2021年新高考数学模拟试卷（32）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（32） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（1，2） ，则 1: =（ ） A 3 2 + 3 2 B 3 2 + 1 2 C 1 2 + 3 2 D1 2 + 3 2 2 （5 分）已知集合 Ax|0x1，Bx|3x1，则（ ） AABx|x0 BABR CABx|x1 DAB 3 （5 分）已知数列an是等比数列，a20144，a202016，则 a2017（ ） A42 B42 C8 D8 4

2、 （5 分）已知函数 f（x）alnx+bx2的图象在点 P（1，1）处的切线与直线 xy+10 垂 直，则 a 的值为（ ） A1 B1 C3 D3 5 （5 分）已知数列an中，a11，+1 = :1 ，则数列an（ ） A既非等差数列，又非等比数列 B既是等差数列，又是等比数列 C仅为等差数列 D仅为等比数列 6 （5 分）已知 F1，F2为双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点，过右焦点 F2的直线 l，交 C 的左、右两支于 A，B 两点，若 B 为线段 AF2的中点且 BF1l，则双 曲线 C 的离心率为（ ） A4 B5 C6 D7 7 （5 分）设锐角 AB

3、C 的三内角 A，B，C 所对边的边分别为 a，b，c，且 a2，B2A， 则 b 的取值范围为（ ） A(22，23) B(22，4) C(2，23) D （0，4） 8 （5 分）设定义在 R 上的函数 yf（x）满足任意 tR 都有( + 2) = 1 ()，且 x（0，4 时，() () ，则 f（2016） 、4f（2017） 、2f（2018）的大小关系是（ ） A2f（2018）f（2016）4f（2017） B2f（2018）f（2016）4f（2017） 第 2 页（共 20 页） C4f（2017）2f（2018）f（2016） D4f（2017）2f（2018）f（201

4、6） 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 4 分）分） 9 （4 分）定义在 R 上函数 f（x）对任意两个不相等的实数 x1，x2都有 x1f（x1）+x2f（x2） x1f（x2）+x2f（x1） ，则称函数 f（x）为“Z 函数” ，以下函数中“Z 函数”的是（ ） Ayx2+1 By3x2sinx2cosx Cy= |， 0 0， = 0 Dy= 2 + 4， 0 2+ ，0 10 （4 分）如图， “六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点 O 且三组对边分别 平行，点 A，B 是“六芒星” （如图）的两个顶点，动点 P 在“六芒星”

5、上（内部以及边 界） ，若 = + ，则 x+y 的取值可能是（ ） A6 B1 C5 D9 11 （4 分）如图，等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G，已知是AEDADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，正确的是（ ） A动点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 B恒有平面 AGF平面 BCDE 第 3 页（共 20 页） C三棱锥 AEFD 的体积有最大值 D旋转过程中二面角 ADEC 的平面角始终为AGF 12 （4 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为棱 CC1上的动点（点 P 不与点 C，C1重合） ，过点

6、P 作平面 分别与棱 BC，CD 交于 M，N 两点，若 CPCM CN，则下列说法正确的是（ ） AA1C平面 B存在点 P，使得 AC1平面 C存在点 P，使得点 A1到平面 的距离为5 3 D用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知函数() = 2， 0 ，0， 则 ff （10） ； 若 f （a） 1， 则 a 14 （5 分）若抛物线 x28y 上的点 P 到焦点的距离为 8，则 P 到 x 轴的距离是 15 （5 分）设 Sn是等比数列an的前

7、n 项和，若4 2 =4，则6 4 = 16（5 分） () = 2( + 3)，则()的最小正周期是 ， 在区间 6 ， 6 上的最大值是 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 bcosA3asinB 0 （1）求 A； （2）已知 a23，B= 3，求ABC 的面积 18（12 分） 已知数列an为正项数列， a11， 且对nN*， 都有+1 +1 =2 （ 1 + 1 +1） （1）求数列an的通项公式； 第 4 页（共 20 页） （2）若 bnan2n 1，求数列b n的

