复变函数与积分变换第2章解析函数[精]课件.ppt

1、出版社 理工分社复变函数与积分变换页第第2 2章章 解析函数解析函数出版社 理工分社复变函数与积分变换页解析函数是具有某种特性的复变函数，它是复分析研究的主要对象之一，本章首先给出复变函数导数的定义，然后引入解析函数的概念及判别函数解析的方法，最后讨论初等解析函数及其性质出版社 理工分社复变函数与积分变换页 2.1解析函数的概念2.1.1复变函数的导数与微分(1)复变函数的导数把一元实变函数的导数概念形式推广到复变函数中来，就得到复变函数导数的概念.定义2.1设w=f(z)是定义在区域D内的复变函数，z0,z0+zD，若极限存在，则称f(z)在点z0可导，这个极限值称为f(z)在z0的导数，记

2、作出版社 理工分社复变函数与积分变换页即式（2.1）意味着 0，=()0，使得当0|z|0，使得当0|zz0|0时，有出版社 理工分社复变函数与积分变换页出版社 理工分社复变函数与积分变换页出版社 理工分社复变函数与积分变换页（2）复变函数的微分下面将一元实变函数的微分概念推广到复变函数，得到定义2.2设函数w=f(z)在点z0的某邻域 内有定义，A是一个复常数若在N(z0)内有其中 是关于z的高阶无穷小，即 ，则称函数w=f(z)在点z0可微，w的线性部分Az称为函数w在点z0的微分，记为出版社 理工分社复变函数与积分变换页特别是当w=z时，dz=z，于是式(2.2)可表示为容易证明，如果函

3、数w=f(z)在点z0可导，则一定在该点可微，反之亦然，并且微分与导数有如下关系：因此,导数也称为微商出版社 理工分社复变函数与积分变换页下面我们列出复变函数导数的运算法则，其证明方法与微积分中方法类似.如果函数f(z)，g(z)在区域D内可导，则在对任意zD有设函数=g(z)在区域D内可导，w=f()在区域G内可导，且对于D内每一点z，函数值=g(z)均在区域G内，则对任意zD有设w=f(z)在区域D内可导且f(z)0，G为w=f(z)的值域，若z=(w)是w=f(z)的单值反函数，且在G上连续，则z=(w)在G上可导，且出版社 理工分社复变函数与积分变换页2.1.2解析函数在很多理论和实际

4、问题中，需要研究的是区域内的解析函数，下面给出定义.定义2.3若函数w=f(z)在区域D内可导，则称f(z)在区域D内解析；若存在区域G，使得闭区域 ，且f(z)在区域G内解析，则称f(z)在闭区域D上解析；若函数w=f(z)在点 的某个邻域内解析，则称f(z)在点 处解析显然，函数f(z)在区域D内解析的充分必要条件是它在区域D内每一点都解析.出版社 理工分社复变函数与积分变换页若函数w=f(z)在区域D内的解析，也称f(z)为区域D内的解析函数或D内的正则函数，特别地，在全平面上解析的函数称为整函数.函数w=f(z)的不解析点，称为f(z)的奇点由例2.1知，函数 在 上可导，因而在 上的

5、解析，从而是一个整函数由例2.2可知，函数 在 上处处不可导，因此,z在 上处处不解析，即 上所有点都是z的奇点.出版社 理工分社复变函数与积分变换页例2.3考察函数 的可导性与解析性解由例2.1、例2.2知 在C 上可导，在 上处处不可导，从而由导数的运算法则知，函数f(z)=在z0时不可导.当z=0时,可得即 在z=0处可导综上所述，函数f(z)=仅在z=0可导，故在全平面C上处处不解析由复变函数的求导法可推出解析函数的以下性质:出版社 理工分社复变函数与积分变换页定理2.1解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是解析函数.设函数=g(z)在区域D内解析，w=f()在区域G内解析，且 z

6、D，函数值=g(z)均在区域G内，则fg(z)在区域D内解析.设w=f(z)在区域D内解析且f(z)0，G为w=f(z)的值域，若z=(w)是w=f(z)的单值反函数，且在G上连续，则z=(w)在G上解析.由此可知，多项式是全平面上的解析函数；有理分式函数（其分子与分母是互质多项式）在分母不为零的点处是解析的出版社 理工分社复变函数与积分变换页2.2C.-R.条件有例子表明，即便u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微，甚至有连续偏导数也不能保证f(z)的可导性，比如函数f(z)=的实部u(x,y)=x,虚部v(x,y)=y,它们在任意一点(x,y)处都有任意阶连续偏导数，但由本章例2.2

