大学微积分课件(教学课件版).pptx
- 【下载声明】
1. 本站全部试题类文档,若标题没写含答案,则无答案;标题注明含答案的文档,主观题也可能无答案。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
2. 本站全部PPT文档均不含视频和音频,PPT中出现的音频或视频标识(或文字)仅表示流程,实际无音频或视频文件。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
3. 本页资料《大学微积分课件(教学课件版).pptx》由用户(晟晟文业)主动上传,其收益全归该用户。163文库仅提供信息存储空间,仅对该用户上传内容的表现方式做保护处理,对上传内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知163文库(点击联系客服),我们立即给予删除!
4. 请根据预览情况,自愿下载本文。本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
5. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007及以上版本和PDF阅读器,压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 大学 微积分 课件 教学
- 资源描述:
-
1、定积分第一节 定积分的概念与性质1abxyoA?曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线 y f(x)(f(x)0)、x轴与两条直轴与两条直线线x a、x b所围所围成成.实例实例1 1 (求曲(求曲边梯边梯形形的面积)的面积)一、问题的提出y f(x)2abxyxoabyo用矩形面积近用矩形面积近似似取取代代曲曲边边梯梯形形面面积积显然,小矩形显然,小矩形越越多多,矩矩形形总总面面积积越越接接近近 曲边梯形面积曲边梯形面积(四(四个小矩形)个小矩形)(九(九个小矩形)个小矩形)3曲边梯形如图曲边梯形如图所所示示,在在区区间间a,b内内插插入若入若干干 个个分分点点,a x0 x1 x2 xn 1
2、 xn b,oaxi 1 i xixn 1 bxyx1把把区区间间a,b 分分成成 n 个个小小区区间间 xi 1,xi,长长度度为为 xi xi xi 1;在每个小区在每个小区间间 xi 1,xi 上任取一上任取一点点 ,i以以 xi 1,xi 为底为底,f(i)为高的为高的小小矩形矩形面面积为积为Ai f(i)xi4nA f(i)xii 1当分割无限加细,记小区间的最大长度 或者(x)x maxx1,x2,xn 趋近于零(x 0或者 0)时,曲边梯形面积曲边梯形面积的的近近似似值值为为曲边梯形面积曲边梯形面积为为 A lim f(i)xin 0 i 15实例实例2 2 (求变(求变速直速直
3、线线运动的运动的路路程)程)设某物体作直设某物体作直线运线运动动,已知已知速速度度v v(t)是是时间间时间间隔隔 T1,T2 上上 t 的一个连续函数,的一个连续函数,且且 v(t)0,求物体在这段时间内所经过的路程,求物体在这段时间内所经过的路程思路思路:把整段:把整段时时间间分分割割成成若若干干小小段段,每每小小段上段上 速度看作不变速度看作不变,求求出出各各小小段段的的路路程程再再相相加加,便,便 得到路程的近得到路程的近似似值值,最最后后通通过过对对时时间间的的无无限细限细 分过程求得路分过程求得路程程的的精精确确值值6(1)分割)分割T1 t0 t1 t2 tn 1 tn T2 t
4、i ti ti 1 si v(i)ti部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度(2)求和)求和ns v(i)tii 1 max t1,t2,tn(3)取极限)取极限s lim v(i)tin 0 i 1路程的精确值路程的精确值7定定义义 设函设函数数 f(x)在在a,b上有上有界界,在在a,b中中任任意意插插入入记记 x maxx1,x2,xn,如如果果不不论论对对a,b若干若干个个分分点点a x x x x x b012n 1n把区把区间间a,b分分成成n个个小小区区间间,各小各小区区间间的的长长度度依依次次为为 xi xi xi 1,(i 1,2,),在各在各小小区区间间上上任任取取一
