2020年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（3）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 2 （5 分）在复平面内，复数 5 1+2对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知 a20.2，b20.4， = (1 2) 1.2，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbca Cacb Dcab 4

2、（5 分）某雷达测速区规定：凡车速超过 80km/h 的汽车视为“超速” ，并将受到处罚如 图是某路段的一个检测点对 1000 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图， 则 从图中得出将被处罚的汽车大约有（ ） A60 辆 B50 辆 C15 辆 D5 辆 5 （5 分）有下列四个命题： 已知1ab0，则 0.3aa2ab； 若正实数 a、b 满足 a+b1，则 ab 有最大值1 4； 若正实数 a、b 满足 a+b1，则 + 有最大值2； x，y（0，+） ，x3+y3x2y+xy2 其中假命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 6 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边

3、分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列，且 第 2 页（共 20 页） 4sinA3sinB，则 sinAcosB+sinC（ ） A34 25 B27 25 C12 25 D7 5 7 （5 分）已知 ， 均为单位向量，若 ， 夹角为2 3 ，则| | =（ ） A7 B6 C5 D3 8（5 分） 在区间 2， 2上机取一个实数 x， 则 sinx 的值在区间 1 2， 3 2 上的概率为 （ ） A1 3 B1 2 C2 3 D1+3 4 9 （5 分）不等式 2+2 3 的解集是（ ） A （0，12，+） B （，21，0） C （0，1）（2，+） D （，2）（1，0）

4、10 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是双曲线上一点， 满足|PF1|F1F2|，PF2与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的离心率是（ ） A2 B3 C5 D3 11 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+）(0，04， 2 2)的部分图象如 图所示，则下列说法正确的个数为 f（x）的最小正周期为 2f（x）在( 2 ， 3 4 )内单调递减 = 3 4 是 f（x）的一条对称轴 (2 3 ，0)是 f（x）的一个对称中心（ ） A3 B2 C1 D0 12 （5 分）设 s，t 是不相等的两个正数， 且 s+slntt+tlns，则

5、s+tst 的取值范围为 （ ） A （，1） B （，0） C （0，+） D （1，+） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若 x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020，则1 3 + 2 32 + + 第 3 页（共 20 页） 2020 32020 = 14 （5 分）某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不 同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项 工作，则不同的选派方案共有 种 15 （5 分）已知抛物线 C：y2

6、4x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 H，点 A 在 C 上，且 | = 5 2 |，则AFH 的面积为 16 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 DD1，DC 上靠近点 D 的 三等分点，则异面直线 EF 与 A1C1所成角的大小是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17（12 分） 已知数列an是各项均为正数的等比数列， 数列bn为等差数列， 且 b1a11， b3a3+1，b5a57 （1）求数列an与bn的通项公式； （2）求数列anbn的前 n 项和 An； （3）设 Sn为数列an

7、2的前 n 项和，若对于任意 nN*，有 Sn+ 1 3 =t2 ，求实数 t 的 值 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA底面 ABCD，PA AB，E 为线段 PB 的中点，若 F 为线段 BC 上的动点（不含 B） （1）平面 AEF 与平面 PBC 是否互相垂直？如果是，请证明：如果不是，请说明理由； （2）求二面角 BAFE 的余弦值的取值范围 第 4 页（共 20 页） 19 （12 分）如图，曲线 C 由上半椭圆1： 2 2 + 2 2 = 1(0， 0)和部分抛物线 2： = 2+ 1（y0）连接而成，C1，C2的公共点为 A，B，其

8、中 C1的离心率为 3 2 （）求 a，b 的值； （）过点 B 的直线 l 与 C1，C2分别交于 P，Q（均异于点 A，B） ，若PAQ 为钝角， 求直线 l 的斜率的范围 20 （12 分）对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙 起床的唯一动力，就是上学能够不迟到已知学校要求每天早晨 7：15 之前到校，7：15 之后到校记为迟到小明每天 6：15 会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要 半个小时，故每天 6：45 小明就可以出门去上学从家到学校的路上，若小明选择步行 到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量 X（分钟）表示步行到校的时间， 可以

