复数的乘法与除法课件.ppt
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- 复数 乘法 除法 课件
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1、 5.3 复数的乘法复数的乘法 与除法与除法 一、复数的乘法与除法一、复数的乘法与除法1.复数乘法的法则复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得但必须在所得的结果中把的结果中把i2换成换成-1,并且把实部合并并且把实部合并.两个复数的积两个复数的积仍然是一个复数仍然是一个复数,即即:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.2.复数乘法的运算定理复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律配律.即对任何即对任何z1,z2,z
2、3有有z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.实数集实数集R中正整数指数的运算律中正整数指数的运算律,在复数集在复数集C中仍然成中仍然成立立.即对即对z1,z2,z3C及及m,nN*有有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.2)()(222abibabia 3:复数的一个重要性质复数的一个重要性质两个共轭复数两个共轭复数z,z的积是一个实数的积是一个实数,这个实数等于每一这个实数等于每一个复数的模的平方个复数的模的平方,即即z z=|z|2=|z|2.4:复数的除法法则复数的除法法则先把除式写成分式的形式先
3、把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分再把分子与分母都乘以分母的共轭复数母的共轭复数,化简后写成代数形式化简后写成代数形式(分母实数化分母实数化).即即).0()()(2222 dicidcadbcdcbdacdicbia5.共轭复数的乘除性质共轭复数的乘除性质:;_2_1_21zzzz .)(_2_1_21zzzz 6.一些常用的计算结果一些常用的计算结果|2121zzzz|2121zzzz(1)如果如果nN*有有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上事实上 可以把它推广到可以把它推广到nZ.(2)设设 ,则有则有:i2321 .01;12_23 事
4、实上事实上,与与 统称为统称为1的立方虚根的立方虚根,而且对于而且对于 ,也也有类似于上面的三个等式有类似于上面的三个等式._ _(3).11;11;1;2)1(2iiiiiiiiii 7.例题选讲例题选讲例例1.计算计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(1+2i)(3-4i)解解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(2)原式原式=.525125105434683)43)(43()43)(21(432122iiiiiiiiii 例例2:计算计算:(1)i+2i2+3i3+2019i2019;解解:原式原式=(i-2-3i
5、+4)+(5i-6-7i+8)+(2019i-2019-2019i +2019)=501(2-2i)=1002-1002i.(2)2003)11(3443iiii 解解:原式原式=.0)(34)34(2003 iiiiii(3)iiii212)1()31(63 解解:原式原式=.0)2321(121)12()2()31(3333 iiiiiiiiii练习练习:计算计算:.)2321)(2(;)12()22()1(65082002iiii 答案答案:(1)255-i;(2)1.例例3:已知复数已知复数 ,且且z2+az+b=1+i,求实数求实数 a,b.iiiz 2)1(3)1(2解解:iiii
6、iz 232332.151326)2)(2()2)(3(iiiiiii 所以所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即即-2i+a-ai+b=1+i,从而有从而有:(a+b)+(-a-2)i=1+i.43121 baaba练习练习2:已知已知z=1+i,(1)若若 ,求求 ;(2)若若 ;求求a,b的值的值.43_2 zz|),(1122Rbaizzbazz 答案答案:(1);(2)a=-1,b=2.2OABDxyOABCxy例例4:如图所示如图所示,平行四边形平行四边形OABC(O,A,B,C按逆时针方按逆时针方 向向)中中,各顶点对应的复数依次是各顶点对应的复数依次是zO=0,zA=a
7、+ai/2,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,(a,b为实数为实数),求求zC/zA的值的值.解解:因为因为OABC是平行四边形是平行四边形,.,CABzzzOCOAOB 即即.23)(32)(232aibaiaaibiaaia 即即.622332 baabaa.22226iiizzAC 例例5:已知复数已知复数z满足满足|z|=5且且(3+4i)z是纯虚数是纯虚数,求求 z.解解1:设设z=a+bi(a,bR),则则(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.由已知得由已知得).0(43034043 aabbaba代入代入a2+b2=|z|2=25,解得解得a2=16.当当a=4时
8、时,b=3,z=4+3i,所以所以z=4-3i;当当a=-4时时,b=-3,z=-4-3i,所以所以z=-4+3i.解解2:由已知可设由已知可设(3+4i)z=ki(kR且且k0).则则.25325443)43(4322ikkikiikiz .2525)253()254(,5|22 kkkz.3434),34(_iiziz 或或从从而而例例6:若若 是纯虚数是纯虚数,求求z的对应点的对应点Z的轨迹的轨迹.11 zz解解:设设 ,则则z-1=ki(z+1).)0,(11 kRkkizz.121111222ikkkkkikiz 设设z=x+yi(x,yR),则则).0,(1211222 kRkkk
9、ykkx消去消去k,得得x2+y2=1且且y0.所以所以z的对应点的对应点Z的轨迹是以原点为圆心的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆为半径的圆,除去圆与除去圆与x轴的交点轴的交点(1,0)和和(-1,0)二、重要性质的应用二、重要性质的应用公式公式z z=|z|2=|z|2在整个复数知识中占有十分重要的地在整个复数知识中占有十分重要的地位位,它既是共轭复数与复数模的桥梁它既是共轭复数与复数模的桥梁,又在处理复数为实又在处理复数为实数或纯虚数时的重要工具数或纯虚数时的重要工具.公式的变形公式的变形:;特别地特别地,当当|z|=1时时,.zzz2_|zz1_ 复数复数z为实数的几个充要条件为实数的几
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