数学史概论数学与统计学院课件.ppt

1、 CH10下页返回上页感言感言 一件遗憾的事儿一件遗憾的事儿：几乎所有的大学生不知道非几乎所有的大学生不知道非欧几何，甚至数学类专业的本科生（包括部分大学欧几何，甚至数学类专业的本科生（包括部分大学数学教师）也是如此。数学教师）也是如此。今天我们试图来弥补这个遗憾，来了解影响和今天我们试图来弥补这个遗憾，来了解影响和改变世界的非欧几何。改变世界的非欧几何。CH10下页返回上页第十章第十章 痛苦的分娩痛苦的分娩几何学的革命几何学的革命一、关于第五公设的思考一、关于第五公设的思考二、非欧几何的诞生二、非欧几何的诞生2.2.黎曼对非欧几何的贡献黎曼对非欧几何的贡献三、非欧几何产生的意义三、非欧几何产

2、生的意义1.1.高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的突破性工作高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的突破性工作3.3.几何学的划分几何学的划分4.4.非欧几何的模型非欧几何的模型5.5.非欧几何的相容性非欧几何的相容性6.6.平行公理的独立性问题平行公理的独立性问题 CH10下页返回上页 公元前公元前300300年产生了欧氏几何，至今每个学生在初中都年产生了欧氏几何，至今每个学生在初中都要学习它，它的影响遍及世界各国。要学习它，它的影响遍及世界各国。两千多年来，人们一直两千多年来，人们一直认为欧几里得几何空间是反映现实世界唯一正确的几何空间。认为欧几里得几何空间是反映现实世界唯一正确的几何空间。直到直到1818

3、世纪，欧氏几何仍一统天下。到了世纪，欧氏几何仍一统天下。到了1919世纪世纪2020年代，非年代，非欧几何的诞生使人们从这一思想中解放了出来。欧几何的诞生使人们从这一思想中解放了出来。在数学史上，在数学史上，很少有一个分支能像非欧几何那样对人类的认识产生如此深很少有一个分支能像非欧几何那样对人类的认识产生如此深刻的影响。人们常把非欧几何引起的思想变革比作哥白尼的刻的影响。人们常把非欧几何引起的思想变革比作哥白尼的革命。革命。德国伟大数学家希尔伯特说：德国伟大数学家希尔伯特说：“1919世纪最有启发性、世纪最有启发性、最重要的数学成就是非欧几何的发现。最重要的数学成就是非欧几何的发现。”非欧几何

4、产生的最早根源在于人们对非欧几何产生的最早根源在于人们对欧几里得第五公设欧几里得第五公设的研究。的研究。CH10下页返回上页 关于第五公设的思考关于第五公设的思考1 1 CH10下页返回上页五条公设五条公设公设公设1.1.一点到另外一点作直线是可能的；一点到另外一点作直线是可能的；CH10下页返回上页五条公设五条公设公设公设2.2.有限直线不断沿直线延长是可能的；有限直线不断沿直线延长是可能的；CH10下页返回上页五条公设五条公设公设公设3.3.以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的；以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的；CH10下页返回上页五条公设五条公设公设公设4.4.所有直

5、角彼此相等；所有直角彼此相等；BACDPQRS ADC=PSQ CH10下页返回上页五条公设五条公设公设公设5.5.如果一直线与两直线相交，且同侧所交两内角之和如果一直线与两直线相交，且同侧所交两内角之和 小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。aba+b 180 1 2 CH10下页返回上页第五条公设等价于平行公理：第五条公设等价于平行公理：过直线外一点可以作唯一一条直线与之平行过直线外一点可以作唯一一条直线与之平行。CH10下页返回上页 几何原本几何原本问世后，第五公设引起了数学家们的极问世后，第五公设引起了数学家们的极大关注。人

6、们认为大关注。人们认为作为其基石的五个公理以及五个公设中作为其基石的五个公理以及五个公设中的的前前4 4个公设简单明了，符合亚里士多德关于公理自明性的个公设简单明了，符合亚里士多德关于公理自明性的要求，而唯独第五公设即所谓的平行公理却显得陈述复杂要求，而唯独第五公设即所谓的平行公理却显得陈述复杂且不够自明，且不够自明，很像一条定理很像一条定理。似乎连欧几里得本人对这一。似乎连欧几里得本人对这一公设也不太满意。这是因为，公设也不太满意。这是因为，几何原本几何原本第一卷中共第一卷中共4848个命题，其中前个命题，其中前2828个命题的证明，欧几里得都回避了第五个命题的证明，欧几里得都回避了第五公设

7、，只有在第公设，只有在第2929个命题的证明中才不得不应用了一次，个命题的证明中才不得不应用了一次，并且这也是整个并且这也是整个几何原本几何原本唯一的一次应用第五公设。唯一的一次应用第五公设。CH10下页返回上页 所以自欧几里得以来，人们总怀疑这一公设本身就是一个所以自欧几里得以来，人们总怀疑这一公设本身就是一个定理，只不过欧几里得本人无法证明它才把它当作公设罢了。定理，只不过欧几里得本人无法证明它才把它当作公设罢了。对于这部千古不朽的巨著这真是白壁之瑕。因此，许多人想尽对于这部千古不朽的巨著这真是白壁之瑕。因此，许多人想尽力洗刷掉这唯一的力洗刷掉这唯一的“污点污点”。对于这个问题有三种解决途