9、认为 XN（22，4） 若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由 于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量 Y（分钟）描 述骑车到校的时间，可以认为 YN（16，16） 若小明选择坐公交车上学，速度很快， 但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机 变量 Z（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为 ZN（10，64） （1） 若某天小明妈妈出差没在家， 小明一觉醒来已经是 6： 40 了， 他抓紧时间洗漱更衣， 没吃早饭就出发了，出门时候是 6：50请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学 不迟到？小明此时的最优选

10、择是什么？ （2）已知共享单车每 20 分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变 量 表示这五天小明上学骑车的费用，求 的期望与方差（此小题结果均保留三位有效 数字） 已知若随机变量 N（0，1） ，则 P（11）68.26%，P（22）95.44%， P（33）99.74% 21 （12 分）设函数 f（x）excosx，g（x）e2x2ax 第 5 页（共 20 页） （1）当 ,0， 3-时，求 f（x）的值域； （2）当 x0，+）时，不等式() () 2 恒成立（f（x）是 f（x）的导函数） ，求实 数 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满

11、分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，参数方程 = = （其中 为参数）的曲线经过伸缩 变换： = 2 = 得到曲线 C，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 310 2 （）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程； （）设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求|MN|的最小值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+2|+|x1| （1）求不等式 f（x）x+8 的解集； （2）记函数 yf（x）的最小值为 k，若 a，b，c 是

12、正实数，且 3 + 3 2 + 1 = 1，求 证 a+2b+3c9 第 6 页（共 20 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 【解答】解：A0，1，2，3，Bx|2x2， AB0，1，2 故选：B 2 （5 分）在复平面内，复数 5 1+2对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象

13、限 C第三象限 D第四象限 【解答】解： 5 1+2 = 5(12) (1+2)(12) = 2 + ， 在复平面内，复数 5 1+2对应的点的坐标为（2，1） ，位于第一象限 故选：A 3 （5 分）已知 a20.2，b20.4， = (1 2) 1.2，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbca Cacb Dcab 【解答】解：已知 a20.2，b20.4， = (1 2) 1.2 =2 1.2，而函数 y2x 是 R 上的增函数， 1.20.20.4， 则 cab， 故选：D 4 （5 分）某雷达测速区规定：凡车速超过 80km/h 的汽车视为“超速” ，并将受到处罚如 图是

14、某路段的一个检测点对 1000 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图， 则 从图中得出将被处罚的汽车大约有（ ） 第 7 页（共 20 页） A60 辆 B50 辆 C15 辆 D5 辆 【解答】解：由频率分布直方图可知，车速超过 80km/h 的频率为 0.005100.05， 所以 1000 辆汽车被处罚的汽车大约有 10000.0550， 故选：B 5 （5 分）有下列四个命题： 已知1ab0，则 0.3aa2ab； 若正实数 a、b 满足 a+b1，则 ab 有最大值1 4； 若正实数 a、b 满足 a+b1，则 + 有最大值2； x，y（0，+） ，x3+y3x2y+xy2

15、其中假命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：对于 A，1ab0，0.3a1，1a2ab，则 0.3aa2ab，故正 确 对于 B，正实数 a、b 满足 a+b1，则 ab（+ 2 ）2= 1 4，故正确； 对于 C，（ + ）2a+b+2 2（a+b）2，则 + 有最大值2，故正确； 对于 D，xy 时，x3+y3x2y+xy2故错 故选：A 6 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列，且 4sinA3sinB，则 sinAcosB+sinC（ ） A34 25 B27 25 C12 25 D7 5 【解答】解：a，b，

