数值分析第9章常微分方程初值问题数值解法讲义课件.ppt

1、数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日1例如：例如：时时，第第9 9章章 常微分方程初值问题数值解法常微分方程初值问题数值解法9.1 9.1 引言引言微分方程微分方程：包含自变量、未知函数和未知函数导数或微分的方程。：包含自变量、未知函数和未知函数导数或微分的方程。例如：例如：，求，求2xyyy xyy 00yxy 定解条件定解条件：求解微分方程时，所附加的条件：求解微分方程时，所附加的条件定解问题定解问题。初始条件初始条件：给出积分曲线在初始时刻的值：给出积分曲线在初始时刻的值初值问题初值问题。0 xx 例如：例如：时时，bbyxy 边界条件边界条件：给出积分曲线在首

2、末两端的值：给出积分曲线在首末两端的值边值问题边值问题。bxx 常微分方程常微分方程：未知函数为一元函数。：未知函数为一元函数。偏微分方程偏微分方程：未知函数为多元函数。：未知函数为多元函数。数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日2一阶常微分方程的初值问题：一阶常微分方程的初值问题：y,xfy 00yxy 求解求解?xyy注意：注意：y,xfxy 解函数解函数、积分曲线积分曲线；xyy 微分函数微分函数。y,xfy 确定初值问题的解存在而且唯一：李普希兹条件。确定初值问题的解存在而且唯一：李普希兹条件。xyO xyy 1x2x1y2y，b,xx0 数值分析数值分析 黄龙

3、主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日3如果存在实数如果存在实数 ，使得，使得0 L Ry,y,yyLy,xfy,xf 212121称称 关于关于 满足满足利普希茨条件利普希茨条件，为为 的的利普希茨常数。利普希茨常数。fyLf说明：条件可理解为解函数无限接近时，微分函数也无限接近。说明：条件可理解为解函数无限接近时，微分函数也无限接近。定理定理1 1 设设 在区域在区域 上连续，上连续，f Ry,bxay,xD 且关于且关于 满足利普希茨条件，则对任意满足利普希茨条件，则对任意y Ry,b,ax 00常微分方程初值问题当常微分方程初值问题当 时存在唯一的连续可微解时存在唯一的连续可微解 。

4、b,ax xy数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日4关于方程的解对扰动的敏感性，有结论：关于方程的解对扰动的敏感性，有结论：定理定理2 2 设设 在区域在区域 上连续，且关于上连续，且关于 满足利普希茨条件，满足利普希茨条件，fDy设初值问题设初值问题 ，y,xfy sxy 0其解为其解为 ，则，则 s,xy 21210sses,xys,xyxxL 说明：说明：定理表明解对初值的敏感性，即初值不同，解也有差异；定理表明解对初值的敏感性，即初值不同，解也有差异；解得敏感性与微分函数解得敏感性与微分函数 有关：有关：f当当 的利普希茨常数的利普希茨常数 较小时，解对初值相

5、对不敏感；较小时，解对初值相对不敏感；fL当当 较大时，初值的扰动会引起解剧烈变化较大时，初值的扰动会引起解剧烈变化病态问题病态问题；L数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日5数值解法数值解法：在一系列离散点：在一系列离散点 上，上，121nnxxxx求解近似值求解近似值 。121nnyyyy“步进式步进式”：顺着节点排列顺序，一步一步地向前推进。：顺着节点排列顺序，一步一步地向前推进。步长步长：常用等步长：常用等步长 ，节点为，节点为nnnxxh 1nhxxn 0单步法单步法：计算：计算 时，只用到前一点的值时，只用到前一点的值1 nyny 步法步法：计算：计算 时，

