（新高考地区）2020届北京市朝阳区六校高三四月联考考试（数学）.pdf

1、 - 1 - 20192020 学年度高三年级四月份测试题 数学试卷数学试卷 B 2020.4 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知命题p：x R，e1 x ，那么命题p的否定为 （A） 0 xR， 0 e1 x （B）x R，e1 x （C） 0 xR， 0 e1 x （D）x R

2、，e1 x （2）设集合 2 |340ZAxxx， 2 |e1 x Bx ，则ABI= （A） 1,0,1,2 （B） 1,2) （C） 1,0,1 （D） 1,2 （3）下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是 （A） 3 ( )2f xx （B） 1 2 ( )log |f xx （C） 3 ( )3f xxx （D）( )sinf xx （4）已知 3 log2a， 0.2 log0.3b， 11 tan 3 c，则a，b，c的大小关系是 （A）cba （B）bac （C）cab （D）bca （5）为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”） ，

3、组委会举办了“西博 会”知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的1565:岁市民进行随机抽 样，各年龄段人数情况如下： - 2 - 组号 分组 各组人数 各组人数频率分布直方图 第1组 15,25) 10 第2组 25,35) a 第3组 35,45) b 第4组 45,55) c 第5组 55,65 d 根据以上图表中的数据可知图表中a和x的值分别为 （A）20，0.15 （B）15，0.015 （C）20，0.015 （D）15，0.15 （6）已知向量(2,2 3)a，若 16 = 3 a b，则b在a上的投影是 （A） 3 4 （B） 3 4 （C） 4 3 （D）

4、4 3 （7）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为 （A）5 （B） 3 （C）6 （D）2 3 （8）已知ABC，则“sincosAB”是“ABC是直角三角形”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨 辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 n a为图中虚线上的数1, 3, 6,10, 构成的数列 n a的第n项， 则 100 a的值为 （A）5049 （B）5050 （C）5051 （D）5101 （10）关于函数 2

5、( )(1)exf xxax，有以下三个结论： 函数恒有两个零点，且两个零点之积为1； 函数的极值点不可能是1； - 3 - 函数必有最小值. 其中正确结论的个数有 （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）在 5 2 ()x x 的二项展开式中， 3 x 的系数为_ （用数字作答） （12）已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足| | 5z ，6zz，则z的实部为_， 虚部为 （13）设无穷等比数列 n a 的各项为整数，公比为q，且| 1q ， 231 2aaa ，

6、写出数列 n a 的一个 通项公式_ （14）在平面直角坐标系中，已知点(0,1)A，(1,1)B，P为直线AB上的动点，A关于直线OP的对称点 记为Q，则线段BQ的长度的最大值是_ （15）关于曲线 22 :4C xxyy，给出下列三个结论： 曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称； 曲线C恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2 2 其中，正确结论的序号是_ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分。 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

7、（16） （本小题 13 分） 已知：函数 1 ( )cossin()(0) 64 f xxx ； 向量( 3sin,cos2)xxm， 11 ( cos, ) 24 xn，且0，( )f x m n； 函数 1 ( )sin(2)(0,|) 22 f xx 的图象经过点 1 (, ) 6 2 请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知_，且函数( )f x的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 （）若0 2 ，且 1 sin 2 ，求( )f的值； （）求函数( )f x在0,2 上的单调递减区间. - 4 - 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （17） （本小

8、题 14 分） 体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T（单位：C）平均在36 C37 C:之 间即为正常体温，超过37.1 C即为发热发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热： 37.138T；高热：3840T；超高热（有生命危险） ：40T. 某位患者因患肺炎发热，于 12 日至 26 日住院治疗. 医生根据病情变化，从 14 日开始，以 3 天为一个 疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午 8:00 服药，护士每天下 午 16:00 为患者测量腋下体温记录如下： 抗生素使用 情况 没有使用 使用“抗生素抗生素 A”治疗 使用“抗生

9、素抗生素 B”治疗 日期 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 体温（C） 38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0 抗生素使用 情况 使用“抗生素抗生素 C”治疗 没有使用 日期 20 日 21 日 22 日 23 日 24 日 25 日 26 日 体温（C） 38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3 （）请你计算住院期间该患者体温不低于39 C的各天体温平均值； （） 在19日23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“项 目”的检查，记X为高热体温下做“

10、项目”检查的天数，试求X的分布列与数学期望； （）抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果. 假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由 （18） （本小题 15 分） 在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD底面ABCD为梯形，ABCDP，ABAD， 且1AB ，2PAADDC，2 2PD - 5 - （）求证：ABPD； （）求二面角PBCD的余弦值； （）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F， MF与PC都不平行. （19） （本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0

