2020年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（1）.doc

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 A1，2，3，4，B3，4，5，全集 UAB，则集合U（AB） 的元素个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2 （5 分）已知 a+bi（a，bR）是的共轭复数，则 a+b（ ） A1 B C D1 3 （5 分）已知 ab0，cd0，则下列结论一定成立的是（ ） Aa+cb+d Bacbd Cacbd Dcdab 4 （5 分）某班对一次实验成绩进

2、行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将 50 个同学按 01，02，03，50 进行编号，然后从随机数表第 9 行第 11 列开始向右读，则选出的第 7 个个体是（ ） （注：表为随机数表的第 8 行和第 9 行） 63 01 63 78 58 16 95 55 67 19 98 110 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 A02 B13 C42 D44 5 （5 分）函数 y2sinxcosx+3 的最

3、小正周期为（ ） A B C2 D4 6 （5 分） “是“cos“成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）设函数若 f（a）a，则实数 a 的值为（ ） A1 B1 C2 或1 D1 或2 第 2 页（共 19 页） 8 （5 分）已知向量，且，则等于（ ） A B C0 D1 9 （5 分）有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用这种神奇的三角形，就是以 19 世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形 这种三角形常出现在制造业中 （例如图 1 中的扫地机器人） 三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角 形，如图

4、 2 所示现从图 2 中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概 率为（ ） A B C D 10 （5 分）著名数学家华罗庚先生曾说： “数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百 般好，隔裂分家万事休”如函数 f（x）的图象大致是（ ） A B C D 11 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，过 F 且倾斜角为 120的直线与 抛物线 C 交于 A， B 两点， 若 AF， BF 的中点在 y 轴上的射影分别为 M， N， 且|MN|4， 则抛物线 C 的准线方程为（ ） 第 3 页（共 19 页） Ax Bx2 Cx3 Dx4 12 （5 分）设函数 f

5、（x）的定义域为 D，若满足条件：存在m，nD，使 f（x）在m，n 上的值域为km，kn（kR 且 k0） ，则称 f（x）为“k 倍函数” ，若函数 f（x）ax（a 1）为“3 倍函数” ，则实数 a 的取值范围是（ ） A B （1，e3） C D （e，e3） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） （x2+x） （x2）4的展开式中，x3的系数为 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c4，且 C 为锐角，则ABC 面积的最大值为 15 （5 分）我国古代数学名著九章算术记载：

6、 “勾股各自乘，并之，为弦实” ，用符号 表示为 a2+b2c2（a，b，cN*） ，把 a，b，c 叫做勾股数下列给出几组勾股数：3，4， 5； 5， 12， 13； 7， 24， 25； 9， 40， 41， 以此类推， 可猜测第 5 组勾股数的第二个数是 16 （5 分）已知六棱锥 PABCDEF 的七个顶点都在球 O 的表面上，若 PA2，PA底面 ABCDEF，且六边形 ABCDEF 是边长为 1 的正六边形，则球 O 的体积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17设等差数列an满足 a36，a108 （1）求an的通项公式； （2）求an的前 n 项和 Sn及使得 Sn

7、最小的序号 n 的值 18如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PAPD，PAAB，N 是棱 AD 的 中点 （1）求证：PN平面 ABCD； （2）若 APPD，且 AB2，AD4，求二面角 BPCN 的余弦值 192019 年 10 月 1 日，庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵式在北京天安门广场隆重举 行，央视对阅兵式进行了直播为了解市民在直播中观看阅兵式的情况，某机构随机抽 第 4 页（共 19 页） 取了 800 名市民，数据统计如表： 观看阅兵式 未观看阅兵式 合计 男 300 200 500 女 200 100 300 合计 500 300 800 （1）能

8、否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“是否观看阅兵式与性别有关”？ （2）经统计，抽取的 500 名观看阅兵式的市民中有高三学生 5 名，其中 3 名男生，2 名 女生，若从这 5 名高三学生中随机抽取两人接受采访，求抽取的两名学生性别不同的概 率 附表及公式：K2，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20过双曲线的右焦点 F2，倾斜角为 30的直线交双曲线于 A，B 两点，O 为 坐标原点，F1为左焦点 （1）

9、求|AB|； （2）求AOB 的面积； （3）求证：|AF2|+|BF2|AF1|+|BF1| 21已知函数 f（x）asinx1，g（x）ax2x+16a，aR （1）记函数 F（x）f（x）+g（x） 若 a1，求 F（x）的单调区间； 若 a0，求证：F（x）在0，+）上总存在最小值 （2）记函数 G（x）f（x） g（x） ，若存在正实数 x0，使不等式 G（x0）0 成立，求实 数 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖 国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有

