三湘名校教育联盟2019届湖南省高三下学期3月第三次联考数学(文)试题（解析版）.doc

1、 三湘名校教育联盟三湘名校教育联盟2019 届高三第三次大联考届高三第三次大联考 文科数学文科数学 注意事项：注意事项： （1）本试卷分第）本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时长分，考试时长 120 分钟分钟. （2）作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效）作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. （3）考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回）考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. （4）考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上，并将考号二维码粘贴在答题卡上）考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题

2、卡上，并将考号二维码粘贴在答题卡上 的指定位置的指定位置. 第第卷（选择题共卷（选择题共 60 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1.已知全集为实数集R，集合 2 30Ax xx， 21 x Bx ，则()AB R A. (03,)， B. (0,1 C. 3 ， D. 1)， 【答案】C 【详解】根据题中条件可求得=x|0x0A，所以 |030 |3 R C ABx xxx xx x或，故选 C. 2.已知i

3、为虚数单位，若复数 2 2 ai zaR i 的实部与虚部相等，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 2 C. 2 3 D. 2 【答案】C 【分析】先化代数形式，再根据实部与虚部相等列方程，解得结果. 【详解】 2(4)(22) 25 aiaai z i 4222 =, 553 aa a ,选 C. 【点睛】本题考查复数除法运算以及复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗， 店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x，则 一开始输入的 x 的值为(

4、 ) A. 3 4 B. 7 8 C. 15 16 D. 31 32 【答案】B 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算输入时变量 x的值，模拟程序的运行 过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得到答案. 【详解】本题由于已知输出时 x 的值，因此可以逆向求解： 输出0x,此时4i ； 上一步： 1 210, 2 xx ,此时3i ； 上一步： 13 21, 24 xx ,此时2i ； 上一步： 37 21, 48 xx 此时1i ； 故选：B. 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题. 4.下图是民航部门统计的某年春节期间

5、：中国民航出入境航线方面 TOP10 出入境国家和地区的旅客量以及 相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ） A. 东南亚仍是人们出境旅游的首选 B. 台湾和澳门均有超过一成的同比增长 C. 越南和美国排在人们出境旅游选择的前两位 D. 中-韩航线虽依然位列出入境国家和地区第三甲，但旅客量却较去年出现负增长 【答案】C 【分析】根据折线图逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于 A，从统计图表上看，选择泰国的人最多，故 A判断正确； 对于 B，从统计图表上看，台湾和澳门的旅客量的增幅分别为12%,11%，故 B 判断正确； 对于 C，从统计图表上看，人们出境旅游选

6、择的前两位为泰国和日本，故 C 错； 对于 D，从统计图表上看，中韩航线的旅客量却较去年出现负增长且为5%，故 D 判断正确. 故选：C. 【点睛】本题考查统计图表的应用，看清图表的意义和数据的含义是关键，本题属于容易题. 5.已知向量0,2OA，1,OBt，且OA OB OA，则OA与AB的夹角为( ) A. 6 B. 3 4 C. 3 D. 5 12 【答案】B 【分析】 由OA OBOA结合数量积的坐标公式和模长公式，可得到1t ，再利用公式求OA与AB的夹角. 【详解】向量0,2OA，1,OBt， 所以 2OA OBt ，2OA 由OA OBOA，即22t ，所以1t 所以1,1OB

7、1, 1ABOBOA 22 cos, 222 OA AB OA AB OAAB 又OA与AB的夹角在0，内,所以OA与AB的夹角为 3 4 . 故选：B 【点睛】本题考查利用向量的数量积的坐标公式求向量的夹角，注意向量夹角的范围，属于基础题. 6.已知等差数列 n a满足 1 2a ，公差0d ，且 1 a， 2 a， 5 a成等比数列，则 100 S（ ） A. 10000 B. 10100 C. 20000 D. 20400 【答案】C 【分析】 根据 1 a， 2 a， 5 a成等比数列可求出公差，再利用公式可求 100 S. 【详解】因为 1 a， 2 a， 5 a成等比数列，故 2

