2021年新高考数学模拟试卷（27）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（27） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 2 （5 分）复数 za+bi（a，bR）的虚部记作 Im（z）b，则 Im（3: 1:）（ ） A2 B1 C1 D2 3 （5 分） “点 P（a，a）到直线 x2 的距离为 1”是圆（xa）2+（ya）21 与直线 x 2 相切的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件

2、D既不充分也不必要 4 （5 分）如图，FI，F2是双曲线： 2 2 2 3 = 1(0)的左、右焦点，点 P 是双曲线上位 于第一象限内的一点，且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于点 A，APF1的内切圆与边 PF1 切于点 Q，且|PQ|4，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B 7 2 C23 3 D 19 4 5 （5 分）已知 a（1 2） 1 3，blog23，clog46，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aacb Babc Cabc Dacb 6 （5 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（ ） A B 第 2 页（共 21 页） C D 7 （5 分）如图，在

3、平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 A（x1，y1）和第二象限内的 点 B （x2， y2） 都在单位圆 O 上， AOx， = 3 若2 = 12 13， 则 x1 的值为 （ ） A123;5 26 B 123+5 26 C1 7 D 1 7 8 （5 分）已知在ABC 中，ACB= 2，AB2BC，现将ABC 绕 BC 所在直线旋转到 PBC，设二面角 PBCA 大小为 ，PB 与平面 ABC 所成角为 ，PC 与平面 PAB 所成 角为 ，若 0，则（ ） A 3且 3 3 B 3且 3 3 C 6且 3 D 6且 3 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20

4、分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）设函数() = (3 2) 1， 1 ，1 (0， 1)，下列关于函数的说法正确 的是（ ） A若 a2，则 f（log23）3 B若 f（x）为 R 上的增函数，则1 3 2 C若 f（0）1，则 = 3 2 D函数 f（x）为 R 上的奇函数 10 （5 分）针对时下的“抖音热” ，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次 调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的4 5，女生喜欢抖 第 3 页（共 21 页） 音的人数占女生人数3 5， 若有 95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生 可能有（

5、）人 附表： P（K2k0） 0.050 0.010 k 3.841 6.635 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+) A25 B45 C60 D75 11 （5 分） “悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段 的运动情况， 某人根据 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程 （单位： 十公里） 的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A月跑步里程逐月增加 B月跑步里程最大值出现在 9 月 C月跑步里程的中位数为 8 月份对应的里程数 D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小，变化比较

6、平稳 12 （5 分）过抛物线 y24x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点， 则（ ） A以线段 AB 为直径的圆与直线 y 轴相离 B以线段 BM 为直径的圆与 y 轴相切 C当 = 2 时，| = 9 2 D|AB|的最小值为 4 第 4 页（共 21 页） 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知1 ， 2 是夹角为 60的两个单位向量， = 1 2 ， = 1 + 2 ， 若 则 m 14 （5 分）某次高二英语听力考试中有 5 道选择题，每题 1 分，每道题在 A，B，C 三

7、个选 项中只有一个是正确的如表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这 5 道题的得 分： 1 2 3 4 5 得分 甲 C C B B A 4 乙 C A A B C 3 丙 A C C B C 2 则甲同学答错的题目的题号是 ；此题正确的选项是 15 （5 分）正三棱锥的高为 1，底面边长为 26，则它体积为 ；若有一个球与该正 三棱锥的各个面都相切，则球的半径为 16（5分） 若函数f （x） 是定义在R上的偶函数， f （x+4） f （x） ， 且() = 2 2，0 1 4 2，1 2， 则函数() = () 1 3 1的零点个数为 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满

8、分 70 分）分） 17 （10 分）在ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，且满足 = 3; （1）求 sin2A； （2）若 a1，ABC 的面积为2，求 b+c 的值 18 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n2+kn+k （1）求an的通项公式； （2）若 bn= 1 +1，求数列bn的前 n 项和 Tn 19 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点(2，2)，左焦点 F（2，0） （）求椭圆 C 的标准方程； （）过点 F 作于 x 轴不重合的直线 l，l 与椭圆交于 A，B 两点，点 A 在直线 x4 上 的

