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1、处理静力学平衡问题处理静力学平衡问题技法三巧技法三巧巧取研究对巧取研究对象象巧解汇交力系巧解汇交力系巧用矢量图解巧用矢量图解F1F2F矢量求和图解法则矢量求和图解法则12FFF矢量求差图解法则矢量求差图解法则12FFFF1F2F 相加矢量首尾相接，相加矢量首尾相接，和和从第一个加数从第一个加数“尾尾”指向最后一个加数指向最后一个加数“头头”相减两矢量箭尾共点，相减两矢量箭尾共点，差差连接两箭头，方向指连接两箭头，方向指向向“被减数被减数”ACBODEF 如图所示，三角形如图所示，三角形ABC三边中点分别为三边中点分别为D、E、F，在三角形中任取一点在三角形中任取一点O，如果，如果 、三个矢量三

2、个矢量代表三个力，那么这三个力的合力为代表三个力，那么这三个力的合力为 A.B.C.D.OA OB OC DO OE OF DO OAGR mg L+lRFNFTcos2LlR 由几何关系知由几何关系知由力由力与几何与几何相似得相似得klGLlR GLkGlR cos2kRLR kR G 1cos2kLkR G 如图所示，一个重为如图所示，一个重为G的小环，套在竖直放置的半径为的小环，套在竖直放置的半径为R的光的光滑大圆环上有一劲度系数为滑大圆环上有一劲度系数为k，自然长度为，自然长度为L(L2R)的轻弹簧，的轻弹簧，其上端固定在大圆环的最高点其上端固定在大圆环的最高点A，下端与小环相连，不考

3、虑一切摩，下端与小环相连，不考虑一切摩擦，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角擦，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角为多大？为多大？mmgF约约tan-1FmaxF约约Fmintan-1 1maxtantanFmg 1mintantanFmg sincossincoscossincossinF 如图所示，倾角为如图所示，倾角为的斜面与水平面保持静止的斜面与水平面保持静止,斜面上有一重斜面上有一重为为G的物体的物体A与斜面间的动摩擦因数为与斜面间的动摩擦因数为,且且tan,现给现给A施以一水施以一水平力平力F,设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,求水平推力求水平推力F多大时物

4、体多大时物体能地斜面上静止能地斜面上静止？静摩擦力达到最大时静摩擦力达到最大时,斜面约束力作用线方向斜面约束力作用线方向与斜面法线成摩擦角与斜面法线成摩擦角!F1F2F1F2F2FFsec22F cotF 将力将力F分解为分解为F1和和F2两个分力，若已知两个分力，若已知F的的大小及大小及F1和和F2的夹角的夹角，且，且为钝角，则当为钝角，则当F1、F2大小相大小相等时，它们的大小为等时，它们的大小为 ;当当F1有最大值时，有最大值时，F2大大小为小为 .2 F1 如图所示，放在水平面上的质量为如图所示，放在水平面上的质量为m的物体，在的物体，在水平恒力水平恒力F1作用下，刚好做匀速直线运动若

5、再给物体加一个恒作用下，刚好做匀速直线运动若再给物体加一个恒力，且使力，且使F1 F2（指大小），要使物体仍按原方向做匀速直线运（指大小），要使物体仍按原方向做匀速直线运动，力动，力F2应沿什么方向？此时地面对物体的作用力大小如何？应沿什么方向？此时地面对物体的作用力大小如何？GFtan-1水平恒力与重力、水平恒力与重力、地面约束力作用而地面约束力作用而平衡时平衡时,三力构成三力构成闭合三角形：闭合三角形：FF 211地地1 1 FF 211地地2 2 F2F2加加F2仍仍构成闭合三角形：构成闭合三角形：如图所示，一光滑三角支架，顶角为如图所示，一光滑三角支架，顶角为=45，在，在AB和和AC

6、两光滑杆上分别套有铜环，两铜环间有细线相连，释放两两光滑杆上分别套有铜环，两铜环间有细线相连，释放两环，当两环平衡时，细线与杆环，当两环平衡时，细线与杆AB夹角夹角60，试求两环质量比，试求两环质量比M/m 系统处于平衡时系统处于平衡时,两环所受绳两环所受绳拉力拉力沿绳且等值反向沿绳且等值反向,支架施支持力支架施支持力垂直各杆垂直各杆,以以此为依据作每环三力平衡矢此为依据作每环三力平衡矢量图量图:BCAmgMgFTFT对环对环Msin30sin22TFMg 60 15 对环对环M/230/2sin15sin22TFmg sin30sin15Mm 622 如图所示，用细绳拴住两个质量为如图所示，