8、215 aa a， 故 2 2224dd，解得0d （舍）或4d ， 所以 100 100 99 200420000 2 S ， 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的前n项和，一般地，等差数列或等比数列的处理有两类基本方法： （1）利用 基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题； （2）利用 数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题. 7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ） A. 2 3 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 4 【答案】B 【解析】先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果. 详

9、解：几何体如图 S-ABCD，高为 1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于 2 11 1 1 = 33 ， 选 B. 点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几 何模型，在几何模型中进行判断求解. 8.已知 1 2017 2017a ， 2018 log2019b， 2019 log2018c ，则a，b，c的大小关系为( ) A. abc B. acb C. bac D. cba 【答案】A 【分析】 由条件有1a ， 20182018 11 log2019log2019 22 b 且 2018 log20191b，而 2019 11 l

10、og2018 22 c ， 从而得到答案. 【详解】 1 0 2017 201720171a 201820182018 111 log2019log2019log2018 222 b ，且 20182018 log2019log2018 1b 20192019 111 log2018log2019 222 c 所以 1 1 2 abc . 故选：A 【点睛】本题考查利用指数、对数函数的单调性比较大小，注意找准中间量，属于中档题. 9.点F是双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的右焦点，点A，B是圆 222 xya与双曲线C的渐近线 的两个交点，若ABF是直角三角形，则双曲线C的

11、离心率是（ ） A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 2 3 【答案】A 【分析】 先计算出,A B的坐标， 再根据ABF是直角三角形得到, ,a b c的方程， 从该方程可计算出双曲线的离心率. 【详解】不妨设A在第一象限，则B在第四象限.又双曲线的渐近线方程为： b yx a . 由 222 b yx a xya 可得 2 a x c ab y c ，故 2 , aab A cc ，同理 2 , aab B cc . 因为ABF是直角三角形，故 2 1 2 2 aabab c ccc ，整理得到ab， 故 2ca 即2 c e a . 故选：A. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是

12、利用题设条件构建关于, ,a b c的一个等式关系而离心率的取 值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于, ,a b c的不等式或不等式组. 10.函数 cos x f x x 的部分图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 由 fxf x 得 f x为奇函数排除选项 C，由函数值的变化趋势可以排除选项 A，B 得到答案. 【详解】函数 f x的定义域为00 +，. coscosxx fxf x xx ,所以 f x为奇函数，故排除选项 C. 由当0x且0x时， f x ，故排除选项 B. 由当x 时， 0f x ，故排除选项 A 故选：D 【点睛

13、】本题考查函数图象的识别，关键是利用函数的奇偶性、函数值的变化趋势进行判断，属于基础题. 11.已知函数 sin0,0, 2 f xAxA 的部分图象如图所示，则函数 cosg xAx图象的一个对称轴方程可能为( ) A. 0x B. 2x C. 10x D. 14x 【答案】D 【分析】 根据函数 sin0,0, 2 fxAxA 的图象，先求出A， ， 的值，然后再求 cosg xAx的对称轴方程. 【详解】根据函数 sin0,0, 2 f xAxA 的图象可得 2 3A , 12 816 2 ，TT ,则 8 . 又 62 3sin60 8 f 结合函数 sinyx 的图象有62, 8 k

14、kZ . 所以 3 2, 4 kkZ ，由 2 ，则可以取 3 4 则 3 2 3c 48 osg xx 的对称轴方程为 3 =, 84 xkkZ 即86,xkkZ，当1k 时，14x 故选：D 【点睛】本题考查根据 sinf xAx的图象求表达式，利用表达式研究三角函数的对称性，属于 中档题. 12.小姜同学有两个盒子A和B，最初盒子A有 6 枚硬币，盒子B是空的.在每一回合中，她可以将一枚硬币 从A盒移到B盒，或者从A盒移走K枚硬币，其中K是B盒中当前的硬币数.当A盒空时她获胜.则小姜可 以获胜的最少回合是( ) A. 三回合 B. 四回合 C. 五回合 D. 六回合 【答案】B 【分析】

