2021年新高考数学模拟试卷（9）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（9） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 A0，2，B1，0，2，则 AB（ ） A0 B1，2 C2，0 D2，1，0， 2 2 （5 分）对变量 x，y 有观测数据（xi，yi） （i1，2，10） ，得散点图（1） ；对变量 u， v，有观测数据（ui，vi） （i1，2，10） ，得散点图（2） ，由这两个散点图可以判断 （ ） A变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关

2、C变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 D变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关 3 （5 分）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点 P （2，1） ，则(2 + 4) =（ ） A7 B 1 7 C1 7 D7 4 （5 分）设 a，b 是实数，则“a2+b21”是“|a|+|b|1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（ ） A B 第 2 页（共 20 页） C D 6 （5 分）已知三棱锥 SABC 的外接球为球 O，SA 为球 O

3、 的直径，且 SA2，若面 SAC 面 SAB，则三棱锥 SABC 的体积最大值为（ ） A1 3 B2 3 C1 D2 7 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，且当 x0，1时，f（x） x（32x） ，则 f（31 2 ）（ ） A1 B 1 2 C1 2 D1 8 （5 分）设抛物线 C：x2py（p0）焦点为 F，点 M 在 C 上，且|MF|3，若以 MF 为 直径的圆过点(2，0)，则 C 的方程为（ ） Ax24y 或 x28y Bx22y 或 x24y Cx24y 或 x216y Dx22y 或 x216y 二多选题（共二多选题（共 4 小

4、题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为双曲线 上一点，且|PF1|2|PF2|，若 sinF1PF2= 15 4 ，则对双曲线中 a，b，c，e 的有关结论正 确的是（ ） Ae= 6 Be2 Cb= 5a Db= 3a 10 （5 分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度） ，以160，180） ，180，200） ，200， 220） ，220，240） ，240，260） ，260，280） ，280，300分组的频率分布直方图如图 第 3 页（共 20 页） 则下列

5、说法正确的是（ ） A直方图中 x0.0075 B上图中所有矩形面积之和为 1 C月平均用电量的众数和中位数分别为 230，224 D在月平均用电量为220，240） ，240，260） ，260，280） ，280，300的四组用户中， 用分层抽样的方法抽取 11 户居民，月平均用电量在220，240）的用户中应抽取 5 户 11 （5 分）已知函数 yf（x）的定义域为（0，+） ，对任意的 x，y（0，+） ，f（x） +f（y）f（xy）成立，当 x1 时，f（x）0若数列an满足 a1f（1） ，且 f（an+1） f（2an+1） （nN*） ，则正确的是（ ） Af（1）0 By

6、f（x）在（0，+）为减函数 Ca2019220181 Da2019220191 12 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为棱 CC1上的动点（点 P 不与点 C，C1重合） ，过点 P 作平面 分别与棱 BC，CD 交于 M，N 两点，若 CPCM CN，则下列说法正确的是（ ） 第 4 页（共 20 页） AA1C平面 B存在点 P，使得 AC1平面 C存在点 P，使得点 A1到平面 的距离为5 3 D用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分

7、） 13 （5 分）已知 i 为虚数单位，若复数（1+ai） （1+i）纯虚数，则实数 a 14 （5 分）若 x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020，则1 3 + 2 32 + + 2020 32020 = 15 （5 分）设当 x 时，函数 f（x）sinx2cosx 取得最大值，则 sin 16 （5 分）函数 f（x）x（xS1） （xS2）（xS8） ，其中 Sn为数列an的前 n 项和， 若 an= 1 (+1)，则 f（0） 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边

8、分别为 a，b，c，且2+ 2 2= 42 3 （）求 sinA 的值； （）若ABC 的面积为2，且2sinB3sinC，求ABC 的周长 18（12分） 已知等差数列an的前n项和为Sn， a21， S714， 数列bn满足1 2 3= 2 2+ 2 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）若数列cn满足 cnbncos（an） ，求数列cn的前 2n 项和 T2n 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PAD，O 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， 底面 ABCD 为直角梯形，CDAD，PB1，AD2DC2BC2，为线段 AD 的中点 （1）证明：OB平面 PCD； （2

9、）求二面角 PADB 的大小 第 5 页（共 20 页） 20 （12 分） 在考察疫情防控工作中， 某区卫生防控中心提出了 “要坚持开展爱国卫生运动， 从人居环境改善、饮食习惯，社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要 坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求某小组 通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据六类习惯是： （1） 卫生习惯状况类；（2） 垃圾处理状况类；（3） 体育锻炼状况类；（4） 心理健康状况类； （5） 膳食合理状况类； （6）作息规律状况类经过数据整理，得到如表： 卫生习惯状 况类 垃圾处理状 况类 体育锻炼状 况

