数学建模概率模型课件.ppt

1、 2.随机事件及其概率随机事件及其概率3.随机变量及其分布随机变量及其分布 第四讲 概率模型 4.随机变量的数字特征随机变量的数字特征 5.统计方法的基本概念统计方法的基本概念 6.参数估计法参数估计法1.1.概率论的诞生及应用概率论的诞生及应用7 7 回归分析法回归分析法 1654年年,一个名叫梅累的骑士就一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若两个赌徒约定赌若干局干局,且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家,若在一赌徒胜若在一赌徒胜 a 局局(ac),另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(bc)时便终止赌博时便终止赌博,问应如何分赌本问应如何分赌本”为为题求教于题求教于Pascal(帕斯卡帕斯卡,

2、法法),帕斯卡与帕斯卡与Fermat(费玛费玛)通信通信讨论这一问题讨论这一问题,并用组合的方法给出了正确的解答。并用组合的方法给出了正确的解答。16571657年年Huygens(Huygens(惠更斯惠更斯,荷荷)发表的发表的论赌博中的计论赌博中的计算算是最早的概率论著作，论著中第一批概率论概念（是最早的概率论著作，论著中第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理）标志着如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理）标志着概率论的诞生。概率论的诞生。起源起源 博弈博弈1 概率论的诞生及应用概率论的诞生及应用 1818世纪初，世纪初，Bernoulli(Bernoulli(伯努利

3、，法伯努利，法)、De.Moivre(棣棣莫费莫费,法法)、蒲丰、蒲丰、Laplace(拉普拉斯，法拉普拉斯，法)、Gauss(高斯，高斯，德德)和泊松等一批数学家对概率论作了的奠基性的贡献。和泊松等一批数学家对概率论作了的奠基性的贡献。1812年年,Laplace(拉普拉斯，法拉普拉斯，法)概率的分析理论概率的分析理论实现了实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概实现了实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期。率论发展的新时期。1919世纪世纪(1866),(1866),Chebyhev Chebyhev(切比雪夫，俄切比雪夫，俄)中心中心极限理论。是概率论理论的又一次飞

4、跃，为后来数理统计极限理论。是概率论理论的又一次飞跃，为后来数理统计的产生和应用奠定了基础。的产生和应用奠定了基础。2020世纪世纪(1933),(1933),kolmogorov(kolmogorov(柯尔莫哥洛夫，俄柯尔莫哥洛夫，俄)概率公理化定义得到了数学家们的普遍承认。由于公理化概率公理化定义得到了数学家们的普遍承认。由于公理化,概率论成为一门严格的演绎科学概率论成为一门严格的演绎科学,取得了与其他数学学科同取得了与其他数学学科同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切的联系。等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切的联系。在公理化的基础上在公理化的基础上,现代概率论不仅在理论上取得了

5、现代概率论不仅在理论上取得了一系列突破，一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就，其在应用上也取得了巨大的成就，其应用几乎应用几乎遍及所有的科学领域遍及所有的科学领域，例如天气预报例如天气预报、地震预报地震预报、产品的产品的抽样调查抽样调查、经济研究等，、经济研究等，在通讯工程中概率论可用以提高在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性信号的抗干扰性、分辨率等等分辨率等等.在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,(1)确定性现象确定性现象(必然现象）必然现象）“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所

6、观察到的现象自然界所观察到的现象:确定性现象确定性现象随机现象随机现象 2.随机事件及其概率随机事件及其概率2.1 随机事件随机事件 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现的现象象即在相同条件下重复进行试验，每次结果即在相同条件下重复进行试验，每次结果未未必相同必相同实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况正反两面出现的情况.(2)随机现象（偶然现象）随机现象（偶然现象）结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果随机现

7、象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果(2)随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶偶然性然性,但在大量试验或观察中但在大量试验或观察中,这种结果的出现具这种结果的出现具有一定的有一定的统计统计规律性规律性,概率论就是研究随机现象概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科规律性的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明说明(1)随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系联系,其数量关