16、c 成等差数列， 第 8 页（共 20 页） 2ba+c， 4sinA3sinB， 由正弦定理得 4a3b， 设 a3t，b4t，则 c5t， cosC= 2+22 2 = 92+162252 234 =0，cosB= 2+22 2 = 3 5， 0C， C= 2 A+B= 2，可得 sinAcosB= 3 5， sinAcosB+sinC= 3 5 3 5 +1= 34 25 故选：A 7 （5 分）已知 ， 均为单位向量，若 ， 夹角为2 3 ，则| | =（ ） A7 B6 C5 D3 【解答】解：| | = | | = 1， ， = 2 3 ， ( )2= 2 2 + 2 = 1 2

17、1 1 ( 1 2) + 1 =3， | | = 3 故选：D 8（5 分） 在区间 2， 2上机取一个实数 x， 则 sinx 的值在区间 1 2， 3 2 上的概率为 （ ） A1 3 B1 2 C2 3 D1+3 4 【解答】解： 1 2 sinx 3 2 ， 当 x 2， 2时， x 6， 3 所求概率 P= 3( 6) 2( 2) = 1 2， 故选：B 9 （5 分）不等式 2+2 3 的解集是（ ） A （0，12，+） B （，21，0） 第 9 页（共 20 页） C （0，1）（2，+） D （，2）（1，0） 【解答】解：由 2+2 3 可得， 2+23 0 (1)(2)

18、 0 ( 1)( 2) 0 0 x2 或 0x1 不等式的解集x|x2 或 0x1 故选：A 10 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是双曲线上一点， 满足|PF1|F1F2|，PF2与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的离心率是（ ） A2 B3 C5 D3 【解答】解：设双曲线焦距为 2c，由题意得|PF1|F1F2|2c，所以|PF2|2c2a 如图，在等腰PF1F2中，21= 2 ， 又由 PF2与双曲线的一条渐近线平行知21= ， 所以 2 = ， 解得 c3a， 则该双曲线的离心率 e3， 故选：D 11 （5 分）已知函数 f（x）

19、Asin（x+）(0，04， 2 2)的部分图象如 图所示，则下列说法正确的个数为 f（x）的最小正周期为 2f（x）在( 2 ， 3 4 )内单调递减 = 3 4 是 f（x）的一条对称轴 (2 3 ，0)是 f（x）的一个对称中心（ ） 第 10 页（共 20 页） A3 B2 C1 D0 【解答】解：由函数 f（x）Asin（x+）的部分图象知，A2， 又 f（0）2sin= 3，所以 sin= 3 2 ； 又 2 2，所以 = 3； 又 f（ 3）2sin（ 3） 30， 所以 sin（ 3+ 3）0， 所以 3+ 3 =k，kZ； 又 04，所以 2； 所以 f（x）2sin（2x

20、3） ； 所以 f（x）的最小正周期为 T= 2 2 =，错误； 当 x（ 2， 3 4 ）时，2x 3（ 2 3 ，7 6 ） ，f（x）在( 2 ， 3 4 )内单调递减，正确； f（ 3 4 ）2sin2（ 3 4 ） 32sin 11 6 =1，所以 = 3 4 不是 f（x）的一条对称 轴，错误； f（2 3 ）2sin（2 2 3 3）2sin0，所以( 2 3 ，0)是 f（x）的一个对称中心，错 误 综上知，正确的命题序号是，共 2 个 故选：B 12 （5 分）设 s，t 是不相等的两个正数， 且 s+slntt+tlns，则 s+tst 的取值范围为 （ ） A （，1）

21、B （，0） C （0，+） D （1，+） 【解答】解：由已知 s+slntt+tlns，可得：1+ = 1+ ， 第 11 页（共 20 页） 设 f（x）= 1+ ， （x0） ， 则：f（x）= 2 ， （x0） ， 当 x（0，1）时，f（x）0，函数 f（x）为增函数； 当 x（1，+）时，f（x）0，函数 f （x）为减函数 如图，作出函数 f（x）的图象， 由题意知 f（s）f（t） ， 所以 s，t 为方程 f（x）m 的两个不同的解 不妨设 st，则 0t1s， 故 s+tst1（s1） （1t）0， 所以：s+tst1 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小