5、一点点 i(i xi),作乘作乘积积 f(i)xin并作并作和和S f(i)xi,i 1(i 1,2,)二、定积分的定义8怎样怎样的的分分法法,也不也不论论在在小小区区间间 xi 1,xi 上上 a积分下限积分下限f(x)dx I lim f(i)xibn 0 i 1被被 积积 函函 数数被被 积积 表表 达达 式式积积 分分 变变 量量a,b 积积分分区区间间点点 i 怎怎样样的的取取法法,只要只要当当 x 0 时时,和和S 总总趋趋于于确定确定的的极极限限I,我们称这个极我们称这个极限限 I 为函为函数数 f(x)在区在区间间a,b上上的的定定积积分分,记为记为积分上限积分上限积分和积分和
6、9注意:注意:(1)积分值仅积分值仅与与被积函被积函数数及积分及积分区区间有关间有关,而与积分而与积分变变量的字量的字母母无无关关.abbf(x)dx af(t)dt af(u)dub(2)定定义义中中区区间间的的分分法法和和 i 的的取取法法是是任任意意的的.(3 3)当函当函数数 f(x)在区在区间间a,b上的定积分存上的定积分存在在时时,称称 f(x)在区在区间间a,b上上可积可积.10当当函函数数 f(x)在在区区间间a,b上连续上连续时时,称称 f(x)在在区区间间a,b上可上可积积.定理定理1 1定理定理2 2设设函函数数 f(x)在区在区间间a,b 上有上有界界,且 只 有 有
7、限 个且 只 有 有 限 个 第 一第 一 类类 的的 间 断 点,间 断 点,则则 f(x)在在区区间间a,b上可上可积积.三、存在定理11f(x)0,af(x)dx Ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积f(x)0,af(x)dx A曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值bA1A2A3A4A4A2 A3f(x)dx A1b a四、定积分的几何意义12几何几何意义:意义:它它是是介介于于 x 轴、函轴、函数数 f(x)的的图图形形及及两两条条 直直线线 x a,x b 之之间间的的各各部分部分面面积的积的代代数数和和 在在 x 轴轴上上方方的的面积面积取取正号正号;在在 x 轴轴下下方方的的面面
8、 积积取取负负号号 13例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分x dx.102 解解 将将0,1n等等分分,分分点点为为x i,(i 1,2,n)ni小区小区间间 xi 1,xi 的的长长度度 xi取取 i xi,(i 1,2,n),(i 1,2,n)n1n f(i)xii 1 i xii 1n2x x,i 12 i in 14ni 1 n 2 i 1n i 2 n3 i 1 n 161n(n 1)(2n 1)n3 1 ,1 2 1 16 n n x 0 n x dx 102 xiin 0 i 1 lim 2 n lim 1 1 1 2 1 1.n n 6 315五、定积分 的性质1
9、6证证 a f(x)g(x)dxnb lim f(i)g(i)xi 0 i 1 lim f(i)xi lim g(i)xinn 0 i 1 0 i 1 af(x)dx a g(x)dx.(此性质可以(此性质可以推推广广到到有有限限多多个个函函数数作作和和的的情情况况)bbbbb性质性质1 1 a f(x)g(x)dx af(x)dx a g(x)dx.17 a kf(x)dx k af(x)dxk(bb为为常常数数).证证 a kf(x)dx lim kf(i)xibn 0 i 1 lim k f(i)xinni 1 0 k lim f(i)xi 0 i 1 k af(x)dx.b性质性质2