7、可知，复函数f(z)=在任意一点z=x+iy处都不可导.当函数f(z)可导时，它的实部与虚部并不是独立的，而是有一定的依赖关系，由此可得到下述定理：出版社 理工分社复变函数与积分变换页定理2.2f(z)=u(x,y)+i(x,y)在某点z=x+iy可导的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微；在点(x,y)处有此时f(z)的导数为称式(2.3)为柯西黎曼（Cauch-Riemann）方程，或简称为C.-R.条件出版社 理工分社复变函数与积分变换页证必要性记z=x+iy，f(z+z)f(z)=u+iv，f(z)=a+ib，若f(z)在点z=x+iy可微，则有其中 ，且 根据

8、复数相等的意义，得出版社 理工分社复变函数与积分变换页由此说明u(x,y)与v(x,y)在点z=x+iy可微，并且在点z=x+iy有即满足C.-R.条件式(2.3)充分性因为u(x,y)与v(x,y)在点z处可微，所以有出版社 理工分社复变函数与积分变换页由C.-R.条件式(2.3)及上述两式有将上式两端同除以z，并让z0，即得因此,函数f(z)在点z处可导且式（2.4）成立.出版社 理工分社复变函数与积分变换页下面例子表明将定理2.1中条件减弱为u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处存在偏导数且满足C.-R.条件，则不能保证f(z)存在例2.4证明 的实部、虚部在点(0,0)处偏导数存在

9、且满足C.-R.条件，但f(z)在点z=0处不可导事实上，此时 v(x,y)=0，所以在点z=0处有出版社 理工分社复变函数与积分变换页即函数 在点z=0处满足C.-R.条件式(2.3).但由于不存在，所以 在点z=0处是不可导由定义2.3及定理2.2，便可得到复变函数f(z)解析的等价刻画出版社 理工分社复变函数与积分变换页定理2.3f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充分必要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内处处可微，且在D内处处满足C.-R.条件式(2.3)定理2.4若u(x,y)与v(x,y)在区域D内有连续偏导数，且在D内满足C.-R.条件式(2.3)，则f(z

10、)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析例2.5判别下列函数的可导性与解析性，并在可导点处求出导数.出版社 理工分社复变函数与积分变换页解设w=u(x,y)+iv(x,y),此时u(x,y)=x,v(x,y)=y，故它们在C上处处不满足C.-R.条件，故w=在C上处处不可导，处处不解析因为 在平面上处处可微且于是在直线 上 从而 在直线 上任意一点 处可导，其导数为但 在C上处处不解析.出版社 理工分社复变函数与积分变换页当z0时，都是可微函数且即满足C.-R.条件，因此,在区域C 0内处处可导，从而在C 0内处处解析，其导数为 出版社 理工分社复变函数与积分变换页例2.6设f(z)是区域D

11、内的解析函数，且在D内|f(z)|等于常数，则f(z)在D内也为常数.证明设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x+iyD，由已知|f(z)|=C(zD,C为常数)，即有上式中两端分别对x，y求偏导可得出版社 理工分社复变函数与积分变换页因为f(z)是区域D内的解析函数，则在D内有由式(2.5)、式(2.6)得注意出版社 理工分社复变函数与积分变换页则C=0时，即在D内有 ，于是在D内有u0,v0，故在D内f(z)0；当C0时，则齐次线性方程组(2.7)只有零解，即在D内由C.-R.条件，在D内也有从而在D内u(x,y)，v(x,y)均为常数，所以在D内f(z)是常数出版社 理工分社复

12、变函数与积分变换页 2.3初等函数本节讨论复数域上的初等函数，它们是微积分中基本初等函数在复数域内的延拓特别要注意的是，复变初等函数与相应的实变函数在性质上会有所不同，如指数函数ez具有周期性，正弦函数sin z和余弦函数cos z在定义域内不再有界等出版社 理工分社复变函数与积分变换页2.3.1指数函数定义2.4设 ，则由表示的复数w称为z的指数函数，记为 对于实数z=x而言，便是通常的实变数的指数函数；对于纯虚数z=iy而言，这便是Euler公式，所以指数函数的定义是Euler公式的推广出版社 理工分社复变函数与积分变换页指数函数具有以下几个重要的性质：的定义域为有限复平面 ，且 是C上的

