2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题.docx

1、2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题1如图，在中，动点P从A出发，沿射线方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点同时出发，以每秒4个单位的速度在线段上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P，Q两点同时停止运动以为边作正方形（P，Q，E，F按逆时针排序），以为边在上方作正方形(1)求的面积(2)设点P运动时间为t，正方形的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由(3)请求出当t为何值时，正方形的某个顶点（点Q除外）落在直线上2在一堂数学实践课上，赵老师给出了下列问题：(1)【提出问题】如图1，在中，E是的中点，P是的中点，就称是的“双中线”，则_(2

2、)【探究规律】在图2中，E是正方形一边上的中点，P是上的中点，则称是正方形的“双中线”，若则的长为_（按图示辅助线求解）；(3)在图3中，是矩形的“双中线”，若，请仿照（2）中的方法求出的长，并说明理由；(4)【拓展应用】在图4中，是平行四边形的“双中线”，若求出的周长，并说明理由？3【问题背景】如图1，在矩形中，点M，N分别在边，上，且，连接，点P在上，连接并延长至点Q，使，连接【尝试初探】求证：；【深入探究】若，点P为中点，连接，求证：；【拓展延伸】如图2，在正方形中，点P为对角线上一点，连接并延长至点Q，使，连接，若，求的值（用含n的代数式表示）4根据下列题目要求，解答下列问题：(1)如

3、图1，已知正方形和正方形，连接、求证(2)如图2，在矩形中，已知矩形矩形，相似比为，连接、，延长交于M探究线段与的数量关系(3)如图3，已知矩形矩形，连接、，发现线段、存在这样的数量关系：，请你对这个数量关系加以证明5问题情境：如图1，在正方形中，为边上一点不与点、重合，垂直于的一条直线分别交、于点、则、之间的数量关系为问题探究：在“问题情境”的基础上如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接，并延长交边于点求的度数；如图3，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处，若正方形的边长为，的中点为，求的最小值问题拓展：如图4，在边长为的正方形中，点、分别为边、上的点，将正方形沿

4、着翻折，使得的对应边恰好经过点，交于点分别过点、作，垂足分别为、,若，请直接写出的长6如图，在锐角中，过点A作于点D，过点B作于点E，与相交于点H，连接的平分线交于点F，连接交于点G(1)求证：(2)试探究线段，之间的数量关系；(3)若，求的长7定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”如图，在与中，且，所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为，连接，则称为“关联比”下面是小颖探究“关联比”与之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：(1)当与为“关联等腰三角形”，且时，在图2中，若点E落在上，则“关联比”；在图3中，探究与的关系

5、，并求出“关联比”的值(2)如图4，当与为“关联等腰三角形”，且时，“关联比”时，将绕点A顺时针旋转60，线段扫过的面积是(3)迁移运用如图5，与为“关联等腰三角形”若，点P为边上一点，且，点E为上一动点，当点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为8【探究发现】如图1，正方形的对角线交于点，是边上一点，作交于点学习小队发现，不论点在边上运动过程中，与恒全等，请你证明这个结论；【类比迁移】如图2，矩形的对角线交于点，是延长线上一点，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，求的值；【拓展提升】如图3，等腰中，点是边上一点，以为边在的上方作等边，连接，取的中点，连接，当时，直接写出的长9（1

6、）问题探究：如图1，在正方形，点，分别在边，上，于点，点，分别在边、上，判断与的数量关系：_；推断：的值为：_；（无需证明）（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用1：如图3，四边形中，点，分别在边、上，求的值（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接，若，求的长10【阅读感悟】数学解题的一个重要原则是对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法【知识方法】（1）如图1，在与中，连接、，则

7、与的数量关系是_；【类比迁移】（2）如图2，正方形与正方形共用点D，连接、，试探究、之间的数量关系，并说明理由：（3）如图3，在与是等边三角形，可以绕点C旋转，连接、若，当四边形是平行四边形时，则线段的长是_；【拓展应用】（4）如图4，点P是矩形边上的动点，连接，将绕点P顺时针旋转至，交于点G，将绕点P顺时针旋转至，连接、若，求四边形面积的最小值11小蒙在学习正方形时进行以下研究：(1)如图（1），在正方形中，点，分别在边上，于点，发现了，小蒙思考若点分别在正方形的上，保持，如图（2）所示，结论还成立吗?请说明理由，（提示：过点作可构造）(2)类比探究：如图（3），在矩形中，（为常数），点分别

8、在边上，于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：如图（4），将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点若，则的长为_；点到的距离为_12如图，在与中，点D在上(1)如图1，若点F在的延长线上，连接，探究线段、之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若点D与点A重合，且，将绕点D旋转，连接，点G为的中点，连接，在旋转的过程中，求的最小值；(3)如图3，若点D为的中点，连接、交于点M，交于点N，且，请直接写出的值13如图，为等边的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接，(1)求证：是的平分线；(2)设线段的长为x，请你通过计算用含

9、x的代数式表示四边形的面积S；(3)若点M，N分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点D的运动，的周长的最小值也会发生变化，则在周长的所有最小值中的最大值为_14在正方形中，点为正方形内一点，过点将绕点逆时针旋转，得到，延长，分别交，于、两点，交的延长线于点(1)数学兴趣小组探究发现，如图，连接，当点移动时，总有，请你证明这个结论；(2)如图，连接，若，请直接写出线段、的数量关系为_；(3)如图，在的条件下，连接，若，的面积为，求的长15在正方形中，点是对角线上一点，连接（），过作交直线于点(1)如图1，当时，求的长：(2)如图2，在边上

10、有一点，连接，满足，试探究与的数量关系，并说明理由：(3)如图3，在（2）的条件下，若，为直线上一点，连接，将沿着翻折得到，连接，点为的中点，当最小时，请直接写出的值16（1）模型建立：如图1，在中，D是上一点，求证：（2）类比探究：如图2，在菱形中，分别为上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N，若求：的长；的长（3）解决问题：如图3，在菱形中，点E为的中点，在平面内存在点F，且满足，以为一边作（顶点F、A、P按逆时针排列），使得，且，请直接写出的最小值17解答题(1)如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，若，则的值为_；(2)如图2，在矩形中，点是上的一点，连接，若

11、，则的值为_；【类比探究】(3)如图3，在四边形中，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：【拓展延伸】(4)如图4，在中，将沿翻折，点落在点处，得到，点，分别在边，上，连接，若，则的值为_18【问题提出】如图（1），在菱形ACBM和菱形DCEN中，ACBDCE60，点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？【问题探究】（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立【问题拓展】（3）如图（3

12、），在平行四边形ACBM和平行四边形DCEN中，ACBDCE60，BCkAC，ECkDC（k是常数），点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F写出一个等式来表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明你的结论参考答案：1(1)12；(2)S存在最小值，；(3)t的值为或1或2(1)(2)(3)，(4)的周长为，3（3）4(2)5问题情境：问题探究：（1）；（2）2问题拓展：6(2)(3)7(1)；“关联比”的值为；(2)；(3)8；29 （2），（3）（4）10(1) (2) (3) (4) 11(1)结论还成立，(2)，(3)；12(1)，(2)的最小值是(3)13(2)(3)14(2)(3)15(1)(2)(3)16（2）；（3）17(1)1(2)(4)18（1）BF-AFCF；（3）13