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1、第四章第四章 实数的连续性实数的连续性 4.1 实数连续性定理 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明数学分析课件 数学分析课程组 4.1 实数连续性定理实数连续性定理n闭区间套定理闭区间套定理定理定理1：(闭区间套定理闭区间套定理)数学分析课件 数学分析课程组 4.1 实数连续性定理实数连续性定理数学分析课件 数学分析课程组 4.1 实数连续性定理实数连续性定理数学分析课件 数学分析课程组 4.1 实数连续性定理实数连续性定理n在什么情况下应用闭区间套定理？一般来说，证明某定理需要找到具有某种性质P的一个数，常常应用闭区间套定理将这个数“套”。怎样应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质P*的

2、闭区间，性质P*要根据性质P来定。其次，通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少有一个闭区间具有性质P*，然后继续使用二等分法得到满足闭区间套定理条件的和具有性质P*的闭区间列。根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质P的数。数学分析课件 数学分析课程组 4.1 实数连续性定理实数连续性定理n确界定理确界定理上确界定义：下确界定义：数学分析课件 数学分析课程组 4.1 实数连续性定理实数连续性定理定理定理2：(确界定理确界定理)数学分析课件 数学分析课程组 4.1 实数连续性定理实数连续性定理n有限覆盖定理有限覆盖定理定义：数学分析课件 数学分析课程组 4.1 实数连续性定理实数连续性定理定理

3、定理3：(有限覆盖定理有限覆盖定理)一般来说，如果我们已知在闭区间a,b上每一点的某个邻域内都具有性质P，每一点的邻域（开区间）集覆盖了a,b，为了将性质P扩充到整个闭区间a,b上，这时，可用有限覆盖定理，将覆盖a,b的无限个邻域换成有限个邻域。数学分析课件 数学分析课程组 4.1 实数连续性定理实数连续性定理n聚点定理聚点定理定义：注：有限点集没有聚点数学分析课件 数学分析课程组 4.1 实数连续性定理实数连续性定理定理定理4：(聚点原理聚点原理)数轴上有界无限点集E至少有一个聚点。数学分析课件 数学分析课程组 4.1 实数连续性定理实数连续性定理n柯西收敛准则柯西收敛准则n致密性定理致密性

4、定理定理定理5：(致密性定理致密性定理)定理定理6：(柯西收敛准则柯西收敛准则)nakna有界数列必有收敛的子数列.数学分析课件 数学分析课程组 4.1 实数连续性定理实数连续性定理 总结：以上六个定理，是从应用公理证明了闭区间套定理，总结：以上六个定理，是从应用公理证明了闭区间套定理，然后用前一个为条件，证明了后面一个定理，它们依次是：确然后用前一个为条件，证明了后面一个定理，它们依次是：确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收剑准界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收剑准则的充分性，最后再应用柯西准则的充分性证明公理，这样这则的充分性，最后再应用柯西准则的充分性证明

5、公理，这样这些的证明构成了封闭循环。因此，它们是待等价的，互为充要些的证明构成了封闭循环。因此，它们是待等价的，互为充要条件，它们都刻画了实数集的连续性，它们构成了数学分析的条件，它们都刻画了实数集的连续性，它们构成了数学分析的理论基础，舍此不能得证，特别是柯西收剑准则又称完备性，理论基础，舍此不能得证，特别是柯西收剑准则又称完备性，它对数学分析的发展起着重要作用。它对数学分析的发展起着重要作用。数学分析课件 数学分析课程组 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明闭区间连续函数整体性质的证明n性质的证明性质的证明定理定理1（有界性）（有界性）数学分析课件 数学分析课程组 4.2 闭区间连续函数整

6、体性质的证明闭区间连续函数整体性质的证明数学分析课件 数学分析课程组 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明闭区间连续函数整体性质的证明数学分析课件 数学分析课程组 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明闭区间连续函数整体性质的证明定理定理5（最值性）（最值性）数学分析课件 数学分析课程组 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明闭区间连续函数整体性质的证明数学分析课件 数学分析课程组 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明闭区间连续函数整体性质的证明定理定理3：零点定理零点定理 设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0数学分析课件

7、 数学分析课程组 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明闭区间连续函数整体性质的证明数学分析课件 数学分析课程组 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明闭区间连续函数整体性质的证明数学分析课件 数学分析课程组 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明闭区间连续函数整体性质的证明n一致连续性一致连续性定义：数学分析课件 数学分析课程组 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明闭区间连续函数整体性质的证明一致连续。在证明：函数例R)sin()(2xxf=.Rsin)(|sinsin|,|:|,0,0|2sin|2cos|2|sinsin|,02121212121212121一致连续在即函数有，于是，成立。取要使不等式证明：xxfxxxxRxxxxxxxxxxRxx=数学分析课件 数学分析课程组 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明闭区间连续函数整体性质的证明定理定理4（一致连续性）（一致连续性）证法：应用反证法与致密性定理数学分析课件 数学分析课程组 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明闭区间连续函数整体性质的证明数学分析课件 数学分析课程组 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明闭区间连续函数整体性质的证明数学分析课件 数学分析课程组