8、前 n 项和 Sn 19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1，A1A底面 ABC，且ABC 为正三角形，AB4， AA123，D 为 AC 中点 （1）求证：直线 AB1平面 BC1D； （2）求二面角 C1DBC 的大小 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1(1)的左、右焦点分别为 F1（c，0） 、F2（c，0） ， P 为椭圆 C 上任意一点，且1 2 最小值为 0 （）求曲线 C 的方程； （）若动直线 l1，l2均与椭圆 C 相切，且 l1l2，试探究在 x 轴上是否存在定点 B，使 得点 B 到 l1， l2的距离之积恒为 1？若存在， 请求出点 B 的

9、坐标； 若不存在， 请说明理由 21 （12 分） “爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本 ”在 中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律爱国汽车公司 拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造 投入 x（亿元）与科技改造直接收益 y（亿元）的数据统计如下： x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66 当 0x17 时， 建立了 y 与 x 的两个回归模型， 模型： =4.1x+11.8； 模型： =21.3

10、x 14.4当 x17 时，y 与 x 满足的线性回归方程为 = 0.7x+a （1）根据下列表格中的数据，比较当 0x17 时模型和模型的相关指数 R2，从而 第 5 页（共 20 页） 选择拟合精度更高、更 可靠的模型，并据此预测当“东方红”款高端汽车发动机科技改造的投入为 17 亿元时的 直接收益； 回归模型 模型 模型 回归方程 =4.1x+11.8 =21.3 14.4 1 ( )2 182.4 79.2 （2）为鼓励科技创新，当科技改造投人不少于 20 亿元时，国家给予公司补贴收益 10 亿 元，以回归方程为预测 依据，比较科技改造投人 17 亿元与 20 亿元时公司实际收益的大小

11、； （3）科技改造后， “东方红”款高端汽车发动机的热效率 X 大幅提高，X 服从正态分布 N （0.52， 0.012） ， 公司对科技改造团队的奖励方案如下： 若发动机的热效率不超过 50%， 则不予奖励；若发动机的热效率超过 50%但不超过 53%，则每台发动机奖励 2 万元；若 发动机的热效率超过 53%，则每台发动机奖励 5 万元求每台发动机获得奖励的数学期 望 附：刻画回归效果的相关指数 R21 =1 ()2 =1 ()2 ，17 4.1用最小二乘法求线性回 归方程 = x+ 的系数公式： = =1 =1 2 2 = =1 ()() =1 ()2 ； = 随 机变量 服从正态分布

12、N（，2） ，则 P（+）0.6827，P（2 +2）0.9545 22（12 分） 对于函数 f （x） ， 若 f （x0） x0， 则称 x0为 f （x） 的不动点 设 f （x） x3+ax2+bx+3 （1）当 a0 时， （i）求 f（x）的极值点； （）若存在 x0既是 f（x）的极值点，也是 f（x）的不动点，求 b 的值； （2）是否存在 a，b，使得 f（x）有两个极值点，且这两个极值点均为 f（x）的不动点？ 说明理由 第 6 页（共 20 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（32） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共

13、 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（1，2） ，则 1: =（ ） A 3 2 + 3 2 B 3 2 + 1 2 C 1 2 + 3 2 D1 2 + 3 2 【解答】解：由题意，z1+2i， 则 1: = ;1:2 1: = (;1:2)(1;) (1:)(1;) = 1 2 + 3 2 故选：D 2 （5 分）已知集合 Ax|0x1，Bx|3x1，则（ ） AABx|x0 BABR CABx|x1 DAB 【解答】解：Ax|0x1，Bx|x0， AB，ABx|x0 或 0x1 故选：D 3 （5 分

14、）已知数列an是等比数列，a20144，a202016，则 a2017（ ） A42 B42 C8 D8 【解答】解：根据等比中项的性质，可知 2017 2 =a2014a202041664， a20178 故选：D 4 （5 分）已知函数 f（x）alnx+bx2的图象在点 P（1，1）处的切线与直线 xy+10 垂 直，则 a 的值为（ ） A1 B1 C3 D3 【解答】解：函数 f（x）alnx+bx2的导数为 f（x）= +2bx， 在点 P（1，1）处的切线斜率为 a+2b， 切线与直线 xy+10 垂直，可得 a+2b1， 且 aln1+b1，解得 b1，a3， 故选：C 第 7

