2020年吉林省高考数学（文科）模拟试卷（2）.doc

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年吉林省高考数学（文科）模拟试卷（年吉林省高考数学（文科）模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 2 （5 分）设复数 z 满足则| |等于（ ） A B C D2 3 （5 分）下列与函数 y定义域和单调性都相同的函数是（ ） Ay2 Bylog2（）x Cylog2 Dyx 4 （5 分）已知等差数列an中，3a52a7，则此数列中一定为 0

2、 的是（ ） Aa1 Ba3 Ca8 Da10 5 （5 分）已知平面向量 、 的夹角为 135，且 为单位向量，则 （ ） A B C1 D 6 （5 分） 高中数学课程标准 （2017 版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了 比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验， 根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为 5 分，分值高者为优） ，则下面叙 述正确的是 （注：雷达图（RadarChart） ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart） ，可用于对 研究对象的多维分析） （ ） 第 2 页（共 20 页） A甲的数据分析素养高

3、于乙 B甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C乙的六大素养中逻辑推理最差 D乙的六大素养整体水平优于甲 7 （5 分）设是非零向量，已知命题 p：若，则；命题 q：若，则，下列命题中真命题是（ ） A （p）（q） Bp（q） Cpq Dpq 8 （5 分）已知函数，若关于 x 的方程f（x）22af（x）+3a0 有六个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C （3，4） D （3，4 9 （5 分）已知 为锐角，且，则角 （ ） A B C D 10 （5 分）设双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是双 曲线 C 上的点，且 PF1与 x 轴垂直，PF1F2的内切圆的

4、方程为（x+1）2+（y1）21， 则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A B C Dy2x 11 （5 分）已知数列an中，a11，设，则数列bn的前 n 第 3 页（共 20 页） 项和为（ ） A B C D 12 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F， 且 EF，则下列结论中错误的个数是（ ） （1）ACBE （2）若 P 为 AA1上的一点，则 P 到平面 BEF 的距离为 （3）三棱锥 ABEF 的体积为定值 （4）在空间与 DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条 （5）过 CC1的中点与直线 AC1所成角为 40并且

5、与平面 BEF 所成角为 50的直线有 2 条 A0 B1 C2 D3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足约条条件，则 zx+y 的最大值为 14 （5 分）曲线 f（x）2sinx 在处的切线与直线 ax+y10 垂直，则 a 15 （5 分）设不等式组所表示的平面区域为 M，函数 y的图象与 x 轴所围成的区域为 N，向 M 内随机投一个点，则该点不落在 N 内的概率为 16 （5 分）三棱锥 ABCD 的顶点都在同一个球面上，满足 BD 过球心 O，且 BD2， 三棱锥 ABCD 体积的最大值为

6、；三棱锥 ABCD 体积最大时，平面 ABC 截球 所得的截面圆的面积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 第 4 页（共 20 页） 17 （12 分）已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2A+sin2CsinAsinC sin2B （1）求 sinB 的值； （2）若 b2，ABC 的面积为，求ABC 的周长 18 （12 分）某校高一组织一次数学竞赛，选取 50 名学生成绩（百分制，均为整数） ，根据 这 50 名学生的成绩，绘制频率分布直方图（如图所示） ，其中样本数据分组区间为40， 50） ，

7、50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100 （1）求频率分布直方图中 a 的值； （2）估计选取的 50 名学生在这次数学竞赛中的平均成绩； （3）用分层抽样的方法在分数段为40，60）的学生成绩中抽取一个样本容量为 5 的样 本，再随机抽取 2 人的成绩，求恰有一人成绩在分数段50，60）内的概率 19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面 ABC 为等腰直角三角形，ABBC， AA12AB4，M，N 分别为 CC1，BB1的中点，G 为棱 AA1上一点，若 A1BNG （）求证：A1BGM； （）求点 A1到平面 MNG 的距离 20

8、（12 分）已知椭圆的左、右顶点分别为 A，B，焦距为 2，点 P 为椭圆上异于 A，B 的点，且直线 PA 和 PB 的斜率之积为 （）求 C 的方程； （）设直线 AP 与 y 轴的交点为 Q，过坐标原点 O 作 OMAP 交椭圆于点 M，试证明 第 5 页（共 20 页） 为定值，并求出该定值 21 （12 分）已知函数 （）若 x1为 f（x）的极值点，且 f（x1）f（x2） （x1x2） ，求 2x1+x2的值； （）求证：当 m0 时，f（x）有唯一的零点 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线