8、系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.(1)可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能并且能事先明确试验的所有可能结果事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现.在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验.2.1.1 随机试验定义随机试验定义说明说明 (1)随机试验简称为试验随机试验简称为试验,是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验,也

9、包括对客观事物进行也包括对客观事物进行的的“调查调查”、“观察观察”或或“测量测量”等等.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察字面察字面,花面出现的情况花面出现的情况”.分析分析(2)随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1)试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;(1)抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.(2)从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验.(2)试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面正面、反面

10、反面;(3)进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现.故为随机试验故为随机试验.定义定义 随机试验随机试验 E 的所有可能结果组成的集合的所有可能结果组成的集合称为称为 E 的的样本空间样本空间,记为记为 .样本空间的元素样本空间的元素,即试验即试验E 的每一个结果的每一个结果,称为称为样本点样本点,常用常用 表示表示.实例实例1 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观察正面观察正面,反面出现的情况反面出现的情况.,1TH2.1.2 样本空间样本空间 样本点样本点 正面朝上正面朝上H反面朝上反面朝上T实例实例2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点

11、数.6,5,4,3,2,12实例实例3 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录出记录出 现正品与次品的情况现正品与次品的情况.DDD DND,DDN,NDD,DNN,NDN,NND,NNN,则3.,次品次品正品正品记记DN 2.同一试验同一试验,若试验目的不同若试验目的不同,则对应的样则对应的样 本空本空 间也不同间也不同.例如例如 对于同一试验对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三将一枚硬币抛掷三次次”.若观察正面若观察正面 H、反面、反面 T 出现的情况出现的情况,则样本空间则样本空间为为若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数,则样本空间为则样本空间为.3,2,1,0.,TT

12、TTHTTTHHTTTHHHTHHHTHHH说明说明 1.试验不同试验不同,对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同.3.建立样本空间建立样本空间,事实上就是建立随机现事实上就是建立随机现 象的数学象的数学模型模型.因此因此,一个样本空间可以一个样本空间可以 概括许多内容大不概括许多内容大不相同的实际问题相同的实际问题.例如例如 只包含两个样本点的样本空间只包含两个样本点的样本空间它既可以作为抛掷硬币出现它既可以作为抛掷硬币出现正面正面或出现或出现反面反面的的模型模型,也可以作为产品检验中也可以作为产品检验中合格合格与与不合格不合格的的模型模型,又能用于排队现象中又能用于排队现象中有人排队有人

13、排队与与无人排无人排队队的模型等的模型等.,TH 在具体问题的在具体问题的研究中研究中,描述随机描述随机现象的第一步就是现象的第一步就是建立样本空间建立样本空间.通俗地讲通俗地讲随机事件是指随机试验中可能发生也可能不随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的事件发生的事件(1)基本概念基本概念2.2 随机事件它们分别可以对应了样本空间它们分别可以对应了样本空间 =1,2,3,4,5,6=1,2,3,4,5,6的子集的子集1,2,3,41,2,3,4和和2,4,62,4,6根据这个说法不难发现根据这个说法不难发现随机事件和样本空间的子集有随机事件和样本空间的子集有一一对应关系！一一对应关系！实

14、例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.“点数不大于点数不大于4”,“4”,“点数为偶数点数为偶数”等都为随机事件等都为随机事件.反过来，反过来，的每个子集都对应了该试验的一个随机的每个子集都对应了该试验的一个随机事件事件随机事件的定义随机事件的定义 当且仅当子集当且仅当子集中某个样本点出现时，称中某个样本点出现时，称事件事件发生发生随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 的子集称为的子集称为 E 的随机事件的随机事件,简称事件简称事件.（即（即;某一可观察特某一可观察特征的随机试验的结果）征的随机试验的结果）实例实例 上述试验中上述试验中“点数不大于点数不大于6”

