微观经济学数学分析方法课件.ppt
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- 微观经济学 数学分析 方法 课件
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1、第二章 微观经济学分析的数学方法凸集 定义 为凸集,则集合,满足如果SSvuSvSu10 )-(1,例子 1维空间:单个点 2维空间:直线、射线、线段 圆、椭圆、矩形、梯形、三角形等三维空间呢?总结“没有任何孔,边缘不能有缩进”蒋中一意义 经济分析中,常假设可行集合(约束集)为凸集。约束条件下可行集是凸集保证最优解唯一的必要条件。问题 经济学分析中,有哪些约束集合?练习题:判断下列集合是否为凸集,xx y ye2,13x y yx,xx y ye,1,0,0 x y xyxy凹函数(concave)凹函数的定义 以最简单的单变量函数为例来定义:,和 是定义域中的两个量,令 ,如果满足 则称为凹
2、函数(小于等于,凸函数)若 则称为严格凹函数(小于,严格凸函数)Zf xuv(1)xuv)()1()()1()(vfufvufxf)()1()()1()(vfufvufxfvu 且10直观图形)(xf)(xf严格凹函数ABCD直观图形非严格凹函数总结 两点间的曲线(弧)与两点间的直线重合,或在其之上。用一阶导数来定义该函数为凹函数。当且仅当:且是定义域中的两个量,和数,若函数存在一阶连续导)()()(,uvufufvfvuvuxf(x)uv图示总结 该曲线与其切线重合或者位于其切线的下方。过曲线上任何一点的做切线,该曲线均在切线或切线下方。凹函数的定义 对双变量函数来说:)()1()()1()
3、(,10)1(),(),(),(2121vfufvufwfvuwvvvuuuyxfz是:则满足是凹函数的条件),(令,取定义域中图示ABCDzy总结 在曲面上,任何两点的连线均在对应的曲线的下方,则称为凹函数。一阶导数的定义 1122112212,f u vf u vfvf uvuvuuu当且仅当:即:做任何一个切面,函数值均在切面或切面之下。对于多变量函数。,该函数为严格凹函数若满足:该函数为凹函数。若满足:)(均在定义域中,取和)()1()()1(),()1()()1(,10),(vfufvufvfufvufvuxfz凹函数的二阶导数的判定方法严格凹函数。为时,当(非当且仅当)为凹函数。时
4、,当且仅当)(0)(022xfzzdxfzzd 若函数存在二阶连续偏微分,则:与上述判定方法等价的方法:引入海塞矩阵 多变量函数:该函数的一阶全微分表示为:12,nzf x xx1212nnfffdzdxdxdxxxx二阶全微分表达式22221112111121nnfffd zdx dxdx dxdx dxx xx xx x 2222122221222nnfffdxdxdxdxdxdxx xx xx x 2221212nnnnnnnnfffdxdxdxdxdxdxx xx xx x 简化表达212,nd zdx dxdx2211122212221nnnnnffx xx xffx xx xffx
5、xxx 12,tndx dxdx海塞矩阵(二阶导数矩阵)1112121nnnnnffffHfftxdHxdzd2二阶全微分的简洁表达(引入海塞矩阵)二阶导数的判定方法 当且仅当海塞矩阵为负半定时,该函数为凹函数。负半定:即顺序主子式值正负交替变化,一阶小于等于零,二阶大于等于零 当(非当且仅当)海塞矩阵为负定时,该函数为严格凹函数。负定:即即顺序主子式值正负交替变化,一阶小于零,二阶大于零顺序主子式值正负交替变化110f11111 1221221221000nnnnnfff fffnffnff,为奇数,为偶数二阶导数的判定方法 当且仅当海塞矩阵为正半定时,该函数为凸函数。正半定:即顺序主子式值
6、全部大于等于零 当(非当且仅当)海塞矩阵为正定时,该函数为严格凸函数。正定:即即顺序主子式值全部大于零练习检验下列函数的凹凸性:2zx222zxxyy212zxxzxy 2zx 4zx 2212zxx(使用顺序主子式方法检验)拟凹函数(quasiconcave)定义满足:)(取且和定义域中的不同点对于函数,10),()(,)(ufvfvuxfz拟凹函数。若严格大于,则为严格则该函数为拟凹函数。1f vf ufuvf u 定义满足:)(取且和定义域中的不同点对于函数,10),()(,)(ufvfvuxfz拟凸函数。若严格大于,则为严格则该函数为拟凸函数。)()1(vfvuf图示N函数图形上任意一
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