9、投影N 与点B 的连线交x 轴于 D点， D 点的横坐标x0是否为定值？若是， 请求出定值； 第 5 页（共 21 页） 若不是，请说明理由 20 （12 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AB4，AD2，ABC= 3，E 为 CD 中点将 ADE 沿 AE 折起，使平面 ADE平面 ABCE，得到如图所示的四棱锥 PABCE （1）求证：平面 PAE平面 PBE； （2）求直线 PB 与平面 PCE 所成角的正弦值 21 （12 分）如图为某野生动物园的一角，KOM 内区域为陆地生物活动区，NOK 内区 域为水上动物活动区域为了满足游客游览需要，现欲在 OM，ON 上分别选一处 A，B，

10、修建一条贯穿两区域的直路 AB，AB 与 KO 相交于点 P若 PA 段，PB 段每百米修路费 用分别为 1 万元和 2 万元，已知 = 6，OMOK，OP2 百米，设PAO （1）试将修路总费用 S 表示为 的函数 S（） ； （2）求修路总费用 S（）的最小值 22 （12 分）已知函数 f（x）= 1+ ( ) （1）若 f（x）0 在（0，+）上恒成立，求 a 的取值范围，并证明：对任意的 nN*， 都有 1+ 1 2 + 1 3 + + 1 ln（n+1） ； （2）设 g（x）（x1）2ex讨论方程 f（x）g（x）实数根的个数 第 6 页（共 21 页） 2021 年新高考数学模

11、拟试卷（年新高考数学模拟试卷（27） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 【解答】解：由题意得：AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4， 所以 AB1，2，3， 故选：A 2 （5 分）复数 za+bi（a，bR）的虚部记作 Im（z）b，则 Im（3: 1:）（ ） A2 B1 C1 D2 【解答】解：3: 1: = (3:)(1;) (1:)(1;) = 4;2

12、 2 = 2 ， 又复数 za+bi（a，bR）的虚部记作 Im（z）b， Im（3: 1:）1 故选：B 3 （5 分） “点 P（a，a）到直线 x2 的距离为 1”是圆（xa）2+（ya）21 与直线 x 2 相切的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 【解答】解：由点 P（a，a）到直线 x2 的距离为 1，|a2|1，解得 a1 或 3 由圆（xa）2+（ya）21 与直线 x2 相切，可得|a2|1，解得 a1 或 3 因此“点 P（a，a）到直线 x2 的距离为 1”是圆（xa）2+（ya）21 与直线 x2 相切的充要条件 故选：C 4 （

13、5 分）如图，FI，F2是双曲线： 2 2 2 3 = 1(0)的左、右焦点，点 P 是双曲线上位 于第一象限内的一点，且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于点 A，APF1的内切圆与边 PF1 切于点 Q，且|PQ|4，则双曲线 C 的离心率为（ ） 第 7 页（共 21 页） A2 B 7 2 C23 3 D 19 4 【解答】解：PQPF1F1QPF1F1MPF1NF2PF1（PF2+PQ） = 1 2 (1 2) = ，a4，b= 3，c= 19， 所以双曲线的离心率为： = 19 4 故选：D 5 （5 分）已知 a（1 2） 1 3，blog23，clog46，则 a，b，c 的大

14、小关系为（ ） Aacb Babc Cabc Dacb 【解答】解：因为函数 ylog2x 为（0，+）上的增函数， clog46= 1 2 26 = 2 6 29 =log23b， 又 1log2226 =c， 又因为 y= (1 2) 为 R 上的减函数， a= (1 2) 1 3(1 2) 0 =1， acb， 故选：D 6 （5 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（ ） A B 第 8 页（共 21 页） C D 【解答】解：因为对于任意的 xR，f（x）x2+e|x|0 恒成立，所以排除 A，B， 由于 f（0）02+e|0|1，则排除 D， 故选：C 7 （5 分）如图

15、，在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 A（x1，y1）和第二象限内的 点 B （x2， y2） 都在单位圆 O 上， AOx， = 3 若2 = 12 13， 则 x1 的值为 （ ） A123;5 26 B 123+5 26 C1 7 D 1 7 【解答】解：由三角函数的定义有 x1cos，2= ( + 2 + 3) = ( + 3) = 12 13 ( )， ，因为 B 点在第二象限内，所以( + 3) = 5 13， 所以1= = ( + 3) 3 = ( + 3) 3 + ( + 3) 3 = 5 13 1 2 + 12 13 3 2 = 1235 26 故选：A 8 （5