15、 页（共 20 页） 5 （5 分）已知数列an中，a11，+1 = :1 ，则数列an（ ） A既非等差数列，又非等比数列 B既是等差数列，又是等比数列 C仅为等差数列 D仅为等比数列 【解答】解；根据题意，数列an中，+1 = :1 ，则 1 = ;1， （n2） 则 Sn（ 1）（ 1 2）（ 2 1）S1（ ;1）（ ;1 ;2）（ 2 1） n， （n2） ， 当 n1 时，S1a11 符合， 则当 n2 时，anSnSn1n（n1）1， 当 n1 时，a11 符合， 故 an1， 则数列an为非零的常数列，既是等差数列，又是等比数列； 故选：B 6 （5 分）已知 F1，F2为双曲

16、线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点，过右焦点 F2的直线 l，交 C 的左、右两支于 A，B 两点，若 B 为线段 AF2的中点且 BF1l，则双 曲线 C 的离心率为（ ） A4 B5 C6 D7 【解答】解：F1，F2为双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点，过右焦点 F2的直线 l，交 C 的左、右两支于 A，B 两点，若 B 为线段 AF2的中点且 BF1l，所以 F1F22c，AF12c，则 AF22a+2c，BF2a+c，所以 BF13a+c， 可得： （3a+c）2+（a+c）24c2， 即 5a2+4acc20， 即 e24e50，e1，

17、 解得 e5， 故选：B 第 8 页（共 20 页） 7 （5 分）设锐角 ABC 的三内角 A，B，C 所对边的边分别为 a，b，c，且 a2，B2A， 则 b 的取值范围为（ ） A(22，23) B(22，4) C(2，23) D （0，4） 【解答】解：在锐角三角形中，02A 2，即 0A 4，且 B+A3A，则 2 3A， 即 6 A 3， 综上 6 A 4， 则 2 2 cosA 3 2 ， a2，B2A， 由正弦定理得 = = 2， 得 b4cosA， 2 2 cosA 3 2 ， 224cosA23， 即 22b23， 则 b 的取值范围是（22，23） ， 故选：A 8 （5

18、 分）设定义在 R 上的函数 yf（x）满足任意 tR 都有( + 2) = 1 ()，且 x（0，4 时，() () ，则 f（2016） 、4f（2017） 、2f（2018）的大小关系是（ ） A2f（2018）f（2016）4f（2017） B2f（2018）f（2016）4f（2017） C4f（2017）2f（2018）f（2016） 第 9 页（共 20 页） D4f（2017）2f（2018）f（2016） 【解答】解：函数 f（x）满足 f（t+2）= 1 ()，可得 f（t+4）= 1 (+2) =f（t） ，f（x） 是周期为 4 的函数 f（2016）f（4） ，4f（

19、2017）4f（1） ，2f（2018）2f（2） 令 g（x）= () ，x（0，4，则 g（x）= ()() 2 ， x（0，4时，() () ， g（x）0，g（x）在（0，4递增， f（1） (2) 2 (4) 4 ， 可得：4f（1）2f（2）f（4） ，即 4f（2017）2f（2018）f（2016） 故选：C 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 4 分）分） 9 （4 分）定义在 R 上函数 f（x）对任意两个不相等的实数 x1，x2都有 x1f（x1）+x2f（x2） x1f（x2）+x2f（x1） ，则称函数 f（x）为“Z 函数

20、” ，以下函数中“Z 函数”的是（ ） Ayx2+1 By3x2sinx2cosx Cy= |， 0 0， = 0 Dy= 2 + 4， 0 2+ ，0 【解答】解：x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1） ， x1f（x1）f（x2）+x2f（x2）f（x1）0， （x2x1）f（x2）f（x1）0，故 Z 函数单调递增， 显然，选项 A、C 不符合， 由多选特征知 B、D 正确， 故选：BD 10 （4 分）如图， “六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点 O 且三组对边分别 平行，点 A，B 是“六芒星” （如图）的两个顶点，动点 P 在“六芒星”上（内部以及

