解得 f(x) 2 x2x 2,由于 x20, 因此由基本不等式可得 f(x) 2 x2x 22 2 x2 x 22 2, 当 x2 2时取等号,因此其最小值为 2 2,值域为2 2,) 答案:2 2,) *5 若函数 f(x) 232x, x9, 4logax3, x9 (a0

    4、且 a1)的值域是5, ), 则实数 a 的取值范围是 答案:(1,3 *6定义 mina,b,c为 a,b,c 中的最小值,设 f(x)min2x3,x21,53x ,则 f(x)的最大 值是_答案:2 类型类型二二:函数的单调性函数的单调性 一、前测回顾一、前测回顾 1 (1)函数 f(x)2x1 x1 的增区间为 ; (2)f(x)log1 2(x 22x)的增区间为 ; 答案: (1)(,1)和(1,); (2)(,0) 2f(x)lnx2x2的减区间为 答案:(1 2,) 二、方法联想二、方法联想 方法 1:图象法; 方法 2:导数法; 方法 3:定义法; 方法 4:复合函数法 判断

    5、函数的单调性优先考虑定义域,方法选择可先考虑图象法,再考虑复合函数法,关键时候用导 数法,别忘了定义法 注意注意:单调性证明只能用导数法和定义法 三、归类巩固三、归类巩固 第 3 页 共 12 页 *1给定函数yx 1 2 ;ylog1 2 (x1);y|x1|;y2x 1,其中在区间(0,1)上单调递减的函 数的序号是_答案: *2下列函数中,在区间(0,)上为增函数的是_ yln(x2) ,y x1, y 1 2 x, yx1 x 答案: *3 已知函数 f(x)在0, )上为增函数, g(x)f(|x|), 若 g(lgx)g(1), 则 x 的取值范围是_ 解析:g(lgx)g(1),

    6、g(x)f(|x|), f(|lgx|)f(1) f(|lgx|)f(1) 又f(x)在0,)上是增函数,|lgx|1 1lgx1 1 10x10 答案: 1 10x10 *4若函数 f(x) a2x,x2, 1 2 x1,x2 是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围是_ 解析:由题意可知 a20 a22 1 2 21, 解得 a13 8 答案:a13 8 *5设函数 f(x)ax1 x2 在区间(2,)上是增函数,求实数 a 的取值范围是_ 答案:a1 2 *6设函数 f(x)x|xa|,若对任意的 x1,x22,),x1x2,不等式f(x1)f(x2) x1x2 0 恒成立, 则实

    7、数a的取值范围是 答案:(,2 类型类型三三:函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性和周期性 一、前测回顾一、前测回顾 1f(x)x( 1 2x1 1 2)的奇偶性为 答案:偶函数 2 若 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x0 时,f(x)13x,则 f(x) 第 4 页 共 12 页 答案: 13x,x0 0, x0 13x, x0 3设 f(x)是 R 上的奇函数,f(x2)f(x),当 0x1 时,f(x)x,则 f(75) ; 答案:1 2 二、方法联想二、方法联想 1判断判断(证明证明)函数的奇偶性函数的奇偶性 方法 1:定义法;方法 2:图象法 优先考虑用图象法,定义法前先判断定义域但

    8、证明奇偶性只能用定义法 2已知函数奇偶性,求参数的值已知函数奇偶性,求参数的值 方法方法 1:特殊值法,若函数为奇函数且 0 在定义域内,用 f(0)0 方法方法 2:利用定义,转化方程恒成立问题 优先用方法 1,但要注意检验如果是解答题,必须用定义证明其奇偶性 3函数周期性问题函数周期性问题 函数周期性的判断常用定义,即函数周期性的判断常用定义,即如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x, 都有 f(xT) f(x),则称 f(x)为周期函数 有关周期性常用结论有关周期性常用结论: 若函数满足 f(xa)f(x),则 f(x)的周期为 2a 若函数满足 f(xa) 1 f(x