16、分）已知在ABC 中，ACB= 2，AB2BC，现将ABC 绕 BC 所在直线旋转到 第 9 页（共 21 页） PBC，设二面角 PBCA 大小为 ，PB 与平面 ABC 所成角为 ，PC 与平面 PAB 所成 角为 ，若 0，则（ ） A 3且 3 3 B 3且 3 3 C 6且 3 D 6且 3 【解答】解：在ABC 中，ACB= 2，AB2BC， 可设 BCa，可得 ABPB2a，ACCP= 3a， 过 C 作 CH平面 PAB，连接 HB， 则 PC 与平面 PAB 所成角为 CPH， 且 CHCBa， sin= 3 = 3 3 ； 由 BCAC，BCCP， 可得二面角 PBCA 大

17、小为 ，即为ACP， 设 P 到平面 ABC 的距离为 d， 由 BC平面 PAC， 且 VBACPVPABC， 即有1 3BCS ACP= 1 3dSABC， 即1 3a 1 23a3asin= 1 3d 1 23aa 解得 d= 3sin， 则 sin= = 3 2 3 2 ， 即有 3 另解：由 BCAC，BCCP， 可得二面角 PBCA 大小为 ，即为ACP 以 C 为坐标原点，CA 为 x 轴，CB 为 z 轴，建立直角坐标系 Oxyz， 可设 BC1，则 ACPC= 3，PBAB2， 可得 P（3cos，3sin，0） ， 过 P 作 PMAC，可得 PM平面 ABC， PBM，s

18、in= = 3 2 3 2 ， 第 10 页（共 21 页） 可得 3； 过 C 作 CN 垂直于平面 PAB，垂足为 N， 则CPN， sin= = 3 3 = 3 3 故选：B 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）设函数() = (3 2) 1， 1 ，1 (0， 1)，下列关于函数的说法正确 的是（ ） A若 a2，则 f（log23）3 B若 f（x）为 R 上的增函数，则1 3 2 C若 f（0）1，则 = 3 2 D函数 f（x）为 R 上的奇函数 【解答】解：依次分析选项： 第 11 页（共 21 页） 对于

19、 A，若 a2，f（x）= 1， 1 2，1 ，则 f（log23）= 223=3，A 正确； 对于 B，若 f（x）为 R 上的增函数，则有 3 20 1 2 2 ，解可得 1a 3 2，B 正确； 对于 C，函数() = (3 2) 1， 1 ，1 (0， 1)，当 x1 时，f（x）（3 2a）x1，有 f（0）1 恒成立，不能确定 a 的值，C 错误； 对于 D，函数() = (3 2) 1， 1 ，1 (0， 1)，其定义域为 R，但 f（0） 10，不是奇函数，D 错误； 故选：AB 10 （5 分）针对时下的“抖音热” ，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次 调查，其

20、中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的4 5，女生喜欢抖 音的人数占女生人数3 5， 若有 95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生 可能有（ ）人 附表： P（K2k0） 0.050 0.010 k 3.841 6.635 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+) A25 B45 C60 D75 【解答】解：设男生可能有 x 人，依题意可得列联表如下； 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 男生 4 5x 1 5x x 女生 3 5x 2 5x x 总计 7 5x 3 5x 2x 若有 95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则 K23.841， 第 12 页（共 2

21、1 页） 由 K2= 2(4 5 2 5 3 5 1 5) 2 7 5 3 5 = 2 213.841，解得 x40.335， 由题意知 x0，且 x 是 5 的整数倍，所以 45，60，和 75 都满足题意 故选：BCD 11 （5 分） “悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段 的运动情况， 某人根据 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程 （单位： 十公里） 的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A月跑步里程逐月增加 B月跑步里程最大值出现在 9 月 C月跑步里程的中位数为 8 月份对应的里程数 D1 月至

