复变函数-第6章-共形影射汇总课件.ppt
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1、本章学习目标 1、了解解析函数的导数的几何意义及保角映射的概念;2、掌握幂函数与指数函数映射的性质;3、掌握线性映射的性质和分式线性映射的保圆性和保对称性;4、会求一些简单区域之间的保角映射。6.1 解析函数的影射性质21.切线倾角的复数表示设 是一条连续曲线,其方程为 若 ,则在曲线 上的点 处的切线存在,且此切线的倾角为3C ttzz,ttz,0C 00tzz 0tzArg z 平面内的任一条有向曲线 C 可用表示,它的正向取为t增大时点z移动的方向,z(t)为一条连续函数.如果 ,则表示z(t)的向量(把起点放取在z0.以下不一一说明)与 C 相切于点z0=z(t0).4z(t0)z()
2、z()z(t0)ttzz,ttz,0ttzttz)()(00 事实上,如果通过C上两点P0与P的割线P0P的正向对应于t增大的方向,则这个方向与表示 的方向相同.5Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)ttzttztzt)()(lim)(0000 当点P沿C无限趋向于点P0,割线P0P的极限位置就是C上P0处的切线.因此,表示 的向量与C相切于点z0=z(t0),且方向与C的正向一致.如果我们规定这个向量的方向作为C上点z0处的切线的正向,则我们有1)Arg z(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;2)相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角
3、6设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f(z0)0.又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线,它的参数方程是:z=z(t),t,它的正向相应于参数t增大的方向,且z0=z(t0),z(t0)0,t0.则映射w=f(z)将C映射成w平面内通过点z0的对应点w0=f(z0)的一条有向光滑曲线G,它的参数方程是 w=fz(t),t 正向相应于参数t增大的方向.70zfArg 根据复合函数求导法,有 w(t0)=f(z0)z(t0)0因此,在G上点w0处也有切线存在,且切线正向与u轴正向的夹角是 Arg w(t0)=Arg f(z0)+Arg z(t0)8OxyOuvz0P0rz
4、PDsC(z)(w)Gw0Q0QwrDs 即 Arg w(t0)Arg z(t0)=Arg f(z0)(6.1)如果假定x轴与u轴,y轴与v轴的正向相同,而且将原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角,则(6.1)式表明:1)导数f(z0)0的辐角Arg f(z0)是曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角;2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.所以这种映射具有转动角的不变性.9 通过z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具有这样的性质,即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Arg f(z0).10OxyOuv
5、(z)(w)z0w0 相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性11OxyOuv(z)(w)z0w0C1C2G1G212 在与前面2的讨论作相同的假设条件下,容易得到即 的几何意义是映射 在点 的伸缩率,且此伸缩率具有不变性0zf 0lim0000zzzfzfzfzz0zf zfw0z13OxyOuvz0P0rzPDsC(z)(w)Gw0Q0QwrDsszfrssrzzzfzfzzwwzziiilim|)(|eee)()(00)(000
6、0ssrsr得 上式表明:|f(z)|是经过映射w=f(z)后通过点z0的任何曲线C在z0的伸缩率,它与曲线C的形状及方向无关.所以这种映射又具有伸缩率的不变性.14szfzzlim|)(|00s 综上,我们有定理6.1 设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f(z0)0,则映射w=f(z)在z0具有两个性质:1)保角性.即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变2)伸缩率的不变性.即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均为|f(z0)|而与其形状和方向无关.15 最后,我们给出共形映射的定义。定义定义 设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一的,
7、在z0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射w=f(z)在z0是共形的,或称w=f(z)在z0是共形映射.如果映射w=f(z)在D内的每一点都是共形的,就称w=f(z)是区域D内的共形映射.166.2 几个初等函数的映射性质17 这是一个平移映射(变换).因为复数相加可以化为向量相加,z沿向量b的方向平移一段距离|b|后,就得到w.在复平面处处保角将圆周映射为圆周18O(z)(w)zwhzwh这是一个旋转与伸长(或缩短)的叠加映射.设k=lei将z先转一个角度,再将|z|伸长(或缩短)l倍后,就得到w.在复平面处处保角19O(z)=(w)zwkzw k0kOPOP=r2,因为DOPT相似于DOPT
8、.因此,OP:OT=OT:OP,即OPOP=OT2=r2.20CPPrTOP与P关于圆周C互为对称点21zw1w1zw1该映射称为反演变换或倒数变换,它的相继施行两个对称变换的结果:一是关于单位圆周对称,二是关于实轴对称在复平面上除 外处处保角将圆周映射为圆周约定:将直线理解成半径为无穷大的圆周,则可说反演变换具有保圆周性0z221.幂函数 w=zn(n2为自然数)在z平面内除点 外处处保角将射线 映射成射线将圆周 映射成圆周将模相同而幅角相差 的整数倍的两个点映射为同一点把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的n 倍0z0argz0argnw 0rz nrw0n2
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