21、边 界） ，若 = + ，则 x+y 的取值可能是（ ） 第 10 页（共 20 页） A6 B1 C5 D9 【解答】解：设 = ， = ，求 x+y 的最大值，只需考虑右图中 6 个顶点的向量即 可，讨论如下： （1） = ，（x，y）（1，0） ； （2） = + = +3 ，（x，y）（3，1） ； （3） = + = +2 ，（x，y）（2，1） ； （4） = + + = + +（ +2 ）3 +2 ，（x，y）（3，2） ； （5） = + = + ，（x，y）（1，1） ； （6） = ，（x，y）（0，1） x+y 的最大值为 3+25 根据其对称性，可知 x+y 的最小值为

22、5 故 x+y 的取值范围是5，5， 观察选项，选项 B、C 均符合题意 故选：BC 11 （4 分）如图，等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G，已知是AEDADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，正确的是（ ） 第 11 页（共 20 页） A动点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 B恒有平面 AGF平面 BCDE C三棱锥 AEFD 的体积有最大值 D旋转过程中二面角 ADEC 的平面角始终为AGF 【解答】解：在 A 中，ADAE，ABC 是正三角形， A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上，故 A 正确； 在 B 中，由 A 知，平面

23、AGF 一定过平面 BCED 的垂线， 恒有平面 AGF平面 BCED，故 B 正确； 在 C 中，三棱锥 AFED 的底面积是定值，体积由高即 A到底面的距离决定， 当平面 ADE平面 BCED 时，三棱锥 AFED 的体积有最大值，故 C 正确； 在D中， AGDE， FGFG， 旋转过程中二面角ADEC的平面角始终为AGF， 故 D 正确 故选：ABCD 12 （4 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为棱 CC1上的动点（点 P 不与点 C，C1重合） ，过点 P 作平面 分别与棱 BC，CD 交于 M，N 两点，若 CPCM CN，则下列说法正确的是（

24、） 第 12 页（共 20 页） AA1C平面 B存在点 P，使得 AC1平面 C存在点 P，使得点 A1到平面 的距离为5 3 D用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 【解答】解：连接 AD1，D1P，AMDB 易得 AD1PM，CC1PM，C1DPN，DBMN 对于 A，可得正方体中 A1C面 DBC1，即可得 A1C平面 ，故 A 正确 对于 B，A1C平面 ，且 A1C= 3 5 3，所以存在点 P，使得点 A1 到平面 的距离为 5 3，故正确 对于 D，用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形 PMAD1，PM AD1，四边形 PMAD1一

25、定是梯形，故正确 故选：ACD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数() = 2， 0 ，0，则 ff（10） 0 ；若 f（a）1，则 a 1 或 10 【解答】解：由内而外法，由题意，得 f（10）lg101，则 ff（10）f（1）lg1 0； 第 13 页（共 20 页） 若 f（a）1，当 a0 时，f（a）lga1，解得 a10； 当 a0 时，f（a）a21，解得 a1 或 a1（舍去） ； 故答案为： ：1 或 10 14 （5 分）若抛物线 x28y 上的点 P 到焦点的距离为 8，则 P 到

26、x 轴的距离是 6 【解答】解：如图，抛物线 x28y 的准线方程为 y2 点 P 到焦点的距离|PF|8，可得 P 到直线的距离|PA|8， P 到 x 轴的距离为 826 故答案为：6 15 （5 分）设 Sn是等比数列an的前 n 项和，若4 2 =4，则6 4 = 13 4 【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为 q， 若4 2 =4，则 S4S2+q2S24S2，解可得 q23， 则 S6S2+q2S44S2+9S213S2， 则6 4 = 132 42 = 13 4 ； 故答案为：13 4 16（5 分） () = 2( + 3)，则()的最小正周期是 ， 在区间 6 ， 6

27、上 的最大值是 2 【解答】解：f（x）2sinx（sinx+3cosx）2sin2x+23sinxcosxcos2x+3sin2x+1 2sin（2x 6）+1， 所以 f（x）最小正周期为 ，由 x 6 ， 6，得 2x 6 2 ， 6，2sin（2x 6）+12， 函数在区间 6 ， 6上的最大值是 2 故答案为：；2 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 第 14 页（共 20 页） 17 （10 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 bcosA3asinB 0 （1）求 A； （2）已知 a23，B= 3，求ABC 的面积

