2021年新高考数学模拟试卷（11）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（11） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 2 （5 分）已知直线 yx+3 与圆 x2+y22x2y0 相交于 A，B 两点，则|AB|（ ） A 6 2 B3 C6 D2 3 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且斜 率为3的直线与双曲线在第一象限的交点为 A，且1 2

2、=0，若 a= 3 1，则 F2 的坐标为（ ） A （1，0） B （3，0） C （2，0） D （3 +1，0） 4 （5 分）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为5 6和 3 4，两个零件是否 加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） A1 2 B1 3 C 5 12 D1 6 5 （5 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（ ） A B C D 6 （5 分） 诗歌是一种抒情言志的文学载体， 用高度凝练的语言、 形象表达作者丰富的情感， 诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗 上口的诗歌词赋，是抽象

3、理性的数学问题诗词化，比如诗歌： “十里长街闹盈盈，庆祝祖 国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三 数之时剩两盏，灯笼几盏放光明” ，则此诗歌中长街灯笼最少几盏（ ） A70 B128 C140 D150 第 2 页（共 21 页） 7 （5 分）已知 为任意角，则“cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 8 （5 分）已知函数() = 2 :1 + 2， 0 |2|，0 ，若关于 x 的方程f（x）22af（x）+3a0 有六个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ）

4、 A(3， 16 5 ) B(3， 16 5 C （3，4） D （3，4 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9（5分） 对任意实数x， 有(2 3)90+ 1( 1) + 2( 1)2+ 3( 1)3+ + 9( 1)9则下列结论成立的是（ ） Aa2144 Ba01 Ca0+a1+a2+a91 D0 1+ 2 3+ 9= 39 10 （5 分）原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势如图是 2008 年至 2019 年国际原油价格高低区间的对比图 下列说法正确的是（ ） A2008 年原油价格波动幅度最大 B2008 年至

5、2019 年，原油价格平均值不断变小 C2013 年原油价格平均值一定大于 2018 年原油价格平均值 D2008 年至 2019 年，原油价格波动幅度均不小于 20 美元/桶 第 3 页（共 21 页） 11 （5 分）已知函数 f（x）3cos2xsin2x+4sinxcosx，则以下说法正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 Bf（x）的最小值为 122 C直线 x= 3 8 是图象的一条对称轴 D直线 x= 8是图象的一条对称轴 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E 是 DD1的中点，则下列选项中正 确的是（ ） AACB1E BB1C平面 A1BD

6、C三棱锥 C1B1CE 的体积为1 3 D异面直线 B1C 与 BD 所成的角为 45 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5分） 已知数列an的各项为正， 记Sn为an的前n项和， 若:1= 3 2 +12 ( )， a1 1，则 S5 14 （5 分）2019 年 11 月 5 日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕， 共有 155 个国家和地区，26 个国际组织参加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参 加某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的 6 个展位中，甲、乙、丙三个企 业两两互不相邻的排法有 种

7、15 （5 分）已知二次函数 f（x）的图象过点（3，5） ， （3，5） ， （0，4） ，则 f（x）的解 析式为 16 （5 分）四面体 ABCD 中，ADCDBD2，CDAD，CDBD，二面角 ACDB 的大小为 60，则该四面体外接球的体积为 第 4 页（共 21 页） 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）设an是等比数列，若 a12，且 2a2，a3，S36 成等差数列 （1）求an的通项公式； （2）当an的公比不为 1 时，设= 2+1 421，求证：数列bn的前 n 项和 Tn1 18 （12 分） ABC 的内角 A， B，

8、 C 的对边分别为 a， b， c， 且满足 2 ( 2 + 2 2) = 2 （）求 B； （）若 b6，求 a2+c2的最小值 19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，AB侧面 BB1C1C，已知BCC1= 3，BC1， ABC1C2，点 E 是棱 C1C 的中点 （1）求证：C1B平面 ABC； （2）在棱 CA 上是否存在一点 M，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为211 11 ，若存 在，求出 的值；若不存在，请说明理由 20 （12 分）随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增，由于 该小区建成时间较早没有配套建造地下停车场，小区内