    9、),则 f(x)的周期为 2a 若函数满足 f(xa) 1 f(x),则 f(x)的周期为 2a 4奇偶性、单调性应用奇偶性、单调性应用 处理函数问题,如最值、解不等式、图象等,可分析函数的奇偶性,判断函数的单调性,其中奇(偶) 函数 y 轴两侧单调性口诀:奇同偶反 三、归类巩固三、归类巩固 *1若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(,0上是减函数,且 f(2)0,则 f(x)0 的 x 的取值范 围是 答案:(2,2) *2已知函数 f(x)对任意实数 x 都有 f(x2) 1 f(x),若 f(1)5,则 f(f(5)_ 答案:1 5 第 5 页 共 12 页 *3若 f(x) x

    10、 (2x1)(xa)为奇函数,则 a 的值为 答案: 1 2 *4已知 f(x)是定义在(3,3)上的奇函数,当 0x3 时,f(x)的图像如图所示,那么不等式 xf(x)0 的解集为_答案:(1,0)(0,1) *5已知函数 f(x) x22x, x0, x22x, x0 若 f(a)f(a)2f(1),则a 的取值范围是 答案:1,1 *6 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 f(x4)f(x)对一切实数 x 都成立,若 f(1)0,则关于 x 的方程 f(x)0 在0,10上的解的个数为 _答案:11 类型类型四四:函数图像函数图像 一、前测回顾一、前测回顾 1已知函数 f(x

    11、)ln(2x1), 将函数 yf(x)图象向右平移 2 个单位后的解析式为 与函数 yf(x)图象关于 y 轴对称的函数解析式为 答案:yln(2x3);yln(12x); 2方程 1x2xm 有一个实数解,则 m 的取值范围为 答案: 1,1) 2 二、方法联想二、方法联想 1函数图函数图象变换象变换 (一)对称变换; (二)翻折变换; (三)平移变换; (四)伸缩变换 处理函数问题优先考虑函数的图象,即数形结合法作函数图象时,先考虑用图象变换法转化为基本 函数问题我们也可以由函数的图象分析函数的性质(或值域),反过来要考虑函数的性质对函数作图的作 用 2图象的对称问题图象的对称问题 方法

    12、1:相关点法;方法 2:特殊值法 常用结论:常用结论: 若函数满足 f(ax)f(bx),则 f(x)图象关于 x ab 2 对称 若函数满足 f(ax)f(bx)m,则 f(x)图象关于(ab 2 ,m 2)对称 三、归类巩固三、归类巩固 *1方程|x|cosx 在(,)内有_个实数根 答案:有且仅有两个根 第 6 页 共 12 页 *2若对任意 xR,不等式|x|ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是_ 答案:|a|1 *3若方程 2a|ax1|(a0,a1)有两个实数解,求实数 a 的取值范围是_ 答案: 0,1 2 *4已知 yf(x)是 R 上的增函数,A(0,1)、B(3,1)是其

    13、图像上两个点,则不等式|f(x1)|1 的解集 是_ 解析:|f(x1)|11f(x1)1f(0)f(x1)f(3),又 yf(x)是 R 上的增函数,0x13 1x2 答案:x|1x2 *5已知 f(x)是定义在 R 上的函数,满足 f(x)f(x)0,f(x1)f(x1),当 x(0,1)时,f(x) x2x,则函数 f(x)的最小值为 答案:1 2 *6f(x)的定义域为 R,且 f(x) 2 x1x0, fx1x0, 若方程 f(x)xa 有两个不同实根,则 a 的取值范 围为_ 答案:(,1) 综合综合应用应用篇篇 一、例题分析一、例题分析 例 1 设函数 f(x)ln|x| 1 x

    14、2,则使得 f(x)f(2x1)成立的 x 的取值范围是_ 答案答案:(1 3, 1 2)( 1 2,1) 教学建议教学建议 (1)主要问题归类与方法)主要问题归类与方法: 1解不等式问题 方法 1:直接求解; 方法 2:转化为常见代数不等式(组)求解,通常的方法有:换元法,利用函数的单调性等 2判断(证明)函数的奇偶性 方法 1:定义法;方法 2:图象法 3判断函数单调性 方法 1:图象法; 方法 2:导数法; 方法 3:定义法; 方法 4:复合函数法 第 7 页 共 12 页 (2)方法选择与优化建议)方法选择与优化建议: 本题是解不等式问题,直接求解比较复杂,考虑将其转化后求解,而显然换