15、就是必然事件就是必然事件.必然事件必然事件 随机试验中必然发生的事件随机试验中必然发生的事件不可能事件不可能事件 随机试验中不可能发生的事件随机试验中不可能发生的事件.实例实例 上述试验中上述试验中“点数大于点数大于6”就是不可能事件就是不可能事件.实例实例 “出现出现1点点”,“出现出现2点点”,“出现出现6点点”.基本事件基本事件由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集特别地：特别地：(2)几点说明几点说明例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.可设可设 A=“点数不大于点数不大于4”,B=“点数为奇数点数为奇数”等等等等.1)随机事件可简称为事件随机事件

16、可简称为事件,并以大写英文字母并以大写英文字母 A,B,C,来表示事件来表示事件2)随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间,样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件.样本空间样本空间 作为自身最大的子集包含所有的样作为自身最大的子集包含所有的样本点（基本事件），表示本点（基本事件），表示必然事件必然事件 空集不含任何样本点表示空集不含任何样本点表示不可能事件不可能事件2)随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验

17、相应地有一个样本空间,样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件.样本空间样本空间 作为自身最大的子集包含所有的样作为自身最大的子集包含所有的样本点（基本事件），表示本点（基本事件），表示必然事件必然事件 空集不含任何样本点表示空集不含任何样本点表示不可能事件不可能事件,(1,2,).kEAB Ak设试验的样本空间为而是的子集(1)(1)子事件子事件若事件若事件 A 出现出现,必然导致必然导致 B 出现出现,则称事件则称事件 B 包含事件包含事件 A,也称也称A 是是B的的 子事件子事件.BAAB 或或记为记为实例实例 “长度不合格长度不合格”必然导致必然导致“产品不合产品不合格格”

18、所以所以“产品不合格产品不合格”包含包含“长度不合格长度不合格”.图示图示 B 包含包含 A.BA2.2.1随机事件间的关系及运算 (2)A等于等于B 若若 则称事件则称事件 A 与与事件事件 B 相等相等，记作记作 A=B.(3)事件事件 A 与与 B 和事件和事件.和事件和事件的的事件事件与与称为事件称为事件或或事件事件BABxAxxBA 实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定直径是否合格所决定,因此因此“产品不合格产品不合格”是是“长度长度不合格不合格”与与“直径不合格直径不合格”的并的并.图示事件图示事件 A 与与 B 的并

19、的并.BABAABBA ,.,AA规定显然发生发生至少有一个发生至少有一个发生和和BABA;,211的和事件的和事件个事件个事件为为称称推广推广nknkAAAnA(4)事件事件 A 与与 B 积事件积事件.ABBA或或积事件也可记作积事件也可记作.,211的和事件的和事件为可列个事件为可列个事件称称AAAkk .积事件积事件的的与事件与事件称为事件称为事件且且事件事件BABxAxxBA 发生发生同时发生同时发生和和BABA和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质 AAA A AA,A A;,211的积事件的积事件个事件个事件为为称称推广推广nnkkAAAnA.,211的积事件的积事件为

20、可列个事件为可列个事件称称AAAkk ,A,A,AA.(5)事件事件 A 与与 B 互不相容互不相容 (互斥互斥)若事件若事件 A 的出现必然导致事件的出现必然导致事件 B 不出现不出现,B出现也必然导致出现也必然导致 A不出现不出现,即即A与与B不能同时出现，不能同时出现，则称事件则称事件 A与与B互不相容或互斥互不相容或互斥,即即.ABBA实例实例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,“出现花面出现花面”与与“出现字面出现字面”是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.“骰子出现骰子出现1点点”“骰子出现骰子出现2点点”图示图示 A 与与 B 互斥互斥.AB互斥互斥实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子