9、无序停放的车辆造成了交通的拥 堵，该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如 147 表示 2016 年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同） ，得到如下数据： 编号 x 1 2 3 4 5 年份 2014 2015 2016 2017 2018 数量 y（单位：辆） 37 104 147 196 216 （） 若私家车的数量 y 与年份编号 x 满足线性相关关系， 求 y 关于 x 的线性回归方程， 第 5 页（共 21 页） 并预测 2020 年该小区的私家车数量 （）为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车 辆进入小区，并于 2018

10、 年底完成了基础设施改造，共划设了 120 个停车位，由于车位有 限，物业公司决定在 2019 年度采用网络竞拍的方式将这 120 个车位对业主出租，租期一 年，竟拍方案如下：截至 2018 年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格：每车至 多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请井并给出自己的报价；根据物价部门 的规定，竟价不得超过 1200 元；申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排 列，排在前 120 位的业主一起报价成交；若最后出现并列的报价，则以提出申请的时 间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的 40 位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他

11、们的拟报竞价进行统计，得到如图频率分布 直方图： （1）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于 1000 元的人数； （ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至 少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数） 参考公式及数据：回归方程 =b + 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = =1 ()() =1 ()2 ， = ， 5 1 ( )( ) =450 21 （12 分）已知椭圆： 2 4 + 2= 1，动直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A（x1，y1） ，B （x2，y2） ，且AOB 的面积为 1，其中 O 为坐标原点 第 6 页（共 21 页

12、） （）1 2:22 1 2:22为定值； （）设线段 AB 的中点为 M，求|OM|AB|的最大值 22 （12 分）已知函数 f（x）2x3+3x212x+6，g（x）为函数 f（x）的导函数 （1）求证：函数 f（x）在区间（1，2）上存在唯一的零点； （2）记 x0为函数 f（x）在区间（1，2）上的零点 设 m1，x0） ，函数 h（x）g（x） （mx0）f（m） ，判断 h（m）的符号，并说明 理由； 求证： 存在大于 0 的常数 A， 使得对任意的正整数 p， q， 且 1， x0） ， 满足| x0| 1 3 第 7 页（共 21 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高

13、考数学模拟试卷（11） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 【解答】解：由题意得：AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4， 所以 AB1，2，3， 故选：A 2 （5 分）已知直线 yx+3 与圆 x2+y22x2y0 相交于 A，B 两点，则|AB|（ ） A 6 2 B3 C6 D2 【解答】解：由 x2+y22x2y0，得（x1）2+（y1）22 圆 x2+y

14、22x2y0 的圆心坐标为（1，1） ，半径为2 圆心到直线 x+y30 的距离 d= |1+13| 2 = 2 2 ， |AB|= 2(2)2 ( 2 2 )2= 6 故选：C 3 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且斜 率为3的直线与双曲线在第一象限的交点为 A，且1 2 =0，若 a= 3 1，则 F2 的坐标为（ ） A （1，0） B （3，0） C （2，0） D （3 +1，0） 【解答】解：因为1 2 =0，所以 AF1AF2， 又因为2= 3，所以AF1F2= 6，则由 AF1= 3c， 根据双曲线的定义可得3cc

15、2a，则 c= 2(31) 31 =2， 故选：C 4 （5 分）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为5 6和 3 4，两个零件是否 加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） A1 2 B1 3 C 5 12 D1 6 第 8 页（共 21 页） 【解答】解：由于两个零件是否加工为一等品相互独立， 所以两个零件中恰有一个一等品为： 两人一个为一个为一个一等品， 另一个不为一等品 P= 5 6 (1 3 4) + (1 5 6) 3 4 = 1 3， 故选：B 5 （5 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（ ） A B C D 【解答】解：因为对