7、用细绳拴住两个质量为m1、m2（m1m2）的质点，放在表面光滑的圆柱面上，圆柱的轴是水平的，绳长）的质点，放在表面光滑的圆柱面上，圆柱的轴是水平的，绳长为圆柱横截面周长的为圆柱横截面周长的1/4若绳的质量及摩擦均不计，系统静止时，若绳的质量及摩擦均不计，系统静止时，m1处细绳与水平夹角处细绳与水平夹角是多少？是多少？系统处于平衡时系统处于平衡时,两质点所受两质点所受绳拉力绳拉力沿绳切向且等值沿绳切向且等值,圆柱施支持力圆柱施支持力垂直柱面垂直柱面,以以此为依据作每质点三力平衡此为依据作每质点三力平衡矢量图矢量图:Om1m2m1gm2g 对质点对质点11sinTFm g 对质点对质点22cosT

8、Fm g 21sintancosmm 121tanmm FTFT 如图所示，两个质量相等而粗糙程度不同的物体如图所示，两个质量相等而粗糙程度不同的物体m1和和m2，分别固定在一细棒的两端，放在一倾角为分别固定在一细棒的两端，放在一倾角为的斜面上，设的斜面上，设m1和和m2与斜面的摩擦因与斜面的摩擦因数为数为1和和2，并满足，并满足tan=，细棒的质量不计，与斜面不接触，试求两物，细棒的质量不计，与斜面不接触，试求两物体同时有最大静摩擦力时棒与斜面上最大倾斜线体同时有最大静摩擦力时棒与斜面上最大倾斜线AB的夹角的夹角12 sinmg 系统处于平衡时系统处于平衡时,两物体所受轻杆力两物体所受轻杆力

9、等值反向等值反向,沿斜面上每物体受沿斜面上每物体受下滑力、最大静摩擦力下滑力、最大静摩擦力及及杆杆作用力作用力，每物体三力平衡矢量关系如图，每物体三力平衡矢量关系如图:ABm1m2 F1cosmg sinmg 2cosmg 分别以分别以a、b、c表示各力：表示各力：cbac 在力矢量三角形中运用余弦定理在力矢量三角形中运用余弦定理：22224cosbcaca 222co4s4cabca 2222444sinaccabca 在力矢量三角形中运用余弦定理在力矢量三角形中运用余弦定理：222sin2cossinaacac 22222sinsin2cosaacac 2222222182abcacc 2

10、22222cos82abcacc 代入题给数据代入题给数据：1212s2o2c 尽量取整体尽量取整体需需“化内为外化内为外”时取部分时取部分方程数不足时取部分方程数不足时取部分整、分结合，方便解题整、分结合，方便解题取两环一线为研究对象取两环一线为研究对象FN2mgFfF2NFmg fFF 取下环为研究对象取下环为研究对象mgFFTFT 一个直角支架一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，水平放置，表面粗糙，OB竖直，表面竖直，表面光滑，光滑，AO上套有小环上套有小环P，OB上套有小环上套有小环Q，两环质量均为，两环质量均为m，两环间，两环间由一不可伸长的轻绳相连，并在某一位置平衡，如图所

11、示现将由一不可伸长的轻绳相连，并在某一位置平衡，如图所示现将P向向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态与原左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态与原来相比，来相比，AO杆对杆对P环的支持力环的支持力FN、摩擦力、摩擦力Ff及细绳上的拉力及细绳上的拉力FT的变的变化情况是化情况是 A.FN不变，不变，Ff变大变大，FT变大变大 B.FN不变，不变，Ff变小，变小，FT变小变小 C.FN变大，变大，Ff不变不变，FT变大变大 D.FN变大，变大，Ff变小，变小，FT变大变大 PQOABF312取取2、3两环为研究对象，两环为研究对象，3环重力设为环重力设为GTT3