21、,观察出现的点数观察出现的点数.注意注意 基本事件是两两互斥的基本事件是两两互斥的.(6)事件事件 A 与与 B 的差的差 由事件由事件 A 出现而事件出现而事件 B 不出现所组成的不出现所组成的事件称为事件事件称为事件 A 与与 B 的差的差.记作记作 A-B.图示图示 A 与与 B 的差的差.ABABAB AB BA BA 实例实例 设设“长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格”，“长度合格长度合格”，“直径合格直径合格”.BAC 则则 设设 A 表示表示“事件事件 A 出现出现”,则则“事件事件 A 不出现不出现”称为事件称为事件 A 的的对立事件或逆事件对立事件或逆事件.记作记作.A

22、实例实例 “骰子出现骰子出现1点点”“骰子不出现骰子不出现1点点”图示图示 A 与与 B 的对立的对立.BA 若若 A 与与 B对立对立,则有则有.ABAB 且A(7)事件事件 A 的对立事件的对立事件对立对立对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别ABABAA、B 对立（互逆）对立（互逆）A、B 互斥互斥(互不相容互不相容)ABBA且 AB互斥互斥对立对立(2)概率论与集合论之间的对应关系概率论与集合论之间的对应关系记号记号概率论概率论集合论集合论样本空间，必然事件样本空间，必然事件空间空间不可能事件不可能事件空集空集e基本事件基本事件元素元素A随机事件随机事件子集子集AA的对立事件

23、的对立事件A的补集的补集BA A出现必然导致出现必然导致B出现出现A是是B的子集的子集BA 事件事件A与事件与事件B相等相等集合集合A与集合与集合B相等相等BA 事件事件A与事件与事件B的差的差 A与与B两集合的差集两集合的差集 AB事件事件A与与B互不相容互不相容A与与B 两集合中没有两集合中没有相同的元素相同的元素BA事件事件A与事件与事件B的和的和 集合集合A与集合与集合B的并集的并集AB 事件事件A与事件与事件B的的积事件积事件集合集合A与集合与集合B的交集的交集:)(,)(,.,满足下列条件如果集合函数的概率件称为事记为赋予一个实数的每一事件对于是它的样本空间是随机试验设PAAPAE

24、E;)(,:(1)APA 有有对于每一个事件对于每一个事件非负性非负性(2):,()1;P完 备 性对 于 必 然 事 件有则则有有即即对对于于事事件件是是两两两两互互不不相相容容的的设设,2,1,:(3)21 jiAAjiAAji可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性.3 事件的事件的概率（概率的公理化定义）概率（概率的公理化定义）.0)()(P证明证明),2,1(nAn.,1jiAAAjinn 且且则则 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 nnAPP1)(1)(nnAP 1)(nP0)(P.0)(P概率的性质概率的性质).(1)(,)

25、2(APA PAA 则则的对立事件的对立事件是是设设,1)(,SPAASAA因为因为).(1)(APAP 证明证明)()(1AAPSP 所以所以.)()(APAP ).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPBABA则则且且为两个事件为两个事件设设证明证明BA,BA 因为因为).(ABAB 所以所以,)(AAB又又.)()()(ABPAPBP 得得,0)(ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于是于是).()()()(,)()4(ABPBPAPBAPBA有对于任意两事件加法公式证明证明AB由图可得由图可得),(ABBABA ,)(ABBA且且).()()

26、(ABBPAPBAP 故故又由性质又由性质 3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 解解由由图图示示得得)1()(ABP由由图图示示得得)2(.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131,ABPBABAABPBA互斥互斥与与的值的值三种情况下三种情况下求在下列求在下列和和的概率分别为的概率分别为设事件设事件BAAB1例例)(BP.21 )(ABP)()(APBP )(ABP )(ABP因因而而.838121 ABAB由由图图示示得得)(ABABB AB BAB 且且)()(ABPBP 1);2).试验的样本空间只包含