16、于任意的 xR，f（x）x2+e|x|0 恒成立，所以排除 A，B， 由于 f（0）02+e|0|1，则排除 D， 故选：C 6 （5 分） 诗歌是一种抒情言志的文学载体， 用高度凝练的语言、 形象表达作者丰富的情感， 诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗 上口的诗歌词赋，是抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌： “十里长街闹盈盈，庆祝祖 国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三 数之时剩两盏，灯笼几盏放光明” ，则此诗歌中长街灯笼最少几盏（ ） A70 B128 C140 D150 【解答】解：由七七数时余两个，可知灯

17、笼数除以 7 余 2，则 A，C，D 错， 故选：B 7 （5 分）已知 为任意角，则“cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 【解答】 解： 若 cos2= 1 3， 则 cos21sin 2， sin= 3 3 ， 则 cos2= 1 3” 是 “sin= 3 3 ” 的不 充分条件； 第 9 页（共 21 页） 若 sin= 3 3 ，则 cos21sin2，cos2= 1 3，则 cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的必要条件； 综上所述： “cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的必要不充

18、分条件 故选：B 8 （5 分）已知函数() = 2 :1 + 2， 0 |2|，0 ，若关于 x 的方程f（x）22af（x）+3a0 有六个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A(3， 16 5 ) B(3， 16 5 C （3，4） D （3，4 【解答】解：令 f（x）t，则 g（t）t22at+3a，作 f（x）的图象如下， 设 g（t） ）t22at+3a 的零点为 t1，t2，由图可知，要满足题意， 则需 g（t）t22at+3a 在（2，4）有两不等实根或者其中一根为 4，另一根在（2，4） 内， 故 24 (2)0 (4)0 0 或 24 (4) = 0 0 (2

19、)0 ，解得 3a 16 5 或 a= 16 5 即实数 a 的取值范围是： （3，16 5 故选：B 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9（5分） 对任意实数x， 有(2 3)90+ 1( 1) + 2( 1)2+ 3( 1)3+ + 9( 1)9则下列结论成立的是（ ） 第 10 页（共 21 页） Aa2144 Ba01 Ca0+a1+a2+a91 D0 1+ 2 3+ 9= 39 【解答】解：对任意实数 x， 有(2 3)90+ 1( 1) + 2( 1)2+ 3( 1)3+ + 9( 1)9=1+2（x 1）9， a2= 9

20、 2 22144，故 A 正确； 故令 x1，可得 a01，故 B 不正确； 令 x2，可得 a0+a1+a2+a91，故 C 正确； 令 x0，可得 a0a1+a2+a939，故 D 正确； 故选：ACD 10 （5 分）原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势如图是 2008 年至 2019 年国际原油价格高低区间的对比图 下列说法正确的是（ ） A2008 年原油价格波动幅度最大 B2008 年至 2019 年，原油价格平均值不断变小 C2013 年原油价格平均值一定大于 2018 年原油价格平均值 D2008 年至 2019 年，原油价格波动幅度均不小于 20 美元/桶 【解答】

21、解：由图可知，2008 年原油价格波动幅度最大，A 对； 通过最高价，最低价，并不反应出平均值的大小，得不出结论，B 错； 因为 2013 年原油价格最低价都比 2018 年原油价格最高值大， 则 2013 年原油价格平均值 第 11 页（共 21 页） 一定大于 2018 年原油价格平均值，C 对， 由图可知，2016 年原油价格波动幅度均小于 20 美元/桶，D 错， 故选：AC 11 （5 分）已知函数 f（x）3cos2xsin2x+4sinxcosx，则以下说法正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 Bf（x）的最小值为 122 C直线 x= 3 8 是图象的一条对称轴 D直线 x

22、= 8是图象的一条对称轴 【解答】解：f（x）3cos2xsin2x+4sinxcosx2cos2x+1+2sin2x， = 22(2 + 4) + 1， A：结合周期公式可得 T，故 A 正确； B：结合正弦函数的性质可知，当 sin（2x+ 4）1 时，函数取得最小值 122，故 B 正确； C：当 x= 3 8 时，2x+ 4 =，不符合正弦函数对称轴处取得最值的条件，故 C 错误； D：当 x= 8时，2x+ 4 = 1 2，符合正弦函数对称轴处取得最值的条件，故 D 正确； 故选：ABD 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E 是 DD1的中点，则下列选