15、 根据题意，前两回合只能是将一枚硬币从A盒移到B盒，从第三回合要分情况讨论，是将一枚硬币从A盒 移到B盒，还是从A盒移走K枚硬币，从而得到答案. 【详解】第一回合：将一枚硬币从A盒移到B盒，此时A盒有 5 枚硬币，盒子B有 1 枚硬币. 第二回合：将一枚硬币从A盒移到B盒，此时A盒有 4 枚硬币，盒子B有 2 枚硬币. 此时第三回合分为两种情况: (1)第三回合：将一枚硬币从A盒移到B盒，此时A盒有 3 枚硬币，盒子B有 3 枚硬币. 第四回合：将三枚硬币从A盒移走，此时A盒有 0 枚硬币. 从而小姜获胜. (2) 第三回合：将 2 枚硬币从A盒移走，此时A盒有 1 枚硬币. 第四回合：将一枚

16、硬币从A盒移到B盒，此时A盒有 0 枚硬币. 从而小姜获胜. 所以小姜要获胜，至少要四回合. 故选：B 【点睛】本题考查简单的推理问题，属于基础题. 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 90 分）分） 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分.第第 13 题题第第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22 题题第第 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题纸上把答案填在答题纸上. 13.若数列

17、n a的前n项和为 n S，且 2 n Snn，则 2019 a_ . 【答案】4036 【分析】 利用 1 2 nnn aSSn 可计算 2019 a. 【详解】 22 201920192018 20192019201820184036aSS. 故答案为：4036. 【点睛】数列 n a的通项与前n项和 n S 的关系式是 1 1 ,1 ,2 n nn S n a SSn ，我们常利用这个关系式实现 n a与 n S之间的相互转化. 14.设关于x，y的不等式组 4 2 yx x ykx 表示的平面区域为，若1, 2A，3,0B，2, 3C中有且仅 有两个点在平面区域内，则实数k的取值范围为

18、_. 【答案】 1 ,0 2 【分析】 因为, ,A B C三点均在平面区域 4 yx x 中， 而直线2ykx表示过定点0, 2的动直线， 因此可得,A B在 直线2ykx的上方或在直线上，C在直线2ykx的下方，据此可求实数k的取值范围. 【详解】 由题设可知：, ,A B C均在平面区域 4 yx x 内， 因为2ykx表示过定点0, 2的动直线，如图，根据, ,A B C三点的分布可得： ,A B在平面区域4 2 yx x ykx 的内部或边界上， 而C不在平面区域4 2 yx x ykx 的内部或边界上，故 21 2 032 322 k k k ， 解得 1 0 2 k. 故答案为：

19、 1 ,0 2 【点睛】本题考查线性规划的应用，注意根据给定的点与确定平面区域的关系来确定这些点在动直线两侧 的分布情况，本题属于中档题. 15.直线l与抛物线C： 2 4yx交于M，N两点，若OM，ON的斜率之积为 1 2 ，则MN的最小值为 _. 【答案】8 2 【分析】 设 2 1 1 , 4 y My ， 2 2 2 , 4 y Ny ，由题设条件可得 12 32y y ，再求出 44 22 12 12 64 1616 yy MNyy ，利 用基本不等式可求最小值. 【详解】设 2 1 1 , 4 y My ， 2 2 2 , 4 y Ny ，则 12 22 12 1 2 16 y y

20、 y y ，故 12 32y y . 又 2 2244 2 22 1212 1212 64 441616 yyyy MNyyyy ， 由基本不等式有 22 1212 264yyy y， 4444 1212 2128 16161616 yyyy ， 当且仅当 12 yy 即 1 4 2y ， 2 4 2y 或 1 4 2y ， 2 4 2y 时等号成立， 故 min 8 2MN. 故答案为：8 2. 【点睛】本题考查抛物线中的最值问题，注意根据点在抛物线上设出动点的坐标，从而把最值问题归结为 多变量函数的最值问题，后者可利用基本不等式来求解，本题属于中档题. 16.定义“穿杨二元函数”如下： (