6、用到前面时，用到前面 点的值点的值1 ny11 knnny,y,ykk数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日69.2 9.2 简单的数值方法简单的数值方法9.2.1 9.2.1 欧拉法与后退欧拉法欧拉法与后退欧拉法初值问题：初值问题：y,xfy 00yxy 解的形式：解的形式：是通过点是通过点 的一条曲线的一条曲线 xyy 00y,x积分曲线积分曲线。特点：积分曲线上每一点特点：积分曲线上每一点 的切线斜率为的切线斜率为 y,x y,xfy 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日7尤拉方法：尤拉方法：将解区间将解区间 离散化，选择步长离散化，选择

7、步长 ，b,ah得到离散点：得到离散点：；,x,x,xn10 由由 切线切线 ，0000y,xfy,x10PP切线与切线与 交点交点 ：的近似值的近似值 ；1xx 1P1y 再由再由 向前推进到向前推进到 ，11y,x2P得到折线得到折线 ，近似，近似 。nPPP10 xyy 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日8任意折线任意折线 ：1 nnPP过点过点 作直线作直线 ，nny,x斜率斜率 ，nny,xfy nnnnnny,xfxxyy 11 nnnny,xfhyy 1欧拉欧拉方法方法若初值若初值 已知，由此可逐次算出：已知，由此可逐次算出：0y 0001y,xhfy

8、y 1112y,xhfyy 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日9P281例例1 求解初值问题求解初值问题yxyy2 10 x 10 y解解：欧拉公式为：欧拉公式为，nnnnnyxyhyy21 10 y10.h 000012yxyhyy 1021101 .10001.111122yxyhyy 11102111011.19181.数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日10局部截断误差：设前一步值准确，算下一步出现的误差局部截断误差：设前一步值准确，算下一步出现的误差假设：假设：nnxyy nnnnnnnxy,xfhxyy,xfhyy 1 nnxy

9、hxy 泰勒展开函数泰勒展开函数 ：1 nxy nnnnyhxyhxyxy !2!121局部截断误差：局部截断误差：nnnnxyhyhyxy 222211 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日11后退的欧拉法：后退的欧拉法：离散化离散化：求解微分方程的关键，消除导数项，：求解微分方程的关键，消除导数项，基本方法之一是用差商替代导数项。基本方法之一是用差商替代导数项。例如：例如：nnnhxyhxyxy 10lim nnnnnxy,xfxyhxyxy 1 nnnny,xfhyy 1 nnxyy nnnny,xfhyy 1向前的欧拉公式（显式）向前的欧拉公式（显式）数值分析

10、数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日12同理：同理：110lim nnnhxyhxyxy 111 nnnny,xfhyy 111 nnnny,xfhyy后退的欧拉公式（隐式）后退的欧拉公式（隐式）注意：注意：显式计算方便，隐式稳定性较好；显式计算方便，隐式稳定性较好；?1 ny 上式隐含上式隐含 ，采用迭代法求解。，采用迭代法求解。数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日13欧拉公式的另一种理解：欧拉公式的另一种理解：将常微分方程将常微分方程 改写改写 y,xfy tty,tfydd 对微分方程从对微分方程从 到到 积分积分nx1 nx tty,tfxy

11、xynnxxnnd11 由积分左矩形公式得由积分左矩形公式得 nnxxxy,xhftty,tfnn d1再以再以 代替代替 ，以，以 代替代替ny nxy1 ny 1 nxy nnnny,xhfyy 1向前的欧拉公式向前的欧拉公式数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日14对微分方程从对微分方程从 到到 积分积分nx1 nx tty,tfxyxynnxxnnd11 由积分右矩形公式得由积分右矩形公式得 11d1 nnxxxy,xhftty,tfnn再以再以 代替代替 ，以，以 代替代替ny nxy1 ny 1 nxy 111 nnnny,xhfyy后退的欧拉公式后退的欧拉

12、公式同理：同理：数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日15迭代法求解：后退的迭代法求解：后退的 欧拉公式欧拉公式逐步显示逐步显示 先用尤拉格式，求出初值先用尤拉格式，求出初值 ：01 ny nnnny,xfhyy 01 再将结果代入微分函数再将结果代入微分函数 ：011 nny,xf 01111 nnnny,xfhyy 11121 nnnny,xfhyy 反复迭代，直到收敛：反复迭代，直到收敛：knnnkny,xfhyy1111 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日16讨论迭代的收敛性：讨论迭代的收敛性：因函数因函数 对对 满足利普希茨条件满足