8、径：对于这个问题有三种解决途径：1.1.试图通过给出平行线定义以避开这个困难；试图通过给出平行线定义以避开这个困难；2.2.试图用比平行公理缺点更少的其它公理代替它；试图用比平行公理缺点更少的其它公理代替它；3.3.用其它用其它9 9个公理或公设去证明它！个公理或公设去证明它！CH10下页返回上页 在进行在进行第二项第二项工作的研究中，人们发现了许多与第五工作的研究中，人们发现了许多与第五公设等价的命题，证明其一便相当于证明了第五公设。公设等价的命题，证明其一便相当于证明了第五公设。比如：比如：平行公理平行公理：过直线外一点可以作唯一一条直线与之平行；：过直线外一点可以作唯一一条直线与之平行；

9、三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形内角和等于：三角形内角和等于180180度。度。CH10下页返回上页 第三项第三项问题得到的研究最多，人们为此努力了两问题得到的研究最多，人们为此努力了两千多年，花费了无数数学家的心血，但终究没有成功。千多年，花费了无数数学家的心血，但终究没有成功。虽然此后无数的数学家都曾试图利用其它公设和虽然此后无数的数学家都曾试图利用其它公设和公理来证明第五公设，但不是论证上有错误就是证明公理来证明第五公设，但不是论证上有错误就是证明过程中利用了第五公设的等价命题。过程中利用了第五公设的等价命题。CH10下页返回上页 历史上第一个给出第五公设证明的是公元历史上第一个

10、给出第五公设证明的是公元2 2世纪的古希世纪的古希腊数学家托勒密。但他的证明依赖了一个假定：腊数学家托勒密。但他的证明依赖了一个假定：过已知直过已知直线外一点可且仅可作一条直线与已知直线平行。线外一点可且仅可作一条直线与已知直线平行。这实际上这实际上是和第五公设等价的一个命题。所以托勒密没有由其它公是和第五公设等价的一个命题。所以托勒密没有由其它公设证明第五公设。后来，由于苏格兰数学家普莱菲尔首先设证明第五公设。后来，由于苏格兰数学家普莱菲尔首先有意识地用它来代替第五公设，故该命题称为有意识地用它来代替第五公设，故该命题称为“普莱菲尔普莱菲尔公设公设”。这个公设代替第五公设广泛地出现在。这个公

11、设代替第五公设广泛地出现在1818世纪的欧世纪的欧氏几何的教科书中，所以使人们误解第五公设的原文就是氏几何的教科书中，所以使人们误解第五公设的原文就是平行公设。平行公设。CH10下页返回上页 除此之外，中世纪阿拉伯数学家纳西尔丁试图通过证明等除此之外，中世纪阿拉伯数学家纳西尔丁试图通过证明等价命题：三角形内角和为两直角。价命题：三角形内角和为两直角。17411741年克莱罗试图证明等价年克莱罗试图证明等价命题命题“如果四边形的三个角是直角，则第四个角也是直如果四边形的三个角是直角，则第四个角也是直角。角。”18331833年勒让德试图证明等价命题年勒让德试图证明等价命题“过不共线的三点可作过不

12、共线的三点可作一圆。一圆。”但都没有成功。但都没有成功。这些试图这些试图直接证明直接证明第五公设的做法均告失败。这样，人们第五公设的做法均告失败。这样，人们就开始逐渐地把注意力转移到就开始逐渐地把注意力转移到间接证法间接证法上来。上来。即假设平行公理即假设平行公理不成立，力图导出一个矛盾，不成立，力图导出一个矛盾，这样就等于用反证法由其它公设这样就等于用反证法由其它公设和已知事实证明了平行公理。人们在这个假定下试图找出矛盾，和已知事实证明了平行公理。人们在这个假定下试图找出矛盾，但总未真正找出矛盾。直到但总未真正找出矛盾。直到1919世纪，数学家们才逐渐认识到：世纪，数学家们才逐渐认识到：第五

13、公设确实独立于其它公设。第五公设确实独立于其它公设。如果将第五公设替换成相反的如果将第五公设替换成相反的某种假设，可以建立与欧氏几何不同的几何体系。某种假设，可以建立与欧氏几何不同的几何体系。下页返回上页非欧几何的诞生非欧几何的诞生2 2 CH10下页返回上页 19 19世纪，德国数学家世纪，德国数学家高斯高斯（Gauss,C.F.,1777-Gauss,C.F.,1777-1 8 5 51 8 5 5）、俄 罗 斯 数 学 家）、俄 罗 斯 数 学 家 罗 巴 切 夫 斯 基罗 巴 切 夫 斯 基（yeye.，1793-18561793-1856）和德）和德国数学家国数学家黎曼黎曼（G.B.

