2020年全国100所名校高考模拟金典卷（六）JD-Y理科数学试题附详解.docx

1、 100 所名校高考模拟金典卷所名校高考模拟金典卷（六六） 理科理科数学数学 （120 分钟 150 分） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目 要求的要求的 1已知集合 2 |20Ax xx， |13Bxx，则AB R （ ） A | 13xx B | 11xx C |12xx D |23xx 2已知复数z满足(1)4zi，则|1|z （ ） A2 B5 C3 D10 3已知函数 3 ( )log (1)f xx的定义域为A，则函数 2 1 (

2、 )() 2 x g xxA 的值域为（ ） A(,0 B(,1 C(1,) D1,) 4若x、y满足约束条件 4 20 1 xy xy y ，目标函数2zxy取得的最大值为（ ） A5 B6 C7 D8 5已知ABC的面积为 4，且2sinsinsinABC，则AB的长为（ ） A4 B2 2 C2 D2 6我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，始 与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是说： “有一个边长为 1 丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦 苇，芦苇露出水面 1 尺若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面问水有多深？芦苇多长？”

3、该题所求的水深为（ ） A12 尺 B10 尺 C9 尺 D14 尺 7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为（ ） A2 2 B3 C2 3 D4 8已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是线段PF与抛物线C的一个交点， 若| 3|PFFQ uuu ruuu r ，则点Q到y轴的距离为（ ） A2 B 4 3 C 3 2 D 1 3 9把 3 男 2 女共 5 名新生分配给甲、乙、丙三个班，每个班分配的新生不少于 1 名但不多于 2 名，则甲班 恰好被分配 1 名男生和 1 名女生的概率为（ ） A 1 3 B 2 5 C 1 4 D 3 10 10 将

4、函数sin 2 6 yx 的图象向右平移(0)m m 个单位长度， 得到函数( )yf x的图象，( )yf x 在区间 5 , 12 12 上单调递增，则m的最小值为（ ） A 12 B 6 C 4 D 3 11已知圆柱的表面积为定值3，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为（ ） A1 B2 C3 D2 12已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F作圆 222 xya的切线， 交双曲线右支于点M，若 12 45FMF，则双曲线的离心率为（ ） A3 B2 C2 D5 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，

5、每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13在 6 2 3 2 xx x 的展开式中，常数项为 （用数字作答） 14若 3 sin 63 ，则sin2 6 15在ABC中，60BAC，5AB，4AC ，D是AB上一点，且5AB CD uuu r uuu r ， 则 |BD uuu r 16 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中，2ABAC，120BAC，D是AB上一点， 且2ADDB， E是 1 AA的中点，F是 1 CC上一点当1CF 时，BF平面CDE，则三棱柱 111 ABCABC外接球的表 面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解

6、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）（一）必考题：共必考题：共 60 分分 17 在数列 n a、 n b中， 设 n S是数列 n a的前n项和， 已知 1 1 a ， 1 2 nnn SSa ， 12 35bb (21)21 n nn nba， * nN （1）求 n a和 n S； （2）若当nk时，8 nn bS恒成立，求整数k的最小值 18某汽车品牌为了解客户对其旗下的五种型号汽

7、车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结 果如下表： 汽车型号 回访客户（人数） 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值 假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意 率相等 （1）从所有的回访客户中随机抽取 1 人，求这个客户满意的概率； （2） 从型号和型号汽车的所有客户中各随机抽取 1 人， 设其中满意的人数为， 求的分布列和期望 19 如图， 在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD， 底面ABCD是直角梯形，90ADCBC

8、D， ABAC，2ABAC，点E在AD上，且2AEED （1）点F在BC上，2CFFB，求证：EF 平面PAC； （2）若直线PC与平面PAB所成的角为45，求二面角APBE的余弦值 20设A、B是椭圆 22 :1 42 xy C的左、右顶点，P为椭圆上异于A、B的一点 （1）D是椭圆C的上顶点，且直线PA与直线BD垂直，求点P到x轴的距离； （2）过点(1,0)E的直线l（不过坐标原点）与椭圆C交于M、N两点，且点M在x轴上方，点N在x轴 下方，若2NEEM uuu ruuuu r ，求直线l的斜率 21已知函数 2 1 ( )ln 2 x f xxaxx e ，其中e为自然对数的底数 （1

