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1、Dynamical Processes and Models过程过程(t)过程噪声过程噪声过程输出过程输出y(t)测量噪声测量噪声w(t)u(t)过程输入过程输入z(t)输出测量值输出测量值 Black BoxInputOutputModels 所谓模型，就是把实际过程的本质信息简缩成有用的描述所谓模型，就是把实际过程的本质信息简缩成有用的描述形式形式模型的表现形式模型的表现形式：(1)直觉模型（自行车、汽车驾驶）；直觉模型（自行车、汽车驾驶）；(2)物理模拟模型（风洞）；物理模拟模型（风洞）；(3)图表模型（棒图）；图表模型（棒图）；(4)数学模型数学模型（本课程将研究的内容）（本课程将研究

2、的内容）数学模型的结构形式数学模型的结构形式：(1)代数方程（自变量和因变量间的代数关系）代数方程（自变量和因变量间的代数关系）E=mc2 (2)微分方程（微分方程（differential equation)z(n)(t)+a1 z(n-1)(t)+.+an-1 z(1)(t)+an z(t)=b1 u(m-1)(t)+.+bm-1 u(1)(t)+bm u(t)+e(t)(3)差分方程差分方程(difference equation)；A(z-1)z(k)=B(z-1)u(k)+e(k)A(z-1)=1+a1 z-1+a2 z-2.+ana z-na B(z-1)=b1 z-1+b2 z-

3、2.+bnb z-nb 即即 z(k)+a1 z(k-1)+a2 z(k-2)+.+ana z(k-na)=b1 u(k-1)+b2 u(k-2)+.+bnb u(k-nb)+e(k)状态方程状态方程（state space equation,以以SISO为例）为例）x(t)=Ax(t)+bu(t)+F(t),z(t)=cx(t)+hw(t)x(k+1)=Ax(k)+bu(k)+F(k),z(k)=cx(k)+hw(k)The most important form亦称亦称ARMA模型模型.过程的特性和数学模型的分类：过程的特性和数学模型的分类：静态静态动态动态（内在关联：无限个静态连接为动态

4、）（内在关联：无限个静态连接为动态）线性线性非线性非线性确定性确定性随机性随机性宏观宏观微观微观大量的工程对象是动态、非线性、随机的并需要大量的工程对象是动态、非线性、随机的并需要进行微观分析。而在解决问题时，我们往往尽可进行微观分析。而在解决问题时，我们往往尽可能采用线性的和确定性的模型。能采用线性的和确定性的模型。过程的复杂性和实用模型的简约性是一对矛盾，过程的复杂性和实用模型的简约性是一对矛盾，成功建模就是在二者之间达到最佳折衷成功建模就是在二者之间达到最佳折衷数学模型除了根据过程动态特性分类以外，还可以按数学模型除了根据过程动态特性分类以外，还可以按以下关系分类以下关系分类 连续连续离

5、散离散 时间处理方式时间处理方式 定常定常时变时变 时间特性时间特性 集总参数集总参数分布参数分布参数 空间特性空间特性本课程主要研究集总参数、离散、定常、线性动态本课程主要研究集总参数、离散、定常、线性动态随机模型，尤其是以下式表示的差分方程：随机模型，尤其是以下式表示的差分方程：A(A(z-1)z(k)=B(z-1)u(k)+e(k)建模的原则：建模的原则：目的性、逻辑关系和物理意义、可辨识性、简约性目的性、逻辑关系和物理意义、可辨识性、简约性Example of a Lumped Parameter ProcessF1T1TTTF2T2FTFC(F1)specExample of a D

6、istributed Parameter ProcessTTPTPCCondensateSteamFeedToutletConservation Equations:Mass,Moles and Energy Balances通式通式SystemthewithinReactionbyGenerationofRateSystemtheLeavingRateSystemtheEnteringRateonAccumulatiofRateMass Balance EquationRate of massRate of massRate of massRateof accumulation=enteri

7、ng the_ leaving the+gen.withintheof mass in the systemsystemsystemsystem Mole Balance EquationreactionbymolesofnconsumptioofRatereactionbymolesofgenerationofRatesystemtheleavingmolesofRate_systemtheenteringmolesofRatesystemtheinmolesofonaccumulatiofRateThermal Energy Balance Equationsystemtheofbound

8、ariesthethroughtransferheatofrateNetreactionbygenerationheatofrateNetsystemtheleavingtransferheatconvectiveofRatesystemtheenteringtransferheatconvectiveofRateenergythermalofonaccumulatiofRateExample Tank Level Modeling Problem:A cylindrical tank having a crosssectional area of 2 m2 provides the feed

9、 stream to a distillation column.The steadystate feed rate to the tank is 2 m3/min,and the tank drains at a rate proportional to the tank height(constant of proportionality c=2)(?).It is desired that the tank neither overflow nor run dry.Develop a mathematical model for the height of the liquid in t