12、GTG 取取2环为研究对象环为研究对象T 2G2cos3GT 2cos3 h0r由几何关系得由几何关系得0tanrh 00co25t5rrh 三根不可伸长的相同细绳，一端系在半径为三根不可伸长的相同细绳，一端系在半径为r0的环的环1上，彼此间距相等绳穿上，彼此间距相等绳穿过半径为过半径为r0的第的第3个圆环，另一端用同样方式系在半径为个圆环，另一端用同样方式系在半径为2r0的圆环的圆环2上，如图所上，如图所示环示环1固定在水平面上，整个系统处于平衡试求第固定在水平面上，整个系统处于平衡试求第2个环中心与第个环中心与第3个环中心个环中心之距离（三个环用同种金属丝制作，摩擦不计）之距离（三个环用同

13、种金属丝制作，摩擦不计）T 一个底面粗糙质量为一个底面粗糙质量为的劈放在粗糙的水平的劈放在粗糙的水平面上，劈的斜面光滑且与水平面成面上，劈的斜面光滑且与水平面成30夹角，用一端固定的轻夹角，用一端固定的轻绳系一质量为绳系一质量为m的小球，轻绳与斜面的夹角为的小球，轻绳与斜面的夹角为30,如图所如图所示当劈静止时，求绳中拉力的大小；若地面对劈的最大静摩示当劈静止时，求绳中拉力的大小；若地面对劈的最大静摩擦力等于地面对劈的支持力的擦力等于地面对劈的支持力的k倍，为使整个系统静止，求倍，为使整个系统静止，求k的的最小值最小值30取小球为研究对象取小球为研究对象求绳中拉力求绳中拉力:3030302co

14、s303TmgFmg TFTF取整体为研究对象求地面取整体为研究对象求地面k值值(M+m)g=tan-1ktan-1kTFF地地 sinsin 30TMm gF sin 303sinMmm 2 313Mmmk 363mkMm 如图所示，一长如图所示，一长L、质量均匀为、质量均匀为M的链条套在一的链条套在一表面光滑，顶角为表面光滑，顶角为的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少？的张力是多少？链条的受力具有旋转对称性链条各部分链条的受力具有旋转对称性链条各部分间的张力属于内力间的张力属于内力,需将内力转化为外力，我需将内力转化为外力，我们可以在

15、链条中隔离出任一微元作为研究对象，们可以在链条中隔离出任一微元作为研究对象，链条其它部分对微元的拉力就成为外力，对微链条其它部分对微元的拉力就成为外力，对微元根据平衡规律求解元根据平衡规律求解:FTFTFin 2当当 ,sin22 iTTFFF 2sin222 链条微元处于平衡链条微元处于平衡mgFNiFiTFmg 2cot22 2 TnMFgn cot22 Mg cot22 压延机由两轮构成，两轮直径各为压延机由两轮构成，两轮直径各为d50 cm，轮间的间隙为，轮间的间隙为a0.5 cm，两轮按反方向转动，如图，两轮按反方向转动，如图2-15上箭头所示已知烧红的铁板与铸铁轮之间的摩擦系上箭头

16、所示已知烧红的铁板与铸铁轮之间的摩擦系数数0.1问能压延的铁板厚度问能压延的铁板厚度b是多少？是多少？ab分析铁板受力如图：分析铁板受力如图：FNFf 铁板能前进，应满足铁板能前进，应满足 cossinNNFF 分析几何关系求角分析几何关系求角：22dba 2d 22222tan22ddbadba 解得解得b0.75 cm 物体处于平衡时物体处于平衡时,其各部分所其各部分所受力的作用线延长后必汇交于一受力的作用线延长后必汇交于一点点,其合力为零其合力为零.m1m2O6030(m1+m2)g取两球一杆为研究对象，分析受力取两球一杆为研究对象，分析受力研究对象处于静止，所受研究对象处于静止，所受三

17、力矢量构成闭合三角形三力矢量构成闭合三角形!N1N230由力矢量三角形即得由力矢量三角形即得21tan3013NN 123 1NN 如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗是球心，碗的内表面光滑一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是的内表面光滑一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1、m2，当它们静止时，当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成与球心的连线跟水平面分别成6030角，则碗对两小球的弹力大小之比是角，则碗对两小球的弹力大小之比是 A.1 2 B.1 C.1 D.2333CAB6030D解解:FABB