23、项中正 确的是（ ） AACB1E BB1C平面 A1BD C三棱锥 C1B1CE 的体积为1 3 D异面直线 B1C 与 BD 所成的角为 45 【解答】解：如图， 第 12 页（共 21 页） ACBD，ACBB1，AC平面 BB1D1D， 又 B1E平面 BB1D1D，ACB1E，故 A 正确； B1CA1D，A1D平面 A1BD，B1C平面 A1BD，B1C平面 A1BD，故 B 正确； 三棱锥 C1B1CE 的体积为1;1= 1;1= 1 3 1 2 1 1 = 1 6，故 C 错误； BDB1D1，CB1D1是异面直线 B1C 与 BD 所成的角，又CB1D1是等边三角形， 异面直

24、线 B1C 与 BD 所成的角为 60，故 D 错误 故选：AB 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5分） 已知数列an的各项为正， 记Sn为an的前n项和， 若:1= 3 2 +12 ( )， a1 1，则 S5 121 【解答】解：由:1= 32 +12 得：:1 2 2:1= 32， :12 2:1 32= 0， （an+1+an） （an+13an）0， 数列an的各项为正数， an+13an0， +1 = 3， 数列an是首项为 1，公比为 3 的等比数列， S5= 1(135) 13 =121， 故答案为：121 1

25、4 （5 分）2019 年 11 月 5 日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕， 共有 155 个国家和地区，26 个国际组织参加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参 加某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的 6 个展位中，甲、乙、丙三个企 第 13 页（共 21 页） 业两两互不相邻的排法有 144 种 【解答】解：用插空法：先排丁、戊、己三家企业，共有3 3中方法， 在它们之间的两个空加上两头共有四个空位，从 4 孔位中任意选三个排列甲、乙、丙三 个企业，共有4 3种方法 由乘法原理可得：甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有= 3 343 =144 种 故答案为：

26、144 15 （5 分）已知二次函数 f（x）的图象过点（3，5） ， （3，5） ， （0，4） ，则 f（x）的解 析式为 f（x）x24 【解答】解：依题意，f（3）f（3） ，所以二次函数 f（x）关于 x0 对称， 又过（0，4） ，所以二次函数的解析式为 f（x）ax24， 又 f（3）5， 9a45，解得 a1， f（x）x24 故答案为：f（x）x24 16 （5 分）四面体 ABCD 中，ADCDBD2，CDAD，CDBD，二面角 ACDB 的大小为 60，则该四面体外接球的体积为 2821 27 【解答】 解： 由 CDAD， CDBD， 二面角 ACDB 的大小为 60可

27、得ADB60， 即三角形 ABD 为等边三角形，设三角形 ABD 的外接圆半径为 r，则 2r= 2 60 =2 2 3 ， 所以 r= 2 3， CDAD，CDBD，ADBDD，CD面 ABD，将此三棱锥放在直三棱柱中， 设三棱锥的外接球的半径为 R，则 R2r2+（ 2 ）2= 4 3 +1= 7 3，所以 R= 21 3 ， 所以外接球的体积 V= 4 3 3 = 2821 27 ， 第 14 页（共 21 页） 故答案为：2821 27 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）设an是等比数列，若 a12，且 2a2，a3，S36 成等差数

28、列 （1）求an的通项公式； （2）当an的公比不为 1 时，设= 2+1 421，求证：数列bn的前 n 项和 Tn1 【解答】解： （1）设等比数列an的公比为 q； 由 2a2，a3，S36 成等差数列，a12， 2a32a2+S36，即 4q24q+2+2q+2q26， 即 q23q+20，解得 q2，或 q1， 所以an的通项为= 2 或 an2； （2）证明：由（1）知= 2，= 2+1 421； = 2 421 = 1 21 1 2+1； Tnb1+b2+b3+bn= (1 1 3) + ( 1 3 1 5) + + ( 1 21 1 2+1) =1 1 2+1 1， 故数列an