13、利普希茨条件 y,xfy Ry,y,yyLy,xfy,xf 212121比较欧拉的后退公式和其比较欧拉的后退公式和其 次迭代结果次迭代结果1 k 111 nnnny,xfhyy knnnkny,xfhyy1111 两式相减得两式相减得 111111111 nknnnknnnknyyhLy,xfy,xfhyy由此可知：只要由此可知：只要 迭代法就收敛到解迭代法就收敛到解 。1 hL1 ny数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日17可以证明：局部截断误差可以证明：局部截断误差后退的欧拉公式后退的欧拉公式 nnnyhyxy 2211向前的欧拉公式向前的欧拉公式 nnnyhyx

14、y 2211因此：平均可减少误差因此：平均可减少误差梯形格式。梯形格式。（注意：误差不可能消除，两公式（注意：误差不可能消除，两公式 不同。）不同。）n 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日189.2.2 9.2.2 梯形方法梯形方法向前向前 欧拉方法：欧拉方法：nnnny,xfhyy 1后退后退 欧拉方法：欧拉方法：111 nnnny,xfhyy梯形方法梯形方法：两者平均：两者平均 1112 nnnnnny,xfy,xfhyy注意：梯形公式可有效减小误差，注意：梯形公式可有效减小误差，计算结果更接近实际值。计算结果更接近实际值。（图示表示梯形法计算结果）（图示表示梯

15、形法计算结果）数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日19用迭代法求解：梯形法用迭代法求解：梯形法 nnnny,xfhyy 01（用向前公式求初值）（用向前公式求初值）knnnnnkny,xfy,xfhyy11112 （即将上次结果代入（即将上次结果代入 ）1 nf反复迭代，直到两次迭代结果达到误差要求。反复迭代，直到两次迭代结果达到误差要求。问题：每个节点，都需迭代计算，计算量太大。问题：每个节点，都需迭代计算，计算量太大。数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日20分析迭代过程的收敛性：分析迭代过程的收敛性：比较梯形公式和其迭代公式，并相减两式比

16、较梯形公式和其迭代公式，并相减两式 1112 nnnnnny,xfy,xfhyy knnnnnkny,xfy,xfhyy11112 11111112 nnknnnkny,xfy,xfhyy由利普希茨条件，有由利普希茨条件，有 111112 nknnknyyhLyy若选取若选取 充分小，使得充分小，使得 ，则，则 时有时有h12 hL k 11 nknyy数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日219.2.3 9.2.3 改进欧拉公式改进欧拉公式 先用向前欧拉公式，求得一个初步的近似值先用向前欧拉公式，求得一个初步的近似值预测：预测：nnnny,xfhyy 1 再用梯形公式

17、，将结果校正一次再用梯形公式，将结果校正一次校正：校正：1112 nnnnnny,xfy,xfhyy平均化形式：平均化形式：nnnpy,xfhyy pnncy,xfhyy1 cpnyyy 211数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日22P284例例2 用改进的用改进的 欧拉方法求解初值问题：欧拉方法求解初值问题：yxyy2 10 x 10 y解解：yxyy,xf2 10101.h nnnnpyxyhyy2 pnpncyxyhyy12 cpnyyy 211数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日239.2.4 9.2.4 单步法的局部截断误差与阶单步

18、法的局部截断误差与阶初值问题单步法求解的一般形式为初值问题单步法求解的一般形式为 h,y,y,xhyynnnnn11 （其中多元函数（其中多元函数 与与 有关）有关）y,xf当当 含有含有 时，方法是隐式的，否则为显式方法。时，方法是隐式的，否则为显式方法。1 ny显式单步法可表示为显式单步法可表示为 h,y,xhyynnnn 1称为称为增量函数增量函数，例如对欧拉法有，例如对欧拉法有 h,y,x y,xfh,y,x 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日24定义定义1 1 设设 是初值问题的准确解，称是初值问题的准确解，称 xy h,xy,xhxyxyTnnnnn 1