10、218 abcbf(x)dx af(x)dx cf(x)dx.补补充充:不:不论论 a,b,c的相对位置如的相对位置如何何,上式总成上式总成立立.例例 若若 a则则a b c,cf(x)dx af(x)dx b f(x)dxcb abf(x)dx af(x)dx b f(x)dxcccb af(x)dx cf(x)dx.(定积分对于(定积分对于积积分分区区间间具具有有可可加加性)性)性性质质3 3假假设设a c b19性质性质4 4 1 dx badx b a.b a则则 af(x)dx 0.b(a b)证证 f(x)0,f(i)0,(i 1,2,n)xi 0,n f(i)xi 0,i 1 m
11、ax x1,x2,xn i in 0 i 1f()x lim f(x)dx 0.ba性质性质5 5如果如果在在区区间间a,b上上 f(x)0,20例例 1 1比较积分比较积分值值 e dx 和和x 20 xdx 的大的大小小.20解解令令 f(x)ex x,x 2,0 f(x)0,(ex x)dx 0,0 2 e dx x 20 xdx,0 2 于于是是 e dx x 20 xdx.20 可以可以直接作直接作出出答案答案21性质性质5 5的的推论:推论:(1)如果在区如果在区间间a,b上上 f(x)g(x),证证f(x)g(x),g(x)f(x)0,a g(x)f(x)dx 0,a g(x)d
12、x af(x)dx 0,bbb于是于是f(x)dx bb ag(x)dx.a则则f(x)dx g(x)dx.(a b)bb a a22f(x)dx f(x)dx.(a b)b a ab证证 f(x)f(x)f(x),f(x)dx,f(x)dx f(x)dx b abb a a 即即f(x)dx f(x)dx.b a ab说明说明:|f(x)|在区在区间间a,b上上的的可积性是显然可积性是显然的的.性质性质5 5的的推论:推论:(2)23设设M 及及m分别是函数分别是函数证证a m f(x)M,a mdx af(x)dx a Mdx,bbbm(b a)f(x)dx M(b a).ba(此性质可用
13、(此性质可用于于估估计计积积分分值值的的大大致致范范围)围)曲边曲边梯形的面积梯形的面积 夹在两夹在两个矩形之间个矩形之间则则m(b a)f(x)dx M(b a).bf(x)在区在区间间a,b上的最大值及最小值,上的最大值及最小值,性质性质6 624解解f(x),sin xxx2x2f(x)x cos x sin x cos x(x tan x)0 x,42 f(x)在在,上上单单调调下下降降,4 2 故故 x 为极为极大点大点,x 为极为极小小点点,42例例2 不计算定积不计算定积分分 估估计计 的大小的大小dxx sin x 242424M f()2 2,m f()2,42 b a ,2
14、44 2 sin xdx 2 2 ,441 2sin xdx 2.x 2x25证证性质性质7 7(Th5.Th5.1 1 定积分第一中值定理)定积分第一中值定理)如果函如果函数数 f(x)在闭区在闭区间间a,b上连续,上连续,则在积分区则在积分区间间a,b上至少存在一上至少存在一个个点点 ,f(x)dx Mb a m ba1 m(b a)f(x)dx M(b a)ba由闭区间上连由闭区间上连续续函函数数的的介介值值定定理理知知使使 af(x)dx f()(b a).(a b)积分中值积分中值公式公式b26在区在区间间a,b上至少存在一个上至少存在一个点点 ,使使f(x)dx,1 f()b ab
15、af(x)dx f()(b a).b a(a b)积分中值公式积分中值公式的的几几何何解解释:释:在区在区间间a,b上至少存在一上至少存在一xoab 个个点点 ,使得以区使得以区间间a,b为为即即yf()以曲以曲线线 y f(x)底边,底边,为曲边的曲边梯为曲边的曲边梯形形的面积的面积 等于同一底边而等于同一底边而高高为为 f()的一个矩形的面的一个矩形的面积积。27ThTh5.25.2(推推广广的的积积分分第第一一中中值值定定理)理)如果函如果函数数 f(x),g(x)在闭区在闭区间间a,b上连续,上连续,且且 g(x)在闭区在闭区间间a,b上可积且不变上可积且不变号号,则在积分区则在积分区