11、) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ， 过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两 点，当直线l与x轴垂直时，| 3AB . （）求椭圆C的标准方程； （） 当直线l与x轴不垂直时， 在x轴上是否存在一点P（异于点F） ， 使x轴上任意点到直线PA，PB 的距离均相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由. （20） （本小题 15 分） 已知函数 2 ( )e() x f xaxaR （）若曲线 ( )yf x 在(1, (1)f 处的切线与x轴平行，求a； （）已知( )f x在0,1上的最大值不小于2，求a的取值范围； （）写出 ( )f x所有可能的零点个数及相应的a的取值范

12、围 （请直接写出结论） （21） （本小题 14 分） 已知集合 12 |( ,),0,1,1,2, (2) nni SX Xx xxxin nLL，对于 12 ( ,) n Aa aaL n S， 12 ( ,)L nn Bb bbS，定义A与B的差为 1122 (|,|,|) nn ABabababL；A与B之间的 距离为 1122 ( , )=|+|L nn d A Bababab - 6 - （）若(0,1)AB，试写出所有可能的A，B； （）, , n A B CS，证明：(,)( , )d A C BCd A B； （）, , n A B CS，( , ), ( ,), ( ,)d

13、 A B d A C d B C三个数中是否一定有偶数？证明你的结论. 20192020 学年度学年度高三年级四月份高三年级四月份测试题测试题 数学数学 B 参考答案参考答案 2020.4 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1） A （2） C （3）C （4） A （5） C （6） D （7） B （8）D （9） B （10） D 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共

14、共 110 分）分） 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分） （11）80 （12）3, 4 （13） 1* 2() n n an N（答案不唯一） （14）21 （15） 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16） （本小题 13 分） 解：方案一：选条件 因为 1 ( )cossin() 64 f xxx 1 cos(sincoscossin) 664 xxx 2 311 sincoscos 224 xxx 31 sin2c

15、os2 44 xx 3 分 131 (sin2cos2) 222 xx 1 sin(2) 26 x ， - 7 - 又 2 2 T ，所以1，所以 1 ( )sin(2) 26 f xx . 5 分 方案二：选条件 因为( 3sin,cos2)xxm， 11 ( cos, ) 24 xn， 所以 311 ( )sincoscos2sin(2) 2426 f xxxxx m n . 又 2 2 T ，所以1，所以 1 ( )sin(2) 26 f xx . 5 分 方案三：选条件 由题意可知， 2 2 T ，所以1，所以 1 ( )sin(2) 26 f xx . 1 分 又因为函数( )f x

16、图象经过点 1 ( , ) 6 2 ，所以 11 sin(2) 226 . 3 分 因为| 2 ，所以 6 ，所以 1 ( )sin(2) 26 f xx . 5 分 （）因为0 2 ， 1 sin 2 ，所以 6 . 7 分 所以 11 ( )( )sin 6222 ff . 9 分 （）由 3 222, 262 kxkk Z， 得 2 , 63 kxkk Z 12 分 令0k ，得 2 63 x ，令1k ，得 75 63 x ， 所以函数( )f x在0,2 上的单调递减区间为 2 , 63 ， 75 , 63 . 13 分 - 8 - （17） （本小题 14 分） 解:（） 由表可知

17、，该患者共 6 天的体温不低于39 C o ，记平均体温为x， 1 分 1 (39.439.740.1 39.939.2+39.0)39.55 C 6 o x 4 分 所以，患者体温不低于39 C的各天体温平均值为39.55 C o . （）X的所有可能取值为0,1,2 5 分 30 32 3 5 1 (0) 10 C C P X C , 6 分 21 32 3 5 63 (1) 105 C C P X C , 7 分 12 32 3 5 3 (2) 10 C C P X C 8 分 则X的分布列为： 9 分 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 所以 1336 ()012 1051

18、05 E X 11 分 （） “抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由： “抗生素 B”使用期间先连续两天降温 1.0C o 又回升 0.1C o ， “抗生素 C”使用期间持续降 温共计 1.2C o ，说明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最佳 抗生素 B”治疗期间平均体温 39.03C o ，方差约为0.0156； “抗生素 C”平均体温 38C o ， 方差约为0.1067， “抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效 果明显，故“抗生素 C”治疗效果最佳 14 分 “抗生素 B”治疗效果最佳可使用理由： （不说使用“抗生素不说使用“抗生素 B”治疗

