实际问题与一元二次方程-第三课时-课件.pptx

1、0 0实际实际问题与一元二次方程问题与一元二次方程第三课时第三课时0 0知识回顾问题探究课堂小结（1）列方程解应用题的一般步骤：审，找，设，列，解，检验，答。（2）列方程解决应用问题的关键在于找到等量关系，从而建立方程求解。（3）正方形，长方形，三角形，圆等几何图形的周长及面积计算公式；长方体，正方体的体积及表面积计算公式。0 0知识回顾问题探究课堂小结探究一：面积体积问题活动1面积问题 例：如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程。（1）挂图长为_cm，宽为_cm。

2、（2）等量关系是：_。（80+2x）（50+2x）挂图面积为5400cm20 0知识回顾问题探究课堂小结如何列方程？解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；所以（80+2x）（50+2x）=5400，即4x2+160 x+4000+100 x=5400，所以4x2+260 x-1400=0。即x2+65x-350=0。【思路点拨】找出挂图的长和宽，根据其积为5400，即长宽=5400，列方程进行化简即可。探究一：面积体积问题0 0知识回顾问题探究课堂小结探究一：面积体积问题活动2体积问题 如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后

3、，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为x米：（1）用含x的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积。（2）请列出关于x的方程。0 0知识回顾问题探究课堂小结问题：（1）长方体运输箱底面的宽为xm，则长为_m，进而得到容积为_m3。（2）等量关系是：_。容积是15m3（x+2）x（x+2）如何列方程？解：（1）长方体运输箱底面的宽为x m，则长为（x+2）m。容积为x（x+2）1=x2+2x。（2）x2+2x=15。探究一：面积体积问题0 0知识回顾问题探究课堂小结问题：（1）设最短边为2x，另外两边长为

4、:_，_。（2）等量关系是：_。探究二：勾股定理中的一元二次方程活动1勾股定理的应用例：直角三角形的三边长是3个连续偶数，求这个三角形的三边长。直角三角形两直角边的平方和=斜边的平方2x+22x+4解：设最短边为2x，则另外两边的长为2x+2，2x+4，根据题意得：（2x）2+（2x+2）2=（2x+4）2；化为一般形式为：x2-2x-3=0。故x1=3，x2=-1（舍）所以三边长为 6，8，10。如何列方程求解？0 0知识回顾问题探究课堂小结探究二：勾股定理中的一元二次方程活动2航行问题中的勾股定理 例：如图所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海

5、里/时的速度由南向北移动，台风中心 海里的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里。若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。20 100 0知识回顾问题探究课堂小结解：若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会遇到台风。设t时刻，轮船行驶到C点，台风中心运动到E点，如图所示：则可知AC=20t，AE=100-40t，根据勾股定理得：EC2=AC2+AE2。问题：（1）设t时刻，轮船行驶到C点，此时AC=_；台风中心运动到E点，此时AE=_；（2）等量关系是：_。E

6、C2=AC2+AE220t 100-40t 如何列方程求解？0 0知识回顾问题探究课堂小结整理得出：t2-4t+3=0解得：t1=1，t2=3，求最初遇台风时间，t=1。答：点C在台风影响的范围内，会受到影响，轮船最初遇到台风的时间是行驶1小时。当EC=时，20 1022220 1020t10040t（）（）（）探究二：勾股定理中的一元二次方程0 0知识回顾问题探究课堂小结探究三：动点问题活动1三角形背景下的三角形面积 例：已知：如图，在ABC中，B=90，AB=5cm，BC=7cm。点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。（1）

7、如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，PQB的面积能否等于8cm2？说明理由。0 0知识回顾问题探究课堂小结问题：（1）设经过x秒钟，BQ=_，BP=_。（2）等量关系是：_。BP2+BQ2=PQ22x5-x如何列方程求解？解：（1）设：经过x秒以后PBQ面积为6，12（5-x）2x=6整理得：x2-5x+6=0解得：x=2或x=3答：2或3秒后PBQ的面积等于6cm2。探究三：动点问题0 0知识回顾问题探究课堂小结（2）当PQ=5时，在RtPBQ中，BP2+BQ2=PQ2

8、，（5-x）2+（2x）2=52，5x2-10 x=0，x（5x-10）=0，x1=0，x2=2，当x=0或2时，PQ的长度等于5cm。（3）设经过x秒以后PBQ面积为8，整理得：x2-5x+8=0PQB的面积不能等于8cm2。12（5-x）2x=8探究三：动点问题253270 0 0知识回顾问题探究课堂小结 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm。动点P、Q都从点C同时出发，点P沿CB方向做匀速运动，点Q沿CDA方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。若点P以1cm/s速度运动，点Q以 cm/s的速度运动，连接BQ

9、、PQ。当时间t为_秒时，BQP的面积为24cm2。探究三：动点问题活动2四边形背景下的三角形面积2 20 0知识回顾问题探究课堂小结此时，BP=_，QG=_。问题：整个运动过程中有几种情况？两种情况的时间的分界点是多少？4s。分两种情况讨论：点Q在CD上；点Q在DA上。14-t2t 问题：当Q在CD上，要表示BPQ的面积，需要知道它的底和高。若以BP为底，则需要做什么辅助线？过Q点作QGBC于G探究三：动点问题0 0知识回顾问题探究课堂小结 问题：当Q在AD上，要表示BPQ的面积，需要知道它的底和高。若以BP为底，则需要做什么辅助线？过Q点作QGBC于G此时，BP=_，QG=_。如何列方程求