28、 【解答】解： （1）bcosA3asinB0 由正弦定理可得：sinBcosA3sinAsinB0， sinB0， cosA= 3sinA， tanA= 3 3 ， A（0，） ， A= 6； （2）a23，B= 3，A= 6， C= 2， b6， SABC= 1 2ab= 1 2 23 6 =63 18（12 分） 已知数列an为正项数列， a11， 且对nN*， 都有+1 +1 =2 （ 1 + 1 +1） （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnan2n 1，求数列b n的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）+1 +1 =2（ 1 + 1 +1） ， :12 2=2（an+1+

29、an） ，又 an0， an+1an2，又 a11， 数列an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， an1+（n1）22n1 （2）bnan2n 1（2n1） 2n1， Snb1+b2+bn1+32+522+（2n1） 2n 1， 2Sn12+322+523+（2n3） 2n 1+（2n1） 2n， 得：Sn1+2（2+22+23+2n 1（2n1） 2n 第 15 页（共 20 页） 1+22(1;2 1) 1;2 （2n1） 2n （32n） 2n3， Sn（2n3） 2n+3 19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1，A1A底面 ABC，且ABC 为正三角形，AB4， AA

30、123，D 为 AC 中点 （1）求证：直线 AB1平面 BC1D； （2）求二面角 C1DBC 的大小 【解答】解： （1）证明：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，过 D 作平面 ABC 的垂 线为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 A（2，0，0） ，B（0，23，0） ，B1（0，23，23） ，D（0，0，0） ，C1（2，0， 23） ， 1 =（2，23，23） ，1 =（2，0，23） ， =（0，23，0） ， 设平面 BC1D 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 23 = 0 1 = 2 + 23 = 0 ，取 x= 3，得 =（3，0，1） ， =

31、23 +0+23 =0，AB平面 BC1D， 直线 AB1平面 BC1D （2）解：平面 BDC 的法向量 =（0，0，1） ， 第 16 页（共 20 页） 设二面角 C1DBC 的大小为 ， 则 cos= | | | |= 1 4 = 1 2， 60 二面角 C1DBC 的大小为 60 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1(1)的左、右焦点分别为 F1（c，0） 、F2（c，0） ， P 为椭圆 C 上任意一点，且1 2 最小值为 0 （）求曲线 C 的方程； （）若动直线 l1，l2均与椭圆 C 相切，且 l1l2，试探究在 x 轴上是否存在定点 B，使 得点 B 到

32、l1， l2的距离之积恒为 1？若存在， 请求出点 B 的坐标； 若不存在， 请说明理由 【解答】解： （）设 P（x，y） ，则有1 =（x+c，y） ，2 =（xc，y） ， 1 2 =x2+y2c2= 21 2 2+ 1 2，xa，a， 由1 2 最小值为 0，得 1c20， c1，a22， 椭圆 C 的方程为 2 2 + 2= 1 （）当直线 l1，l2斜率存在时，设其方程为 ykx+m，ykx+n， 把 l1的方程代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4mkx+2m220， 直线 l1与椭圆 C 相切，16k2m24（1+2k2） （2m22）0， 第 17 页（共 20 页） 化简，

33、得 m21+2k2， 同理，n21+2k2， m2n2，若 mn，则 l1，l2重合，不合题意，mn， 设在 x 轴上存在点 B（t，0） ，点 B 到直线 l1，l2的距离之积为 1， 则|:| 2:1 |;| 2:1 =1，即|k2t2m2|k2+1， 把 1+2k2m2代入并去绝对值整理，得： k2（t23）2 或 k2（t21）0， 前式不恒成立，而要使得后对任意的 kR 恒立， 则 t210，解得 t1 当直线 l1，l2的距离之积为（2 1） （2 + 1）1， 定点（1，0）到直线 l1，l2的距离之积为（2 + 1） （2 1）1， 综上所述，满足题意的定点 B 为（1，0）或

34、（1，0） 21 （12 分） “爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本 ”在 中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律爱国汽车公司 拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造 投入 x（亿元）与科技改造直接收益 y（亿元）的数据统计如下： x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66 当 0x17 时， 建立了 y 与 x 的两个回归模型， 模型： =4.1x+11.8； 模型： =21.3x 14.4当 x1