22、 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小，变化比较平稳 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 在 A 中，2 月跑步里程比 1 月的小，7 月跑步里程比 6 月的小，10 月跑步里程比 9 月的 小，故 A 错误； 在 B 中，月跑步里程 9 月最大，故 B 正确； 在 C 中，月跑步平均里程的月份从高到底依次为：9 月，10 月，11 月，6 月，5 月，8 月，1 月 8 月恰好在中间位置，故其中位数为 8 月份对应的里程数，故 C 正确； 在 D 中， 1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月， 波动性更小， 变化比较平稳， 故 D 正确 故选：BCD

23、12 （5 分）过抛物线 y24x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点， 第 13 页（共 21 页） 则（ ） A以线段 AB 为直径的圆与直线 y 轴相离 B以线段 BM 为直径的圆与 y 轴相切 C当 = 2 时，| = 9 2 D|AB|的最小值为 4 【解答】解：y24x 的焦点 F（1，0） ，准线方程为 x1， 设 A，B，M 在准线上的射影为 A，B，M， 由|AF|AA|，|BF|BB|，|MM|= 1 2（|AA|+|BB|）= 1 2（|AF|+|FB|）= 1 2|AB|， 可得线段 AB 为直径的圆与准线相切，与直线 y 轴相交，故

24、A 错； 当直线 AB 的斜率不存在时，显然以线段 BM 为直径的圆与 y 轴相切； 当直线 AB 的斜率存在且不为 0， 可设直线 AB 的方程为 ykxk， 联立 y24x， 可得 k2x2 （2k2+4）x+k20， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 可得 x1+x22+ 4 2，x1x21，设 x13+22，x2322， 可得 M 的横坐标为 1+ 2 2， MB 的中点的横坐标为 1 2 （1+ 2 2 +x2） ， |BM|= 1 + 2|x21 2 2|， 当 k1 时，MB 的中点的横坐标为5 2 2，1 2|MB|2，显然以线段 BM 为直径的圆与 y 轴相交，故

25、 B 错； 以 F 为极点，x 轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为 = 2 1， 设 A（1，） ，B（2，+） ，可得 1= 2 1，2= 2 1(+) = 2 1+， 可得 1 | + 1 | = 1; 2 + 1: 2 =1，又|AF|2|FB|，可得|AF|3，|FB|= 3 2，则|AB| |AF|+|FB|= 9 2，故 C 正确； 显然当直线 AB 垂直于 x 轴，可得|AB|取得最小值 4，故 D 正确 故选：CD 第 14 页（共 21 页） 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知1 ， 2 是夹

26、角为 60的两个单位向量， = 1 2 ， = 1 + 2 ， 若 则 m 1 【解答】解：已知1 ，2 是夹角为 60的两个单位向量，1 2 =11cos60= 1 2 而 = 1 2 ， = 1 + 2 ， 若 ，则 =（1 2 ） （1 +m2 ）= 1 2 m2 2 +m1 2 2 1 =1m0+0 0， 则 m1， 故答案为：1 14 （5 分）某次高二英语听力考试中有 5 道选择题，每题 1 分，每道题在 A，B，C 三个选 项中只有一个是正确的如表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这 5 道题的得 分： 1 2 3 4 5 得分 甲 C C B B A 4 乙 C A A B

27、 C 3 丙 A C C B C 2 则甲同学答错的题目的题号是 3 ；此题正确的选项是 A 【解答】解：有题意知甲得四分，甲只错一个； 若甲第 1 道错，甲的第 2，3，4，5 题对，乙第 1 道题也错，乙和甲的后四道题只有第 4 道题相同，故乙得 1 分，与题意矛盾，故甲第 1 道题对； 第 15 页（共 21 页） 若甲第 2 道错，甲的第 1，3，4，5 题对，丙第 2 道题也错，丙和甲的其他四道题只有第 4 道题相同，故丙得 1 分，与题意矛盾，故甲第 2 道题对； 若甲第 3 道错，甲的第 1，2，4，5 题对，乙除了第 3 题和甲相同的有两个题，但是乙得 3 分，故乙第 3 题作