18、C球系统为一球系统为一“三力杆三力杆”！60由三力平衡关系图得由三力平衡关系图得2cos60CDGFG 2sin603ABFGG 由几何关系图得由几何关系图得FAB60细线细线BC与竖直成与竖直成60角角 如图所示，如图所示，BC两个小球均重两个小球均重G,用细线悬挂而静止于用细线悬挂而静止于A、G两两点，细线点，细线BC伸直伸直.求求:AB和和CD两根细线的拉力各多大？两根细线的拉力各多大？细线细线BC与竖直方向的夹角是多大？与竖直方向的夹角是多大？如图所示，光滑半球壳直径为如图所示，光滑半球壳直径为a，与一光，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒滑竖直墙面相切，一根均匀直棒AB与水平成与水平

19、成60角靠墙角靠墙静止，求棒长静止，求棒长棒棒 AB受三力受三力:ABOGFAFB棒棒 AB处于静止处于静止,三力作用线三力作用线汇交于一点汇交于一点!30 在三角形在三角形BCD中由正弦定理中由正弦定理:C LL sin6022sinsin 30 13tan6 又又aLa sin302sin/2 La1La3139aL 131313 如图所示，在墙角处有一根质量为如图所示，在墙角处有一根质量为m的均匀绳，一端悬于天花板上的的均匀绳，一端悬于天花板上的A点，另一端悬于点，另一端悬于竖直墙壁上的竖直墙壁上的B点，平衡后最低点为点，平衡后最低点为C，测得绳长，测得绳长AC=2CB，且在，且在B点附

20、近的切线与竖直成点附近的切线与竖直成角，则角，则绳在最低点绳在最低点C处的张力和在处的张力和在A处的张力各多大？处的张力各多大？AC取取BC段段绳为研究对象绳为研究对象:mg/3最低点最低点C处的张力处的张力FTC为为FTCFBtan3TCmgF 取取AC段绳为研究对象段绳为研究对象:FTCFA2mg/32mg/3tan3mg 222tan33AmgmgF 24tan3mg 如图所示，有一轻杆如图所示，有一轻杆AO竖直放在竖直放在粗糙的水平地面上，粗糙的水平地面上，A端用细绳系住，细绳另一端用细绳系住，细绳另一端固定于地面上端固定于地面上B点，已知点，已知=30，若在，若在AO杆中杆中点施一大

21、小为点施一大小为F的水平力，使杆处于静止状态，的水平力，使杆处于静止状态，这时地面这时地面O端的作用力大小为端的作用力大小为_，方向，方向_。FABO60F与杆成与杆成30分析杆分析杆AO受力受力:研究对象处于静止，所受研究对象处于静止，所受三力矢量构成闭合三角形三力矢量构成闭合三角形!一均匀光滑的棒，长一均匀光滑的棒，长l，重，重，静止在半径为，静止在半径为的半球形光滑碗内，如图所示，的半球形光滑碗内，如图所示，l/22R假如假如为平衡时的角为平衡时的角度，度，P为碗边作用于棒上的力求证：为碗边作用于棒上的力求证：P（l4R）G；（cos2cos）l4R 分析棒的受力如图：分析棒的受力如图：

22、GP棒棒 处于平衡处于平衡,三力作三力作用线汇交于一点用线汇交于一点!FB由几何关系：由几何关系：902 三力构成闭合三角形三力构成闭合三角形!O ABQPO2AOR PAQO AQ 由正弦定理由正弦定理:/22sin2sin222lR /22cos2coslR cos2cos4lR 在力三角形中在力三角形中 902 sin2sin222PG cos2cosPG 4lPGR 一吊桥由六对钢杆悬吊着，六对钢杆在桥面上一吊桥由六对钢杆悬吊着，六对钢杆在桥面上分列两排，其上端挂在两根钢绳上，如图所示为其一侧截面图分列两排，其上端挂在两根钢绳上，如图所示为其一侧截面图已知图中相邻两钢杆间距离均为已知图

23、中相邻两钢杆间距离均为9m，靠桥面中心的钢杆长度为，靠桥面中心的钢杆长度为5m（即（即CC=DD=5m），），AA=FF，BB=EE，又已知两端钢绳，又已知两端钢绳与水平成与水平成45角，若不计钢杆与钢绳自重，为使每根钢杆承受负角，若不计钢杆与钢绳自重，为使每根钢杆承受负荷相同，则荷相同，则 AA=_ m，BB=m ABCDEF4545ABCDEFABCDEF4545ABCDEFABC45ABCFCDFA3FFCDFA3F2FFB2FFCBFCBFFFB1tan3 2tan3 综合运用三技巧综合运用三技巧14859tanBB 89tanAA 3CDFF 45 如图所示，一根重量为如图所示，一根

