数学史课件:第六章-微积分方法与函数概念的演变.ppt
- 【下载声明】
1. 本站全部试题类文档,若标题没写含答案,则无答案;标题注明含答案的文档,主观题也可能无答案。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
2. 本站全部PPT文档均不含视频和音频,PPT中出现的音频或视频标识(或文字)仅表示流程,实际无音频或视频文件。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
3. 本页资料《数学史课件:第六章-微积分方法与函数概念的演变.ppt》由用户(晟晟文业)主动上传,其收益全归该用户。163文库仅提供信息存储空间,仅对该用户上传内容的表现方式做保护处理,对上传内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知163文库(点击联系客服),我们立即给予删除!
4. 请根据预览情况,自愿下载本文。本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
5. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007及以上版本和PDF阅读器,压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学史 课件 第六 微积分 方法 函数 概念 演变
- 资源描述:
-
1、第六章第六章微积分方法与函数概念的演变微积分方法与函数概念的演变6.1极限观念极限观念刘徽求积术中朴素的极限思想方法刘徽求积术中朴素的极限思想方法例如例如,刘徽以弓形的弦刘徽以弓形的弦a a1 1为底、高为底、高h h1 1的端点为顶点的端点为顶点在弓形内作内接等腰三角形,求出其面积在弓形内作内接等腰三角形,求出其面积1=1=a a1 1 h h1 1。再以此三角形的两腰为底作小弓形的内。再以此三角形的两腰为底作小弓形的内接等腰三角形,每一个小弓形的面积为接等腰三角形,每一个小弓形的面积为2=2=a a2 2h h2 2。因两小弓形的面积相等,故有。因两小弓形的面积相等,故有2 22=2=a
2、a2 2 h h2 2。如此类推下去,到第。如此类推下去,到第n n次就有次就有2 2n n1 1n n=2=2 n n2 2anhnanhn。把这些三角形的面积加起来,设。把这些三角形的面积加起来,设SnSn为为其和,则其和,则 SnSn=2 2i i1 1 i i=2=2i i2 2aihiaihi 。刘徽对这个过程指出:刘徽对这个过程指出:“割之又割,使至极细,割之又割,使至极细,但举弦矢相乘之数,则必近密率矣但举弦矢相乘之数,则必近密率矣”。这可以用。这可以用极限的方法表示为:设极限的方法表示为:设S S为弓形面积,就有为弓形面积,就有S S=SnSn =2=2i i1 1i i。插如
3、图插如图6.16.16.2 量分割与积分方法量分割与积分方法6.2.1 6.2.1 阿基米德的平衡法阿基米德的平衡法先把面积或体积分成很多窄的平行条或先把面积或体积分成很多窄的平行条或薄的平行层。进而假设把这些薄片挂在薄的平行层。进而假设把这些薄片挂在杠杆的一端,使它们平衡于容积和重心杠杆的一端,使它们平衡于容积和重心都为已知的一个图形,而且已知图形的都为已知的一个图形,而且已知图形的面(体)积一般都是容易求得的。面(体)积一般都是容易求得的。例如例如,令令r r为该球体的半径。把这个球的两极直径放在水平为该球体的半径。把这个球的两极直径放在水平x x轴上,轴上,如图如图6.16.1,使北极点
4、,使北极点N N与坐标轴原点重合。作与坐标轴原点重合。作2 2r rr r的矩形的矩形NABSNABS和等和等腰直角腰直角NCSNCS ,其中,其中CSCSNSNS。让它们围绕。让它们围绕x x轴旋转,得到圆柱和圆轴旋转,得到圆柱和圆锥。然后,从这三个立体上切下与锥。然后,从这三个立体上切下与N N的距离为的距离为x x、厚度为、厚度为x x的竖立的竖立的薄片,并假设它们是扁平的圆柱体。这些薄片的体积分别近似地的薄片,并假设它们是扁平的圆柱体。这些薄片的体积分别近似地为:为:球体:球体:xx(2(2r rx x)x x,(若设球片底面半径为(若设球片底面半径为R R,则,则R R2=2=r r