27、有限个样本点试验中每个基本事件发生的可能性相同具有以上两个特点的试验称为古典概型或等可能概型（1）定义）定义2.4 古典概率模型(等可能概型)以以表表示示为为古古典典概概型型的的样样本本空空间间可可,.,21n n生生的的概概率率均均为为其其中中每每一一个个基基本本事事件件发发 设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点个样本点(基本事基本事件件)构成构成，A为为 E 的任意一个事件的任意一个事件，且包含且包含 k个个样本点样本点(基本事件基本事件)，则事件，则事件 A 出现的概率记为出现的概率记为:（2）古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式.)(基本事件总数所

28、包含基本事件的个数AnkAP称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义.)()()(NANAP也可记为解解.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH则.,1 TTHTHTHTTA 而而.83)()()(11 NANAP得.,)2(2 TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA ).(,)2().(,)1(.2211APAAPA求求”“至至少少有有一一次次出出现现正正面面为为设设事事件件求求”“恰恰有有一一次次出出现现正正面面为为设设事事件件将将一一枚枚硬硬币币抛抛掷掷三三次次.,)1(为出现反面为出现反面为出现正面为出现正面设设TH例例.87)()()(22 NANAP因此（3）古典

29、概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模型摸球模型 摸球模型是指从摸球模型是指从n个可辨认的球中按照不个可辨认的球中按照不同的要求同的要求(是否放回，是否计序是否放回，是否计序),一个一个地从一个一个地从中任取中任取m个，从而得到不同的样本空间，然后个，从而得到不同的样本空间，然后在各自的样本空间中计算某事件的概率在各自的样本空间中计算某事件的概率.摸球模型一般可分为四种情况，各种情摸球模型一般可分为四种情况，各种情况的基本事件数如下表：况的基本事件数如下表：从从n个个可分可分辨的辨的球中球中任取任取m个球个球摸球方式摸球方式不同结果总数不同结果总数无放无放回回计序计序不计序不计序有放有放回回

30、计序计序不计序不计序)(排列数排列数mn)1组合数组合数 mmnC)(排列数排列数mnA)(组合数组合数mnC 在解决许多概率问题时，往往需要在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息在有某些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.如在事件如在事件发生的条件下求事件发生的条件下求事件发发生的概率，将此概率记作生的概率，将此概率记作P(|).一般一般 P(|)P()，那么那么 P(|)？2.5 条件概率)()()(BPABPBAP 同理可得同理可得为事件为事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率.)()()(,0)(,条件概率条件概率发生的发生的

31、发生的条件下事件发生的条件下事件为在事件为在事件称称且且是两个事件是两个事件设设BAAPABPABPAPBA (2)定义定义,0)(时时 BP);()()()()3(212121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)()4(BAPBAP (2):()1,()0;P S BPB完 备 性则有则有件件是两两不相容的事是两两不相容的事设设可列可加性可列可加性,:)5(21BB.)(11 iiiiABPABP(3)性质性质;0)(:)1(ABP非负性非负性).()(.)()()()(12122112112121 nnnnnAAAAPAAAAPAAAPAAPAPAAAP则有则有且且,0)(121 nA

32、AAP,2,:221 nnAAAn个事件个事件为为设设推广推广则有则有且且为事件为事件设设推广推广,0)(,:121321 AAPAAA).()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP).()()(,0)(BPBAPABPBP 则有则有设设2.5.1 乘法公式()0,()()().P AP ABP B A P A设则有121212,(i),1,2,;(ii).,.nijnnEB BBEB Biji jnBBBB BB 定义设为试验 的样本空间为的一组(完备)事件 若则称为样本空间的一个划分(1)样本空间的划分样本空间的划分1B2B3B1 nBnB2.5.2 全概率公式与贝叶斯公式

33、21 有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球,2号装有号装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球.某人从中随机取一某人从中随机取一罐，在从中任意取出一球，罐，在从中任意取出一球，求取得红球的概率求取得红球的概率.3引例：引例：如何求取得红球的概率？如何求取得红球的概率？(2)全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式)()()()()()()(),2,1(0)(,221121nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPBBBEAE则且的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理 某一事件某一事件A的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因