14、Riemann,1826-1866G.B.Riemann,1826-1866）等人，在）等人，在用反证法研究第三项问题时，试图推出矛盾，但却没有。用反证法研究第三项问题时，试图推出矛盾，但却没有。即，即，假设第五公设不成立，结果并不会出现矛盾！假设第五公设不成立，结果并不会出现矛盾！于是他们顿悟：推翻第五公设！从而导致了非欧几何于是他们顿悟：推翻第五公设！从而导致了非欧几何的产生。的产生。CH10下页返回上页高斯高斯被誉为被誉为“非欧几何的先驱非欧几何的先驱”;罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基被冠以被冠以“几何学上的哥白尼几何学上的哥白尼”;黎曼黎曼是一个极富天分的多产数学家，在他短暂的一生中，是一个

15、极富天分的多产数学家，在他短暂的一生中，他在许多领域写出了许多有名论文，对数学的发展做出他在许多领域写出了许多有名论文，对数学的发展做出了重要贡献，影响了了重要贡献，影响了1919世纪后半期数学发展，黎曼几何世纪后半期数学发展，黎曼几何仅是他的成就之一。仅是他的成就之一。CH10下页返回上页 1 1、高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的突破性工作、高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的突破性工作 高斯早在高斯早在1515岁时，就开始思考第五公设。岁时，就开始思考第五公设。3636岁时，他具岁时，他具有了非欧几何的基本思想，确信存在着不同于欧氏几何的另有了非欧几何的基本思想，确信存在着不同于欧氏几何的另一种几何学

16、。一种几何学。尽管高斯对几何学的本质问题有着深刻的理解，尽管高斯对几何学的本质问题有着深刻的理解，但他一直没有发表过这一思想。原因有两方面：但他一直没有发表过这一思想。原因有两方面：胆怯。胆怯。高斯认为，这种新思想冲击了欧氏几何高斯认为，这种新思想冲击了欧氏几何20002000多年的权威，多年的权威，与人们的常识相悖，必然要遭到世人的攻击和嘲笑。高斯深与人们的常识相悖，必然要遭到世人的攻击和嘲笑。高斯深知传统思想的顽固，所以在世人偏见造成的压力下退却了。知传统思想的顽固，所以在世人偏见造成的压力下退却了。所以让人感到遗憾的是，这位被誉为所以让人感到遗憾的是，这位被誉为“数学王子数学王子”的高斯

17、，的高斯，在有生之年没有能给非欧几何的发展以根本的推动。在有生之年没有能给非欧几何的发展以根本的推动。过于谨慎。过于谨慎。这是高斯从事数学研究的工作态度。他只有在证明的严这是高斯从事数学研究的工作态度。他只有在证明的严密性和文字叙述的简明性方面都达到无懈可击时才肯发表。密性和文字叙述的简明性方面都达到无懈可击时才肯发表。CH10下页返回上页德国数学家德国数学家高斯高斯（Gauss,C.F.,1777-1855）是最早认识到可以否）是最早认识到可以否定第五公设的人。定第五公设的人。1792年开始思考第五公设问题。年开始思考第五公设问题。1794年，发现非欧几何的一个事实。年，发现非欧几何的一个事

18、实。1799年起，着手建立这一新几何。年起，着手建立这一新几何。1824年，高斯又在给朋友的信中写到：年，高斯又在给朋友的信中写到：三角形内角和小于180度，这一假设引出一种特殊的、和我们的几何完全不相同的几何。这种几何自身是完全相容的，当我发展它的时候，结果完全令人满意。CH10下页返回上页这一假设相当于把平行公理改换为：这一假设相当于把平行公理改换为：过直线外一点可以做多条直线与之平行 CH10下页返回上页 罗巴切夫斯基，出生在俄国喀山罗巴切夫斯基，出生在俄国喀山一个贫穷的公务员家庭。一个贫穷的公务员家庭。1515岁进入喀岁进入喀山大学学习，由于在数学上取得优异山大学学习，由于在数学上取得

19、优异成绩受到教授们的赞赏。所以教授们成绩受到教授们的赞赏。所以教授们坚决主张在罗巴切夫斯基大学毕业后坚决主张在罗巴切夫斯基大学毕业后授予他硕士学位并留校工作。授予他硕士学位并留校工作。2424岁，岁，罗巴切夫斯基成为该校副教授，罗巴切夫斯基成为该校副教授，3030岁岁晋升为教授，后任喀山大学校长。晋升为教授，后任喀山大学校长。与高斯的保守和胆怯相比，罗巴切夫斯基则是一个为与高斯的保守和胆怯相比，罗巴切夫斯基则是一个为确立和发展非欧几何始终不渝的战士。确立和发展非欧几何始终不渝的战士。CH10下页返回上页 罗巴切夫斯基从罗巴切夫斯基从18151815年开始研究平行公理问题，起初也年开始研究平行公