19、1为显式单步法的为显式单步法的局部截断误差局部截断误差。注意：上述中假设在注意：上述中假设在 前各步没有误差，故误差是局部的。前各步没有误差，故误差是局部的。nx当当 时，计算一步，则有时，计算一步，则有 nnxyy h,y,xhyxyyxynnnnnn 111 11 nnnnnTh,xy,xhxyxy 局部截断误差：是计算一步的误差，也是公式误差。局部截断误差：是计算一步的误差，也是公式误差。数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日25如果将函数如果将函数 在在 处泰勒展开处泰勒展开 1 nxynx 3212hOxyhhxyxyxynnnn 欧拉法的局部截断误差为欧拉法

20、的局部截断误差为 h,xy,xhxyxyTnnnnn 11 nnnnxy,xhfxyxy 1 nnnxyhxyxy 1这里这里 称为称为局部截断误差主项局部截断误差主项。显然。显然 nxyh 22 21hOTn 3212hOxyhTnn 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日26定义定义2 2 设设 是初值问题的准确解，是初值问题的准确解，xy若存在最大整数若存在最大整数 使显式单步法的局部截断误差满足使显式单步法的局部截断误差满足p 11 pnhOh,y,xhxyhxyT 则称该方法具有则称该方法具有 阶精度阶精度。p若将局部截断误差展开，写成若将局部截断误差展开，写

21、成 211 ppnnnhOhxy,xT 则则 称为称为局部截断误差主项局部截断误差主项。1 pnnhxy,x 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日27以上定义对隐式单步法也适用。以上定义对隐式单步法也适用。同样将函数同样将函数 在在 处泰勒展开处泰勒展开 1 nxynx 3212hOxyhxyhxyxynnnn 21hOxyhxyxynnn 后退欧拉法的局部截断误差为后退欧拉法的局部截断误差为 1111 nnnnnxy,xhfxyxyT 2322hOxyhxyhhOxyhxyhnnnn 3212hOxyhTnn 这里这里 是一阶方法，局部截断误差主项为是一阶方法，局部

22、截断误差主项为1 p nxyh 22数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日28同样对梯形公式同样对梯形公式 1112 nnnnnny,xfy,xfhyy局部截断误差为局部截断误差为 1112 nnnnnxyxyhxyxyT nnnxyhxyhxyh !3232 4222hOxyhxyhxyxyhnnnn 43112hOxyhTnn 故梯形法是二阶方法，局部截断误差主项为故梯形法是二阶方法，局部截断误差主项为 nxyh 123数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日299.3 9.3 龙格龙格-库塔方法库塔方法9.3.1 9.3.1 显式龙格显式龙格

23、-库塔法的一般形式库塔法的一般形式对欧拉法对欧拉法 nnnny,xhfyy 1欧拉法为欧拉法为 阶，其增量函数为阶，其增量函数为 nnnny,xfh,y,x 对改进的欧拉法对改进的欧拉法1 p nnnnnnnny,xhfy,hxfy,xfhyy 21其增量函数为其增量函数为 nnnnnnnny,xhfy,hxfy,xfh,y,x 21 比起欧拉法，增加了计算一个右函数比起欧拉法，增加了计算一个右函数 的值，有的值，有 阶精度。阶精度。f2 p数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日30提高公式阶数提高公式阶数 ：增加增量函数：增加增量函数 中的中的 值值p f对于一阶常微