24、重量为G的绳子，两端固定在高的绳子，两端固定在高度相同的两个钉子上，在其最低点再挂上一重物设度相同的两个钉子上，在其最低点再挂上一重物设、分别是分别是绳子在最低点和悬点处的切线与竖直方向的夹角，试求所挂物体绳子在最低点和悬点处的切线与竖直方向的夹角，试求所挂物体的重量的重量G/2FTG0绳最低点受重物拉力：绳最低点受重物拉力：半边绳的受力：半边绳的受力：FTFT 02cosTGF sin2sinTFG 三力构成闭合三角形三力构成闭合三角形!对力三角形运用正弦定理：对力三角形运用正弦定理：02cossin2sinGG cossinsincoscossinG tancot1G 如图所示，半圆柱体重

25、如图所示，半圆柱体重G，重心，重心C到圆心到圆心O的距离的距离为为4R/3，其中，其中R为圆柱体半径如半圆柱体与水平面间的摩擦因为圆柱体半径如半圆柱体与水平面间的摩擦因数为数为，求半圆柱体被拉动时所偏过的角度，求半圆柱体被拉动时所偏过的角度 FCGP由半圆柱处于平衡由半圆柱处于平衡,三力作三力作用线汇交于一点用线汇交于一点来确定来确定地面约束力地面约束力!半圆柱所受三力矢量构成闭合三角形半圆柱所受三力矢量构成闭合三角形F约约 摩擦角摩擦角tan 由三角形与几何三角形相似由三角形与几何三角形相似,得得 sin1 sinFGaR 3sin41 sin sin334 FG 如图所示，如图所示，一个半

26、径为一个半径为R的的 光滑圆柱面放置在水光滑圆柱面放置在水平面上柱面上置一线密度为平面上柱面上置一线密度为的光滑均匀铁链，其一端固定在柱的光滑均匀铁链，其一端固定在柱面顶端面顶端A，另一端，另一端B恰与水平面相切，试求铁链恰与水平面相切，试求铁链A端所受拉力以及均端所受拉力以及均匀铁链的重心位置匀铁链的重心位置 14AB求求A A处拉力介绍两种方法处拉力介绍两种方法方法一方法一微元法微元法将铁链均匀细分将铁链均匀细分n等分等分,n,研究研究第第i元段元段:ii 123ini 02n m 2mRn mg 1iT iT微元处于静止微元处于静止,有有 1coscossin222iiTTgRin 即即

27、,i=1 1cos.sin22AFTgRn AFi=2 12coscos.sin 2222TTgRn i=n 1cos.sin22nTgRnn 则则 sinsin2sin2AFgRnn 续解续解 1lim.sin2nnigRin 1lim.sin22nnigRinn 利用数列和公式利用数列和公式sinsin2sin3sin1sinsin22sin2xxxnxnnxxx 1sinsin2 222lim2sin4nnnnngRnn 利用极限利用极限0sinlim1xxx 1sinsin2 222lim2sin/44nnnnngRnn sinsin4421gR gR 读题读题续解续解方法二方法二元功

28、法元功法ABm AFOTFxxg R TFgR 确定链子重心确定链子重心,可用三力杆平衡法可用三力杆平衡法!读题读题xAFC2R NF 45 由图示三力汇交平衡关系得由图示三力汇交平衡关系得Cx2tan2AFRgRgmg 在图示三角形中由正弦定理在图示三角形中由正弦定理Rsincossin45CxR tansin45CxR 2 2R F 如图所示，对均匀细杆的一端施力如图所示，对均匀细杆的一端施力F，力的方向垂，力的方向垂直于杆要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，试求杆与地面间的直于杆要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，试求杆与地面间的最小摩擦因数最小摩擦因数 杆处于一系列可能的动态平杆处于一系列可能的动态平衡衡,当杆抬起当杆抬起,重力、地重力、地面约束力及面约束力及F力三力力三力汇交，汇交，以此为依据作杆三以此为依据作杆三力平衡矢量图力平衡矢量图:GF F约约tan 由图示几何关系由图示几何关系 cotcot2ll 整理得整理得cot2tancot 1 利用基本不利用基本不等式性质：等式性质：2tancot2 恒恒定定 2tancot 当当2tan2 时时min12 2 min24