22、题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 若 x2020a0+a1（x1） +a2（x1） 2+a2020 （x1） 2020， 则1 3 + 2 32 + + 2020 32020 = （4 3） 20201 【解答】解：x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020， 令 x1 得：a01； 令 x= 4 3得： （4 3） 2020a0+1 3 + 2 32 + + 2020 32020； 1 3 + 2 32 + + 2020 32020 = (4 3) 2020 1； 故答案为：(4 3) 2020 1 14 （5 分）某组委会要从

23、五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不 同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项 第 12 页（共 20 页） 工作，则不同的选派方案共有 78 种 【解答】解：根据题意，分 3 种情况讨论： ，从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙，甲有 3 种安排方法，剩下三人全排 列即可得，此时有 3A3318 种选派方法； ，从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲，乙有 3 种安排方法，剩下三人全排 列即可得，此时有 3A3318 种选派方法； ，从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙， 需要在剩下 3 人中选出 2 人，有 C32种选法，选出

24、 4 人的安排方法有 A33+22A22种， 则此时有 C32（A33+22A22）42 种选派方法； 故一共有 18+18+4278 种选派方法； 故答案为：78 15 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 H，点 A 在 C 上，且 | = 5 2 |，则AFH 的面积为 423 【解答】解：由抛物线 C：y24x，得焦点 F（1，0） ，准线方程为 x1过 P 作 PM 垂直准线于 M， 设 P（ 2 4 ，） ， （t0） ，则|PF|PM|= 2 4 + 1， |PH|=( 2 4 + 1)2+ 2 由| = 5 2 |，可得 t28t+40， 解

25、得 t423 则AFH 的面积为1 2 2 = 4 23， 故答案为：423 第 13 页（共 20 页） 16 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 DD1，DC 上靠近点 D 的 三等分点，则异面直线 EF 与 A1C1所成角的大小是 3 【解答】解：依次作线段 AA1，AB 上靠近点 A 的三等分点 G，H，连接 A1B，BC1， 则 EFGH，GHA1B，则 EFA1B， 所以BA1C1是异面直线 EF 与 A1C1所成角 在A1BC1中，A1BBC1A1C1， A1BC1是等边三角形，11= 3 异面直线 EF 与 A1C1所成角的大小是 3 故答案为

26、： 3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 第 14 页（共 20 页） 17（12 分） 已知数列an是各项均为正数的等比数列， 数列bn为等差数列， 且 b1a11， b3a3+1，b5a57 （1）求数列an与bn的通项公式； （2）求数列anbn的前 n 项和 An； （3）设 Sn为数列an2的前 n 项和，若对于任意 nN*，有 Sn+ 1 3 =t2 ，求实数 t 的 值 【解答】解： （1）数列an是各项均为正数的等比数列，设公比为 q，q0， 数列bn为等差数列，设公差为 d， 由 b1a11，b3a3+1，b5a5

27、7，可得 1+2dq2+1，1+4dq47， 解得 dq2，则 bn1+2（n1）2n1；an2n 1； （2）anbn（2n1） 2n 1， An11+32+54+（2n3） 2n 2+（2n1） 2n1， 2An12+34+58+（2n3） 2n 1+（2n1） 2n， 上面两式相减可得An2+2（2+4+8+2n 2+2n1）（2n1） 2n 2+22(12 1) 12 （2n1） 2n， 化简可得 An3+（2n3） 2n； （3）Sn为数列an2的前 n 项和，即为 Sn1+4+16+4n 1=14 14 = 1 3（4 n1） ， 任意 nN*，有 Sn+ 1 3 =t2 ，可得1

28、 34 nt4n1 2， 则1 2t= 1 3，即 t= 2 3 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA底面 ABCD，PA AB，E 为线段 PB 的中点，若 F 为线段 BC 上的动点（不含 B） （1）平面 AEF 与平面 PBC 是否互相垂直？如果是，请证明：如果不是，请说明理由； （2）求二面角 BAFE 的余弦值的取值范围 【解答】解： （1）因为 PAAB，E 为线段 PB 的中点， 所以 AEPB， 第 15 页（共 20 页） 因为 PA底面 ABCD，BC平面 ABCD， 所以 PABC， 又因为底面 ABCD 为正方形， 所以 B