20、理问题，起初也和大多数人一样，相信平行公理是可以证明的。和大多数人一样，相信平行公理是可以证明的。18231823年他开年他开始试图用反证法来证明。他从平行公理的否命题出发，同时始试图用反证法来证明。他从平行公理的否命题出发，同时保留了欧氏几何的其它公理，按照严格的逻辑推理进行推导，保留了欧氏几何的其它公理，按照严格的逻辑推理进行推导，然而矛盾却没有出现，反而得到了一系列重要的结果。罗巴然而矛盾却没有出现，反而得到了一系列重要的结果。罗巴切夫斯基果断地放弃了关于欧氏几何是描述物质空间唯一绝切夫斯基果断地放弃了关于欧氏几何是描述物质空间唯一绝对的几何学的传统观念，大胆提出：对的几何学的传统观念，

21、大胆提出：由平行公理的否命题出由平行公理的否命题出发而得到的结果代表着一种新的几何学，尽管这种几何学中发而得到的结果代表着一种新的几何学，尽管这种几何学中的许多结论是令人惊异和不可思议的，但它本身却是无矛盾的许多结论是令人惊异和不可思议的，但它本身却是无矛盾的，它可以和欧氏几何一样成立。的，它可以和欧氏几何一样成立。CH10下页返回上页 学术报告学术报告时间时间：18261826年年2 2月月2323日，日，地点地点：喀山大学数学物理系：喀山大学数学物理系人物人物：罗巴切夫斯基：罗巴切夫斯基题目题目：关于几何原理的扼要叙述及平行线定理的一个严关于几何原理的扼要叙述及平行线定理的一个严 格证明格

22、证明 1826年年2月月23日这一天，被后人确定为日这一天，被后人确定为非欧几何的非欧几何的诞生日，诞生日，从而宣告欧氏几何一统天下的局面不复存在。从而宣告欧氏几何一统天下的局面不复存在。这篇论文不仅标志着非欧几何的诞生，引起了几何学的这篇论文不仅标志着非欧几何的诞生，引起了几何学的革命，而且也标志着近代数学时期的开始。革命，而且也标志着近代数学时期的开始。CH10下页返回上页 在这篇论文中，罗巴切夫斯基首先引用了与第五公设在这篇论文中，罗巴切夫斯基首先引用了与第五公设相反的断言：相反的断言：过不在直线上的一点可至少引两条直线与已过不在直线上的一点可至少引两条直线与已知直线平行。知直线平行。同

23、时，保留了欧氏几何中除第五公设之外的同时，保留了欧氏几何中除第五公设之外的其它公设，构造了一个逻辑体系。他发现这个体系没有逻其它公设，构造了一个逻辑体系。他发现这个体系没有逻辑矛盾，但又与欧氏几何不同，他认为这是一种新的几何辑矛盾，但又与欧氏几何不同，他认为这是一种新的几何学。这是学。这是20002000多年来思维过程形成的惯性下出现的一次重多年来思维过程形成的惯性下出现的一次重大突破。大突破。过直线外一点可以作两条直线过直线外一点可以作两条直线与之不相交与之不相交罗巴切夫斯基的几何罗巴切夫斯基的几何 CH10下页返回上页 由这一几何体系，可以得到两个结论：由这一几何体系，可以得到两个结论：1

24、.1.第五公设与其它公设在逻辑上是不相关的，即它不能第五公设与其它公设在逻辑上是不相关的，即它不能由其它公设推出；由其它公设推出；2.2.除去使这一公设成立的欧氏几何外，还有使这一公设除去使这一公设成立的欧氏几何外，还有使这一公设不成立的几何学。不成立的几何学。在罗氏几何中，出现了许多在欧氏几何看来纯属异端邪在罗氏几何中，出现了许多在欧氏几何看来纯属异端邪说的结论。如说的结论。如 1.1.过直线外一点可引无数条平行线平行于已知直线；过直线外一点可引无数条平行线平行于已知直线；2.2.三角形的内角和小于两直角；三角形的内角和小于两直角；3.3.不同大小的三角形永远不能相似。不同大小的三角形永远不

25、能相似。CH10下页返回上页 18291829年，在年，在喀山通报喀山通报上，罗巴切夫斯基以上，罗巴切夫斯基以几何学原几何学原理理为题正式发表了他的研究成果，这是世界上第一部公开出为题正式发表了他的研究成果，这是世界上第一部公开出版的非欧几何的文献。版的非欧几何的文献。这一新思想是这一新思想是2020世纪相对论产生的前奏世纪相对论产生的前奏和准备。后来的历史证明非欧几何导致的思想解放对现代数学和准备。后来的历史证明非欧几何导致的思想解放对现代数学和科学有重要的意义。因为如果没有这一进步，人类就不可能和科学有重要的意义。因为如果没有这一进步，人类就不可能突破感观的局限而深入到自然更深刻的本质中去

