多元函数的极值及求法课件.ppt
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- 关 键 词:
- 多元 函数 极值 求法 课件
- 资源描述:
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1、第八节第八节 多元函数的极值及求法多元函数的极值及求法二、条件极值拉格朗日乘数法二、条件极值拉格朗日乘数法一、多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值 设函数设函数),(yxfz=在点在点),(00yx的某邻域的某邻域内有定义,对于该邻域内异于内有定义,对于该邻域内异于 的点的点),(yx若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf 则称函数在则称函数在),(00yx有极有极小值;小值;极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点
2、),(00yx(1)(2)(3)例例1 1例例例例处有极小值处有极小值在在函数函数)0,0(4322yxz+=处有极大值处有极大值在在函数函数)0,0(22yxz+-=处无极值处无极值在在函数函数)0,0(xyz=2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件),(yx),(00yx证证 不妨设不妨设定理定理1(必要条件)(必要条件)设函数设函数),(yxfz=在点在点),(00yx具有偏导数,且具有偏导数,且在点在点),(00yx处有极值,则它在该点的偏导数必处有极值,则它在该点的偏导数必然为零:然为零:0),(00=yxfx,0),(00=yxfy.),(yxfz=在点在点),(0
3、0yx处有极大值处有极大值,则对于则对于),(00yx的某邻域内任意的某邻域内任意都有都有),(yxf),(00yxf,类类似似地地可可证证 0),(00=yxfy.推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu=在点在点),(000zyxP具有偏导数,则它在具有偏导数,则它在),(000zyxP有极值的必要条有极值的必要条件为件为 0),(000=zyxfx,0),(000=zyxfy,0),(000=zyxfz.说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx=处有极大值处有极大值,必有必有 0),(00=yxfx;故当故当0yy=,0 xx 时,时,有有 -BAC时具有极值,时具有
4、极值,当当0 A时有极小值;时有极小值;(2 2)02 =-BAC,0 A;5)0,1(-=f)2,1(在点在点 处,处,又又所以函数在所以函数在处有极小值处有极小值)2,1(,06122 -=-BAC,0)6(122 -=-BAC,0 +=yxyxxyA求偏导数得求偏导数得,0)2(22=-=xyAx.0)2(22=-=yxAx例例5 某工厂要用铁板做成一个体积为某工厂要用铁板做成一个体积为 的有盖长方的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省。料最省。解这方程组,得解这方程组,得,23=x.23=y 根据题意可知,水箱所
5、用材料面积得最小值一定存在,根据题意可知,水箱所用材料面积得最小值一定存在,并在开区域并在开区域 0,0),(=yxyxD内取得。又函数在内取得。又函数在内只有唯一的驻点内只有唯一的驻点D),2,2(33因此当因此当,23=x32=y时,时,A取得最小值。取得最小值。即当水箱的长为即当水箱的长为、m32宽为宽为、m23高高为为m2222333 时,水箱所用的材料最省。时,水箱所用的材料最省。24-xaax例例6 6 有一宽为有一宽为24cm的长方体铁板,把它两边折起来做成一断面的长方体铁板,把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽。问怎样折法才能使段面的面积最大。为等腰梯形的水槽。问怎样折法才
6、能使段面的面积最大。24xcm倾角为倾角为 则则各边长如图示,所求面积各边长如图示,所求面积sin)224cos2224(21xxxxA-+-=0)2222(cos2cos24,0cossin2sin4sin24=-+-=+-=nssicoxxxAxxAyx解解方程组得方程组得由由题义知这就是极大值点题义知这就是极大值点)(8,6030cmx=实例:实例:小王有小王有200200元钱,他决定用来购买两种急需物元钱,他决定用来购买两种急需物品:计算机磁盘和录音磁带,设他购买品:计算机磁盘和录音磁带,设他购买 磁盘,磁盘,盒盒录音磁带达到最佳效果,效果函数录音磁带达到最佳效果,效果函数为为 设每张
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