29、CAB， 又 PAABA， 所以 BC平面 PAB， AE平面 PAB， BCAE， 因为 PBBCB， 所以 AE平面 PBC， 因为 AE平面 AEF， 所以平面 AEF平面 PBC； （2）由题意，以 AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，令 PA 2， 则 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，E（1，0，1） ，F（2，t，0） （其中 0t2） ， 易知平面 BAF 的一个法向量为 = (0，0，1)， 设平面 AEF 的一个法向量为 = (，)，则 = 2 + = 0 = + = 0 ， 令 z1，则 = (1， 2 ，1)， ， = | |= 1

30、 2+ 4 2 ， 0t2，2 + 4 2 ,3，+ )， 1 2+ 4 2 (0， 3 3 -， 故若F为线段BC上的动点 （不含B） ， 二面角BAFE的余弦值的取值范围是(0， 3 3 - 第 16 页（共 20 页） 19 （12 分）如图，曲线 C 由上半椭圆1： 2 2 + 2 2 = 1(0， 0)和部分抛物线 2： = 2+ 1（y0）连接而成，C1，C2的公共点为 A，B，其中 C1的离心率为 3 2 （）求 a，b 的值； （）过点 B 的直线 l 与 C1，C2分别交于 P，Q（均异于点 A，B） ，若PAQ 为钝角， 求直线 l 的斜率的范围 【解答】解： （）由上半椭

31、圆1： 2 2 + 2 2 = 1(0， 0)和部分抛物线 2： = 2+ 1（y0）的公共点为 A，B， 得 b1，设 C2的半焦距为 c，由 e= = 3 2 及 a2c2b21，解得 a2； （）由（）知，上半椭圆 C1的方程为 2 4 +x21（y0） ，B（1，0） ， 易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，故可设其方程为 yk（x1） （k0） ，并代入 C1 的方程中， 整理得（4+k2）x22k2x+k240， 由韦达定理得 xB+xP= 22 4+2，又 B（1，0） ，得 xP= 24 2+4，从而求得 yP= 8 4+2， 继而得点 P 的坐标为（ 24 2+4， 8

32、 4+2） ， 同理，由 = ( 1)( 0) = 1 2( 0) 得点 Q 的坐标为（1k，2kk2） ， 由PAQ 为钝角可得 0， 与 不共线， 即（ 22 4+2， 8 4+2） （k，2kk 2）0，且8 4+2 （k）（2kk 2） （ 22 4+2） ， 化为 8 4+2 （2kk 2）+（ 22 4+2） （k）0，即 6k+160，且 k 2+2k+40， 解得 k 8 3 20 （12 分）对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙 起床的唯一动力，就是上学能够不迟到已知学校要求每天早晨 7：15 之前到校，7：15 第 17 页（共 20 页）

33、之后到校记为迟到小明每天 6：15 会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要 半个小时，故每天 6：45 小明就可以出门去上学从家到学校的路上，若小明选择步行 到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量 X（分钟）表示步行到校的时间， 可以认为 XN（22，4） 若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由 于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量 Y（分钟）描 述骑车到校的时间，可以认为 YN（16，16） 若小明选择坐公交车上学，速度很快， 但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机 变量 Z（分钟）描述坐公交车到

34、校所需的时间，则可以认为 ZN（10，64） （1） 若某天小明妈妈出差没在家， 小明一觉醒来已经是 6： 40 了， 他抓紧时间洗漱更衣， 没吃早饭就出发了，出门时候是 6：50请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学 不迟到？小明此时的最优选择是什么？ （2）已知共享单车每 20 分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变 量 表示这五天小明上学骑车的费用，求 的期望与方差（此小题结果均保留三位有效 数字） 已知若随机变量 N（0，1） ，则 P（11）68.26%，P（22）95.44%， P（33）99.74% 【解答】解： （1）依题意，小明需要在 25 分钟内到达学校