34、Bi(i=1,2,n),如果如果A是是由原因由原因Bi所引起，所引起，则则A发生的概率是发生的概率是 每一原因每一原因Bi都可能导致都可能导致A发生，故发生，故A发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起A发生概率发生概率的总和，即的总和，即全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解全概率公式我们还可以从另一个角度去理解全概率公式：niiiBPBAPAP1)()()()()()(iiiBPBAPABP 引例：引例：某人从任一罐中任意摸出一球，发现某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自是红球，求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率.213这是这是“已知结果求原已知结果求原因

35、因”的问题是求一个条的问题是求一个条件概率件概率.下面就介绍为解决这类问题而引出的下面就介绍为解决这类问题而引出的 Bayes(贝叶斯贝叶斯)公式公式称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式.12i1.,()0,()0,(1,2,),()()()(),1,2,.()()()niiiinjjjEAEBBBP AP BinP AB P BP ABP B AinP AP AB P B定理 设试验的样本空间为为 的事件为的一个划分且则(3)贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯资料贝叶斯资料(1)条件概率条件概率)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式小结)()()()()()()(2211

36、nnBPBAPBPBAPBPBAPAP niBPBAPBPBAPABPnjjjiii,2,1,)()()()()(1 )()()(APABPABP 乘法定理乘法定理(),(),.,()(),()()(),(),()().BBP ABABP A BBABN ABP A BNN ABP ABNP A BP AB 表示在样本空间中发生的概率 而表示在缩小的样本空间中发生的概率 用古典概率公式 则一般来说比大.)()()2(的区别的区别与积事件概率与积事件概率条件概率条件概率ABPBAP.,)()()(,独立独立简称简称相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是两事件是两事件设设BAB

37、ABPAPABPBA 事件事件 A 与与 事件事件 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的发生与事件发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.说明说明 （2）定义定义两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 ABAB,21)(,21)(BPAP若若AB).()()(BPAPABP 则则例如例如由此可见由此可见两事件两事件相互独立，相互独立，但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件相互独立与两事件互斥的关系两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考请同学们思考二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系AB21)(,21)(BPAP若若.)()()(

38、BPAPABP 故故由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立.,0)(ABP则则,41)()(BPAP3 3.1.1 随机变量概念随机变量概念 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，也可以用非数量表示示，也可以用非数量表示随机变量是随机变量是随试验结果随试验结果变化的量！变化的量！在研究随机试验的结果时，可能关心的不是在研究随机试验的结果时，可能关心的不是样本空间的各个样本点本身，而是对于与样本点样本空间的各个样本点本身，而是对于与样本点联系着的某个数感兴趣。联系着的某个数感兴趣。3 3 随机变量及其分布随机变量及其分布.)(),(

39、,)(,.为随机变量称上的实值单值函数就得到一个定义在这样与之对应有一个实数于每一个如果对的样本空间是随机试验设eXeXeXEi随机变量的定义随机变量的定义随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因因此随机变量的取值也有一定的概率规律此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数,但它与普通的函数有但它与普通的函数有着本质的差别着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实

40、数轴上的,而而随机变量是定义在样本空间上的随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元样本空间的元素不一定是实数素不一定是实数).说明说明(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同实例实例 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击现该射手不断向目标射击,直到击中目标为止直到击中目标为止,则则,)(所需射击次数所需射击次数 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e)的所有可能取值为的所有可能取值为:.,3,2,1实例实例 设盒中有设盒中有5个球个球(2白白3黑黑),从中任抽从中任抽3个个,则则,)(抽得的白球数抽得的白球数 e

41、X是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e)的所有可能取值为的所有可能取值为:,0,1.2 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示 有了随机变量有了随机变量，随机试验中的各种事随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出件，就可以通过随机变量的关系式表达出来来.3.23.2 引入随机变量的意义引入随机变量的意义 例例如如：单位时间内某电话交换台收到：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个

42、随机变量.事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 没有收到呼叫没有收到呼叫 X=0 随机变量概念的产生是概率论发展史随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件上的重大事件.引入随机变量后，对随机引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律3.3 3.3 随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或

43、无限可列个无限可列个,叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是:随机变量随机变量连续型连续型实例实例11,2,3,4,5,6.非离散型非离散型其它其它实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测量测量某零件尺寸时的测量误差误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为(a,b).实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.).,0 (2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.