    15、元法也不行,所以考虑利 用函数的单调性转化,所以要判断函数的单调性,考虑到本题的函数解析式中含有绝对值,是分段函数, 研究单调性,需分段进行,对于函数性质的研究,通常需要整体把握,即从定义域,奇偶性,单调性和周 期性等方法综合考虑,有些函数的问题,必要时还要看一些特殊的点。本题中的函数是偶函数,当 x0 时,f(x)lnx 1 x2,可用导数法证明: f(x)在(0,)上单调递增,由奇偶性知,f(x)在(,0)上单调递减. 为了便于转化不等式,可将不等式转化为 f(|x|)f(|2x1|),从而得到|x|2x1|0 例 2 已知函数 f(x)ln(2x 2) |x2|2 (1)试判断 f(x)

    16、的奇偶性并给予证明; (2)求证:f(x)在区间(0,1)上单调递减. 答案: (1)f(x)为奇函数. (2)略. 教学建议教学建议 (1)主要问题归类与方法)主要问题归类与方法: 1判断(证明)函数的奇偶性 方法 1:定义法;方法 2:图象法 证明函数的奇偶性,只能用定义法 2证明函数单调性 方法 1:图象法; 方法 2:导数法; 方法 3:定义法; 方法 4:复合函数法 本题考查用定义判断函数的奇偶性、单调性.本题的易错点有两个,一是忽视先求出定义域,直接 判断 f(x)与 f(x)的关系;二是在第二问中机械套用定义,对 f(x1)、f(x2)直接作差,反而无法证明函数 的单调性. (2

    17、)方法选择与优化建议)方法选择与优化建议: 1.对于一个函数 f(x),它由定义域和对应法则唯一确定,因此对函数一系列的性质的研究也都应该在 定义域的基础上展开,判断函数的奇偶性必须先检验函数的定义域是否对称,求函数的单调区间也 必须首先判断函数的定义域. 2.本题中的函数 f(x)的解析式是由多个基本初等函数复合而成,因此其单调性的证明转化为几个基本初 等函数单调性的判断,证明过程的最后一步利用了不等式的性质:若 ab0,cd0,则 acbd. 例 3 (1)已知函数 y|x 21| x1 的图象与函数 ykx2 的图象恰有两个交点, 那么实数 k 的取值范围是 第 8 页 共 12 页 (

    18、2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)1 2(|xa 2|x2a2|3a2)若对于 任意 xR,有 f(x1)f(x),则实数 a 的取值范围为 答案: (1)(0,1)(1,4);(2) 6 6 , 6 6 . 教学建议教学建议 (1)主要问题归类与方法)主要问题归类与方法: 1函数图象交点的个数问题 方法:借助基本函数的图象,及直线的几何意义观察,交点的个数 2不等式恒成立问题 方法 1:分离变量法,分离变量转化为求函数的最值问题; 方法 2:直线讨论函数的单调性,求函数的最值,再转化为解不等式; 方法 3:图象法,利用函数的图象,考查一个曲线在另一曲线的上

    19、下方的条件 (2)方法选择与优化建议)方法选择与优化建议: 第(1)题,研究函数图象的交点情况,由于函数 y|x 21| x1 图象是确定的且可画出,函数 ykx2 的图 象是一条过(0,2),斜率为 k 的动直线,本题就是考查动直线在变化过程中与定曲线有两个交点, 可借助于图象的直观来解决问题。 第(2)题,由于函数比较复杂且解析式中含有参数,无法进行变量分离,利用方法 2 也不易转化为解不 等式问题,所以本题采用方法 3,方法 3 的关键是画出函数的图象,由于 x0 时,图象是分段函数, 每段都是直线,x0 的图象可利用奇函数图象关于原点对称作出。 例 4 设 f(x)是定义在 R 上的奇