35、 若他选择步行到校，则不迟到的概率记为 P1（X25） ，取 122，12， 则 1+124，1+2126， P1（X25）P1（X26）1 195.44% 2 =97.72% 若骑车到校，则不迟到的概率记为 P2（X25） ，取 216，24， 则 2+220，2+2224，2+3228， 则 P2（X24）1 1 2（195.44%）97.72%， P2（X28）1 1 2（199.74%）99.87%， P2（X25）（P2（X24） ，P2（X28） ）（97.72%，99.87%） ， 若坐公交车到校，则不迟到的概率记为 P3（X25） ，取 310，38， 则 3+318，3+23

36、26，P3（X25）P3（X26）97.72% 综上，三种方案都无法满足 3原则，不能保证上学不迟到 相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择 第 18 页（共 20 页） （2）取随机变量 1表示五天里骑车上学时间单程超过 20 分钟的天数 依题意，每天骑车上学时间超过 20 分钟的概率为 P2（X20）= 168.26% 2 =15.87%， 1B（5，15.87%） ，E（1）515.87%0.7935， D（1）515.87%（115.87%）0.668 又21+（51）5+1， E（）5+E（1）5.79（元） ，D（）D（1）0.668（元 2） 21 （12 分）设函数 f

37、（x）excosx，g（x）e2x2ax （1）当 ,0， 3-时，求 f（x）的值域； （2）当 x0，+）时，不等式() () 2 恒成立（f（x）是 f（x）的导函数） ，求实 数 a 的取值范围 【解答】解： （1）由题可得 f（x）excosxexsinxex（cosxsinx） 令 f（x）ex（cosxsinx）0，得 = 4 ,0， 3- 当 (0， 4)时，f（x）0，当 ( 4 ， 3)时，f（x）0， 所以()= ( 4) = 2 2 4，()= *(0)，( 3)+ 因为( 3) = 3 2 3 3 2 = 2 1 = (0)，所以 f（x）min1， 所以 f（x）的

38、值域为,1， 2 2 4- （2）由() () 2 得2 2 ， 即 + 2 2 0 设() = + 2 2，则() = 2 + 22 2 设 （x）h（x） ，则() = 4322(+ 4) 当 x0，+）时，4e3x4，22( + 4 22)，所以 （x）0 所以 （x）即 h（x）在0，+）上单调递增，则 h（x）h（0）42a 若 a2，则 h（x）h（0）42a0，所以 h（x）在0，+）上单调递增 所以 h（xa2）h（0）0 恒成立，符合题意 若，则 h（0）42a0，必存在正实数 x0，满足：当 x（0，x0）时，h（x）0，h 第 19 页（共 20 页） （x）单调递减，此

39、时 h（x）h（0）0，不符合题意 综上所述，a 的取值范围是（，2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，参数方程 = = （其中 为参数）的曲线经过伸缩 变换： = 2 = 得到曲线 C，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 310 2 （）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程； （）设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求|MN|的最小值 【解答】 解：（） 参数方程 = = （其中 为参数） 的曲线经过伸缩

40、变换： = 2 = 得 到曲线 C： 2 4 + 2= 1； 曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 310 2 转化为直角坐标方程为： + 35 = 0； （）设点 P（2cos，sin）到直线 x+y35 =0 的距离 d= |2+35| 2 = |5(+)35| 2 ， 当 sin（+）1 时，dmin= 10 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+2|+|x1| （1）求不等式 f（x）x+8 的解集； （2）记函数 yf（x）的最小值为 k，若 a，b，c 是正实数，且 3 + 3 2 + 1 = 1，求 证 a+2b+3c9 【解答】解： （1） ：f（x）= 2 1， 2 3， 21 2 + 1， 1 ， 则 f（x）x+8 可得2 1 + 8 2 或3 + 8 21或 2 + 1 + 8 1 ， 解得 x3 或或 x7， 故不等式的解集为（，37，+） ； 证明： （2）由（1）可得函数的最小值为 3，