10、著名的笛卡尔心型曲 线如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲 第 5 页（共 19 页） 线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 1sin（02，0） ，M 为该曲线 上的任意一点 （1）当|OM|时，求 M 点的极坐标； （2）将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转与该曲线相交于点 N，求|MN|最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 f（x）|2x+3a2| （1）当 a0 时，求不等式 f（x）+|x2|3 的解集； （2）对于任意实数 x，不等式|2x+1|f（x）2a 成立，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 19 页）

11、 2020 年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 A1，2，3，4，B3，4，5，全集 UAB，则集合U（AB） 的元素个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：AB1，2，3，4，5 AB3，4 U（AB）1，2，5 故选：C 2 （5 分）已知 a+bi（a，bR）是的共轭复数，则 a+b（ ） A1 B C D1 【解答】解：i， a+bi（i）i， a0，b1， a+b1，

12、 故选：D 3 （5 分）已知 ab0，cd0，则下列结论一定成立的是（ ） Aa+cb+d Bacbd Cacbd Dcdab 【解答】解：若 ab0，cd0， ab0，cd0， 则 acbc0，即 B 成立， 故选：B 4 （5 分）某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将 50 个同学按 01，02，03，50 进行编号，然后从随机数表第 9 行第 11 列开始向右读，则选出的第 7 个个体是（ ） （注：表为随机数表的第 8 行和第 9 行） 第 7 页（共 19 页） 63 01 63 78 58 16 95 55 67 19 98 110 50 71 75 12

13、86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 A02 B13 C42 D44 【解答】解：抽取时注意：编号不在 0150 的舍去，与前面取出的号码重复的舍去，直 至取满 7 个数， 找到第 9 行第 11 列的数开始向右读， 第一个符合条件的是 07， 第二个符合条件的数是 42， 第三个符合条件的数是 44， 第四个符合条件的数是 38， 第五个符合条件的数是 15， 第六个符合条件的数是 13， 第七个符合条件的数是 02 故选：A

14、5 （5 分）函数 y2sinxcosx+3 的最小正周期为（ ） A B C2 D4 【解答】解：因为 y2sinxcosx+3sin2x+3； T 故选：B 6 （5 分） “是“cos“成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由 一定能推出 cos，当由 cos，则不一定推出 ， 故“是“cos“成立的充分不必要条件， 故选：A 第 8 页（共 19 页） 7 （5 分）设函数若 f（a）a，则实数 a 的值为（ ） A1 B1 C2 或1 D1 或2 【解答】解：由题意知，f（a）a； 当 a0 时，有，解得 a2， （不满足条

15、件，舍去） ； 当 a0 时，有，解得 a1（不满足条件，舍去）或 a1 所以实数 a 的值是：a1 故选：B 8 （5 分）已知向量，且，则等于（ ） A B C0 D1 【解答】解：向量，且， 所以 2m40， 解得 m2； 所以 （2，2） ， 所以2 +80+816， 所以| |4， 所以 （ + ）+8+08， 所以 故选：B 9 （5 分）有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用这种神奇的三角形，就是以 19 世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形 这种三角形常出现在制造业中 （例如图 1 中的扫地机器人） 三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角 形，如图

16、2 所示现从图 2 中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概 率为（ ） 第 9 页（共 19 页） A B C D 【解答】 解： 设圆半径为 R， 因为阴影部分面积为， 勒洛三角形的面积为， 若从勒洛三角形内部随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率为 故选：D 10 （5 分）著名数学家华罗庚先生曾说： “数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百 般好，隔裂分家万事休”如函数 f（x）的图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：根据题意，函数 f（x），其定义域为x|x0， 有 f（x）（）f（x） ，即函数 f（x）为奇函数，排除 A， 又由 x0 时，有 exe x，

17、即有 exex0，则有 f（x）0，排除 D， 第 10 页（共 19 页） 当 x+时，f（x）+，排除 C； 故选：B 11 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，过 F 且倾斜角为 120的直线与 抛物线 C 交于 A， B 两点， 若 AF， BF 的中点在 y 轴上的射影分别为 M， N， 且|MN|4， 则抛物线 C 的准线方程为（ ） Ax Bx2 Cx3 Dx4 【解答】解：抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F（，0） ， 过 F 且倾斜角为 120的直线方程设为 y（x） ， 联立抛物线的方程可得y2+2pyp20， 设 A 的纵坐标为 y1，B 的

18、纵坐标为 y2， M，N 的纵坐标为y1，y2， 可得 y1+y2，y1y2p2， 则|y1y2|4， 可得（y1+y2）24y1y2192， 即为+4p2192， 解得 p6， 则抛物线的准线方程为 x3 故选：C 12 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 D，若满足条件：存在m，nD，使 f（x）在m，n 上的值域为km，kn（kR 且 k0） ，则称 f（x）为“k 倍函数” ，若函数 f（x）ax（a 1）为“3 倍函数” ，则实数 a 的取值范围是（ ） A B （1，e3） C D （e，e3） 【解答】解：因为函数 f（x）ax（a1）为增函数， 由函数 f（x）ax（a1）为