29、的前 n 项和 Tn1 18 （12 分） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且满足 2 ( 2 + 2 2) = 2 （）求 B； （）若 b6，求 a2+c2的最小值 【解答】解： （） 2 ( 2 + 2 2) = 2， 2 ( 2 + 2 2) = 2 2 2 2 2 = ( 2 2 2 2) ， = + 2 = 2 = 2， 由正弦定理得 = 2， sinA0， 2 2 2 = 2， 2 0， 第 15 页（共 21 页） 2 = 1 2， 0B， = 2 3 （）法一：因为 = 2 3 ，b6， 由余弦定理得：b2a2+c22accosB， a2+c2

30、+ac36， 由基本不等式得： 2+2 2 （当且仅当 ac 时“”成立） ， a2+c224， a2+c2的最小值为 24 法二：因为 = 2 3 ， + = 3，b6， 由正弦定理得： = = 6 2 3 = 43， = 43， = 43， 2+ 2= 48(2 + 2) = 48(12 2 + 12 2 ) = 48 242 + (2 3 2) = 48 24(1 22 + 3 2 2) = 48 24(2 + 6)， 0 3， 6 2 + 6 5 6 ，则1 2 (2 + 6) 1， 24a2+c236， a2+c2的最小值为 24 19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中

31、，AB侧面 BB1C1C，已知BCC1= 3，BC1， ABC1C2，点 E 是棱 C1C 的中点 （1）求证：C1B平面 ABC； （2）在棱 CA 上是否存在一点 M，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为211 11 ，若存 在，求出 的值；若不存在，请说明理由 第 16 页（共 21 页） 【解答】 （1）证明：BC1，CC12，BCC1= 3， BC1= 3， BC2+BC12CC12，得 BC1BC， 又 AB侧面 BB1C1C，ABBC1， 又 ABBCB，C1B平面 ABC； （2）以 B 为原点，BC，BC1，BA 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则

32、B（0，0，0） ，A（0，0，2） ，B1（1，3，0） ，A1（1，3，2） ， E（1 2， 3 2 ，0） ，C（1，0，0） 则1 =（ 3 2， 3 2 ，0） ，11 =（0，0，2） 设平面 A1EB1的法向量为 =（x，y，z） ， 则 1 = 3 2 + 3 2 = 0 11 = 2 = 0 ，令 x1，求得 =（1，3，0） 假设在棱 CA 上存在一点 M （a， b， c） ， 使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为211 11 ， 不妨设 = ，0，1 又 =（a1，b，c） ， =（1，0，2） ， 1 = = 0 = 2 ，M（1，0，2） ， =（1

33、2 ， 3 2 ，2） ， 又平面 A1B1E 的法向量为 =（1，3，0） ， 则 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为： 第 17 页（共 21 页） |cos ， |= | | | | | = |1 2 3 2| (1 2) 2+3 4+4 22 = 211 11 ， 化简得 69238+50，解得 = 1 3或 = 5 23 在棱 CA 上存在点 M，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为211 11 此时 = 1 3或 5 23 20 （12 分）随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增，由于 该小区建成时间较早没有配套建造地下停车场，小区内无序

34、停放的车辆造成了交通的拥 堵，该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如 147 表示 2016 年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同） ，得到如下数据： 编号 x 1 2 3 4 5 年份 2014 2015 2016 2017 2018 数量 y（单位：辆） 37 104 147 196 216 （） 若私家车的数量 y 与年份编号 x 满足线性相关关系， 求 y 关于 x 的线性回归方程， 并预测 2020 年该小区的私家车数量 （）为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车 辆进入小区，并于 2018 年底完成了基础设施改造，共划设