21、 , )248 n C a naaaa 个 .例如：3,43 6 12 2445C .对 于奇数m， 若1 , 2 , 3 , 4 , 5i ，,1,1 iiii a nZan （ 12345 ,a a a a a彼此相异） ， 满足, ii C a nm， 则最小的正整数m的值为_. 【答案】243 【分析】 先求出,C a n，由题设可知m至少有 5个不同的正的奇约数，且 5 个奇约数中，至少有一个为2 1 n 的形 式，据此可得m的最小值. 【详解】因为 ( , )248 n C a naaaa 个 ，故( , )21 n C a na. 由题设，存在 5 组不同的, ii a n，使得

22、奇数211 i n i ma ， 故m至少有 5 个不同的正的奇约数，且 5个奇约数中，至少有一个为2 1 n 的形式. 因为3为最小的大于 1 的正奇数且 2 213 ，故m的最小值为3 3 3 3 3243 . 故答案为：243. 【点睛】本题考查数列的求和以及正奇数的因数分解，注意对题设条件要合理转化，从而得到正奇数m满 足的性质，本题属于难题. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位 置置.本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分. （一）必考题，共（一）

23、必考题，共 60 分分.每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答. 17.如图四边形OACB中， , ,a b c分别为 ABC的内角 , ,A B C的对边，且满足 sinsin2coscosC sincos BCB AA (1)证明：2bca ； (2)若bc，设0AOB ,22OAOB求四边形OACB面积的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 5 3 2 4 【分析】 （1）由已知条件化简可得 sinC+sinB2sinA，再由正弦定理可得 b+c2a； （2）由条件和（1）的结论可得ABC为等边三角形，利用 S OACBS OAB+S OBC 2 13 24 OA OB si

24、nAB，结合辅助角公式，可得平面四边形 OACB 面积的最大 值 【详解】 （1）证明：由 sinsin2coscos sincos BCBC AA sin cossin cos2sinsin cossin cosBACAAABAC， cos sinsin coscos sinsin cos2sinABABACACA， sinsin2sinABA CA， sinsin2sinCBA，正弦定理得2bca （2）解：2bca ，bc，ABC为等边三角形 222 133 sinsin2?cos 244 OACBAOBABC SSSOAOBABOAOBOAOB , 5 35 3 =sin3cos2si

25、n 434 ， 5 6 时， OACB S取最大值 5 3 2 4 . 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及正弦定理和三角形的面积，考查三角函数的性质，正 确表示平面四边形 OACB面积是关键 18.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的 大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在100,120)内，则 为合格品，否则为不合格品. 表 1 是甲套设备的样本的频数分布表，图 1 是乙套设备的样本的频率分布直 方图. 表 1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 95,100) 100,105)

26、 105,110) 110 115) 115,120) 120,125 频数 1 5 18 19 6 1 图 1：乙套设备的样本的频率分布直方图 （）将频率视为概率. 若乙套设备生产了 5000 件产品，则其中不合格品约有多少件； （） 填写下面列联表， 并根据列联表判断是否有 90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、 乙两套设备的选择有关； 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计 （）根据表 1 和图 1，对两套设备的优劣进行比较. 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd . 【答案】 （）700 件； （）见解析； （）见解析

27、. 【解析】 （）求出乙套设备生产的不合格品率，即可得出结论； （）根据表 1 和图 1 可得到列联表，然后利用公 式 2 2 n adbc K abcdacbd ，求出结果判断即可； （）由表 1 和图 1 可知甲乙的合格品率，甲 套设备生产的产品的质量指标值主要集中在105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设 备相比较为分散，即可得出结论. 试题解析： （）由图 1 知，乙套设备生产的不合格品率约为 7 50 乙套设备生产的 5000 件产品中不合格品约为 7 5000700 50 （件）. （）由表 1 和图 1 得到列联表 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 48 43

28、 91 不合格品 2 7 9 合计 50 50 100 将列联表中的数据代入公式计算得 22 2 10048 72 43 3.05 50 50 91 9 n adbc K abcdacbd . 3.052.706 有 90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关. （）由表 1 和图 1 知，甲套设备生产合格品的概率约为 48 50 ，乙套设备生产的合格品的概率约为 43 50 ， 甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套 设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设 备优