9、）若0a时，求证：当1x 时，( )0f x ； （2）当 1 a e 时，讨论函数( )f x的极值点个数 （二二）选考题：共选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1cos sin x y （为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为() 4 R （1）求直线l与曲线 1 C的公共点的极坐标； （2）设过点 3 1 , 2 2 P 的直线 l 交曲线 1

10、 C于A，B两点，且AB的中点为P，求直线 l 的斜率 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 1 ( )|21| 2 f xxx （1）求函数( )f x的值域； （2）若函数( )f x的最大值是a，已知x，y，z均为正实数，且xyza，求证 222 1 yzx xyz 100 所名校高考模拟金典卷数学所名校高考模拟金典卷数学（六六） （120 分钟 150 分） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1 【答案】A 【命题意图

11、】本题考查集合的运算，考查运算求解能力 【解题分析】 2 |20 | 12Ax xxxx R ，13)|(BxxA R 2 【答案】B 【命题意图】本题考查集合的运算，考查逻辑推理和运算求解能力 【解题分析】由(1)4zi得22zi，则|1| |12 |5zi 3 【答案】D 【命题意图】本题考查函数的定义，考查考生的应用意识 【解题分析】由 3 log (1)0x 得2x，因为函数( )g x为增函数，所以( )1g x 4 【答案】C 【命题意图】本题考查线性规划，考查考生的应用意识 【解题分析】根据约束条件画出可行域，当取点(3,1)时，2zxy取最大值 7 5 【答案】A 【命题意图】

12、本题考查解三角形，考查考生的逻辑推理能力 【解题分析】 由2sinsinsinABC得2sinBCBAB， 又 1 s i n4 2 B C A BB， 2 164ABAB 6 【答案】A 【命题意图】本题考查中国数学史，考查考生的逻辑推理能力 【解题分析】设水深为x尺，依题意得 222 (1)5xx，解得12x 7 【答案】C 【命题意图】本题考查三视图，考查考生的空间想象能力 【解题分析】该三棱锥直观图如图所示，其中2BD ，CBCDA到平面BCD的距离为 2，C到BD 的距离为 2，所以最长棱2 3AD 8 【答案】D 【命题意图】本题考查抛物线的定义，考查考生的应用意识 【解题分析】过

13、Q作QMl于M，| 3|PFFQ uuu ruuu r ， 24 |2 33 QM uuuu r ，则点Q的横坐标为 41 1 33 ，即点Q到y轴的距离为 1 3 9 【答案】B 【命题意图】本题考查古典概型，考查考生的抽象概括和逻辑推理能力 【解题分析】把 5 名新生按每个班分配的新生不少于 1 名但不多于 2 名，分配给甲、乙、丙三个班，共有 123 543 2 2 C C A A 种分配方案，其中甲班恰好被分配 1 名男生和 1 名女生的分配方案有 1112 3232 C C C A种，则所求概率为 1112 3232 123 543 2 2 2 5 C C C A C C A A 1

14、0 【答案】C 【命题意图】本题考查三角函数的性质，考查考生的逻辑推理能力 【解题分析】当 5 , 12 12 x 时，20, 6 x ，则当() 4 mkk Z时，函数( )f x在区间 5 , 12 12 上单调递增，0m，m的最小值为 4 11 【答案】B 【命题意图】本题考查导数的实际应用，考查考生的应用意识 【解题分析】设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底2 r，S圆柱侧2 rh， 2 223rrh， 22 3232 22 rr h rr ，则圆柱的体积 3 2 32 2 rr Vr h ， 2 36 ( ) 2 r V x ，由( )0V x得 2 0 2 r，由( )0V x得 2

15、2 r ， 当 2 2 r 时，( )V x取极大值，也是最大值，即2h 12 【答案】A 【命题意图】本题考查双曲线的离心率，考查考生的逻辑推理能力和应用意识 【解题分析】设切点为N，连接ON，过 2 F作 2 F AMN，垂足为A，由|ONa，且ON为 12 FF A 的中位线，可得 22 21 2 ,F Aa FNcab，即 1 2FAb， 在直角三角形 2 MF A中，可得 2 2 2MFa，即 1 22MFba， 则 12 222 22MFMFbaaa，得2ba，所以 22 3caba，即3 c e a 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分