10、类 心理健康状 况类 膳食合理状 况类 作息规律状 况类 有效答卷份 数 380 550 330 410 400 430 习惯良好频 率 0.6 0.9 0.8 0.7 0.65 0.6 假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立 （I）从小组收集的有效答卷中随机选取 1 份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类 中习惯良好者的概率； （）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合 理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率； （）利用上述六类习惯调查的排序，用“k1”表示任选一位第 k 类受访者是习惯良 好者， “k0”表示任

11、选一位第 k 类受访者不是习惯良好者（k1，2，3，4，5，6） 写 出方差 D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为1 2，点 A 为该椭圆的左顶点， 过右焦点 F（c，0）的直线 l 与椭圆交于 B，C 两点，当 BCx 轴时，三角形 ABC 的面 积为 18 第 6 页（共 20 页） （1）求椭圆的方程； （2）如图，当动直线 BC 斜率存在且不为 0 时，直线 xc 分别交直线 AB，AC 于点 M、 N， 问 x 轴上是否存在点 P， 使得 PMPN， 若存在求出点 P 的坐标； 若不存在说明理由 22

12、（12 分）已知函数 f（x）（x2a）ex（aR） （1）若函数 f（x）有两个不同的极值点，求实数 a 的取值范围； （2）当 a0 时，若关于 x 的方程 f（x）m 存在三个不同的实数根，求实数 m 的取值 范围 第 7 页（共 20 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（9） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 A0，2，B1，0，2，则 AB（ ） A0 B1，2 C2，0 D2，1，0， 2 【解答】解：A0，2，B1，0，2， AB2，1，

13、0，2 故选：D 2 （5 分）对变量 x，y 有观测数据（xi，yi） （i1，2，10） ，得散点图（1） ；对变量 u， v，有观测数据（ui，vi） （i1，2，10） ，得散点图（2） ，由这两个散点图可以判断 （ ） A变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关 C变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 D变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关 【解答】 解： 由题图 1 可知， y 随 x 的增大而减小， 各点整体呈下降趋势， x 与 y 负相关， 由题图 2 可知，u 随 v 的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u 与

14、 v 正相关 故选：C 3 （5 分）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点 P （2，1） ，则(2 + 4) =（ ） A7 B 1 7 C1 7 D7 【解答】解：根据题意，tan= 1 2， 第 8 页（共 20 页） tan2= 2 12 = 21 2 1(1 2) 2 = 4 3， (2 + 4) = 2+ 4 12 4 = 4 3+1 14 31 = 7 故选：A 4 （5 分）设 a，b 是实数，则“a2+b21”是“|a|+|b|1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：设 a，b

15、是实数，则“a2+b21”推不出“|a|+|b|1” ， 例如 0.72+0.620.851，但 0.7+0.61.31， “|a|+|b|1”“a2+b21” ， “a2+b21”是“|a|+|b|1”的必要不充分条件 故选：B 5 （5 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（ ） A B C D 【解答】解：因为对于任意的 xR，f（x）x2+e|x|0 恒成立，所以排除 A，B， 由于 f（0）02+e|0|1，则排除 D， 故选：C 6 （5 分）已知三棱锥 SABC 的外接球为球 O，SA 为球 O 的直径，且 SA2，若面 SAC 面 SAB，则三棱锥 SABC 的体积最

16、大值为（ ） A1 3 B2 3 C1 D2 【解答】解：如图， 连接 OC，OB，则 VSABCVSOBC+VAOBC， 第 9 页（共 20 页） 两三棱锥高的和的最大值为 SA2 要使三棱锥 SABC 的体积最大，则OBC 面积最大为1 2 = 1 2 1 1 1 = 1 2 三棱锥 SABC 的体积最大值为1 3 1 2 2 = 1 3 故选：A 7 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，且当 x0，1时，f（x） x（32x） ，则 f（31 2 ）（ ） A1 B 1 2 C1 2 D1 【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足 f（1+x）f（

17、1x） ，则有 f（x）f（x+2） ， 又由 f（x）为奇函数，则 f（x+2）f（x） ， 则有 f（x+4）f（x+2）f（x） ，即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数， 则 f（31 2 ）f（ 1 2 +16）f（ 1 2）f（ 1 2） 1 2（32 1 2）1； 故选：A 8 （5 分）设抛物线 C：x2py（p0）焦点为 F，点 M 在 C 上，且|MF|3，若以 MF 为 直径的圆过点(2，0)，则 C 的方程为（ ） Ax24y 或 x28y Bx22y 或 x24y Cx24y 或 x216y Dx22y 或 x216y 【解答】解：抛物线 C：x2py（p0）焦点为