9、C1的参数方程为（ 为参数） ，曲线 C2的参数方程为 （t 为参数） （）求 C1和 C2的普通方程； （）过坐标原点 O 作直线交曲线 C1于点 M（M 异于 O） ，交曲线 C2于点 N，求 的最小值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|ax+1|+|x1| （）若 a2，解关于 x 的不等式 f（x）9； （）若当 x0 时，f（x）1 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2020 年吉林省高考数学（文科）模拟试卷（年吉林省高考数学（文科）模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，

10、满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 【解答】解：Ax|1x2，B1，0，1，2，3， AB0，1，2 故选：B 2 （5 分）设复数 z 满足则| |等于（ ） A B C D2 【解答】解：因为 z，所以， 所以| |， 故选：B 3 （5 分）下列与函数 y定义域和单调性都相同的函数是（ ） Ay2 Bylog2（）x Cylog2 Dyx 【解答】解：在定义域x|x0上单调递减，在定义域x|x0上单 调递增，的定义域为 R，在定

11、义域x|x0上单调递减， 的定义域为x|x0 故选：C 4 （5 分）已知等差数列an中，3a52a7，则此数列中一定为 0 的是（ ） Aa1 Ba3 Ca8 Da10 【解答】解：等差数列an中，3a52a7， 第 7 页（共 20 页） 3（a1+4d）2（a1+6d） ， 化为：a10 则此数列中一定为 0 的是 a1 故选：A 5 （5 分）已知平面向量 、 的夹角为 135，且 为单位向量，则 （ ） A B C1 D 【解答】解：由题意知，平面向量 、 的夹角为 135，且| |1， 所以| |， 1cos1351， +2+1+2（1）+21， 所以1 故选：C 6 （5 分）

12、高中数学课程标准 （2017 版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了 比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验， 根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为 5 分，分值高者为优） ，则下面叙 述正确的是 （注：雷达图（RadarChart） ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart） ，可用于对 研究对象的多维分析） （ ） A甲的数据分析素养高于乙 B甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C乙的六大素养中逻辑推理最差 第 8 页（共 20 页） D乙的六大素养整体水平优于甲 【解答】解：对于 A 选项，甲的数据分析为 3 分，乙的数

13、据分析为 5 分，即甲的数据分 析素养低于乙，故选项 A 错误， 对于 B 选项，甲的数学建模素养为 3 分，数学抽象素养为 3 分，即甲的数学建模素养与 数学抽象素养同一水平，故选项 B 错误， 对于 C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故 选项 C 错误， 对于 D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整 体水平优于甲，故选项 D 正确， 故选：D 7 （5 分）设是非零向量，已知命题 p：若，则；命题 q：若，则，下列命题中真命题是（ ） A （p）（q） Bp（q） Cpq Dpq 【解答】解：因为是非零向量， 若 0

14、， 0，则 ，即（ ） 0，则 0 不一定成立，故命 题 p 为假命题， 若 ， ，则 ，故命题 q 为真命题， 则 pq 为真命题，pq， （p）（q） ，p（q）都为假命题， 故选：C 8 （5 分）已知函数，若关于 x 的方程f（x）22af（x）+3a0 有六个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C （3，4） D （3，4 【解答】解：令 f（x）t，则 g（t）t22at+3a，作 f（x）的图象如下， 第 9 页（共 20 页） 设 g（t） ）t22at+3a 的零点为 t1，t2，由图可知，要满足题意， 则需 g（t）t22at+3a 在（2，4）有两不等

15、实根或者其中一根为 4，另一根在（2，4） 内， 故或，解得 3a或 a 即实数 a 的取值范围是： （3， 故选：B 9 （5 分）已知 为锐角，且，则角 （ ） A B C D 【 解答】解 ：由条 件已知 为 锐角， 且，可 得 ， 将各个选项中的值代入检验，只有 满足， 故选：C 10 （5 分）设双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是双 第 10 页（共 20 页） 曲线 C 上的点，且 PF1与 x 轴垂直，PF1F2的内切圆的方程为（x+1）2+（y1）21， 则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A B C Dy2x 【解答】解： ，PF1F2的内切圆方程为（x+1）2+（

16、y1）21，圆心 C（1，1） ，半 径为 r1， |OF1|2r2， P（2，） ， |PF1|，由双曲线的定义可知：|PF2|2a+，|F1F2|2c4， 由三角形的内切圆的半径 r2a1， 则 a1， 由 b2c2a23 双曲线方程的渐近线方程为： 故选：B 11 （5 分）已知数列an中，a11，设，则数列bn的前 n 项和为（ ） A B C D 【解答】解：由题意，当 n2 时， 第 11 页（共 20 页） anSnSn1n2n（n1）2（n1）3n2， 当 n1 时，a11 也符合上式 an3n2，nN* 则（） 设数列bn的前 n 项和 Tn，则 Tnb1+b2+bn （1）