26、。突破感观的局限而深入到自然更深刻的本质中去。和所有的先知先觉者一样，罗得到的是冷遇和嘲讽。他的和所有的先知先觉者一样，罗得到的是冷遇和嘲讽。他的新学说没有得到承认。新学说没有得到承认。18341834年，有人在年，有人在祖国之子祖国之子杂志上写杂志上写文章讥讽说：文章讥讽说：“为什么不把黑的想象成白的，把圆的想象成方为什么不把黑的想象成白的，把圆的想象成方的，把三角形内角和想象成小于两直角，把同一个定积分值想的，把三角形内角和想象成小于两直角，把同一个定积分值想象成既等于象成既等于 又等于又等于 呢？非常可能，尽管理智是不可能呢？非常可能，尽管理智是不可能理解这些的。理解这些的。”“”“为什

27、么不把标题为什么不把标题几何学原理几何学原理写成写成对几对几何学的讽刺何学的讽刺或或几何学漫画几何学漫画呢？呢？”德国著名诗人歌德甚至德国著名诗人歌德甚至写了一首诗来嘲笑非欧几何：写了一首诗来嘲笑非欧几何：“有几何兮，名为非欧，自己嘲有几何兮，名为非欧，自己嘲笑，莫名其妙。笑，莫名其妙。”但罗却一直执着地研究非欧几何。但罗却一直执着地研究非欧几何。4 CH10下页返回上页 1837 1837年罗写成年罗写成虚几何学虚几何学，18401840年写出年写出平行线理论的平行线理论的几何研究几何研究。直至他去世前，虽然身患重病，双目失明，但仍。直至他去世前，虽然身患重病，双目失明，但仍口述完成口述完成

28、泛几何学泛几何学。遗憾的是，在罗发现非欧几何之后的。遗憾的是，在罗发现非欧几何之后的3030年中没能看到对这种几何学的确认。直到他去世年中没能看到对这种几何学的确认。直到他去世1212年之后，年之后，意大利数学家贝尔特拉米发表了意大利数学家贝尔特拉米发表了非欧几何解释的尝试非欧几何解释的尝试，给，给出了非欧几何在欧氏空间上的模型，这才从理论上消除了人们出了非欧几何在欧氏空间上的模型，这才从理论上消除了人们对非欧几何无矛盾性的怀疑。非欧几何获得学术界的一致承认对非欧几何无矛盾性的怀疑。非欧几何获得学术界的一致承认和赞美。和赞美。罗被誉为罗被誉为“几何学中的哥白尼几何学中的哥白尼”。几何名称：几何

29、名称：虚几何学虚几何学想象几何学想象几何学泛几何学泛几何学罗巴切夫斯基几何。罗巴切夫斯基几何。CH10下页返回上页 在与罗几乎同时，在与罗几乎同时，18231823年，匈牙利的年，匈牙利的J.J.波尔约也独立波尔约也独立发现了非欧几何。发现了非欧几何。他的父亲他的父亲W.W.波尔约也曾经研究过第五公波尔约也曾经研究过第五公设，但没有成果，认为研究这一问题纯粹是浪费时间。所设，但没有成果，认为研究这一问题纯粹是浪费时间。所以当他的儿子决心研究这个问题时，老波尔约就忠告他：以当他的儿子决心研究这个问题时，老波尔约就忠告他：这是一个可以吞掉几个牛顿式人物而毫无前途的问题，但这是一个可以吞掉几个牛顿式

30、人物而毫无前途的问题，但小波尔约却偏向虎山行，并于小波尔约却偏向虎山行，并于2121岁时有了新发现。当年，岁时有了新发现。当年，小波尔约的论文小波尔约的论文关于一个与欧几里得平行公设无关的空关于一个与欧几里得平行公设无关的空间的绝对真实性的学说间的绝对真实性的学说作为其父亲一部著作作为其父亲一部著作向好学青向好学青年介绍纯粹数学原理的尝试年介绍纯粹数学原理的尝试的附录出版。的附录出版。老波尔约并把老波尔约并把该书寄给了好朋友高斯，请他评价儿子的研究成果。该书寄给了好朋友高斯，请他评价儿子的研究成果。鲍耶的父亲，高斯的同学鲍耶的父亲，高斯的同学 CH10下页返回上页 高斯回信说，高斯回信说，如果

31、从一开始我就说我不能称赞波尔约的如果从一开始我就说我不能称赞波尔约的工作，那你一定感到奇怪。但我确实不能说别的话，因为称工作，那你一定感到奇怪。但我确实不能说别的话，因为称赞他就等于称赞我自己。你儿子所采用的方法和他所得到的赞他就等于称赞我自己。你儿子所采用的方法和他所得到的结果几乎和我结果几乎和我3030年前就已开始的研究相符合，我自己永远不年前就已开始的研究相符合，我自己永远不想发表，现在你的儿子能把它发表出来，我很高兴。想发表，现在你的儿子能把它发表出来，我很高兴。高斯的高斯的回信让波尔约很失望，他不相信高斯在他之前就有了同样的回信让波尔约很失望，他不相信高斯在他之前就有了同样的发现。他

