多元函数的基本概念课件.ppt

1、一、多元函数的概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限二、多元函数的极限三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性四、小结四、小结 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 设设),(000yxP是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点，是某是某一正数，与点一正数，与点),(000yxP距离小于距离小于 的点的点),(yxP的全体，称为点的全体，称为点0P的的 邻域，记为邻域，记为),(0 PU，（1）邻域）邻域0P),(0 PU|0PPP .)()(|),(2020 yyxxyx一、多元函数的概念一、多元函数的概念),(00 PU|00PPP .)()(0|),(2020 yyxxy

2、x（2）区域）区域.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE.EE 的内点属于的内点属于EP.为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集的的边边界界点点为为），则则称称可可以以不不属属于于，也也本本身身可可以以属属于于的的点点（点点也也有有不不属属于于的的点点，于于的的任任一一个个邻邻域域内内既既有有属属如如果果点点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连

3、通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41|),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41|),(22 yxyx例如，例如，xyo0|),(yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则称为无界点集为有界点集，否成立，则称对一切即，不超过间的距离与原点，使一切点如果存在正数对于点集EEPKOPKOPOEPKE41|)

4、,(22 yxyx（3）聚点）聚点 设设 E是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，P 是平面上的是平面上的一个点，如果点一个点，如果点 P 的任何一个去心邻域内总有的任何一个去心邻域内总有无限多个点属于点集无限多个点属于点集 E，则称，则称 P 为为 E 的聚点的聚点.1.内点是聚点；内点是聚点；2.边界点是聚点；边界点是聚点；10|),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点3.点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10|),(22 yxyx例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1|),(22 yxyx例如例如,边

5、界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（4）n维空间维空间 设设n为为取取定定的的一一个个自自然然数数，我我们们称称n元元数数组组),(21nxxx的的全全体体为为n维维空空间间，而而每每个个n元元数数组组),(21nxxx称称为为n维维空空间间中中的的一一个个点点，数数ix称称为为该该点点的的第第i个个坐坐标标.1.n维空间的记号为维空间的记号为;nR2.n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 3.n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|),

6、(00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3,2,1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点DyxP),(，变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）.（5）二元函数的定义）二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.多元函数中同样

7、有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 例：求下列函数的定义域例：求下列函数的定义域)1ln(),(122yxyxf）（1yx)y,x(0yx1)y,x()f(D2222 -有界开区域有界开区域3arcsin2arcsin),()2(yxyxf 3y,2x)y,x()f(D -有界闭区域有界闭区域)ln

8、(),()3(yxyxf 0yx)y,x()f(D -无界开区域无界开区域1)ln()4(22yxxyxyz 1yx,0 xy,xy)y,x()f(D22 例：例：),(1,0),(22yxfyxyxxyyxf），则（若22(,)(1,)xf x yfxyxy若，则)(,0),(2xfxzyyxfyxz则时当若（6）二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为D，对对于于任任意意取取定定的的DyxP),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz ，这这样样，以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空间间就就确确定

9、定一一点点),(zyxM，当当x取取遍遍D上上一一切切点点时时，得得一一个个空空间间点点集集),(),(|),(Dyxyxfzzyx ，这这个个点点集集称称为为二二元元函函数数的的图图形形.（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:定定义义 1 1 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为),(,000yxPD是是其其聚聚点点，如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数

10、，总总存存在在正正数数，使使得得对对于于适适合合不不等等式式 20200)()(|0yyxxPP的的一一切切点点，都都有有|),(|Ayxf成成立立，则则称称 A A 为为函函数数),(yxfz 当当),(),(000yxpyxp趋趋于于时时的的极极限限，记记为为 Ayxfyxyx),(lim),(),(00 （或或)0(),(Ayxf这这里里|0PP ）.二、多元函数的极限二、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元

11、函数类似例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim2222)0,0(),(yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx ,0 ,当当 时，时，22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim222)0,0(),(yxyxyx 解解222)0,0(),()sin(limyxyxyx,)sin(lim22222)0,0(),(yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx22)0,0(),()sin(limuuusinlim0,1 222yxyx x21,00 x.0)sin(lim222)0,

12、0(),(yxyxyxyxu2 例：求下列极限xxysinlim)2(yx1lim)1()2,0()y,x(22)0,0()y,x(222)0,0()y,x(yxxy1sinxylim)3(,xy2yx)3(22 法一：法一：xy1sinyxxy0222 法二：法二：21xy2xyxy1sinyxxy22 0,y原式原式为无穷小量为无穷小量 0y21xy2xy2 0原式原式初等函数初等函数,极限值为函数值极限值为函数值等价无穷小替换等价无穷小替换有界变量乘无穷小量有界变量乘无穷小量夹限定理夹限定理例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证263)0,0(),(limyxyxyx 取取,3kxy

13、263)0,0(),(limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在确定极限不存在的方法:找两种不同趋近方式,使二重极限存在,但两者不相等;令p(x,y)沿某一定曲线趋向于 时,极限不存在.),(000yxp222222222,xyxyx yxyxyx y(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)求lim，证明：limlim不存在。定义定义 2 2 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0,PD是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数，总 存

14、在 正 数总 存 在 正 数，使 得 对 于 适 合 不 等 式，使 得 对 于 适 合 不 等 式|00PP的 一 切 点的 一 切 点DP ，都 有，都 有|)(|APf成立，则称成立，则称 A A 为为n元函数元函数)(Pf当当0PP 时的极限，记为时的极限，记为 APfPP)(lim0.n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数的形式有 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0,PD是其聚点且是其聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续.设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚

15、聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性定义定义3 3例例5 5 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最

16、大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理（3）有界定理）有界定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数必定上的多元连续函数必定有界有界多元初等函数：由常量及基本初等函数经过有多元初等函数：由常量及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个限次的四则运算和复合步骤所构成的

17、可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例6 6.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求多元函数极限的概

18、念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 A，能否，能否断定断定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0,0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41