13、解析函数，且(ez)=ez；，有 是以2i为周期的周期函数；函数 (w0,)把z平面上的宽度为2的带形区域均映射为w平面上的角形区域G=C 负实轴及原点出版社 理工分社复变函数与积分变换页证因为 ，故 依定义知：它们在全平面上处处可微且满足C.-R.条件，故 在 上处处解析，且设 依指数函数定义得同理可证第二个等式.出版社 理工分社复变函数与积分变换页事实上，有设z=x+iy，则由 ，可得 于是当y=y0时，有=y0，表明它将z平面上的水平直线y=y0映射为w平面上的射线=y0；而当x=x0时，有 表明它将z平面上的直线段“x=x0且y”映射为w平面上的圆周 (图2.1)出版社 理工分社复变函

14、数与积分变换页 图2.1出版社 理工分社复变函数与积分变换页当z平面上的动直线从y=0扫动到直线y=y0时，对应的像就在w平面上就从射线=0扫动到射线=y0.从而z平面上的带形区域z|0Im zy0映射为w平面上的角形区域w|0arg wy0特别地，把z平面上的带形区域z|Im z0时，主值支ln z=ln x，就是实变数对数函数.出版社 理工分社复变函数与积分变换页对数函数的性质:对数函数w=Ln z的定义域为 0；对数函数w=Ln z是一个多值函数，并且任意两个值之间相差2i的整数倍；对数函数w=Ln z的任意一个单值分支 都在区域 G=负实轴及原点内解析，且即 为对数函数w=Ln z的第

15、k个单值解析分支;出版社 理工分社复变函数与积分变换页证由对数函数定义知，性质、显然成立.由于z=ew在区域 内解析，且(ew)=ew0，G=负实轴及原点为函数z=ew(wDk)的值域（见指数函数的性质），又每个wk=（Ln z)k是z=ew的单值反函数，且在区域G内连续，由定理2.1的第条结论知：wk=（Ln z)k在区域G内解析，且出版社 理工分社复变函数与积分变换页由对数函数的定义知恒等式成立，另一方面，由指数函数的性质可得故于是式（2.11）的第一个等式得证，同理可证第二个等式成立.出版社 理工分社复变函数与积分变换页例2.7求Ln(1)和2 Ln i的值.解注上例表明，一般而言，对任

16、意非零复数z及正整数n，等式不再成立，这是与实变函数的对数性质不同之处.出版社 理工分社复变函数与积分变换页例2.8求Ln z在z=1取值4i的那一支在z=i时的值.解Ln 1=ln|1|+i(arg 1+2k)=2ki(k )，要使Ln 1=4i，即2ki=4i，故k=2，所以出版社 理工分社复变函数与积分变换页2.3.3幂函数定义2.6设a 0，由 表示的复数w称为复变量z的幂函数.记为 ,即 ，幂函数的性质与a有关，详述如下：若 ，则 就是函数z自乘n次得到的函数，它是 上单值解析函数，且 若 ，则 它是 0上的单值解析函数，且出版社 理工分社复变函数与积分变换页若 (p,q为互质的整数

17、)，则 是 0上的q值函数，它在区域G=负实轴及原点内可分成q个单值解析分支且对每个k有出版社 理工分社复变函数与积分变换页特别地，若 ，则 就是根式函数 ，它在区域G=负实轴及原点内有n个单值解析分支 且出版社 理工分社复变函数与积分变换页若a是无理数或虚数时，za是定义域为 0的无穷多值函数，它在区域G=负实轴及原点内可以分出无穷多个单值解析分支：且出版社 理工分社复变函数与积分变换页证、的证明类似，我们只证明.事实上，由幂函数的定义和指数函数的周期性及运算性质有再由导数的运算法则及例2.1可知式(2.12)成立.出版社 理工分社复变函数与积分变换页由幂函数的定义它只在k=0,1,，q1时

18、才取不同的值，故式(2.13)成立.因为 在 上解析，Ln z在G=负实轴及原点内可分成单值解析分支（Ln z)k，故复合函数在 负实轴及原点内可分成单值解析分支出版社 理工分社复变函数与积分变换页再由复合函数求导法则，对每个k(=0,1,q1)有和任意的zG=负实轴及原点有出版社 理工分社复变函数与积分变换页因为 当a是无理数或虚数时，对于不同的 取不同的值，此时式(2.15)有无穷多个值，再由复合函数求导法则得证毕.综上所述，当a是整数时，是单值的；当a是其他情形时，是多值的.此时我们称za中对应于Ln z的主值支的那一支 为 的主值支.出版社 理工分社复变函数与积分变换页例2.9求 的值