35、7 时，y 与 x 满足的线性回归方程为 = 0.7x+a （1）根据下列表格中的数据，比较当 0x17 时模型和模型的相关指数 R2，从而 选择拟合精度更高、更 可靠的模型，并据此预测当“东方红”款高端汽车发动机科技改造的投入为 17 亿元时的 直接收益； 回归模型 模型 模型 回归方程 =4.1x+11.8 =21.3 14.4 1 ( )2 182.4 79.2 （2）为鼓励科技创新，当科技改造投人不少于 20 亿元时，国家给予公司补贴收益 10 亿 第 18 页（共 20 页） 元，以回归方程为预测 依据，比较科技改造投人 17 亿元与 20 亿元时公司实际收益的大小； （3）科技改造

36、后， “东方红”款高端汽车发动机的热效率 X 大幅提高，X 服从正态分布 N （0.52， 0.012） ， 公司对科技改造团队的奖励方案如下： 若发动机的热效率不超过 50%， 则不予奖励；若发动机的热效率超过 50%但不超过 53%，则每台发动机奖励 2 万元；若 发动机的热效率超过 53%，则每台发动机奖励 5 万元求每台发动机获得奖励的数学期 望 附：刻画回归效果的相关指数 R21 =1 ()2 =1 ()2 ，17 4.1用最小二乘法求线性回 归方程 = x+ 的系数公式： = =1 =1 2 2 = =1 ()() =1 ()2 ； = 随 机变量 服从正态分布 N（，2） ，则

37、P（+）0.6827，P（2 +2）0.9545 【解答】解： （1）由表格中的数据，有 182.479.2，即 182.4 7 =1 (;)2 79.2 7 =1 (;)2， 所以模型的 R2小于模型，说明回归模型刻画的拟合效果更好 所以当 x17 亿元时，科技改造直接收益的预测值为： =21.3 17 14.472.93（亿元） （2）由已知可得： 20= 0.5+2+3.5+4+5 5 =3， =23， 60= 8.5+8+7.5+6+6 5 =7.2， =67.2， a= + 0.7 =67.2+0.72383.3， 当 x17 亿元时，y 与 x 满足的线性回归方程为： = 0.7x

38、+83.3， 当 x20 亿元时，科技改造直接收益的预测值 = 0.720+83.369.3， 当 x20 亿元时，实际收益的预测值为 69.3+1079.3 亿元72.93 亿元， 技改造投入 20 亿元时，公司的实际收益的更大 （3）P（0.520.02X0.52+0.02）0.9544， P（X0.50）= 1+0.9544 2 =0.9772，P（X0.5）= 10.9544 2 =0.0228， P（0.520.1X0.52+0.1）0.6826， P（X0.53）= 10.6826 2 =0.1587， 第 19 页（共 20 页） P（0.50X0.53）0.97720.1587

39、0.8185， 设每台发动机获得的奖励为 Y（万元） ，则 Y 的分布列为： Y 0 2 5 P 0.0228 0.8185 0.1587 每台发动机获得奖励的数学期望为 E（Y）00.0228+20.8185+50.15872.4305 （万元） 22（12 分） 对于函数 f （x） ， 若 f （x0） x0， 则称 x0为 f （x） 的不动点 设 f （x） x3+ax2+bx+3 （1）当 a0 时， （i）求 f（x）的极值点； （）若存在 x0既是 f（x）的极值点，也是 f（x）的不动点，求 b 的值； （2）是否存在 a，b，使得 f（x）有两个极值点，且这两个极值点均为

40、f（x）的不动点？ 说明理由 【解答】解： （1）当 a0 时，f（x）x3+bx+3，f（x）3x2+b， （i）当 b0，f（x）在 R 单调递增，无极值点， 当 b0 时，由 f（x）0，得 = 3或 = 3， 当 (， 3) ( 3 + )，f（x）0，故 f（x）在(， 3)， ( 3， + )单调递增， 当 ( 3 ， 3)时，f（x）0， 在( 3， 3)单调递减， 所以， = 3是 f（x）的极大值点， = 3是 f（x）的极小值点 （）设 xx0是 f（x）的极值点，则由（i）可知30 2 + = 0， 又 xx0是 f（x）的不动点，则0 3 + 0+ 3 = 0， 所以 b3， （2）不存在满足题设的 a，b， 证明如下： 假设存在满足题设的 a，b，设 x1，x2为 f（x）的两个极值点，且为 f（x）的不动点，并 不