19、才开始持续降温扣”治疗才开始持续降温扣 1 分分） 自使用“抗生素 B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素 B”治疗当天共降 温 0.7C o ，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素 B”治疗效果最佳 14 分 （开放（开放型型问题问题，答案不唯一，但答答案不唯一，但答“抗生素“抗生素 A”效果最好不得分效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分理由与结果不匹配不得分，不用数据不得分）不用数据不得分） （18） （本小题 14 分） - 9 - 解:（）因为平面ABCD 平面PAD， 1 分 平面ABCDI平面PADAD, 2 分 AB 平面ABCD, ABAD， 3 分 所以AB平面

20、PAD, 4 分 又因为PD平面PAD， 所以ABPD 5 分 （）因为2PAAD，2 2PD，所以PAAD 由（）得AB平面PAD，所以ABPA， 故,AB AD AP两两垂直 如图,以A为原点，,AB AD AP所在直线分别为, ,x y z轴， 建立空间直角坐标系Axyz， 则(0,0,2)P，(1,0,0)B，(2,2,0)C，(0,2,0)D 6 分 因为PA平面BCD，所以平面BCD的一个法向量是(0,0,1)n 而(1,0, 2)PB uuu r ，(2,2, 2)PC uuu r ， 设平面PBC的一个法向量为( , , )x y zm 则由 0, 0, PB PC uuu r

21、 uuu r m m 得 20, 2220. xz xyz 取1z ，有(2, 1 ,1 )m， 8 分 所以 16 cos, 66 n m n m n m 10 分 由题知，二面角PBCD为锐角， 所以二面角PBCD的余弦值为 6 6 11 分 （）假设棱BC上存在点F，/MFPC，设,0,1BFBC uuu ruuu r 12 分 依题意，可知(0,0,1)M，(1,2,0)BC uuu r ，(1,2 ,0)F， 13 分 M F - 10 - 所以(1,2 , 1)MF uuur ，(2,2, 2)PC uuu r 14 分 根据假设，有 12 , 22 , 12 , 而此方程组无解，

22、故假设错误，问题得证 15 分 （19） （本小题 14 分） 解： （）由题意得： 2 222 2 3, 1 , 2 , b a c a abc 1 分 解得:2,3,1abc 2 分 所以椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy 3 分 （II）依题意，若直线l的斜率不为零，可设直线:1(0)l xmym， 1122 ( ,), (,)A x yB xy 假设存在点P，设 0 (,0)P x，由题设， 0 1x ，且 01 xx， 02 xx. 设直线,PA PB的斜率分别为 12 ,k k， 则 12 12 1020 , yy kk xxxx 4 分 因为 1122 ( ,), (,)A

23、 x yB xy在1xmy上， 故 1122 1,1xmyxmy 5 分 而x轴上任意点到直线,PA PB距离均相等等价于“PF平分APB” ， 继而等价于 12 0kk 6 分 则 12 12 1020 yy kk xxxx 1221012 1020 () ()() x yx yxyy xxxx 12012 1020 2(1)() 0 ()() my yxyy xxxx 8 分 联立 22 1 43 1 xy xmy ，消去x，得： 22 (34)690mymy， 有 1212 22 69 , 3434 m yyy y mm 10 - 11 - 分 则 00 12 22 10201020 1

24、866246 0 (34)()()(34)()() mmmxmmx kk mxxxxmxxxx ， 即 0 40mmx，故 0 4x 或0m （舍） 13 分 当直线l的斜率为零时，(4,0)P也符合题意 故存在点(4,0)P，使得x轴上任意点到直线,PA PB距离均相等 14 分 （20） （本小题 15 分） 解： （） 因为 2 ( )e() x f xax aR， 故( )e2 x fxax 1 分 依题意(1)e20fa，即 e 2 a 2 分 当 e 2 a 时， e (1)0 2 f，此时切线不与x轴重合，符合题意，因此 e 2 a 3 分 （） 由（）知，( )e2 x fxa

25、x, 当0a 时，因为0,1x,e0 x ,20ax， 故( )0fx，即( )f x单增，因此 max ( )(1)ef xfa 依题意，当0a 时， max ( )=ee2f xa，所以0a 符合题意 5 分 当0a 时，( )e2 x fxa，令( )0fx，有ln2xa 6 分 ( )fx,( )fx变化如下： x (,ln2 )a ln2a (ln2 ,)a ( )fx 0 + ( )fx 极小值 Z 故 min ( )22 ln22 (1 ln2 )fxaaaaa 7 分 当1 ln20a时，即 e 0 2 a时，( )0fx ，( )f x单调递增， 因此 max ( )(1)e