16、间间a,b上至少存在一个上至少存在一个点点 ,使使f(x)g(x)dx f()g(x)dx当g(x)1时,即为Th5.1bbaa28六、积分上限函数及其导数设设函函数数 f(x)在在区区间间a,b上上连连续续,并且并且设设x 为为a,b上的一点上的一点,考察定积分考察定积分 ax xf(x)dx af(t)dt记记 (x)af(t)dt.x积分上限函数积分上限函数如如果上果上限限x 在区在区间间a,b上任意变动,则上任意变动,则对对于于 每一个取定每一个取定的的x 值,定积分有一值,定积分有一个个对应对应值值,所以,所以 它它在在a,b上定义了一上定义了一个个函数函数,29ax xbxyf(t
17、)dto定理定理 如如果果 f(x)在在a,b上连续,则积分上限上连续,则积分上限的的函函数数(x)f(t)dt 在在a,b上具上具有有导数,且它的导数,且它的导导x a数是数是f(t)dt f(x)(a x b)(x)dx d xa 证证 (x x)x x a (x x)(x)af(t)dt af(t)dtx x x(x)x(x)af(t)dt.x30 x x xbf(t)dtf(t)dt f(t)dt x ax x xx a xf(t)dt,x x由积分中值定由积分中值定理得理得 f()x x 0,x f(),xlim limf()x0 x0 x (x)f(x).o x,x x,axy(x
18、)31计算计算下列导数下列导数t 2etttcosxxxdtdxdx dedtdx dedtd111222(3)(2)(1)32补补充充如如果果 f(t)连续连续,a(x)、b(x)可导,可导,则则F(x)f(t)dt 的导的导数数F (x)为为b(x)a(x)证证F(x)f(t)dt a(x)b(x)0 0 f(t)dt 0b(x)0f(t)dt,a(x)F (x)f b(x)b(x)f a(x)a(x)f(t)dt f b(x)b(x)f a(x)a(x)F (x)dxb(x)a(x)d33例例1 1求求 limx0.21cos x2xedt t 解解 e t d 1cos x2dt dx
19、dt,cos xt 21 e dx d(cos x)cos2 x e,sin x e cos2 xx21cos xlimx02dte t 2x2sin x e cosx limx0.1 2e 00分析:分析:这是这是型不定式,应用洛型不定式,应用洛必必达达法法则则.34定理定理2 2(原(原函函数数存存在在定定理理)如如果果 f(x)在在a,b上连上连续续,则积则积分分上上限限的函的函数数(x)原函数原函数.f(t)dt 就就是是 f(x)在在a,b上的一个上的一个x a定理的重要意定理的重要意义:义:(1)肯定了连)肯定了连续续函函数数的的原原函函数数是是存存在在的的.(2)初步揭示)初步揭
20、示了了积积分分学学中中的的定定积积分分与与原原函函数之数之间的联间的联系系.35定定理理 3 3(微积分基本(微积分基本公公式式)如如果果F(x)是连续函是连续函数数 f(x)在区在区间间a,b上上b的一个原函数,的一个原函数,则则 f(x)dx F(b)F(a).a又又(x)f(t)dt 也也是是 f(x)的一个原函的一个原函数数,x a已已知知F(x)是是 f(x)的一个原函数,的一个原函数,F(x)(x)Cx a,b证证七 牛顿莱布尼茨公式36令令x aF(a)(a)C,(a)af(t)dt 0aF(a)C,f(t)dt F(x)F(a),xa F(x)f(t)dt C,xa令令 x b
21、 f(x)dx F(b)F(a).ba牛牛顿顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式37f(x)dx F(b)F(a)F(x)ba 微积分基本公微积分基本公式式表表明:明:一个连续函数在区一个连续函数在区间间a,b上的定积分等于上的定积分等于 它的任意一个原它的任意一个原函函数在区数在区间间a,b上的增上的增量量.求定积分问题求定积分问题转转化化为为求求原原函函数数的的问问题题.b a注意注意当当a b时时,f(x)dx F(b)F(a)仍仍成成立立.ba38例例4 4求求 2(2cos x sin x 1)dx.0 原式原式 20 2sin x cos x x 3 .2f(x)dx.例例5 5设设 f(x
展开阅读全文