10、解？14-t8探究三：动点问题0 0知识回顾问题探究课堂小结解：当点P、Q运动的时间为t（s），则PC=t如图，当点Q在CD上时，过Q点作QGBC，垂足为点G，则QC=。2 2t又DH=HC，DHBC，C=45。在RtQCG中，由勾股定理可得QG=2t。又BP=BC-PC=14-t，SBPQ=14t-t2。12BP QG11422tt（）当Q运动到D点时所需要的时间S=14t-t2（0t4），当S=24时，14t-t2=24，解得：t1=2，t2=12（舍）。8 242 22 2CDt 探究三：动点问题0 0知识回顾问题探究课堂小结如图，当点Q在DA上时，过Q点作QGBC，垂足为点G。则：QG

11、=AB=8cm，BP=BC-PC=14-t，当Q运动到A点时所需要的时间 S=56-4t当S=24时，56-4t=24解得：，舍去=56-4t。SBPQ=12BP QG11482t（）8 263 2422 22 2CDADt3 2(44)2t 3 28 42t 综上 ，当t=2时，S=24。探究三：动点问题0 0知识回顾问题探究课堂小结【思路点拨】由于点P在线段CB上运动，而点Q沿CDA方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：点Q在CD上；点Q在DA上。针对每一种情况，都可以过Q点作QGBC于G。由于点P、Q运动的时间为t（s），可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度，然后根据三角形的面积公式列

12、出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围，根据面积为24cm2，列出方程，解方程并结合t的范围取舍。探究三：动点问题0 0知识回顾问题探究课堂小结探究四：几何问题训练活动1基础型例题 例：在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地。若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少？（只列方程）解：设修建的路宽为x米。余下的面积表示为：2030-（30 x+20 x-x2）米2，根据题意可知：矩形地面所修路面积=耕地面积，依此列出等量关系：余下的面积表示为 2030-（30 x+20 x-x2）米2，则根据题意得：2030-（30 x+20 x-x2）=551。0

13、0知识回顾问题探究课堂小结 练习：如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A21cm2 B16cm2C24cm2 D9cm2 解：设AB=xcm，AD=（10-x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2，正方形ADGH的面积为（10-x）2cm2。根据题意得 x2+（10-x）2=68，整理得 x2-10 x+16=0。解之得 x1=2，x2=8，所以AB=2cm，AD=8cm或AB=8cm，AD=2cm，综上可求矩形ABCD的面积是16cm2。B探究四：几何问题训练

14、0 0知识回顾问题探究课堂小结探究四：几何问题训练活动2提升型例题 例：已知ABC中，A=30，B=45，ABC的面积为 ，若AC=m，则m的值为（）A1 B2 C D31223解：如图：作CDAB于点D，A=30，B=45，AC=m，CD=BD=22ACm 由勾股定理得：32ADm AB=AD+BD=312m解得：m=2或m=-2（舍去），m=2。13122AB CD131312222mmB0 0知识回顾问题探究课堂小结 练习：甲、乙两船同时从A港出航，甲船以30千米/时的速度正北航行，乙船以比甲船快10千米/时的速度向东航行，几小时后两船相距150千米？可列方程_。解：设x小时后两船相距1

15、50千米，则AC=30 x，AB=40 x，列方程得（30 x）2+（40 x）2=1502。【思路点拨】画出相应图形后，易得两船相距的路程，甲航线路程，乙航行路程组成以两船相距的路程为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解即可。探究四：几何问题训练0 0知识回顾问题探究课堂小结探究四：几何问题训练活动3探究型例题 例：等腰ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D。设P点运动时间为t，PCQ的面积为S。（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，SPC

16、Q=SABC？（3）作PEAC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。0 0知识回顾问题探究课堂小结解：（1）当t10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10-t。211101022Stttt 当t10秒时，P在线段AB的延长线上，此时CQ=t，PB=t-10。211101022Stttt（2）SABC=1502AB BC当t10秒时，SPCQ=2110502Stt整理得 t2-10t-100=0 解得55 5t（舍去负值）。当t 10秒时，SPCQ=2110502Stt 当点P运动 秒时，SPCQ=SABC55 5整理得 t2-10t+100=0，无解。探究四：

17、几何问题训练0 0知识回顾问题探究课堂小结（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。证明：过Q作QMAC，交直线AC于点M，易证APE QCM。AE=PE=CM=QM=四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半。又 EM=AC=当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。22t10 2 DE=5 2同理，当点P在点B右侧时，DE=5 2综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。探究四：几何问题训练0 0知识回顾问题探究课堂小结【思路点拨】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=QCPB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系

18、；另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答。12探究四：几何问题训练0 0知识回顾问题探究课堂小结 练习：如图所示，在矩形ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，G为边AB上一点，GB=1cm，动点E、F同时从点D出发，点F沿射线DGGBBC运动到点C时停止，点E沿DC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若E、F同时运动ts时，DEF的面积为5cm2，则t的值为_。【思路点拨】分三种情况：点F在DG上；点F在BG上；点F在BC上；根据等量关系：DEF的面积为5cm2，列出方程求解即可。探究

19、四：几何问题训练0 0知识回顾问题探究课堂小结解：在RtADG中，DG=223(5 1)5点F在DG上，依题意有：13525tt点F在BG上，依题意有：15 37.552 解得 （负值舍去）5 63t 因此，当F在BG上时，DEF的面积不可能等于5。点F在BC上，依题意有：153(6)52t 解得 t=7。所以t的值为 或7。5 63探究四：几何问题训练0知识回顾问题探究课堂小结（1）在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程的方法来解决，体现数学建模的思想。（2）根据实际情况验证结果的合理性。知识梳理0重难点归纳知识回顾问题探究课堂小结（1）几何问题转化为方程来解决，体会数形结合的思想。（2）动点问题中常用动点运动路径来表示边长，进而通过几何关系寻找等量关系。0 0谢谢 谢谢