32、认为高斯剽窃了他的成果，后来他又看到罗在发现。他认为高斯剽窃了他的成果，后来他又看到罗在18351835年的著作时，也认为罗抄了他年的著作时，也认为罗抄了他18231823年出版的附录。这些想法年出版的附录。这些想法使得年轻的波尔约对数学界失望至极，据说他因此放弃了数使得年轻的波尔约对数学界失望至极，据说他因此放弃了数学研究而转向了神学。学研究而转向了神学。CH10下页返回上页 所以所以非欧几何的建立，要归功于高斯、罗巴切夫斯基和非欧几何的建立，要归功于高斯、罗巴切夫斯基和波尔约。波尔约。高斯虽然比罗早高斯虽然比罗早1010年发现非欧几何，但没敢公开发年发现非欧几何，但没敢公开发表。所以就发表

33、时间之早、内容之丰富、论证之完整以及对表。所以就发表时间之早、内容之丰富、论证之完整以及对非欧几何忠贞不渝的捍卫来说，高斯和波尔约都无法和罗相非欧几何忠贞不渝的捍卫来说，高斯和波尔约都无法和罗相比。但令人遗憾的是，三位创始人在世时都没能看到非欧几比。但令人遗憾的是，三位创始人在世时都没能看到非欧几何得到公众的认可，更没能看到非欧几何对数学产生的深刻何得到公众的认可，更没能看到非欧几何对数学产生的深刻影响。影响。3030年之后，年之后，1919世纪中期德国的数学家黎曼又在非欧几世纪中期德国的数学家黎曼又在非欧几何现有的基础上作出了突破。何现有的基础上作出了突破。CH10下页返回上页 2 2、黎曼

34、对非欧几何的贡献、黎曼对非欧几何的贡献 黎曼，高斯晚年的学生。黎曼，高斯晚年的学生。18541854年黎曼被聘为哥廷根大学的年黎曼被聘为哥廷根大学的讲师，在就职演讲中作了讲师，在就职演讲中作了关于几何基础的假设关于几何基础的假设的讲演，提的讲演，提出了黎曼几何学。出了黎曼几何学。欧氏几何中，过直线外一点，有且只有欧氏几何中，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；一条直线与已知直线平行；罗氏几何中，过直线外一点，至少有两罗氏几何中，过直线外一点，至少有两条直线与已知直线平行；条直线与已知直线平行；黎曼几何中，过直线外一点，没有与已黎曼几何中，过直线外一点，没有与已知直线平行的平行线可引。

35、即同一平面上任知直线平行的平行线可引。即同一平面上任意两条直线一定相交。意两条直线一定相交。德国的克莱因称罗氏几何为双曲几何，德国的克莱因称罗氏几何为双曲几何，称黎曼几何为椭圆几何。在黎曼几何中，三称黎曼几何为椭圆几何。在黎曼几何中，三角形的内角和大于两直角。角形的内角和大于两直角。1826-1866 CH10下页返回上页 在一般的黎曼几何中，黎曼提出了用曲率概念来刻画欧氏在一般的黎曼几何中，黎曼提出了用曲率概念来刻画欧氏几何及各种非欧几何的差异。在黎曼空间中，一般情况下每一几何及各种非欧几何的差异。在黎曼空间中，一般情况下每一点的曲率是不同的，只有在特殊情况下才有恒常的曲率。恒常点的曲率是不

36、同的，只有在特殊情况下才有恒常的曲率。恒常曲率的空间又分为曲率的空间又分为3 3种：种：1.1.零曲率空间，即欧氏空间；零曲率空间，即欧氏空间；2.2.负曲率空间，即罗氏空间；负曲率空间，即罗氏空间；3.3.正曲率空间，即狭义的黎曼空间。这样，欧氏几何与罗氏几正曲率空间，即狭义的黎曼空间。这样，欧氏几何与罗氏几何就成为更一般的黎曼几何的特例。何就成为更一般的黎曼几何的特例。)()()(欧氏几何率曲零罗氏几何负常曲率黎曼几何正常曲率常曲率空间 抛物几何双曲几何椭圆几何 黎曼的工作蕴含了极为丰富和深刻的思想。可惜他的黎曼的工作蕴含了极为丰富和深刻的思想。可惜他的演讲除了年迈的高斯之外没有人能听懂。

37、演讲除了年迈的高斯之外没有人能听懂。后人对黎曼的评后人对黎曼的评价是：黎曼把数学向前推进了几代人的时间。价是：黎曼把数学向前推进了几代人的时间。受相对论的影响，黎曼几何又有了新的发展，成为现受相对论的影响，黎曼几何又有了新的发展，成为现代微分几何的基础。代微分几何的基础。CH10下页返回上页黎曼的球面几何 过直线外一点所作任何直线都过直线外一点所作任何直线都与该直线相交与该直线相交 CH10下页返回上页 球面上的几何球面上的几何 要真正了解我们的生活空间，仅靠平面几何的知识是不够要真正了解我们的生活空间，仅靠平面几何的知识是不够的。因为我们生活在地球上，地球表面十分接近一个球面，球的。因为我们