28、对了，第三题选 A，则丙第 3 题错了，其他四道题和甲相同有 2 道， 故丙得 2 分，与题意符合， 故答案为：3，A 15 （5 分）正三棱锥的高为 1，底面边长为 26，则它体积为 23 ；若有一个球与该正 三棱锥的各个面都相切，则球的半径为 6 2 【解答】 解： 底面等边三角形的面积 S= 3 4 (26)2= 63， 所以 V= 1 3 63 1 = 23， 设内切球的球心为 O，半径为 r，则在 O 与底面的中心 M， BM= 26 3 2 1 3 = 2， OEr， OA1r， 侧面斜边的高 AB= 1 + 2= 3由AOE ABM， 得相似得 = 1; ，得 2 = 1; 3

29、，(3 + 2) = 2， 所以 = 6 2 故答案为：6 2 16（5分） 若函数f （x） 是定义在R上的偶函数， f （x+4） f （x） ， 且() = 2 2，0 1 4 2，1 2， 则函数() = () 1 3 1的零点个数为 6 【解答】解：因为 f（x）是定义在 R 上的偶函数，f（x+4）f（x） ，即周期 T4， 作出函数的图象， 第 16 页（共 21 页） g（x）0 可得 f（x）1+ 1 3， 问题转化为求 f（x）与 y1+ 1 3 的交点个数，结合函数的图象可知，有 6 个交点 故答案为：6 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分）

30、 17 （10 分）在ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，且满足 = 3; （1）求 sin2A； （2）若 a1，ABC 的面积为2，求 b+c 的值 【解答】解： （1） = 3;， 由正弦定理可得：cosA（3sinBsinC）sinAcosC， 可得：3sinBcosAsinAcosC+cosAsinCsin（A+C）sinB， sinB0， 可得 cosA= 1 3， A（0，） ， sinA= 1 2 = 22 3 ，sin2A2sinAcosA= 42 9 （2）SABC= 1 2bcsinA= 2， bc3， 又cosA= 1 3 = 2+22 2 ， b

31、2+c2（b+c）22bc3，即（b+c）29， b+c3 18 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n2+kn+k （1）求an的通项公式； 第 17 页（共 21 页） （2）若 bn= 1 +1，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）由题意，设等差数列an的公差为 d，则 Sn= 2n 2+（a1 2）n2n 2+kn+k 故 2 = 2 1 2 = = 0 ，解得 1= 2 = 4 = 0 数列an的通项公式为 an2+4（n1）4n2 （2）由（1）知， bn= 1 +1 = 1 (42)(4+2) = 1 8 （ 1 2;1 1 2:1） 故

32、 Tnb1+b2+bn = 1 8 （1 1 3）+ 1 8 （ 1 3 1 5）+ 1 8 （ 1 2;1 1 2:1） = 1 8 （1 1 3 + 1 3 1 5 + + 1 21 1 2+1） = 1 8 （1 1 2+1） = 4(2+1) 19 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点(2，2)，左焦点 F（2，0） （）求椭圆 C 的标准方程； （）过点 F 作于 x 轴不重合的直线 l，l 与椭圆交于 A，B 两点，点 A 在直线 x4 上 的投影N 与点B 的连线交x 轴于 D点， D 点的横坐标x0是否为定值？若是， 请求出定值； 若不是，请说明理由

33、 【解答】解： （）椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点(2，2)，左焦点 F（2，0） ， 可得 c2，2a=42+ (2)2+0 + (2)2=42，即 a22，b= 2 2=2， 可得椭圆的方程为 2 8 + 2 4 =1； （）D 点的横坐标为定值3理由如下： 直线 l 的斜率不为 0，设 AB：xmy2，联立椭圆方程 x2+2y28，可得（2+m2）y24my 40， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，y1，y20，y1+y2= 4 2+2，y1y2= 4 2+2，两式相除可得 第 18 页（共 21 页） 1:2 12 = m， 由 N（4，y1） ，可设 B

34、N 的方程为 yy1= 21 2+4 （x+4） ， 令 y0，可得 x0= 1241 21 4= 1242 21 = 1(22)42 21 = 12+2142 21 = 1+2+2142 21 = 3132 21 = 3 则 D 点的横坐标为定值3 20 （12 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AB4，AD2，ABC= 3，E 为 CD 中点将 ADE 沿 AE 折起，使平面 ADE平面 ABCE，得到如图所示的四棱锥 PABCE （1）求证：平面 PAE平面 PBE； （2）求直线 PB 与平面 PCE 所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：在BCE 中，BE222+22222cos1