18、 F，F（0， 4） ，准线为：y= 4， 设 M（m，n） ， 点 M 在抛物线 C 上，|MF|3， = 3 4， 又圆的直径为 MF，圆心为 MF 的中点，半径 r= 3 2，圆心坐标为（ 2 ，3 2） ， 又圆过点(2，0)， 第 10 页（共 20 页） ( 2 2)2+ (3 2 0)2= 3 2，解得：m22， (22，3 4)代入抛物线 C 方程：x 2py，得：8p（3 4） ， p212p+320， p4 或 8， 抛物线 C 方程为：x24y 或 x28y， 故选：A 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5

19、 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为双曲线 上一点，且|PF1|2|PF2|，若 sinF1PF2= 15 4 ，则对双曲线中 a，b，c，e 的有关结论正 确的是（ ） Ae= 6 Be2 Cb= 5a Db= 3a 【解答】解：由双曲线定义可知：|PF1|PF2|PF2|2a，|PF1|4a， 由 sinF1PF2= 15 4 ，可得 cosF1PF21 4， 在PF1F2中，由余弦定理可得：4 2+16242 224 =1 4， 解得： 2 2 =4 或 2 2 =6， e= =2 或6 c2a 或 c= 6a 又c2a2+b2， b

20、= 3a 或 b= 5a 故选：ABCD 10 （5 分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度） ，以160，180） ，180，200） ，200， 220） ，220，240） ，240，260） ，260，280） ，280，300分组的频率分布直方图如图 第 11 页（共 20 页） 则下列说法正确的是（ ） A直方图中 x0.0075 B上图中所有矩形面积之和为 1 C月平均用电量的众数和中位数分别为 230，224 D在月平均用电量为220，240） ，240，260） ，260，280） ，280，300的四组用户中， 用分层抽样的方法抽取 11 户居民，月平均用电量在220，2

21、40）的用户中应抽取 5 户 【解答】解：由频率分布直方图得： 在 A 中， （0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）201， 解得 x0.0075故 A 正确； 在 B 中，由频率分布直方图的性质得所有矩形面积之和为 1，故 B 正确； 在 C 中，月平均用电量的众数为：和中位数分别为220+240 2 =230， 160，220）的频率为： （0.002+0.0095+0.011）200.45， 220，240）的频率为 0.0125200.25， 中位数为：220+ 0.50.45 0.25 20 =224，故 C 正确； 在 D 中，在月平均

22、用电量为220，240） ，240，260） ，260，280） ，280，300的四组用 户中， 用分层抽样的方法抽取 11 户居民， 月平均用电量在220， 240） 的用户中应抽取： 11 0.0125 0.0125+0.0075+0.005+0.0025 =5 户 故 D 正确 故选：ABCD 11 （5 分）已知函数 yf（x）的定义域为（0，+） ，对任意的 x，y（0，+） ，f（x） 第 12 页（共 20 页） +f（y）f（xy）成立，当 x1 时，f（x）0若数列an满足 a1f（1） ，且 f（an+1） f（2an+1） （nN*） ，则正确的是（ ） Af（1）0

23、Byf（x）在（0，+）为减函数 Ca2019220181 Da2019220191 【解答】解：由 f（x）+f（y）f（xy） ， 取 xy1，得：2f（1）f（1） ，即 f（1）0， 设 xy0，则 1， 则 f（x）f（y）f（ ）f（y）f（ ）+f（y）f（y）f（ ）0， 即函数 yf（x）在（0，+）为增函数， 又 f（an+1）f（2an+1） ， 所以 an+12an+1， 即 an+1+12（an+1） ， 又 a1+1f（1）+11， 所以an+1为以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 an+12n 1， 即 an2n 11， 所以 a2019220181，

24、故选：AC 12 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为棱 CC1上的动点（点 P 不与点 C，C1重合） ，过点 P 作平面 分别与棱 BC，CD 交于 M，N 两点，若 CPCM CN，则下列说法正确的是（ ） AA1C平面 第 13 页（共 20 页） B存在点 P，使得 AC1平面 C存在点 P，使得点 A1到平面 的距离为5 3 D用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 【解答】解：连接 AD1，D1P，AMDB 易得 AD1PM，CC1PM，C1DPN，DBMN 对于 A，可得正方体中 A1C面 DBC1，即可得 A1C平面