19、解例2.10求 的主值解因为 其主值为出版社 理工分社复变函数与积分变换页2.3.4三角函数与双曲函数定义2.7规定并分别称为复变数z的正弦函数和余弦函数显然，当z=x是实数时，由Euler公式知，以上定义的三角函数与实的三角函数定义一致.出版社 理工分社复变函数与积分变换页正弦函数和余弦函数的基本性质：sin z，cos z都是 上单值解析函数，且有sin z和cos z都是以2为周期的周期函数，即sin z是奇函数，cos z是偶函数，即 有出版社 理工分社复变函数与积分变换页在 上成立的三角恒等式在 内都成立，如：sin z=0的零点为 cos z=0的零点为在 内，|sin z|和|c

20、os z|都是无界的出版社 理工分社复变函数与积分变换页证明由指数函数的解析性质及解析函数的运算性质知，sin z，cos z都是C上单值解析函数，且同理可证另一个.因为 都以2i为周期，故 都以2为周期，于是由定义2.7知sin z和cos z都以2为周期.直接由定义2.7容易验证.在此仅证第一个等式.出版社 理工分社复变函数与积分变换页事实上，由定义由定义2.7，sin z=0的充要条件为 设z=+i，则 ,故 从而 类似可得cos z=0的零点为出版社 理工分社复变函数与积分变换页事实上，可见，当|y|无限增大时，|cos z|趋于无穷大同理可证|sin z|也是无界的其他三角函数如下：

21、它们都在分母不为零处解析，且有出版社 理工分社复变函数与积分变换页定义2.8规定并分别称为复变数z的双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割函数出版社 理工分社复变函数与积分变换页由定义2.7，定义2.8知，双曲函数与三角函数可以互化，例如通过计算容易得到 等等，从而由三角函数的性质可以直接得到双曲函数的性质，例如，由可见sinh z为奇函数，同理可得cosh z为偶函数；且都是以2i为周期的周期函数；并有关系式等，此外，sh z与ch z都是 上的解析函数，且有出版社 理工分社复变函数与积分变换页2.3.5反三角函数与反双曲函数三角函数的反函数称为反三角函数，双曲函数的反函

22、数称为反双曲函数我们知道三角函数与双曲函数均是通过指数函数来表达的，而指数函数的反函数是对数函数，因而反三角函数与反双曲函数应该可通过对数函数来表达我们先从反正弦函数开始若z=sin w，则称w为z的反正弦函数，记作w=Arcsin z出版社 理工分社复变函数与积分变换页下面来推导Arcsin z的表达式由定义2.7，有即解之得即从而有出版社 理工分社复变函数与积分变换页同理可得，反余弦函数w=Arccos z的表达式反正切函数Arctan z的表达式反余切函数Arccot z的表达式出版社 理工分社复变函数与积分变换页类似地，可以推导出所有反双曲函数的表达式，具体地有反双曲正弦函数Arcsi

23、nh z的表达式 反双曲余弦函数Arccosh z的表达式 反双曲正切函数Arctanh z的表达式反双曲余切函数Arccoth z的表达式根据对数的无穷多值性可知，反三角函数与反双曲函数都是多值函数出版社 理工分社复变函数与积分变换页 习题21.利用导数定义求函数 在z=1处的导数.2下列函数何处可导？何处解析？3试确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数.出版社 理工分社复变函数与积分变换页4试证下列函数在z平面上任何点都不解析.5.若f(z)在区域D内解析，试证f(z)在区域D内连续.6.判断下述命题的真假，若真，请给出证明；若假，请举例说明.（1）如果 存在，那么f(z)在 点解析;（

24、2）如果f(z)在 点连续，那么 存在;（3）实部与虚部满足柯西-黎曼方程的复变函数是解析函数；（4）如果 是f(z)和g(z)的一个奇点，则z0是f(z)+g(z)和 一个奇点；（5）如果u(x,y)和v(x,y)的偏导数均存在，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数一定存在.出版社 理工分社复变函数与积分变换页7证明：如果函数f(z)=u+iv在区域D内解析，并满足下列条件之一，那么f(z)是常数.（1）f(z)恒取实值；（2）在D内解析；（3）arg f(z)在D内是一个常数；（4）au+bv=c，其中a、b与c为不全为零的实常数；（5）8.设 在全平面上解析，试确定l、m、n的值.9.如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，试证：出版社 理工分社复变函数与积分变换页10.判断下列关系是否正确？11找出下列方程的全部解.出版社 理工分社复变函数与积分变换页 12.证明.出版社 理工分社复变函数与积分变换页13.化简.14.已知 ，求|f(1i)|及arg f(1i).15.求Ln(i)，Ln(3+4i)和它们的主值.16求 的值.17.解下列方程：出版社 理工分社复变函数与积分变换页18.指出下列运算中的错误所在.