定积分的应用习题课课件.ppt

1、定积分的应用习题课定积分的应用习题课微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名称释译名称释译所求量所求量的特点的特点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式一、主要内容一、主要内容1 1、理论依据、理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定积分定积分的微分的的微分的分就是分就是这表明连续函数的定积这表明连续函数的定积于是于是即即的一个原函数的一个原函数是是则它的变上限积分则它的变上限积分上连续上连续在在设设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 2 2、名称释译、名称释译.)()(:)()(,)2(方法称微元法方法称微元法

2、计算积分或原函数的计算积分或原函数的这种取微元这种取微元积分积分的无限积累的无限积累到到从从就是其微分就是其微分所求总量所求总量知知由理论依据由理论依据dxxfdxxfUbadxxfdUAba （1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）U对对于于区区间间 ba,具具有有可可加加性性，就就是是说说，如如果果把把区区间间 ba,分分成成许许多多部部分分区区间间，则则U相相应应地地分分成成许许多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf)(；就可以考虑用定积分来表达这个量就

3、可以考虑用定积分来表达这个量U.3 3、所求量的特点、所求量的特点1)根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的的变变化化区区间间,ba；2）设设想想把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，取取其其中中任任一一小小区区间间并并记记为为,dxxx，求求出出相相应应于于这这小小区区间间的的部部分分量量U 的的近近似似值值如如果果U 能能近近似似地地表表示示为为,ba上上的的一一个个连连续续函函数数在在x处处的的值值)(xf与与dx的的乘乘积积，就就把把dxxf)(称称为为量量U的的元元素素且且记记作作dU，即即dxxfdU

4、)(；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量U4 4、解题步骤、解题步骤5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形abab如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终

5、点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数 dA2)(21xo d)(r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形(2)体积体积xdxx xyodxxfVba2)(dyyVdc2)(xyo)(yx cdxo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )(t其其中中)(),(tt

6、 在在,上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为)()(rr 弧长弧长 drrs )()(22(4)旋转体的侧面积旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy ,0)(badxxfxfS)(1)(22侧侧(5)细棒的质量细棒的质量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)(6)转动惯量转动惯量abxyxdxx o babayydxxxdII)(2)(为为线线密密度度x(7)变力所作的功变力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(8)水压力水压力xyoabxdxx )(xf babadxx

7、xfdPP)()(为为比比重重(9)引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)(.0 xF)(为引力系数为引力系数G(10)函数的平均值函数的平均值 badxxfaby)(1(11)均方根均方根 badxxfaby)(12二、典型例题二、典型例题例例1 1.3;2;1)0(sincos00033体积及表面积体积及表面积体体它绕轴旋转而成的旋转它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它的弧长它所围成的面积它所围成的面积求求星形线星形线已知已知 ataytaxa aoyx解解.10A设面积为设面积为由对称性由对称性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtt

8、tata 20642sinsin12dttta.832a .20L设弧长为设弧长为由对称性由对称性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a.,30VS 体积为体积为设旋转体的表面积为设旋转体的表面积为由对称性由对称性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 例例2 2?,)2(;)0()1(.至少需作功多少至少需作功多少若再将满池水全部抽出若再将满池水全部抽出面上升的速度面上升的速度时水

9、时水求在池中水深求在池中水深内注水内注水的半球形水池的半球形水池的流量往半径为的流量往半径为以每秒以每秒RhhRa oxyRh解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.).0()(222RyRRyx 半圆的方程为半圆的方程为于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有).0(2)(2222RyyRyRyRx 时水池内水的体积为时水池内水的体积为为为的球缺的体积即水深的球缺的体积即水深故半球内高为故半球内高为的立体的立体轴旋转而成轴旋转而成圆绕圆绕因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(,th时已注水的时间为时已注水的时间为又设水深又设水深

10、,)(athV 则有则有atdyyRyh 02)2(即即得得求导求导两边对两边对,t,)2(2adtdhhRh 故所求速度为故所求速度为.)2(2hRhadtdh .)2(所需的功所需的功水全部提升到池沿高度水全部提升到池沿高度需的最小功即将池内需的最小功即将池内将满池的水全部抽出所将满池的水全部抽出所的功约为的功约为所需所需降到降到抽水时使水位从抽水时使水位从dyyRyy )0()1(),(2水的比重水的比重 yRdyx,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即功元素即功元素故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 RdyyRyRyW02)(2(

11、RdyyRyyR0322)32(.44R 例3:如图,平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解:取x为积分变量,变化区间为R,R,在R,R 上任取一点x,过x作垂直于x轴的平面截立体,截面的面积 tan)(21tan21)(22xRyyxARRoxyyx222RyxRRdxxAV)(RRdxxRtan)(2122RRxxR3tan2132tan323R.32:423的长度的一段弧到从上相应于计算曲线例baxxy 解:21xy dxxdxyds112弧长元素232323)1()1(32)1(321 abxdxxsbaba弧长oyxba2332xy,

12、)(kxxf 101)(dxxfw,2k.)(0 hhdxxfw例例5 5 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作厘米，若每次锤击所作的功相等，问第的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？n设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为解解 hhkxdxw0,22kh

13、 1nwwh 22kh,2kn ,nh .1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等例例 6 6 有一长度为有一长度为 l、线密度为、线密度为 的均匀细棒，的均匀细棒，在其中垂线上距棒在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为单位处有一质量为 m 的质点的质点 M，计算该棒对质点，计算该棒对质点 M 的引力的引力 2l2l xyoMa取取y为积分变量为积分变量取取任任一一小小区区间间,dyyy,2,2 lly,dy rydyy 小段的质量为小段的质量为将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点建立坐标

14、系如图建立坐标系如图解解小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar ,22yadymkF ,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm .0 yF由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为水平方向的分力元素水平方向的分力元素引力引力例例7 7.,4,20,3050,的静压力的静压力求闸门一侧所受的水求闸门一侧所受的水米米顶部高出水面顶部高出水面如果闸门如果闸门米米高为高为米米米和米和分别为分别为梯形的上下底梯形的上下底如图所示如图所示一等腰梯形闸门一等腰梯形闸门解解xyo164 xdxx AB如图建立坐标系如图建立坐标系,的方程为的方程为则梯形的腰则梯形的腰 AB.2321 xy此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为 160)2321(2dxxgxP 16023)233(xxg )25623409631(g g 67.4522).(1043.47牛牛 ,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形22)(xRhyhxA dxxRhVRR 22.212hR 取坐标系如图取坐标系如图解解底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积