25、 ，故 A 正确 对于 B，A1C平面 ，且 A1C= 3 5 3，所以存在点 P，使得点 A1 到平面 的距离为 5 3，故正确 对于 D，用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形 PMAD1，PM AD1，四边形 PMAD1一定是梯形，故正确 故选：ACD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 i 为虚数单位，若复数（1+ai） （1+i）纯虚数，则实数 a 1 【解答】解：（1+ai） （1+i）（1a）+（1+a）i 是纯虚数， 1 = 0 1 + 0，得 a1 故答案为：1 14（5 分）

26、 若 x2020a0+a1（x1） +a2（x1） 2+a2020 （x1） 2020， 则1 3 + 2 32 + + 2020 32020 = （4 3） 20201 【解答】解：x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020， 令 x1 得：a01； 令 x= 4 3得： 第 14 页（共 20 页） （4 3） 2020a0+1 3 + 2 32 + + 2020 32020； 1 3 + 2 32 + + 2020 32020 = (4 3) 2020 1； 故答案为：(4 3) 2020 1 15 （5 分）设当 x 时，函数 f（x）sinx2cosx

27、取得最大值，则 sin 5 5 【解答】解：f（x）sinx2cosx= 5（ 5 5 25 5 ） = 5sin（x） ，其中 cos= 5 5 ， x 时取得最大值， sin（）1，即 = 1 2 + 2，kZ， 则 sinsin（+ 1 2 + 2）cos= 5 5 ， 故答案为： 5 5 16 （5 分）函数 f（x）x（xS1） （xS2）（xS8） ，其中 Sn为数列an的前 n 项和， 若 an= 1 (+1)，则 f（0） 1 9 【解答】解：f（x）x（xS1） （xS2）（xS8） ， f（x）（xS1） （xS2）（xS8）+x（xS1） （xS2）（xS8）， 则 f（

28、0）S1S2S8， an= 1 (+1) = 1 1 +1， Sn1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 +1 1 1 +1 = +1， 则 S1S2S8= 1 2 2 3 8 9 = 1 9， 故答案为：1 9 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2+ 2 2= 42 3 （）求 sinA 的值； （）若ABC 的面积为2，且2sinB3sinC，求ABC 的周长 第 15 页（共 20 页） 【解答】解： （）2+ 2 2= 42 3 ， 由余弦定理可得 2bccosA= 4

29、2 3 bc， cosA= 22 3 ， 在ABC 中，sinA= 1 2 = 1 3 （）ABC 的面积为2，即1 2bcsinA= 1 6bc= 2， bc62， 又2sinB3sinC，由正弦定理可得2b3c， b32，c2，则 a2b2+c22bccosA6， a= 6， ABC 的周长为 2+32 + 6 18（12分） 已知等差数列an的前n项和为Sn， a21， S714， 数列bn满足1 2 3= 2 2+ 2 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）若数列cn满足 cnbncos（an） ，求数列cn的前 2n 项和 T2n 【解答】解： （1）设等差数列an的公差设为 d

30、，由 a21，S714， 可得 a1+d1，7a1+21d14，解得 a1d= 1 2，则 an= 1 2 + 1 2（n1）= 1 2n； 由1 2 3= 2 2+ 2 ，可得 b1b2b3bn12 (1) 2 （n2） ， 两式相除可得 bn2n（n2） ，对 n1 也成立， 故 bn2n（nN*） ； （2）cnbncos（an）2ncos（1 2n） ， 则 T2n2cos 2 +22cos+23cos3 2 +24cos （2） +22n 1cos （1 2 （2n1） ） +22ncos （n） 22cos+24cos（2）+22ncos（n）22+2426+（1） n22n=4(

31、1(4) 1+4 = 4+(4)+1 5 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PAD，O 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， 底面 ABCD 为直角梯形，CDAD，PB1，AD2DC2BC2，为线段 AD 的中点 （1）证明：OB平面 PCD； 第 16 页（共 20 页） （2）求二面角 PADB 的大小 【解答】解： （1）证明：由底面 ABCD 为直角梯形，得 ODBC， 又由 AD2BC，O 为线段 AD 中点，得 ODBC， 所以四边形 OBCD 为平行四边形，则 OBCD 又 OB平面 PCD，CD平面 PCD， 故 OB平面 PCD （2）由已知 POAD，BOA

32、D， 所以二面角 PADB 的平面角为POB， 由 PB1，POOD1，PB1，得POB 是等边三角形， 故POB60， 所以 PADB 的大小为 60 20 （12 分） 在考察疫情防控工作中， 某区卫生防控中心提出了 “要坚持开展爱国卫生运动， 从人居环境改善、饮食习惯，社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要 坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求某小组 通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据六类习惯是： （1） 卫生习惯状况类；（2） 垃圾处理状况类；（3） 体育锻炼状况类；（4） 心理健康状况类； （5） 膳食合理状况类；