38、生活在地球上，地球表面十分接近一个球面，球面几何是黎曼几何的一个数学模型。面几何是黎曼几何的一个数学模型。1.1.地球上的赤道和两条不同的经线（大圆）组成的三角形地球上的赤道和两条不同的经线（大圆）组成的三角形的内角和大于的内角和大于1801800 0 。2.2.地面上两点之间最短的路程是大圆的劣弧。地面上两点之间最短的路程是大圆的劣弧。所以要走最短的路程从北京到纽约，按平面几何知识两点所以要走最短的路程从北京到纽约，按平面几何知识两点之间直线距离最短，但要走直线实际上是不可能的。因为北京之间直线距离最短，但要走直线实际上是不可能的。因为北京和纽约分别在地球的东西半球上，要走直线只能打一个地洞

39、，和纽约分别在地球的东西半球上，要走直线只能打一个地洞，穿过地球的内部。穿过地球的内部。CH10下页返回上页 3.3.球面上任意两个大圆都相交。所以如果我们把球面上球面上任意两个大圆都相交。所以如果我们把球面上的大圆看成是直线，那么在球面几何中，任两条直线必相交，的大圆看成是直线，那么在球面几何中，任两条直线必相交，所以没有平行的概念。所以没有平行的概念。4.4.若三对对应内角相等，则球面三角形的面积相等，所若三对对应内角相等，则球面三角形的面积相等，所以这两三角形必全等。所以球面上没有相似三角形的概念，以这两三角形必全等。所以球面上没有相似三角形的概念，两个相似的三角形必全等。两个相似的三角

40、形必全等。5.5.相对于半径，很小的一片球面可看作一个平面，即在相对于半径，很小的一片球面可看作一个平面，即在小范围内平面几何知识成立。当球面半径无限增大，球面几小范围内平面几何知识成立。当球面半径无限增大，球面几何中的正余弦定理能推出平面几何中的相应公式。何中的正余弦定理能推出平面几何中的相应公式。CH10下页返回上页 3 3、几何学的划分、几何学的划分 由关联公理、合同公理、顺序公理和连续公理构成的由关联公理、合同公理、顺序公理和连续公理构成的几何称为绝对几何，加入了欧氏平行公理后的几何称为欧几何称为绝对几何，加入了欧氏平行公理后的几何称为欧氏几何；加入了罗氏平行公理后的几何称为罗氏几何；

41、加氏几何；加入了罗氏平行公理后的几何称为罗氏几何；加入了黎曼平行公理后的几何便称为黎曼几何。后两种皆称入了黎曼平行公理后的几何便称为黎曼几何。后两种皆称为非欧几何。为非欧几何。绝对几何绝对几何 欧氏几何欧氏几何 罗氏几何罗氏几何 黎曼几何黎曼几何 CH10下页返回上页 4 4、非欧几何的模型、非欧几何的模型 用单位圆的内部用单位圆的内部|z|1|z|1表示整个非欧平面，圆内的点称表示整个非欧平面，圆内的点称为非欧点，圆周为非欧点，圆周|z|=1|z|=1上的点都是无穷远点。当圆内的弦与上的点都是无穷远点。当圆内的弦与圆周交于点圆周交于点A A和和B B时，时，A A、B B是这一弦的两无穷远点

42、。所以弦就是这一弦的两无穷远点。所以弦就具有一般直线的性质，即它从两端伸向无穷远处，所以可以具有一般直线的性质，即它从两端伸向无穷远处，所以可以把把ABAB称为非欧直线。过称为非欧直线。过ABAB外一点外一点P P可作无穷多条直线与可作无穷多条直线与ABAB平平行，如行，如CDCD、EFEF。PABCDFE CH10下页返回上页 5 5、非欧几何的相容性、非欧几何的相容性 自从人们在欧氏几何中找到了非欧几何的模型，有关非欧自从人们在欧氏几何中找到了非欧几何的模型，有关非欧几何的命题都可以通过欧氏几何来证明。所以只要欧氏几何相几何的命题都可以通过欧氏几何来证明。所以只要欧氏几何相容，那么非欧几何

43、就相容。同样，人们在非欧几何中找到了欧容，那么非欧几何就相容。同样，人们在非欧几何中找到了欧氏几何的模型，所以只要非欧几何相容，欧氏几何就相容。这氏几何的模型，所以只要非欧几何相容，欧氏几何就相容。这就是就是相对相容性相对相容性。欧氏几何的相容性问题最后可转化为算术公。欧氏几何的相容性问题最后可转化为算术公理系统的相容性，所以只要算术公理系统相容，几何的相容性理系统的相容性，所以只要算术公理系统相容，几何的相容性问题就解决了。这一问题被希尔伯特列为著名的问题就解决了。这一问题被希尔伯特列为著名的2323个问题中的个问题中的第二个问题，足以看出它是特别困难的问题。第二个问题，足以看出它是特别困难