26、f xfa 依题意，令e2a，有0e2a 8 分 当1 ln20a时，即 e 2 a 时，(1)e20fa ,(0)10 f ， - 12 - 故存在唯一 0 (0,1)x 使 0 ()0fx 9 分 此时有 0 0 e20 x ax，即 0 0 e2 x ax，( )fx ,( )f x变化如下： 10 分 x 0 (0,)x 0 x 0 (,1)x ( )fx + 0 ( )f x Z 极大值 所以 0 00 2 0 max00 e ( )()ee 2 x xx x f xf xax ， 0 (0,1)x 11 分 依题意，令 e ( )e 2 x x x g x ，(0,1)x，则 (1

27、)e ( )0 2 x x g x ，( )g x在(0,1)单调递增， 所以 e ( )(1)2 2 g xg ， 所以 max ( )2f x，此时不存在符合题意的a 综上所述，当(,e2a ，( )f x在0,1上的最大值不小于2， 若(,e2a ，则( )f x在0,1上的最大值小于2， 所以a的取值范围为(,e2 12 分 解法二： （）当0,1x时，( )f x最大值不小于 2，等价于 2 ( )e2 x f xax在0,1x上有解，显然0x 不是解, 即 2 e2 x a x 在(0,1x上有解， 4 分 设 2 e2 ( ) x g x x ， (0,1x, 则3 e2e4 (

28、 ) xx x g x x 5 分 设( )e2e4 xx h xx ，(0,1x， 则( )e (1)0 x h xx 所以 ( )h x在(0,1单调递减， ( )(1)4e0h xh ， 7 分 所以 ( )0g x ，所以g( ) x在(0,1单调递增， 9 分 所以 max g( )(1)e2xg 10 分 依题意需e2a , 所以a的取值范围为(,e2 12 分 - 13 - 解法三: （）由（）知，( )e2 x fxax, （1）当 e 2 a 时，( )e2ee xx fxaxx, 设( )ee0,1 x h xx x，( )ee0 x h x , 所以( )h x在0,1单

29、调递减，故( )(1)0h xh 5 分 所以( )0fx，所以( )f x在0,1单调递增， 因此 max ( )(1)ef xfa 7 分 依题意，令e2a，得e2a 8 分 （2）当 e 2 a 时， 22 e ( )ee 2 xx f xaxx, 设 2 e ( )e 2 x xx,0,1x , 则( )ee( )0 x xxh x , 所以( )x在0,1单调递增， 10 分 故 max ee ( )(1)e2 22 x ，即 ( )2f x ，不符合题意 11 分 综上所述，a的取值范围为(,e2 12 分 （III）当0a 时，( )yf x有 0 个零点；当 2 e 0 4 a

30、 时，( )yf x有 1 个零点 当 2 e 4 a 时，( )yf x有 2 个零点；当 2 e 4 a 时，( )yf x有 3 个零点 15 分 （21） （本小题 14 分） 解： （） (0, 0),(0,1)AB； (0,1),(0, 0)AB； 1 分 (1, 0),(1,1)AB； 2 - 14 - 分 (1,1),(1, 0)AB. 3 分 （） 令 121212 ( ,),( ,),( ,)LLL nnn Aa aaBb bbCc cc， 对1,2,Lin， 当0 i c 时，有| | iiiiii acbcab； 4 分 当1 i c 时，有| |1(1)| | iii

31、iiiii acbcabab 5 分 所以 11222222 (,)|+|+|L nnnn d A C BCacbcacbcacbc 1122 |( , )L nn abababd A B 6 分 （）, , n A B CS，( , ), ( ,), ( ,)d A B d A C d B C三个数中一定有偶数. 理由如下： 解法一： 设 121212 ( ,),( ,),( ,) nnnn Aa aaBb bbCc ccS， ( , ), ( , ), ( , )d A Bk d A Cl d B Ch， 记0(0,0,0) n S由（）可知: ( , )(,)(0,)d A Bd AA

32、BAdBAk， ( , )(,)(0,)d A Cd AA CAdCAl，( ,)(,)d B Cd BA CAh. 8 分 所以(1,2, ) ii bain中 1 的个数为k,(1,2, ) ii cain中 1 的个数为l. 设t是使1 iiii baca成立的i的个数，则2hlkt . 10 分 由此可知，, ,k l h三个数不可能都是奇数， 即( , ), ( ,), ( ,)d A B d A C d B C三个数中一定有偶数. 14 分 解法二： 因为()()()0 iiiiii abbcca， 且()()() iiiiii abbcca与| iiiiii abbcca奇偶性相同. 8 分 所以| iiiiii abbcca为偶数， 故( , )( ,)( ,)d A Bd B Cd A C为偶数， 10 分 所以( , ), ( ,), ( ,)d A B d A C d B C三个数不可能都是奇数， 即( , ), ( ,), ( ,)d A B d A C d B C三个数中一定有偶数. 14 - 15 - 分