19、“3 倍函数” ， 即函数 yf（x）的图象与直线 y3x 有两个不同的交点， 设 g（x）ax3x， 则 g（x）axlna3， 第 11 页（共 19 页） 又 a1，所以 lna0， 则当 xloga时，g（x）0，当 xloga时，g（x）0， 所以函数 g（x）在（，loga）为减函数，在（loga，+）为增函数， 要函数 yf（x）的图象与直线 y3x 有两个不同的交点， 则需 g（loga）0， 所以loga， 所以 loga（）lna1， 所以（）lnaa， 所以 ln1， 所以e， 即 a， 又 a1， 所以 1a， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满

20、分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） （x2+x） （x2）4的展开式中，x3的系数为 8 【解答】解：因为（x2+x） （x2） 4 （x2+x） +， 故 x3的系数为+8 故答案为：8 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c4，且 C 为锐角，则ABC 面积的最大值为 4 【解答】解：因为 c4，又， 所以， 又 C 为锐角， 第 12 页（共 19 页） 所以 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 即， 即当时，ABC 面积的最大值为 故答案为： 15 （5 分）我国古代数学名著九章算术记载： “勾股各自乘，并之，为弦实” ，

21、用符号 表示为 a2+b2c2（a，b，cN*） ，把 a，b，c 叫做勾股数下列给出几组勾股数：3，4， 5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第 5 组勾股数的第二个数是 60 【解答】解：由前四组勾股数可得第五组的第一个数为 11，第二、三个数为相邻的两个 整数， 可设为 x，x+1， 所以（x+1）2112+x2， 即 x60， 所以第 5 组勾股数的三个数依次是 11，60，61 故答案为：60 16 （5 分）已知六棱锥 PABCDEF 的七个顶点都在球 O 的表面上，若 PA2，PA底面 ABCDEF，且六边形 ABCDEF 是边长为 1 的正六边形

22、，则球 O 的体积为 【解答】解：把六棱锥 PABCDEF 补成一个直六棱柱，则直六棱柱的外接球即是六棱 锥 PABCDEF 的外接球， 设直六棱柱的上下底面的中心分别是 O1，O2，则外接球心 O 为 O1O2的中点，且 O1O2 PA2， 六边形 ABCDEF 是边长为 1 的正六边形，AO1B 为等边三角形， AO1AB1， 又外接球半径 R，R21+12，R， 外接球 O 的体积为：， 第 13 页（共 19 页） 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17设等差数列an满足 a36，a108 （1）求an的通项公式； （2）求an的前 n 项和 Sn及使得 Sn最小

23、的序号 n 的值 【解答】解： （1）等差数列an满足 a36，a108 d2， ana3+2（n3）2n12， （2）an的前 n 项和 ， 当 n5 或 6 时，Sn取得最小值30 18如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PAPD，PAAB，N 是棱 AD 的 中点 （1）求证：PN平面 ABCD； （2）若 APPD，且 AB2，AD4，求二面角 BPCN 的余弦值 【解答】 （1）证明：由题意，知 ABAD，ABPA， 又 PAADA，PA，AD平面 PAD， AB平面 PAD 又 PN平面 PAD，ABPN 由 PAPD，NAND，得 PNAD， ABADA，AB

24、，AD平面 ABCD， PN平面 ABCD； （2）解：由 APPD，NAND，AB2，AD4，得：NANDPNNE2 取 BC 的中点 E，连结 NE，则 NEAB，故 NEAD 第 14 页（共 19 页） 由（1）知：PNNA，PNNE，NENA， 以 N 为原点，NA，NE，NP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 于是，有：N（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（2，2，0） ，C（2，2，0） ，P（0，0，2） ， ， 设平面 NPC 的一个法向量为， 则由，取 y1，得：； 设平面 BPC 的一个法向量为， 则由，取 b1，得： cos 二面角 BPCN 的余弦值为

25、 192019 年 10 月 1 日，庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵式在北京天安门广场隆重举 行，央视对阅兵式进行了直播为了解市民在直播中观看阅兵式的情况，某机构随机抽 取了 800 名市民，数据统计如表： 观看阅兵式 未观看阅兵式 合计 男 300 200 500 女 200 100 300 合计 500 300 800 第 15 页（共 19 页） （1）能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“是否观看阅兵式与性别有关”？ （2）经统计，抽取的 500 名观看阅兵式的市民中有高三学生 5 名，其中 3 名男生，2 名 女生，若从这 5 名高三学生中随机抽取两人接受采访，求