44、的问题。CH10下页返回上页 6 6、平行公理的独立性问题、平行公理的独立性问题 用用1 1，2 2，3 3，4 4分别代表关联公理、合同公理、顺序公理和分别代表关联公理、合同公理、顺序公理和连续公理。由连续公理。由1 1，2 2，3 3，4 4构成的几何为绝对几何，再加上欧氏构成的几何为绝对几何，再加上欧氏平行公理平行公理5 5构成欧氏几何公理系统构成欧氏几何公理系统S:1S:1，2 2，3 3，4 4，5 5。记罗氏平记罗氏平行公理为行公理为5 5*。由。由1 1，2 2，3 3，4 4，5 5*构成非欧几何公理系统构成非欧几何公理系统S S*：1 1，2 2，3 3，4 4，5 5*。下

45、证。下证5 5在在S S中独立，中独立，5 5*在在S S*中独立。中独立。证明证明：（反证法）反证法）S S与与S S*都相容。假设都相容。假设5 5在在S S中不独立，即由中不独立，即由1 1，2 2，3 3，4 4能推能推出出5 5。因为因为S S*中也有中也有1 1，2 2，3 3，4 4，所以在，所以在S S*中也可由中也可由1 1，2 2，3 3，4 4推出推出5 5。但但S S*中已有中已有5 5*，这表明，这表明S S*不相容。不相容。这一矛盾表明，这一矛盾表明，5 5在在S S中不独立是不可能的。中不独立是不可能的。同理可证，同理可证，5 5*在在S S*中独立。中独立。下页

46、返回上页非欧几何产生的重大意义非欧几何产生的重大意义3 3 CH10下页返回上页 非欧几何的出现，使数学有了更大的自由。在非欧几何建非欧几何的出现，使数学有了更大的自由。在非欧几何建立之前，尽管数学已经得到了很大的发展，但主要是一种立之前，尽管数学已经得到了很大的发展，但主要是一种“积积累性累性”的发展，并没有出现两种互不相容的理论同时出现，这的发展，并没有出现两种互不相容的理论同时出现，这很容易使人把数学看作一种绝对真理。从数学发展史来看，这很容易使人把数学看作一种绝对真理。从数学发展史来看，这种情况由于非欧几何的建立而得到根本性的变化。种情况由于非欧几何的建立而得到根本性的变化。CH10下

47、页返回上页 非欧几何的产生具有以下非欧几何的产生具有以下5 5方面的重大意义：方面的重大意义：1.1.解决了长期悬而未决的平行公理的独立性问题解决了长期悬而未决的平行公理的独立性问题，同时同时极大推动了关于公理体系的独立性、相容性和完备性问题的极大推动了关于公理体系的独立性、相容性和完备性问题的研究，促成了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成和发研究，促成了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成和发展，从而从根本上改变了人们的几何观念，扩大了几何学的展，从而从根本上改变了人们的几何观念，扩大了几何学的研究对象，研究对象，使几何学的研究对象由图形的性质进入到抽象的使几何学的研究对象由图形的性质进入

48、到抽象的空间，使几何的发展进入了一个以抽象为特征的崭新阶段。空间，使几何的发展进入了一个以抽象为特征的崭新阶段。CH10下页返回上页 1899 1899年，希尔伯特提出了选择和组织公理系统的原则，年，希尔伯特提出了选择和组织公理系统的原则，即即相容性相容性:从系统的公理出发不能推出矛盾从系统的公理出发不能推出矛盾;独立性独立性:系统的每条公理都不能是其余公理的逻辑推论系统的每条公理都不能是其余公理的逻辑推论;完备性完备性:系统中所有的定理都可由该系统的公理推出。系统中所有的定理都可由该系统的公理推出。希尔伯特(德,1862-1943)在这样组织起来的公理系统中，在这样组织起来的公理系统中，通过

49、否定或者替换其中的一条或几条通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何。公理，就可以得到相应的某种几何。这样的做法，不仅给出了已有几种非这样的做法，不仅给出了已有几种非欧几何的统一处理，而且还可以引出欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学。新的几何学。CH10下页返回上页 在其它科学中，比如经济学、社会学等，人们也希望在其它科学中，比如经济学、社会学等，人们也希望用公理化方法建立自己的科学体系。用公理化方法建立自己的科学体系。经济学中的谢卜勒经济学中的谢卜勒 (Shapley(Shapley)公平三原则：公平三原则：原则原则1 1：同工同酬原则同工同酬原则。原则原则2

50、2：不劳不得原则不劳不得原则。原则原则3 3：多劳多得原则多劳多得原则。2.2.非欧几何的产生证明了对公理方法本身的研究和讨非欧几何的产生证明了对公理方法本身的研究和讨论是极有意义的，证明了公理方法本身能推动数学的发展。论是极有意义的，证明了公理方法本身能推动数学的发展。自非欧几何学产生以来，整个数学领域掀起了公理化自非欧几何学产生以来，整个数学领域掀起了公理化运动，各个数学分支纷纷建立起自己的公理体系，被认为运动，各个数学分支纷纷建立起自己的公理体系，被认为最不容易建立在公理体系之上的概率论在最不容易建立在公理体系之上的概率论在2020世纪世纪3030年代也年代也建立了公理系统。建立了公理系