17、+（）+（） （1+） （1） 故选：A 12 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F， 且 EF，则下列结论中错误的个数是（ ） （1）ACBE （2）若 P 为 AA1上的一点，则 P 到平面 BEF 的距离为 （3）三棱锥 ABEF 的体积为定值 （4）在空间与 DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条 （5）过 CC1的中点与直线 AC1所成角为 40并且与平面 BEF 所成角为 50的直线有 2 条 A0 B1 C2 D3 【解答】解：对于（1） ，AC平面 BB1D1D，又 BE平面 BB1D1D，ACBE故（1） 正确

18、第 12 页（共 20 页） 对于（2） ，AA1BB1，AA1平面 BB1DD1，BB1平面 BB1DD1， AA1平面 BB1DD1，即 AA1平面 BEF， 又正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， A1到平面 BEF 的距离为 A1到 B1D1的距离， 若 P 为 AA1上的一点，则 P 到平面 BEF 的距离为，故（2）正确； 对于（3） ，SBEF， 设 AC，BD 交于点 O，AO平面 BB1D1D，AO， VABEF，故（3）正确； 对于（4） ，由于平面 BDD1B1与直线 DD1，AC，B1C1都有交点， 则所求直线在平面 BDD1B1，由于平面 BDD1B1与直线

19、 AC 交于 O， 与直线 C1B1交于 B1，连接 OB1，延长与 D1D 延长交于 Q，即为所求直线； 另外，将面 BDD1B1绕着 DD1进行旋转，则与 AC，B1C1交点会发生改变， 将交点连接并延长，可得都相交的直线有无数条故（4）正确； 对于（5）由于过 CC1的中点与直线 AC1所成角为 40的直线有 2 条 并且这两条直线与平面 BEF 所成角为 50，故（5）正确； 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足约条条件，则 zx+y 的最大值为 4 【解答】解：由 x，y 满足约条条件

20、作出可行域如图： 第 13 页（共 20 页） 化目标函数 zx+y 为 yx+z， 由图可知，当直线 yx+z 过 A 时，z 取得最大值， 由，解得 A（2，2）时， 目标函数有最大值为 z4 故答案为：4 14 （5 分）曲线 f（x）2sinx 在处的切线与直线 ax+y10 垂直，则 a 1 【解答】解：f（x）2cosx， ， 切线与直线 ax+y10 垂直， 所以a1 a1 故答案为：1 15 （5 分）设不等式组所表示的平面区域为 M，函数 y的图象与 x 轴所围成的区域为 N，向 M 内随机投一个点，则该点不落在 N 内的概率为 1 【解答】解：作出平面区域 M，N 如图所示

21、， 由题意 M 区域的面积 S8，区域 N 为半圆，面积为， 向 M 内随机投一个点，则该点不落在 N 内的概率 P1 第 14 页（共 20 页） 故答案为：1 16 （5 分）三棱锥 ABCD 的顶点都在同一个球面上，满足 BD 过球心 O，且 BD2， 三棱锥 ABCD 体积的最大值为 ；三棱锥 ABCD 体积最大时，平面 ABC 截 球所得的截面圆的面积为 【解答】解：当 BD 过球心，所以BADBCD90， 所以 AO面 BCD，VABCD，当 BCCD 时体积最大， 因为 BD2，OA，所以 BCCD2， 所以最大体积为：； 三棱锥 ABCD 体积最大时，三角形 ABC 中，ABA

22、C2BC， 设三角形 ABC 的外接圆半径为 r，则 2r，所以 r， 所以外接圆的面积为 Sr2， 故答案分别为：， 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2A+sin2CsinAsinC 第 15 页（共 20 页） sin2B （1）求 sinB 的值； （2）若 b2，ABC 的面积为，求ABC 的周长 【解答】解： （1）因为 sin2A+sin2CsinAsinCsin2B 由正弦定理可得， 由余弦定理可得，cosB， 故 sinB； （2）S

23、ABC， 所以 ac3， 因为， 所以4+812， 所以 a+c+b2+2 18 （12 分）某校高一组织一次数学竞赛，选取 50 名学生成绩（百分制，均为整数） ，根据 这 50 名学生的成绩，绘制频率分布直方图（如图所示） ，其中样本数据分组区间为40， 50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100 （1）求频率分布直方图中 a 的值； （2）估计选取的 50 名学生在这次数学竞赛中的平均成绩； （3）用分层抽样的方法在分数段为40，60）的学生成绩中抽取一个样本容量为 5 的样 本，再随机抽取 2 人的成绩，求恰有一人成绩在分数段50，60）内的