33、（6）作息规律状况类经过数据整理，得到如表： 第 17 页（共 20 页） 卫生习惯状 况类 垃圾处理状 况类 体育锻炼状 况类 心理健康状 况类 膳食合理状 况类 作息规律状 况类 有效答卷份 数 380 550 330 410 400 430 习惯良好频 率 0.6 0.9 0.8 0.7 0.65 0.6 假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立 （I）从小组收集的有效答卷中随机选取 1 份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类 中习惯良好者的概率； （）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合 理状况类”三类习惯方面，至少具

34、备两类良好习惯的概率； （）利用上述六类习惯调查的排序，用“k1”表示任选一位第 k 类受访者是习惯良 好者， “k0”表示任选一位第 k 类受访者不是习惯良好者（k1，2，3，4，5，6） 写 出方差 D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系 【解答】解： （I）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件 为 A， 有效问卷共有 380+550+330+410+400+4302500（份） ， 其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是 4000.65260 人， 故 P（A）= 260 2500 =0.104； （II） 设该区 “卫生习惯状况良好者 “， “体育锻炼状况良

35、好者 “、 “膳食合理状况良好者” 事件分别为 A，B，C， 根据题意，可知 P（A）0.6， （B）0.8，P（C）0.65， 设事件 E 为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习 惯方面，至少具备两类良好习惯“ 则 P（E）P（AB）+P（AC）+P（BC）+P（ABC） P（A）P（B）P（）+P（A）P（）P（C）+P（）P（B）P（C）+P（A）P（B） P（C） 0.60.80.35+0.60.20.65+0.40.80.65+0.60.80.65 0.168+0.078+0.208+0.312 第 18 页（共 20 页） 0.766； （III）D6

36、D1D5D4D3D2 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为1 2，点 A 为该椭圆的左顶点， 过右焦点 F（c，0）的直线 l 与椭圆交于 B，C 两点，当 BCx 轴时，三角形 ABC 的面 积为 18 （1）求椭圆的方程； （2）如图，当动直线 BC 斜率存在且不为 0 时，直线 xc 分别交直线 AB，AC 于点 M、 N， 问 x 轴上是否存在点 P， 使得 PMPN， 若存在求出点 P 的坐标； 若不存在说明理由 【解答】解（1）由已知条件得 = 1 2 1 2 ( + ) 22 = 18 2= 2+ 2 ，解得 = 4， = 23； 所以椭圆的方

37、程为： 2 16 + 2 12 = 1； （2）设动直线 BC 的方程为 yk（x2） ，B（x1，y1） ，C（x2，y2） ， 则直线 AB、AC 的方程分别为 = 1 1+4( + 4)和 = 2 2+4 ( + 4)， 所以点 M、N 的坐标分别为(2， 61 1+4)、(2， 62 2+4)， 联立 = ( 2) 2 16 + 2 12 = 1 得（3+4k2）x216k2x+16k2480， 所以1+ 2= 162 3+42 ，12= 16248 3+42 ； 第 19 页（共 20 页） 于是 = 61 1+4 62 2+4 = 362(12)(22) (1+4)(2+4) =

38、362(16 248 3+42 2 162 3+42+4) 16248 3+42 +4 162 3+42+16 = 9， 假设存在点 P（t，0）满足 PMPN，则（t2）2+yMyN0，所以 t1 或 5， 所以当点 P 为（1，0）或（5，0）时，有 PMPN 22 （12 分）已知函数 f（x）（x2a）ex（aR） （1）若函数 f（x）有两个不同的极值点，求实数 a 的取值范围； （2）当 a0 时，若关于 x 的方程 f（x）m 存在三个不同的实数根，求实数 m 的取值 范围 【解答】解： （1）f（x）（x2+2xa）ex， 由 f（x）（x2+2xa）ex0 可得 x2+2xa0， f（x）有两个不同的极值点， x2+2xa0 有两个不同的实数根， 则4+4a0，解可得 a1， （2）当 a0 时，f（x）x2ex，f（x）x（x+2）ex， 当 x（，2） ， （0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增， 当 x（2，0）时，f（x）0，f（x）单调递减， 当 x2 时，函数取得极大值 f（2）= 4 2，当 x0 时，函数取得极小值 f（0）0， f（x）m 存在三个不同的实数根， yf（x）与 ym 有 3 个不同的交点， 则0 4 2， 故 m 的范围（0， 4 2） 第 20 页（共 20 页）