    20、函数,且对任意实数 x,恒有 f(x2)f(x)当 x0,2时,f(x)2x x2 (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x2,4时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)f(1)f(2)f(2 015) 答案: (1)f(x)是周期为 4 的周期函数 (2)f(x)x26x8,x2,4 (3)0. 教学建议教学建议 (1)主要问题归类与方法)主要问题归类与方法: 本题考查函数的周期性和奇偶性.第一问只需证明 f(x4)f(x),即可说明 f(x)是周期函数;第二 问利用奇偶性求得函数 f(x)在2,0上的解析式,进而利用周期性求得 f(x)在2,4上的解析式;第 三问则是利用函数

    21、值的周期性求和. (2)方法选择与优化建议)方法选择与优化建议: 第 9 页 共 12 页 1.本题的易错点是在第二问的求解析式, 应强调将所求区间上的 x 转化为符合已知区间上的变量特征, 进而利用已知的解析式求出结论. 2.函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题判断函数的周期只需证明 f(xT)f(x) (T0),便可证明函数是周期函数,且周期为 T. 二、反馈巩固二、反馈巩固 *1若函数 f(x) x22x, x0 x2ax,x0是奇函数,则满足 f(x)a 的 x 的取值范围是 答案:(1 3,) (考查函数的奇偶性,不等式的解法). *2函数 y2x1 x1 的

    22、图象向下平移 2 个单位,再向右平移 5 个单位后所得的图象的函数解析式为 _ 答案:y 3 x6 (考察函数的平移变化) *3已知偶函数 f(x)在0,)单调递减,f(2)0若 f(x1)0,则x的取值范围是 ; 答案 (1,3) (考查函数的奇偶性和单调性). *4若函数 yf(x)的值域是1 2,3,则函数 F(x)f(x) 1 f(x)的值域是 答案:答案:2,10 3 (本题考查函数的值域) *5已知函数 f(x)是(,)上的偶函数,若对于 x0,都有 f(x2)f(x),且当 x0,2)时,f(x) log2(x1),则 f(2012)f(2013)的值为_ 答案:答案:1 (本题

    23、考查函数的奇偶性、周期性) 解析:x0,都有 f(x2)f(x),则 x0 时,f(x)周期是 4,则 f(2012)f(0)0;f(2013)f(2013) f(1)1 *6已知 t 为常数,函数 y|x22xt|在区间0,3上的最大值为 2,则 t_答案:1 (考查函数的最值问题) *7函数 f(x)对一切实数x都满足 f(1 2x)f( 1 2x),并且方程 f(x)0 有三个实根,则这三个实根的和 为 答案 3 2 (考查函数图像的对称性,函数零点). 第 10 页 共 12 页 *8已知函数 f(x) (a3)x5,x1, 2a x ,x1 是(,)的减函数,那么 a 的取值范围是

    24、; 答案 (0,2 (考查分段函数的单调性). *9 已知函数 f(x)e|x|, m1, 对任意的 x1, m, 都有 f(x2)ex, 则最大的正整数 m 为_ 答案:4 (考查函数的单调性,不等式恒成立问题,数形结合的思想方法). *10设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间1,1上,f(x) ax1,1x0 bx2 x1 ,0x1 ,其中 a,bR,若 f 1 2 f 3 2 ,则 a3b 的值为_ 解析:由题意得,f(1 2)f( 3 2)f( 1 2), 所以 b 22 3 2 1 2a1, 3 2ab1. 又 f(1)f(1),b2a. 解得 a2,b4,a3b

    25、10. 答案:10 (本题考查函数周期性) *11已知函数 f(x)|x2|1,g(x)kx,若 f(x)g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是 _答案:答案:(1 2,1) (本题考查函数与方程、函数的图象) 解析: g(x)kx 过(0,0)旋转,和 f(x)|x2|1 有两个交点 *12已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x4)f(x),且在区间0,2上是增函数,若方程 f(x) m(m0)在区间8,8上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1x2x3x4_. 答案:8 (本题考查函数周期性,奇偶性,单调性,数型结合) *13设函数 f(x)log2(a