24、分方程，等价的积分形式对于一阶常微分方程，等价的积分形式 xxy,xfxyxynnxxnnd11 提高公式阶数：必须提高数值求积精度，需增加求积节点提高公式阶数：必须提高数值求积精度，需增加求积节点 hxy,hxfchxxy,xfininriixxnn 1d1说明：说明：求积节点求积节点 越多，积分精度越高，求解公式阶数越大越多，积分精度越高，求解公式阶数越大r 增量函数增量函数 hxy,hxfch,y,xininriinn 1注意：注意：级数，级数，阶数，两者不同阶数，两者不同rp数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日31对于二级显式龙格对于二级显式龙格-库塔法：考察

25、区间库塔法：考察区间 内一点内一点 1 nnx,x10 ,hxxnn用用 、两点的函数值两点的函数值 、：构造增量函数：构造增量函数nx nx1K2K h,y,xhyynnnn 1 2211KcKch,y,xnn nny,xfK 1 nny,xfK2数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日32对于对于 可用欧拉公式预测：可用欧拉公式预测：ny11hKyhKyynnn 因此有二级显式龙格因此有二级显式龙格-库塔法：库塔法：h,y,xhyynnnn 1 2211KcKch,y,xnn nny,xfK 1 12Khy,hxfKnn 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年

26、年2月月14日日33同理，三级显式龙格同理，三级显式龙格-库塔法：库塔法：h,y,xhyynnnn 1 222211KcKcKch,y,xnn nny,xfK 1 12122Khy,hxfKnn 23213133KhKhy,hxfKnn 注意：需用注意：需用 、的线性组合计算的线性组合计算1K2K hxyn3 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日34 级显式龙格级显式龙格-库塔法库塔法：R-K 方法方法r h,y,xhyynnnn 1 riiinnKch,y,x1 nny,xfK 1r,i,Khy,hxfKijjijnini3211 这里这里 均为常数均为常数ijii

27、,c 时为欧拉法，阶数时为欧拉法，阶数 nnnny,xfh,y,x,r 11 p数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日359.3.2 9.3.2 二阶显式二阶显式 R-K 法法 时，时，R-K R-K 方法计算公式：方法计算公式：2 r 22111KcKchyynn nny,xfK 1 12122hKy,hxfKnn 这里这里 均为待定常数均为待定常数21221 ,c,c期望：适当选取系数，使公式阶数期望：适当选取系数，使公式阶数 尽量提高尽量提高p数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日36局部截断误差为局部截断误差为 nnnxyxyT 11 n

28、nnnnhfy,hxfcy,xfch21221 这里这里 nnnnny,xff,xyy 将函数将函数 在在 处泰勒展开处泰勒展开 1 nxy nny,x 4321!32hOyhyhyhyxynnnnn 注意注意 是二元函数，其导数应为全导数。是二元函数，其导数应为全导数。y,xf数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日37 nnnnfy,xfy nnnynnxnnnfy,xfy,xfxy,xfxy dd nnyynnnxynnnxxny,xffy,xffy,xfy 22 nnynnnxnnyy,xffy,xfy,xf hy,xffhfy,hxfnnxnnnn2212 22

29、1hOhfy,xfnnny 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日38将结果代入局部截断误差：将结果代入局部截断误差：nnnynnxnnfy,xfy,xfhhfT 221 hfy,xfhy,xffcfchnnnynnxnn 21221 3hO 22221211hy,xfchfccnnxn 3221221hOhfy,xfcnnny 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日39要使公式具有要使公式具有 阶，必有阶，必有2 p 31hOTn 021021012122221 c,c,cc121212121222 cc,c,c 即即非线性方程组的解不是唯一的

30、。可令非线性方程组的解不是唯一的。可令02 aca,ac,ac21121212 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日40若取若取 ：，改进的欧拉法改进的欧拉法21 a2121 cc1212 a,ac,ac21121212 若取若取 ：，1 a12 c01 c21212 21hKyynn nny,xfK 1 1222Khy,hxfKnn中点公式中点公式：相当于数值积分的中矩形公式：相当于数值积分的中矩形公式 nnnnnny,xfhy,hxhfyy221数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日419.3.3 9.3.3 三阶与四阶显式三阶与四阶显式