44、则则 X 的取值范围为的取值范围为且且满满足足条条件件的的概概率率为为事事件件即即取取各各个个可可能能值值的的概概率率值值为为所所有有可可能能取取的的不不同同设设离离散散型型随随机机变变量量.,2,1,),2,1(kpxXPxXXkxXkkkk3.4 3.4 离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律定义定义1.,.,2,1,0kpk2.,11kkp则称则称,.2,1,kpxXPkk为随机变量为随机变量X的的概率分布律，简称分布律概率分布律，简称分布律.Xkp1x2xkx1p2pkpX的分布律也可用如下的表格形式来表示：的分布律也可用如下的表格形式来表示：3.5 3.5 三种重要的离散型随机

45、变量的概率分布三种重要的离散型随机变量的概率分布 (1)两点分布两点分布设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取a与与b两个值两个值,它的分它的分布律为布律为Xkpap 1bp则称则称 X 服从服从 两点分布两点分布(其中其中 0p1)当当a=0，b=1时时两点分布称为两点分布称为 (0(01)1)分布分布即：即：设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值,它的它的分布律为分布律为Xkp0p 11p则称则称 X 服从服从(01)分布分布或或伯努利分布伯努利分布.(其中其中 0p1)两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的

46、随机现象两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点都属于两点分布分布.说明说明（2）二项分布二项分布1)重复独立试验重复独立试验将试验将试验 E 重复进行重复进行 n 次次,若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果它各次试验的结果,则称这则称这 n 次试验是次试验是相互独立相互独立的的,或称为或称为 n 次次重复独立重复独立试验试验.2)n 重重伯努利试验伯努利试验.1)(),10()(.)(,:pA

47、PppAPBernoulliEAAE 此时此时设设试验试验伯努利伯努利为为则称则称及及只有两个可能结果只有两个可能结果设试验设试验伯努利资料伯努利资料.,重重伯伯努努利利试试验验 nnE复复的的独独立立试试验验为为则则称称这这一一串串重重次次独独立立地地重重复复地地进进行行将将实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬若将硬币抛币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否“出现出现 1 点点”,就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.3)二项概率公式二项概率公式,发生的次数发生的次数重伯努利试验中事

48、件重伯努利试验中事件表示表示若若AnX所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X.,2,1,0n,)0(时时当当nkkX .次次次试验中发生了次试验中发生了在在即即knA 次次kAAA,次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次试验中发生次试验中发生在在得得knA,种种 kn且两两互不相容且两两互不相容.nknknnkpqpknpqnqpnkX 1110称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为).,(pnBX次的概率为次的概率为次试验中发生次试验中发生在在因此因此knAknkppkn )1(pq 1记记knkqpkn 的分布律为的分布律为得

49、得 X二项分布二项分布1 n两点分布两点分布注意注意:贝努里概型对试验结果没有等可贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同；二项分布描述的是二项分布描述的是n重贝努里试验中出现重贝努里试验中出现“成功成功”次数次数X的概率分布的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果）每次试验只考虑两个互逆结果A或或 ，A 且且P(A)=p，；pAP1)(（3）各次试验相互独立）各次试验相互独立.（3）泊松分布泊松分布 ).(,.0,2,1,0,!e,2,1,0XXkkkXPk记为布的泊松分服从参数为则称是常数其中值的概率为而取各

50、个的值为设随机变量所有可能取泊松资料泊松资料泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的察与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况粒子个数的情况时时,他们做了他们做了2608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5秒秒)发现发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒其放射的粒子数子数X服从泊松分布服从泊松分布.电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学