16、，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13 【答案】60 【命题意图】本题考查二项式，考查运算求解能力 【解题分析】由通项公式得常数项为 22 6 260C 14 【答案】 1 3 【命题意图】本题考查三角恒等变换，考查考生的逻辑推理能力 【解题分析】 2 2 3 sin2cos2cos212sin12 626363 1 3 15 【答案】2 【命题意图】本题考查向量的线性运算和数量积，考查考生的推理论证能力和应用意识 【解题分析】 设ADAB uuu ruuu r ， CDADAC uuu ruuu ruuu r ， 2 ()5AB CDABADACABAB AC u

17、uu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r ， 得 3 2515 5 ， 2 | 2 5 BDAB uuu ruuu r 16 【答案】32 【命题意图】本题考查线面平行的性质与外接球，考查考生的空间想象和推理论证能力 【解题分析】连接AE交EC于M，连接DM，BF平面CDE，BFDM，2ADDB， 2AMMF，则22AECF，外接球的球心到平面ABC的距离为 2，2ABAC， 120BAC，ABC外接圆的半径为 12 2 2sin30 ，则所求外接球的半径为2 2，其表面积为 32 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演

18、算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一一）必考题：共必考题：共 60 分分 17 【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的综合应用，考查考生的逻辑推理和运算求解能力 【解题分析】 （1）因为 1 2 nnn SSa ，所以 1 2 nn aa ，即 1 2 nn aa ，所以 n a是等差数列， 又 1 1a ，所以21 n an，从而 2 (121) 2 n nn Sn （2）因为21 n an，所以 123 357(2

19、1)2(21)1 n n bbbnbn， 当2n时， 1231 357(21)(21)2(21)1 n nn bbbnbnbn 1 1231 357(21)2(23)1 n n bbbnbn 由可得 1 (21)2(21) n n nbn ，(2)n ，即 1 2n n b ， 而 1 1b 也满足，故 1 2n n b 令8 nn bS，则 12 28 n n ，即 42 2nn ， 因为 10 42 210 ， 11 42 211 ，依据指数增长性质，得整数k的最小值是 11 18 【命题意图】本题考查概率与统计，考查考生的逻辑推理和数据处理能力 【解题分析】 （1）由题意知，样本中的回访

20、客户的总数是250 1002007003501600， 满意的客户人数是250 0.5 100 0.3200 0.6700 0.3 350 0.2555， 故所求概率为 555111 1600320 （2）0,1,2 设事件A为“从型号汽车所有客户中随机抽取的人对型号汽车满意” ， 事件B为“从型号汽车所有客户中随机抽取的人对型号汽车满意” ，且A、B为独立事件 根据题意，( )P A估计为 0.5，( )P B估计为 0.2 则(0)()(1( )(1( )0.5 0.80.4PP ABP AP B； (1)()()()( )(1( )(1( ) ( )PP ABABP ABP ABP AP

21、 BP A P B 0.5 0.80.5 0.20； (2)()( ) ( )0.50.20.1PP ABP A P B 的分布列为 0 1 2 P 0.4 0.5 0.1 的期望( )00.41 0.520.10.7E 19 【命题意图】本题考查线面垂直和求二面角的大小，考查考生的空间想象和推理论证能力 【解题分析】 （1）ABAC，ABAC，45ACB， 底面ABCD是直角梯形，90ADC，ADBC， 45ACD，即ADCD，则22BCACAD， 2AEED，2CFFB， 2 3 AEBFAD， 四边形ABFE是平行四边形，则ABEF，ACEF， PA 底面ABCD，PAEF， PAACA

22、，EF 平面PAC （2）PAAC，ACAB，AC 平面PAB，则APC为直线PC与平面PAB所成的角， 则tan1 AC APC PA ，即2PAAC， 取BC的中点为G， 连接AG， 则AGBC， 以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则(1, 1,0)B，(1,1,0)C， 2 0,0 3 E ，(0,0, 2)P， 5 1,0 3 EB uuu r ， 2 0, 2 3 EP uuu r ， 设平面PBE的法向量( , , )nx y z r ，则 0 0 n EB n EP uuu r r uuu r r ， 即 5 0 3 2 20 3 xy yz ，令3y ，则

