微积分小结习题课课件.ppt

1、微积分最基础的概念是极限。微积分的主要内容有微分、积分和无量级数，它们的定义都来自于极限，见如下表示 因此极限是最基础概念 一、极限 我们主要是直观地理解极限的定义和学会简单的极限求法，附带的认识函数的连续性。例1.求xxx20sincos12lim解 原式为 型极限问题。00 原式=cos12sincos2lim20 xxxix)sin(cos12(2sin2lim22xxxxx)22sin(cos12()2(2lim220 xxxxxx)22)cos12lim(241x例2 函数 0 0 ,1111)(3xkxxxxf则k=（）解：根据连续的定义，在x=0处连续，)0()(lim0fxfx

2、1111lim)(lim300 xxxfxx )11)(11()11)1()(11(lim3320 xxxxxx 23kf)0(而 而 时函数在x=0处连续。23k二、导数微分 本章的主要内容是导数定义和几何意义，导数的基本计算及导数对图象描绘。导数定义为函数增量与自变量增量比值的极限。即 几何意义即为切线斜率。因此可以由函数求导数再求切法线方程。)(0limxxfxy例3 讨论函数在x=0处的可导性，若可导求 0 0 1cos)(2xxxxxxf)0(f 解 x=0是分段点，讨论可导性必须用导数定义，又由于是左右分段的函数，所以必须用定义讨论左、右导数。xfxffx)0()(lim)0(00

3、 xxx01cos)(lim201coslimxx11cosx（）10lim)0(00 xxfx所以 f 在x=0，左右导数存在，但不相等，因此，在x=0不可导。注意，与 是不同的概念，表示是f(x)在x=0处的右导数，表示是导函数 在x=0处的右极限如上题中 =0)0(f)00(f)(xf)0(f)0(f)00(f在x0时xxxf1cos)(2)1)(1sin(1cos2)(22xxxxxxfxxx1sin1cos2)(lim)00(00 xffx 1sin1cos2lim00 xxxx 不存在（但 不存在）,01cos2limxxx1sinlim 例4 已知 （1）求dy （2）求曲线y=

4、y(x)在（1,0）处的切线方程02xexyy解：等式两边对x求导 01)2(2yyeyxyyyyexyy1)2(2xyeyyy221dxxyeydyy221111)0,1(yk切线方程)1(10 xy1 xy即 三、导数应用 着重用导数描绘函数的单调性，凹凸性极值点及拐点，事实上，若为切线的斜角 单调性单减单增)(,00tan)()(,00tan)(xfxxfxfxxf00 0)(xxf为驻点 极值点为函数增减的分界点。凹凸性 )()(tan)(0)()(tan)(0)(凸下凹减减上凹增增xfxxfxfxfxxfxf为二阶驻点000)(xxf 拐点为函数凹凸的分界点。例5 讨论函数 的定义域，间断点单调区间，凹凸区间，极值点和拐点，并作出图象草图。xxy22解 xxy22的定义域0 xxyx0lim，x=0为无穷间断。232)1(222xxxxy，一阶驻点x=13334242xxxy，二阶驻点 32x 将增减凹凸等列表如下)2,(332)0,2(3),1(x0(0,1)1y/0y0/y拐点/极小所以)2,(3)1,2(3，为递减区间 为递增区间 为上凹区间，为下凹（凸）区间),1()2,(3),0()0,2(3在x=1时，y=3取极小，即（1，3）为极小点，而 为拐点。)0,2(3又 x=0为沿直渐近线。)2(lim20 xxx图象如下