29、于乙套设备. 19.一幅标准的三角板如图 1 中，ABC为直角，60A ，DEF为直角，45D，且BC DF， 把BC与DF拼齐使两块三角板不共面，连结AE如图 2. （1）若M是AC的中点，N是BC的中点，求证：BC平面ENM； （2） 在 九章算术 中， 称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”， 若图 2中4AC ， 三棱锥EABC 的体积为 2，则图 2 是否为鳖臑？说明理由. 【答案】 （1）证明见解析； （2）是鳖臑，详见解析. 【分析】 （1）设BC中点为N，连结MN，EN，可证MNBC、ENBC，从而得到BC平面ENM. （2）先求出3 BEC S，再根据体积可得A到平面BEC

30、的距离为2，结合 2AB 可得AB 平面BEC， 从而可证四个面均为直角三角形. 【详解】 （1）证明：设BC中点为N，连结MN，EN. M是AC的中点，N是BC的中点，/MNAB， ABBC，MNBC， BEEC，BEEC，BNCN， ENBC， MNENN， BC平面EMN. （2）此时三棱锥EABC是鳖臑， 4,2 3ACBC，6,3 BEC BECES， 又三棱锥的体积 1 2 3 BEC Vh S，故高2h. 又2AB ，所以AB 平面BEC，因为BE 平面BEC， 所以BEAB，所以ABE是直角. 同理，CEAB. CEBE，CEAB，ABEBB，所以CE 平面ABE， 因为AE

31、平面ABE，故,CEAEAEC也是直角. 又ABC，BEC显然是直角，故图 2是鳖臑. 【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且 线垂直于两个平面的交线，也可通过点到平面的距离等于线段的长来考虑线面垂直，本题属于中档题. 20.已知椭圆N： 22 22 10 xy ab ab 经过点 0,1C，且离心率为 2 2 . （1）求椭圆N的标准方程与焦距； （2）直线l： 1 3 ykx与椭圆N的交点为A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在常数，使 AMCABC恒成立，并说明理由. 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y，焦距为2； （2）存在

32、常数2，使2AMCABC 恒成立，详见解析. 【分析】 （1）根据上顶点的坐标和离心率可得, ,a b c，从而可求标准方程和焦距. （2）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用韦达定理化简CA CB 可得 0CA CB ，从而可得2. 【详解】 （1）因为椭圆N： 22 22 10 xy ab ab 经过点 0,1C，且离心率为 2 2 ， 所以1b， 2 2 c a ，又因为 222 acb， 可解得1c， 2a ，焦距为22c ，所求椭圆的方程为 2 2 1 2 x y. （2）存在常数2，使2AMCABC 恒成立， 证明如下： 由 2 2 1

33、 3 1 2 ykx x y ， 得 22 9 1812160kxkx， ， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 则 12 2 12 9 18 k xx k ， 12 2 16 9 18 x x k . 又因为 11 ,1CAx y， 22 ,1CBxy， 所以 1212 11CA CBx xyy 1212 44 33 x xkxkx 2 1212 416 1 39 kx xk xx 2 22 1641216 10 9 1839 189 k kk kk ， 所以CA CB ， 因为线段AB的中点为M，所以MCMB，所以2AMCABC . 存在常数2，使2AMCABC 恒成立. 【点

34、睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问 题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两 个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有 1212 ,x x xx或 1212 ,y yyy，最后利用韦达定理把关系 式转化为若干变量的方程（或函数） ，从而可求定点、定值、最值问题. 21.已知函数 2 lnf xaxxax aR . （1）若 f x在其定义域上单调递减，求a的取值范围； （2）证明：当0a时， f x在区间0,1恰有一个零点. 【答案】 （1）,0； （2）证明见解析. 【分析】 （1