24、概率 【解答】解： （1）因为（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）101， 所以 a0.006， 第 16 页（共 20 页） （2）由频率分布直方图可得平均数为 450.04+550.06+650.22+750.28+85 0.22+950.1876.2； （3）学生成绩在50，60）的有：500.006103（人） ，记为 A1，A2，A3， 学生成绩在40，50）的有：500.004102（人） ，记为 B1，B2， 5 名学生中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种， 它们是A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B1，A

25、2，B2，A3， B1，A3，B2，B1，B2， 又恰有一人成绩在50，60）的结果有 6， 故所求的概率为 p0.6 19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面 ABC 为等腰直角三角形，ABBC， AA12AB4，M，N 分别为 CC1，BB1的中点，G 为棱 AA1上一点，若 A1BNG （）求证：A1BGM； （）求点 A1到平面 MNG 的距离 【解答】解： （1）证明：ABBC，BCBB1，可得 CB平面 ABB1A1， M，N 分别为 CC1，BB1的中点，可得 MNBC， 可得 MN平面 ABB1A1，又 A1BNG， 由三垂线定理可得 A1BGM； （）设

26、 A1B 与 GN 交于点 E，由（）可得 A1B平面 MNG， 在BNE 中，AA12AB4，tanEBN，则 cosEBN， 可得，由 BA12，则， 可知 A1到平面 MNG 的距离为 A1E 第 17 页（共 20 页） 20 （12 分）已知椭圆的左、右顶点分别为 A，B，焦距为 2，点 P 为椭圆上异于 A，B 的点，且直线 PA 和 PB 的斜率之积为 （）求 C 的方程； （）设直线 AP 与 y 轴的交点为 Q，过坐标原点 O 作 OMAP 交椭圆于点 M，试证明 为定值，并求出该定值 【解答】解： （1）已知点 P 在椭圆上，设 P（x0，y0） ，即有， 又，且 2c2，

27、 可得椭圆的方程为； （2）设直线 AP 的方程为：yk（x+2） ，则直线 OM 的方程为 ykx， 联立直线 AP 与椭圆的方程可得： （3+4k2）x2+16k2x+16k2120， 由 xA2，可得， 联立直线 OM 与椭圆的方程可得： （3+4k2）x2120，即， 所以 即为定值，且定值为 2 21 （12 分）已知函数 （）若 x1为 f（x）的极值点，且 f（x1）f（x2） （x1x2） ，求 2x1+x2的值； （）求证：当 m0 时，f（x）有唯一的零点 【解答】解： （1）由题可知 f（x1）f（x2） ，且 f（x1）0，又 f（x）x2+2x+m， 即得， 化简并分

28、解因式可得（2x1+x2+3） （x1x2）0 第 18 页（共 20 页） 2x1+x23 （6 ） （2）证明：令，则， 令，h（x）x2+2x，可知 h（x）在（，2）和（0，+）上单调 递增，在2，0上单调递减， 又，h（0）0；m（x+1）为过点（1，0）的直线，又 m0，则m0， 因此有且只有一个交点，即有唯一的零 点 （12 分） 四解答四解答题（共题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，曲线 C2的参数方程为 （t 为参数） （）求 C1和 C2的普通方程； （）过坐标原点 O 作

29、直线交曲线 C1于点 M（M 异于 O） ，交曲线 C2于点 N，求 的最小值 【解答】解： （）由（ 为参数） ，消去参数 ，可得 C1的参数方程为 （x2）2+y24； 由（t 为参数） ，得，消去参数 t，可得 C2的普通方程为 x+y 8； （）如图，圆 C1的极坐标方程为 4cos，直线 C2的极坐标方程为 cos+sin8， 即， 设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为 （） ， 则 第 19 页（共 20 页） ，2+ ， 则的最小值为 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|ax+1|+|x1| （）若 a2，解关于 x 的不等式 f（x）9； （）

30、若当 x0 时，f（x）1 恒成立，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （）当 a2 时，f（x）|2x+1|+|x1|， 则 f（x）9 等价为或或， 解得 1x3 或x1 或3x， 综上可得原不等式的解集为（3，3） ； （）当 x0 时，f（x）1 恒成立， 即为 1f（x）min， 当 a0 时，f（x）|x1|，其最小值为 f（1）0，不符题意； 当 a0，即a0 时，f（x）|ax+1|+|x1|a|x+|+|x1|（a1）|x+|+（|x 1|+|x+|） ， 第 20 页（共 20 页） 当a10，f（x）有最小值，且为|1+|，又|1+|1 不恒成立； 当 a0，x0 时，f（x）ax+1+|x1 的最小值为 f（1）a+1|1 恒成立， 综上可得，a 的范围是（0，+）