26、抽取的两名学生性别不同的概 率 附表及公式：K2，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）由表中数据，计算 K23.556 3.841， 则在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下不能认为“是否观看阅兵式与性别有关” （2）3 名男生记为 A、B，2 名女生记为 c、d、e， 从这 5 名学生中随机抽取两人，基本事件为 AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de 共 10 种； 抽取的两名学

27、生性别不同的基本事件为 Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be 共 6 种， 故所求的概率为 P 20过双曲线的右焦点 F2，倾斜角为 30的直线交双曲线于 A，B 两点，O 为 坐标原点，F1为左焦点 （1）求|AB|； （2）求AOB 的面积； （3）求证：|AF2|+|BF2|AF1|+|BF1| 【解答】 （1）解：由双曲线的方程得 a，b， c3，F1（3，0） ，F2（3，0） 直线 AB 的方程为 y（x3） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由得 5x2+6x270 第 16 页（共 19 页） x1+x2，x1x2 |AB|x1x2| （2）解：直线 AB 的方程变形为

28、x3y30 原点 O 到直线 AB 的距离为 d SAOB|AB|d（8 分） （3）证明：如图，由双曲线的定义得 |AF2|AF1|2，|BF1|BF2|2， |AF2|+|BF2|AF1|+|BF1|（12 分） 21已知函数 f（x）asinx1，g（x）ax2x+16a，aR （1）记函数 F（x）f（x）+g（x） 若 a1，求 F（x）的单调区间； 若 a0，求证：F（x）在0，+）上总存在最小值 （2）记函数 G（x）f（x） g（x） ，若存在正实数 x0，使不等式 G（x0）0 成立，求实 数 a 的取值范围 【解答】解： （1）F（x）asinx1+ax2x+16a，F（x

29、）acosx+2ax1，令 h（x） F（x） ， 当 a1 时，h（x）2x1+cosx，故 h（x）2sinx0， h（x）在 R 上单调递增，注意到 h（0）0， 当 x0 时，h（x）0，即 F（x）0， ；当 x0 时，h（x）0，即 F（x）0， 函数 F（x）的单调减区间为（，0） ，单调增区间为（0，+） ； 当 a0 时，h（x）2ax1+acosx，所以 h（x）a（2sinx）0， 所以函数 h（x）在0，+）上单调递增，且 h（0）a1， （i）当 a1 时，h（x）h（0）0，即 F（x）0，所以 F（x）在0，+）上单调 递增，此时 F（x）存在最小值，为 F（0）

30、 ； 第 17 页（共 19 页） （ii）当 0a1 时，h（0）a10，取，从而 h（x1）2ax11+acosx1 2ax11aa0， 由零点存在性定理可知，h（x）在（0，+）上存在唯一零点 x2，且 x2（0，x1） ， 又 h（x）在0，+）上单调递增， 当 x（0，x2）时，h（x）0，即 F（x）0；当 x（x2，+）时，h（x）0， 即 F（x）0， F（x）在（0，x2）上为减函数，在（x2，+）上为增函数，此时 F（x）存在最小值， 为 F（x2） ， 综上所述，F（x）在0，+）上总存在最小值； （2）由题意知存在正实数 x0，使成立， 当 a0 时，x00 矛盾， 当

31、 a0 时，将不等式两边同时除以 a2x0得， 因 为， 注 意 到 ， 要使存在正实数 x0，使，只需，解得 a1 或 a0 所以实数 a 的取值范围为（，1）（0，+） 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖 国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲 线如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲 线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 1sin（02，0） ，M 为该曲线 上的任意一点 （1）当|OM|时，求 M 点的极坐标； （

32、2）将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转与该曲线相交于点 N，求|MN|最大值 第 18 页（共 19 页） 【解答】解： （1）设点 M 在极坐标系中的坐标， 由 1sin，得， 02， 或 所以点 M 的极坐标为或 （1）由题意可设 M（1，） ， 由 1sin，得 11sin， 故时，|MN|的最大值为 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 f（x）|2x+3a2| （1）当 a0 时，求不等式 f（x）+|x2|3 的解集； （2）对于任意实数 x，不等式|2x+1|f（x）2a 成立，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a0 时，f（x）+|x2|2x|+|x2|3； ，得；，得 1x2；，得 x2； f（x）+|x2|2 的解集为； （2）对于任意实数 x，不等式|2x+1|f（x）2a 成立，即|2x+1|2x+3a2|2a 恒成立； 又因为|2x+1|2x+3a2|2x+12x3a2|3a21|； 所以原不等式恒成立只需|3a21|2a； 第 19 页（共 19 页） 当 a0 时，无解；当时，13a22a，解得； 当时，3a212a，解得； 所以实数 a 的取值范围是