35、2012，可得 BE23 在ADE 中，ADDE，ADE60，ADE 为等边三角形 在ABE 中，cosAEB= 22+(23)242 2223 =0，AEB90 BEAE，又平面 ADE平面 ABCE， BE平面 PAE又 BE平面 PBE 平面 PAE平面 PBE （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系E（0，0，0） ，P（1，0，3） ， B（0，23，0） ，C（1，3，0） ， =（2，3，3） ， =（0，23，0） ， =（1，0，3） ， 设平面 PBE 的法向量为 =（x，y，z） ，则 = =0， 则 23y0x+3z， 取 =（3，0，1） ， 第 19 页（共 21

36、页） 直线 PB 与平面 PCE 所成角的正弦值= | | | | | = 3 102 = 30 20 21 （12 分）如图为某野生动物园的一角，KOM 内区域为陆地生物活动区，NOK 内区 域为水上动物活动区域为了满足游客游览需要，现欲在 OM，ON 上分别选一处 A，B， 修建一条贯穿两区域的直路 AB，AB 与 KO 相交于点 P若 PA 段，PB 段每百米修路费 用分别为 1 万元和 2 万元，已知 = 6，OMOK，OP2 百米，设PAO （1）试将修路总费用 S 表示为 的函数 S（） ； （2）求修路总费用 S（）的最小值 【解答】解： （1）在 RtPOA 中，OP2，PAO

37、，所以 PA= 2 ， 在POB 中，POB= 6，所以 = 3 ， 由正弦定理得： = ， 即 2 ( 3;) = 6 ，所以 PB= 1 ( 3) ， 所以 S（）= 2 ( 3) + 2 ， (0， 3)； （2）S（）= 2 ( 3) + 2 = 2(+3) 32 = 8(+ 3) 2(2+ 6)1 ， 令 tsin（ + 3） ， (0， 3)，t ( 3 2 ，1， 第 20 页（共 21 页） sin（2 + 6）sin2（ + 3） 2cos2（ + 3）2sin 2（ + 3）12t 21， 记 S（）f（t）= 8 423， f（t）= 8(42+3) (423)2 0 即

38、 f（t） 在（ 3 2 ，1上为单调减函数， 当 t1 即 = 6时，S（）minf（1）8， 所以修路费用的最小值为 8 万元 22 （12 分）已知函数 f（x）= 1+ ( ) （1）若 f（x）0 在（0，+）上恒成立，求 a 的取值范围，并证明：对任意的 nN*， 都有 1+ 1 2 + 1 3 + + 1 ln（n+1） ； （2）设 g（x）（x1）2ex讨论方程 f（x）g（x）实数根的个数 【解答】解： （1）由 f（x）0 在（0，+）上恒成立，可得 a 1+ ， 令 h（x）= 1+ ，则() = 2 ， 当 x（0，1） ，h（x）0，函数单调递增，当 x（1，+）

39、，h（x）0，函数单调 递减， 故 h（x）在 x1 处取得最大值 h（1）1， 要使得 a 1+ ，则 a1， 显然当 a1 时，1: 1，即 lnxx1 在 x1 时成立， 令 x= +1 则 ln:1 :1 1= 1 ， 所以 ln2 1 + 3 2 + + :1 1 + 1 2 + + 1 ， 即1 + 1 2 + 1 3 + + 1 ( + 1)， （2）由 f（x）g（x）可得，1: = ( 1)2， 即 a= 1+ ( 1)2， 令 t（x）= 1+ ( 1)2，则() = 2 (2 1)， 当 x（0，1）时，t（x）0，函数单调递增，当 x（1，+）时，t（x）0，函 数单调递减， 第 21 页（共 21 页） 故当 x1 时，t（x）取得最大值 t（1）1， 因为 x0 时，h（x），x+时，t（x）， 当 a1 时，f（x）g（x）只有一个实数解， 当 a1 时，方程 f（x）g（x）有 2 个不同的实数解， 当 a1 时，f（x）g（x）没有实数根