    26、xbx)且 f(1)1,f(2)log212. (1)求 a、b 的值; (2)当 x1,2时,求 f(x)的最大值 答案: (1)a4,b2; (2)2log23. 第 11 页 共 12 页 (考查待定系数法,二次函数与对数函数的值域). *14 已知函数 g(x) x1 与 h(x) 1 x3, x(3, a, 其中 a 为常数且 a0, 令函数 f(x)g(x) h(x) (1)求函数 f(x)的表达式,并求其定义域; (2)当 a1 4时,求函数 f(x)的值域 答案:答案: (1)f(x) x1 x3 ,x0,a; (2)1 3, 6 13 说明: (1)考查函数的解析式、定义域;

    27、 (2)考查函数的值域 解析:令 t x1,则 t1,3 2且 x(t1) 2 yf(x) t (t1)2+3y 1 t24 t t24 t在1,2上递减,在2,+)上递增, t (t1)2+3在1, 3 2上递增,即此时 f(x)的值域为 1 3, 6 13 *15设函数 f(x) 2xa,x1, 4(xa)(x2a),x1. (1)若 a1,求 f(x)的最小值; (2)若 f(x)恰有 2 个零点,求实数 a 的取值范围 答案:(1)1;(2) 1 2,1)2,) (考查函数的图象,函数最值与零点问题). *16已知函数 f(x)x 22xa x ,x1,) (1)当 a1 2时,求函数

    28、 f(x)的最小值; (2)若对任意 x1,),f(x)0 恒成立,试求实数 a 的取值范围 解(1)当 a1 2时,f(x)x 1 2x2,在1,)上为增函数,f(x)minf(1) 7 2. (2)f(x)xa x2,x1,) 当 a0 时,f(x)在1,)内为增函数最小值为 f(1)a3. 要使 f(x)0 在 x1,)上恒成立,只需 a30,即 a3,33.01 时,f(x)在1, a上为减函数,在( a,)上为增函数,所以 f(x)在1,)上的最小 值是 f( a)2 a2,2 a20,显然成立 综上所述,f(x)在1,)上恒大于零时,a 的取值范围是(3,) (考查函数的单调性,不

    29、等式恒成立). *17设函数 f(x)kaxa x (a0 且 a1)是奇函数 (1)求 k 的值; (2)若 f(1)0,解关于 x 的不等式 f(x22x)f(x4)0; (3)若 f(1)3 2,且 g(x)a 2xa2x 2mf(x)在1,)上的最小值为2,求 m 的值 解 (1)因为 f(x)是奇函数,且 f(0)有意义,所以 f(0)0,所以 k10,k1. (2)因为 f(1)0,所以 a1 a0,a1,f(x)a xax是 R 上的单调增函数 于是由 f(x22x)f(x4)f(4x),得 x22x4x,即 x23x40,解得 x4 或 x1. (3)因为 f(1)3 2,所以

    30、 a 1 a 3 2,解得 a2(a0),所以 g(x)2 2x22x2m(2x2x)(2x2x)2 2m(2x2 x)2.设 tf(x)2x2x,则由 x1, 得 tf(1)3 2,g(x)t 22mt2(tm)22m2. 若 m3 2,则当 tm 时,ymin2m 22,解得 m2. 若 m3 2,则当 t 3 2时,ymin 17 4 3m2, 解得 m25 12(舍去)综上得 m2. (考查函数的奇偶性和单调性). *18定义在 D 上的函数 f(x),如果满足:xD,常数 M0,都有| f(x)|M 成立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的上界.已知函数 f(x)1xax2. (1)当 a1 时,求函数 f(x)在(,0)上的值域,判断函数 f(x)在(,0)上是否为有界函数,并 说明理由; (2)若函数 f(x)在1,4上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围. 答案: (1)函数 f(x)在(,0)上不是有界函数. (2)实数a的取值范围为1 2, 1 8 (考查转化的思想方法,不等式的恒成立与二次函数的最值问题,分离变量讨论参数范围).

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