23、5x ，2z ，(5,3, 2)n r ， (1,1,0)AC uuu r 是平面PAB的一个法向量， 532 2 cos, 326 n AC uuu r r ， 即平面PAB与平面PBE所成锐二面角的余弦值为 2 2 3 20 【命题意图】本题考查椭圆与直线的位置关系，考查考生的空间想象能力 【解题分析】设点 00 ,P x y，又( 2,0)A ，(2,0)B，(0, 2)D （1）直线PA与直线BD垂直，直线PA的斜率为2， 则直线PA的方程为2(2)yx，联立椭圆方程 22 1 42 xy ， 消去y得 2 516120xx，解得 0 6 5 x ，则 0 4 2 5 y ， 点P到x

24、轴的距离为 4 2 5 （2）设 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 1 0y ， 2 0y ，直线l的方程为1xmy， 代入椭圆C的方程消去x，得 22 2230mymy， 得 12 2 2 2 m yy m ， 12 2 3 2 y y m ， 由2NEEM uuu ruuuu r ，知 21 20yy，即 21 2yy ， 带入上式得 1 2 2 2 m y m ， 2 1 2 3 2 2 y m ， 所以 2 22 23 2 22 m mm ，解得 30 5 m ， 结合图形知 30 5 m ，故直线l的斜率为 30 6 21 【命题意图】本题考查导数的综合应用，考查考生的逻

25、辑推理能力和转化与化归的思想 【解题分析】由 1 ( )(ln1)fxxax e ，易知 1 0f e ， 设( )( )g xfx，则( ) xa g x x （1）当0a时，( )0g x， 又 11 0fg ee ，当 1 0x e 时，( )0g x ；当 1 x e 时，( )0g x ， 即函数( )f x在 1 0, e 上单调递减， 1 , e 上单调递增， 所以当1x 时， 11 ( )(1)0 2 f xf e 得证 （2）由（1）可得，当0a时，函数( )f x当且仅当在 1 x e 处取得极小值，无极大值， 故此时极值点个数为 1； 当 1 0a e 时，易知函数( )

26、g x在(0,)a上单调递减，(,)a上单调递增， 所以 min 1 ( )()ln()g xgaaa e ， 又设函数 1 ( )ln()h aaa e ，其中 1 0a e ，则( )1ln()0h aa 对 1 0a e 恒成立， 所以函数( )h a单调递减， 1 ( )0h ah e （当且仅当 1 a e 时取等号） ， 所以（）当 1 a e 时，( )0g x ，即函数( )f x在(0,)上单调递增，故此时极值点个数为 0； （） 当 1 0a e 时，10a e ， 函数( )g x在(,)a上单调递增， 又 1 0g e ， 所以当 1 ax e 时，( )0g x ，

27、当 1 x e 时，( )0g x ，即( )f x总在 1 x e 处取得极小值；又当0x且0x 时，( )g x ， 所以存在唯一 0 (0,)xa使得 0 0g x，且当 0 0xx时，( )0g x ，当 0 xxa 时，( )0g x ， 则函数( )f x在 0 xx处取得极大值；故此时极值点个数为 2， 综上，当 1 a e 时，函数( )f x的极值点个数为 0；当 1 0a e 时，函数( )f x的极值点个数为 2； 当0a时，函数( )f x的极值点个数为 1 （二二）选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的

28、第一题计分两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22 【命题意图】本题考查极坐标与参数方程，考查考生的运算求解能力和应用意识 【解题分析】 （1）曲线 1 C的普通方程为 22 (1)1xy， 直线l的普通方程为yx， 联立方程 22 (1)1xy yx ，解得 0 0 x y ，或 1 1 x y ， 所以直线l与曲线 1 C的公共点的极坐标为(0,0)，2, 4 （2）依题意，设直线 l 的参数方程为 3 cos 2 1 sin 2 xt yt （为倾斜角，t为参数） ， 代入 22 (1)1xy，整理得 2 1 (cossin)0 2 tt 因为AB的中点为P，所以 12 0tt 所以cossin0，即tan1.故直线 l 的斜率为1 23 【命题意图】本题考查绝对值不等式和均值不等式，考查考生的推理论证能力 【解题分析】 （1）函数 31 , 22 1111 ( )| 21|3, 2222 31 , 22 xx f xxxxx xx ， 函数的图象如图所示，则函数的值域为(,1 （2）证明：由题意知x，y，z均为正实数，1xyz，则 222222 12()1 1 yzxyzx xyzxyz xyzxyz ，当且仅当 1 3 xyz时等 号成立， 222 1 yzx xyz