35、）求出 fx ，则 0fx 在0,上恒成立，参变分离后可求a的取值范围. （2）就1a 、01a分类讨论函数的单调性，再结合零点存在定理可证明 f x在区间0,1恰有一个 零点. 【详解】解： （1）由于 f x定义域为0,，且 2 21axx fx x ， 因为 f x单调递减，则 2 210axx 在 0,上恒成立， 故 2 1 2 x a x 在0,上恒成立， 令 1 0t x ，则 2 22 111x tt xxx ，因为 2 ytt 在0,的值域为0,， 故20a即0a ，即a的取值范围为,0. （2） 2 21axx fx x ，令 2 21h xaxx . 当1a 时， 1220

36、ha，对称轴 11 44 x a ， 010h ， 故 2 21h xaxx 在0,1有唯一的零点 0 x. 当 0 0xx时， 0h x 即 0fx，当 0 1xx时， 0h x 即 0fx， 故 f x在 0 0,x内为减函数，在 0,1 x内增函数， 11f ，而 2 1 1 a e 且 2422 111 20 aaaa a faaa eeee ， 所以 f x区间0,1恰有一个零点. 当01a时， 1220ha， 010-h， 故任意的0,1x，总有 0h x ，故 0fx ，所以 f x在0,1为减函数. 由于 110f ， 2 1 1 e 且 2422 111 220 a faa

37、eeee ， 所以 f x区间0,1恰有一个零点. 综上， f x区间0,1恰有一个零点. 【点睛】本题导数在函数单调性、函数零点问题中的应用，前者利用导数的符号来来讨论，后者利用单调 性和零点存在定理来判断，其中单调性的讨论需合理分类，本题属于较难题. （二）选考题，共（二）选考题，共 10 分分.请考请考生在第生在第 22、23题中任选一题作答题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，注意：只能做所选定的题目， 如果多做， 按所做的第一题目计分，作答时请用如果多做， 按所做的第一题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 【选修

38、【选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】 22.在直角坐标系xOy中，直线l的方程是 2 2x ，曲线C的参数方程为 2cos , 22sin x y （为参数） ， 以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2）射线OM：（其中 5 0 12 ）与曲线C交于O，P两点，与直线l交于点M，求 | | OP OM 的 取值范围 【答案】 （1）cos2 2，4sin； （2） 2 (0, 2 【解析】 分析：（1）利用 , , xcos ysin 可得直线l的极坐标方程，由 2, 22, xcos ysin 消参数得普通方程 从而可得曲线

39、C的极坐标方程是4sin；（2）将分别代入4sin，cos2 2，得 4sinOP， 2 2 cos OM ， 2 sin2 2 OP OM ，由 5 0 12 得 5 02 6 ，利用正弦函数的单 调性可得结果. 详解：（1） , , xcos ysin 直线l的极坐标方程是cos2 2， 由 2, 22, xcos ysin 消参数得 2 2 24xy， 曲线C的极坐标方程是4sin （2）将分别代入4sin，cos2 2，得4sinOP， 2 2 cos OM ， 2 sin2 2 OP OM ， 5 0 12 ， 5 02 6 ， 22 0sin2 22 ， |OP OM 的取值范围是

40、 2 0, 2 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如 22 cossin1等三角恒等式）消去参数化为普通 方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式 cos sin x y ，等可以把极坐标方 程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相 应问题 【选修【选修 4-5：不等式选讲】：不等式选讲】 23.已知0a，0b，0c .若函数 f xxaxbc的最小值为 2. (1)求a b c 的值； (2)证明： 1119 4abbcca . 【答案】(1)2；(2)证明见解析. 【解析】 (1)先根据绝对值三角不等式得

41、f x的最小值为abc ，再根据0a，0b，得结果.(2)先构造 1111111 4 abbcca abbccaabbcca ，再利用均值不等式可得结 论. 详解： （1） f xxaxbcxaxbcabcabc， 当且仅当axb 时，等号成立， f x的最小值为a b c ， 2a b c . （2）由（1）可知，2a b c ，且a，b，c都是正数， 所以 1111111 4 abbcca abbccaabbcca ， 1 3 4 bcabbccaabac abbccabccaab 19 3222 44 当且仅当1abc时，取等号， 所以 1119 4abbcca 得证. 点睛：形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子 对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝 对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法， 利用|xa|xb|c(c 0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1|xa| |xb|和y2c的图象，结合图象求解.