5、2 2(x xr r)2=2=x x(2 2r rx x)柱体:柱体:rr2 2x x锥体:锥体:xx2 2x x把球体和锥体的薄片挂在把球体和锥体的薄片挂在T T点(在这里点(在这里TN TN=2=2r r)上。它们的关于)上。它们的关于N N的组合力矩(一个体积关于一个点的矩,是该体积与此点至此体积的组合力矩(一个体积关于一个点的矩,是该体积与此点至此体积重心的距离的乘积)为:重心的距离的乘积)为:xx(2(2r rx x)x x+xx2 2x x22r r=4=4rr2 2x xx x这是从柱体上切下来的薄片放在左边与这是从柱体上切下来的薄片放在左边与N N的距离为的距离为x x处的力矩
6、的四倍。处的力矩的四倍。把所有的这些薄片加到一起,得:把所有的这些薄片加到一起,得:2 2r r 球体体积球体体积+圆锥体积圆锥体积=4=4r r 圆柱体积圆柱体积。即,即,2 2r r 球体体积球体体积+=8+=8rr4.4.所以,所以,球体体积球体体积=6.2.2 开普勒的旋转体体积公式开普勒的旋转体体积公式用无数个用无数个“同维数同维数”的无穷小元素的无穷小元素之和来求面积和体积的方法之和来求面积和体积的方法例如例如,设半径为设半径为R R的圆围绕其所在平面上且与圆的圆围绕其所在平面上且与圆心距离为心距离为d d的垂直轴旋转而形成圆环。开普勒证的垂直轴旋转而形成圆环。开普勒证明了用通过旋
7、转轴的平面,可以把圆环分成无穷明了用通过旋转轴的平面,可以把圆环分成无穷多个内侧较薄、外侧较厚的垂直薄圆片,而把每多个内侧较薄、外侧较厚的垂直薄圆片,而把每一个薄圆片又分成无穷多个横截面为梯形的水平一个薄圆片又分成无穷多个横截面为梯形的水平薄片薄片,进而先推导出每个圆片的体积是进而先推导出每个圆片的体积是 RR2 2l l,其中其中l l=是圆片最小厚度是圆片最小厚度l l1 1与最大厚度与最大厚度l l2 2的平均的平均值,亦即圆片在其中心处的厚度。然后他进一步值,亦即圆片在其中心处的厚度。然后他进一步推算圆环的体积推算圆环的体积V=(R2)=(V=(R2)=(RR2)(22)(2dd)=2
8、)=22 2R R2 2d d。6.2.3 卡瓦列里的不可分量原理卡瓦列里的不可分量原理“不可分量原理不可分量原理”(意大利卡瓦列意大利卡瓦列里里,1635,1635年年)第一次给出了积分的一第一次给出了积分的一般方法。般方法。第一原理第一原理:有两个平面片处于两条平行线之间,有两个平面片处于两条平行线之间,在这两个平面片内作任意平行于这两条平在这两个平面片内作任意平行于这两条平行线的直线,如果它们被平面片所截得的行线的直线,如果它们被平面片所截得的线段长度相等,则这两个平面片的面积相线段长度相等,则这两个平面片的面积相等。等。第二原理:有两个立体处于两个平行平面之间,第二原理:有两个立体处于
9、两个平行平面之间,在这两个平行平面之间作任意平行于这两个平在这两个平行平面之间作任意平行于这两个平面的平面,如果它们被立体所截得的面积相等,面的平面,如果它们被立体所截得的面积相等,则这两个立体的体积相等。则这两个立体的体积相等。实例实例对于被置于同一个直角坐标系上的椭圆和对于被置于同一个直角坐标系上的椭圆和圆圆=1=1(a a b b),x x2+2+y y2=2=a a2,2,从上述每一个方程中解出从上述每一个方程中解出y y,得到,得到y y=(=(a a2 2x x2)1/2,2)1/2,y y=(=(a a2 2x x2)1/22)1/2由此看出:椭圆和圆的对应的纵坐标之比由此看出:
10、椭圆和圆的对应的纵坐标之比为为b b/a a。这就意味着,椭圆和圆的对应垂。这就意味着,椭圆和圆的对应垂直弦之比是直弦之比是b b/a a;根据卡瓦列里不可分量;根据卡瓦列里不可分量的第一个原理,有椭圆和圆的面积之比也的第一个原理,有椭圆和圆的面积之比也是是b b/a a。6.3 微分方法与微积分的互逆性微分方法与微积分的互逆性微分方法是微分方法是1717世纪数学家在寻找曲世纪数学家在寻找曲线的切线的作法和计算函数极值的线的切线的作法和计算函数极值的过程中创立的过程中创立的6.3.1费马方法与圆法费马方法与圆法l费马求函数极大或极小值的思想方法:费马求函数极大或极小值的思想方法:如果如果f f
11、(x x)在在x x点上有一个普通的极大值或极小值,并且若点上有一个普通的极大值或极小值,并且若e e很小,则很小,则f f(x xe e)的值几乎等于)的值几乎等于f f(x x)的值。所以,我)的值。所以,我们暂时令们暂时令f f(x xe e)=)=f f(x x),然后,令,然后,令e e取值零,使得等式取值零,使得等式成为正确的,所得方程的根就给出使成为正确的,所得方程的根就给出使f f(x x)取极大值或极取极大值或极小值的那些小值的那些x x的值。这是现代微积分学求函数的值。这是现代微积分学求函数f f(x x)的普通的普通极大值或极小值的常用方法,然而,费马只是给出了函数极大值
12、或极小值的常用方法,然而,费马只是给出了函数极值存在的必要但不充分的条件。极值存在的必要但不充分的条件。l笛卡尔圆法笛卡尔圆法(重根法重根法),是采用代数形式给出了求切线的,是采用代数形式给出了求切线的方法,它不涉及极限的概念方法,它不涉及极限的概念.圆法在本质上将切线视为割圆法在本质上将切线视为割线的极限位置,这与现代的切线概念相一致。但重根的计线的极限位置,这与现代的切线概念相一致。但重根的计算过程十分复杂。算过程十分复杂。例如,对于抛物线例如,对于抛物线y y2=2=kxkx,有,有y y=f f(x x)=,)=,则则方程方程kxkx+(v vx x)2=2=r r2 2有重根的条件为
13、有重根的条件为kxkx+(v vx x)2 2r r2=(2=(x xe e)2.)2.令等式两边令等式两边x x的系数相等,得的系数相等,得k k2v=2v=2e,2e,即即v=v=e e+.+.代入代入e=xe=x,于是于是v vx=kx=k,故而求得抛物线在,故而求得抛物线在点(点(x x,)处的切线斜率是)处的切线斜率是6.3.2 特征三角形求切线法特征三角形求切线法16691669年英国数学家巴罗利用它找到了求年英国数学家巴罗利用它找到了求切线的几何方法,并发现了积分与微分切线的几何方法,并发现了积分与微分的互逆关系。此后,莱布尼兹应用这个的互逆关系。此后,莱布尼兹应用这个三角形建立
14、起他的无穷小量的微积分理三角形建立起他的无穷小量的微积分理论。论。巴罗用几何法求切线的思想方法巴罗用几何法求切线的思想方法例如,求曲线例如,求曲线x x3+3+y y3=3=r r3 3在一点处的切线,在一点处的切线,可令可令(x xe e)3+3+(y ya a)3=3=r r3 3,或或 x x3 33 3x x2 2e e+3+3xexe2 2e e3+3+y y3 33 3y y2 2a a+3+3yaya2 2a a3=3=r r3 3。令令a a和和e e的二次幂和高次幂等于零,并利用已知等的二次幂和高次幂等于零,并利用已知等式式x x3+3+y y3=3=r r3 3,上式可化简
15、为上式可化简为3 3x x2 2e e+3+3y y2 2a a=0=0,由此我们得到由此我们得到a a/e e=x x2/2/y y2 2。n 莱布尼兹提出了自己的特征三角形并利用它莱布尼兹提出了自己的特征三角形并利用它“毫无毫无困难地建立起大量的定理困难地建立起大量的定理”(莱布尼兹语)。它所得到(莱布尼兹语)。它所得到的第一个定理是:的第一个定理是:“由一条曲线的法线形成的图形,即由一条曲线的法线形成的图形,即将这些法线(在圆的情形就是半径)按纵坐标方向置于将这些法线(在圆的情形就是半径)按纵坐标方向置于轴上所形成的图形,其面积与曲线绕轴旋转而成的立体轴上所形成的图形,其面积与曲线绕轴旋
展开阅读全文