10、he tank as a function of time and the feed flow rate.The fluid may be assumed to be constant density.Accumulation=In Out dhAc =Fin-Fout dt在在Fout与液位与液位h成正比的假定下成正比的假定下 dhAc =Fin-ch dt dh ch Fin +=dt Ac Ac需要注意区分模型的动力学部分需要注意区分模型的动力学部分然而，然而，Fout实际上是与实际上是与(p)成正比，即与成正比，即与(h)成正比成正比非线性微分方程。为便于过程分析，考虑用非线性微分方程

11、。为便于过程分析，考虑用Taylor series approximation 线性化线性化:在某一稳态点在某一稳态点hs采用一阶采用一阶Taylor近似得：近似得：由于在稳态点由于在稳态点hs有有 ，故，故 2sxx22sxxs)x(x|dxfd)x(x|dxdf)f(xf(x)ss)h(h(t)h21AchAcA(t)Fdtdh(t)sscsccin)h(h(t)h21AcAF-(t)(Fdth-d(h(t)ssccinins)ssccsinhAcAF令令线性定常常微分方程线性定常常微分方程y(t)h21Acu(t)Adtdy(t)scc1u(t)ch2y(t)dtdy(t)ch2Assc

12、Model for Product Composition for CSTR with a Series Reaction(Lumped)2A1rAA0ArCkVCCFdtdCVB2r2A1rBBrCkVCkVFCdtdCVFeedProductATFTFCB222A11rrCkrCkrCBA 21 F-体积流量，体积流量，m3 h-1Vr-装液量装液量,m3CA0Arrhenius Law（动力学）（动力学）k=k 0 exp(-Ea/RT)Svante Arrhenius(1859-1927,Sweden,Nobel Prize in 1903)要点：动态衡算、要点：动态衡算、两边量纲一致

13、两边量纲一致Model for Heat Exchanger(Distributed)dzT1T2T(t,z)T(t,z+z)DvTs内管流通面积内管流通面积 A在在dt时间内流体时间内流体流入流入微元微元dz的热量为：的热量为：在在dt时间内流体时间内流体流出流出微元微元dz的热量为：的热量为：蒸汽在蒸汽在dt时间传递给微元时间传递给微元dz的热量为：的热量为：dt时间内在微元时间内在微元dz内内蓄积蓄积的热量为：的热量为：在在dt时间内建立微元时间内建立微元dz的能量平衡式：的能量平衡式：+=边界条件边界条件 T(t,0)=T1;T(t,L)=T2AvTdtcpdz)dtzTAv(Tcpd

14、ttTAdzcptTAcpzTAvcpT)dtDdzK(Tsdz)dtzTAv(TcAvTdtcdttTAdzcpppT)dtDdzK(TsT)DK(Ts1cal=4.18JcpH2O=1cal/g/oC水的气化潜热水的气化潜热542cal/g水水/冰相变热冰相变热79.6cal/gK-cal/m2/oC/s至分离提纯工段至分离提纯工段 种子罐种子罐生产罐生产罐.进料进料其它干扰因素其它干扰因素VF,P,S,X(?)Waste gas通气通气O2,CO2M主要不确主要不确定因素定因素中间出料中间出料生物反应过程的动态数学模型生物反应过程的动态数学模型V m3,发酵液体积发酵液体积 X kg/m

15、3,罐内生物质浓度罐内生物质浓度S kg/m3,罐内基质浓度罐内基质浓度P kg/m3,罐内产物浓度罐内产物浓度F m3/h,进出料流量进出料流量SR、NH3R、NSR kg/m3 为进料物料流中为进料物料流中 基质、基质、氨水、氨水、硫胺浓度硫胺浓度 h-1,比生长速率比生长速率dtd(VX)VX1 FoXVXSKSFoXVXdtd(VX)SmaxVPkFoPVXdtd(VP)hFoSmVXYVXYVXSFdtd(VS)PSXSRSFNSNH3SSdtdLFoV.)FF(FdtdVV(k)X(k+1)-X(k)+X(k)V(k+1)-V(k)=t V(k)-FoX(k)X(k+1)=2V(k)-V(k+1)/V(k)X(k)+t -Fo/V(k)X(k)X(k+1)=X(k)+t -Fo/V(k)X(k)S(k+1)=S(k)+t FSSR-FoS/V(k)-YSX X-YSP X-mXP(k+1)=P(k)+t X(k)khP(k)-FoP/V(k)其中：其中：=(2V(k)V(k+1)/V(k)V(k+1)=V(k)+LevSF Fo=FS+FNS+FNH3+.-LevSF -0.0012V FoXVXdtdVXdtdXVdtd(VX)