31、R-K 方方法法要得到三阶显式要得到三阶显式 R-K 方法，必须取方法，必须取3 r 3322111KcKcKchyynn nny,xfK 1 12122hKy,hxfKnn 均为待定参数均为待定参数32313212321 ,c,c,c 23213133hKhKy,hxfKnn 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日42公式的局部截断误差为公式的局部截断误差为 33221111KcKcKchxyxyTnnn 将将 按二元函数泰勒展开，使按二元函数泰勒展开，使32K,K 41hOTn 1321 ccc212 32313 213322 cc31233222 cc613223

32、 c这是这是8 8个未知量、个未知量、6 6个方程的非线性方程组，解不是唯一的。个方程的非线性方程组，解不是唯一的。数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日43常见的公式之一：常见的公式之一：库塔三阶方法库塔三阶方法 321146KKKhyynn nny,xfK 1 1222Khy,hxfKnn 2132hKhKy,hxfKnn 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日44经典公式之一：经典公式之一：四阶龙格四阶龙格-库塔方法库塔方法 43211226KKKKhyynn nny,xfK 1 1222Khy,hxfKnn 34hKy,hxfKnn 23

33、22Khy,hxfKnn可以证明：四阶龙格可以证明：四阶龙格-库塔方法的截断误差为库塔方法的截断误差为 5hO数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 223222KhyhxKhyKnnn 2023年年2月月14日日45P289例例3 设取步长设取步长 ，从，从 到到 用四阶龙格用四阶龙格-库库塔方法求解初值问题：塔方法求解初值问题：yxyy2 10 x 10 y20.h 0 x1 x解解：公式为：公式为 43211226KKKKhyynn nnnyxyK21 112222KhyhxKhyKnnn 3342hKyhxhKyKnnn 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日46计

34、算结果：计算结果：732117321101612516125180483214833160341613417140183211832120.xyyxnnn注意：这里步长增大为注意：这里步长增大为 ，计算精度比改进的欧拉法要高。计算精度比改进的欧拉法要高。20.h 数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日479.3.4 9.3.4 变步长的龙格变步长的龙格-库塔库塔方方法法步长减小，局部截断误差减小，但：步长减小，局部截断误差减小，但：求解范围内的计算步数增加，计算量增大；求解范围内的计算步数增加，计算量增大；步数增加会导致舍入误差的严重积累。步数增加会导致舍入误差的严重积

35、累。选择步长时，需要考虑的两个问题：选择步长时，需要考虑的两个问题：怎样衡量和检验计算结果的精度？怎样衡量和检验计算结果的精度？如何依据所获得的精度处理步长？如何依据所获得的精度处理步长？数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日48考察经典的四阶龙格考察经典的四阶龙格-库塔公式：库塔公式：从节点从节点 出发，先以出发，先以 为步长求出一个近似值为步长求出一个近似值nxh hny1 5511chhOyxyhnn 将步长折半，从将步长折半，从 跨两步到跨两步到 ，再求得近似值，再求得近似值nx 21hny 521122 hcyxyhnn 1 nx比较两者的局部截断误差：步长折

36、半后，误差减小比较两者的局部截断误差：步长折半后，误差减小 16111211 hnnhnnyxyyxy数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2023年年2月月14日日49因而，可得误差估计式因而，可得误差估计式 hnhnhnnyyyxy121211151 步长折半前后两次计算结果的偏差步长折半前后两次计算结果的偏差 hnhnyy121 检查偏差检查偏差 是否满足给定精度是否满足给定精度 要求，来选择合适步长：要求，来选择合适步长：若若 ，反复将步长，反复将步长折半折半进行计算，直到进行计算，直到 为止；为止；若若 ，反复将步长，反复将步长加倍加倍进行计算，直到进行计算，直到 为止，为止，这时再将步长折半一次，就得到所要的结果。这时再将步长折半一次，就得到所要的结果。变步长方法变步长方法数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。