35、了 120 个停车位，由于车位有 限，物业公司决定在 2019 年度采用网络竞拍的方式将这 120 个车位对业主出租，租期一 年，竟拍方案如下：截至 2018 年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格：每车至 多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请井并给出自己的报价；根据物价部门 的规定，竟价不得超过 1200 元；申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排 列，排在前 120 位的业主一起报价成交；若最后出现并列的报价，则以提出申请的时 第 18 页（共 21 页） 间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的 40 位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他们

36、的拟报竞价进行统计，得到如图频率分布 直方图： （1）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于 1000 元的人数； （ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至 少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数） 参考公式及数据：回归方程 =b + 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = =1 ()() =1 ()2 ， = ， 5 1 ( )( ) =450 【解答】解： （）由表中数据，计算得 = 1 5（1+2+3+4+5）3， = 1 5（37+104+147+196+216）140， = =1 ()() =1 ()2 = 450 (2)2+(1)2+0+

37、12+22 = 450 10 =45， = =1404535 故所求线性回归方程为 =45x+5， 令 x7，得 =457+5320； （） （i）由频率直方图可知，有意竞拍报价不低于 1000 元的频率为： （0.25+0.05）10.3， 共抽取 40 位业主，则 400.312， 第 19 页（共 21 页） 有意竞拍不低于 1000 元的人数为 12 人 （ii）由题意，120 216 = 5 9 由频率直方图估算知，报价应该在 9001000 之间， 设报价为 x 百元， 则（10x）0.4+0.3= 5 9 解得 x9.36 至少需要报价 936 元才能竞拍成功 21 （12 分）

38、已知椭圆： 2 4 + 2= 1，动直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A（x1，y1） ，B （x2，y2） ，且AOB 的面积为 1，其中 O 为坐标原点 （）1 2:22 1 2:22为定值； （）设线段 AB 的中点为 M，求|OM|AB|的最大值 【解答】解： （）当直线 l 的斜率不存在，设 l：xm，代入椭圆方程可得 y21 2 4 ， 由AOB 的面积为 1， 可得1 2|m|21 2 4 =1， 解得 m2， 则1 2:22 1 2:22 = 22 2; 2 2 = 4； 当直线 l 的斜率存在，设 ykx+t，联立椭圆方程可得（1+4k2）x2+8ktx+4t240， 设

39、 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，可得 x1+x2= 8 1+42，x1x2= 424 1+42， |AB| = 1 + 2 (1+ 2)2 412= 1 + 2 ( 8 1+42) 24(4 24) 1+42 = 1 + 2 41:42;2 1:42 ， 由AOB 的面积为 1，可得1 2 | 1:2|AB|1， 化简可得 1+4k22t2， 则12+ 22= (1+ 2)2 212=（ 8 1+42）22 42;4 1:42 = 4(1:82:164) (1:42)2 =4， 而1 2:22 1 2:22 = 12:22 2;1 4(1 2:22) =4， 综上可得，1 2:22

40、1 2:22为定值 4； （）设 M（x0，y0） ，当直线的斜率不存在时，|OM|= 2，|AB|= 2，则|OM|AB|2； 第 20 页（共 21 页） 当直线的斜率存在时，由（）可得 x0= 1+2 2 = 4 1+42，y0kx0+t= 1+42， 则|OM|= 02+ 02= 1622 (1+42)2 + 2 (1+42)2 = |1+162 1+42 ， 可得|OM|AB|= |1+162 1+42 1 + 2 41+422 1+42 = 1 2 9 1 4 30 1 2 + 16 2= 22+ 1 2 1 2，0 1 2 2 可知|OM|AB|2 综上，|OM|AB|的最大值为 2 22 （12 分）已知函数 f（x）2x3+3x212x+6，g（x）为函数 f（x）的导函数 （1）求证：函数 f（x）在区间（1，2）上存在唯一的零点； （2）记 x0为函数 f（x）在区间（1，2）上的零点 设 m1，x0） ，函数 h（x）g（x） （mx0）f（m） ，判断 h（m）的符号，并说明 理由； 求证： 存在大于 0 的常数 A， 使得对任意的正整数 p， q， 且 1，