2020年全国ⅰ卷高考数学（理科）模拟试卷（1）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年全国卷高考数学（理科）模拟试卷（年全国卷高考数学（理科）模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设复数 z 满足2: = 1则|等于（ ） A3 2 B 10 2 C 2 2 D2 2 （5 分）设集合 A= *| +2 1 0+，Bx|ylog2（x22x3），则 AB（ ） Ax|2x1 Bx|1x1 Cx|2x1 Dx|1x1 3 （5 分） “x23“是“log2x1”的（ ） A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 4 （

2、5 分）已知曲线 C1：ysinx，2： = (2 + 3)，则下面结论正确的是（ ） A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 6个单位长度， 得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 3个单位长度， 得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再向左平移 3个单位长度，得 到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再向左平移 6个单位长度，得 到曲线 C2 5 （5 分）如图，网格纸上每个小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则 该棱锥的体积为（

3、 ） 第 2 页（共 19 页） A3 2 B3 C2 3 D4 3 6 （5 分）一个路口的红绿灯，红灯时间为 30 秒，绿灯时间为 30 秒，绿灯时方可通过，则 小王驾车到达该路口等待时间不超过 10 秒的概率为（ ） A1 6 B5 6 C1 3 D2 3 7 （5 分）函数() = 2(2+ 2 3)的单调减区间为（ ） A （，3） B （，1） C （1，+） D （3，1） 8（5 分） 已知点 F 为双曲线 C： 2 2 2 2 =1 （a， b0） 的右焦点， 直线 ykx， k 3 3 ，3与与 双曲线 C 交于 A，B 两点，若 AFBF，则该双曲线的离心率的取值范围是（

4、 ） A2，2 + 6 B2，3 + 1 C2，3 + 1 D2，2 + 6 9 （5 分）在一项由“一带一路”沿线 20 国青年参与的评选中， “高铁” 、 “支付宝” 、 “共享 单车”和“网购”被称作中国“新四大发明” 曾以古代“四大发明”推动世界进步的中 国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念某班假期分为四个社会实践活动小 组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查，于开学进行交流报告会，四个 小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为（ ） A1 6 B1 4 C1 3 D1 2 10 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已

5、知 a2+c2b2+2accosC 且 a2bsinA，则 A（ ） A 4 B 6 C 3 D2 3 11 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1BC1D1中，O 是正方形 A1B1C1D1的中心，E、F 分别 为棱 AB、BB1的中点，则（ ） A直线 EF 与 AC1共面 BCFAO C平面 EFC平面 AOC1 DOF 与 AA1所成角为 4 第 3 页（共 19 页） 12 （5 分）已知函数 f（x）ax3+bx2+cx17（a，b，cR）的导函数为 f（x） ，f（x） 0 的解集为x|2x3，若 f（x）的极小值等于98，则 a 的值是（ ） A 81 22 B1 3 C2 D

6、5 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 + ， + 2 2， 0. 若 z2xy 的最小值为1，则 m ，z 的最大值是 14 （5 分） （3x22x1）5的展开式中，x2的系数是 （用数字填写答案） 15 （5 分）已知实数 x，y 满足 2x2xyy210，则 :2 52:2:22的最大值为 16 （5 分）设双曲线 2 2 2 :1 = 1的两个焦点为 F1，F2，点 P 在双曲线上，若 PF1PF2， 则点 P 到坐标原点 O 的距离的最小值为 三解答题（共三解答题（共 5 小题

7、，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）数列an的前项和为 Sn，且 a1m，Sn+13Sn2n+3（nN*） （）求数列an的通项公式； （）当 m3 时，若 bn= 1 21（nN*） ，且数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn 9 16 18 （12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表： 质量指标值 m m185 185m 205 M205 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取 200 件，检测后得到如右的频率分布直方图： （1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品

8、至少要占全 部产品 50%”的规定？ （2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取 8 件，再从这 8 件产品中随机抽取 4 件，求抽取的 4 件产品中，一、二、三等品都有的概率； （3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质 量指标值 X 近似服从正态分布 N（216，139） ，则“质量提升月”活动后的质量指标值的 均值比活动前大约提升了多少？ 第 4 页（共 19 页） 19 （12 分）如图，在四面体 ABCD 中，平面 ABC平面 ACD，ACBACD90， ACBC= 2CD2，E，F，G 分别为 AB，AD，AC 的中点 （1）证明：平面 EF

9、G平面 BCD； （2）求三棱锥 EACD 的体积； （3）求二面角 DABC 的大小 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆（x+1）2+y28 的圆心为 M已知点 N（1，0） ， 且 T 为圆 M 上的动点，线段 TN 的中垂线交 TM 于点 P （1）求点 P 的轨迹方程； （2） 设点 P 的轨迹为曲线 C1， 若四边形 ABCD 的四个顶点都在曲线 C1上， 对角线 AC， BD 互相垂直并且它们的交点恰为点 N，求四边形 ABCD 面积的取值范围 21 （12 分）已知函数() = 2 2 1 ，aR （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个极值点 x

10、1，x2（x1x2） ，求 f（x2）2f（x1）的最大值 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，直线 l1的参数方程为 = 3 = （t 为参数） ，直线 第 5 页（共 19 页） l2的参数方程为 = 3 = 3 （m 为参数） 设直线 l1与 l2的交点为 P当 k 变化时点 P 的轨迹为曲线 C1 （）求出曲线 C1的普通方程； （）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为 ( + 4) = 32，点 Q 为曲线 C1 上的动点，求点 Q 到直

11、线 C2的距离的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知实数 x、y、z 满足 x2y+z4 （1）求 x2+y2+z2的最小值； （2）若 yx+z，求 xz 的最大值 第 6 页（共 19 页） 2020 年全国卷高考数学（理科）模拟试卷（年全国卷高考数学（理科）模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设复数 z 满足2: = 1则|等于（ ） A3 2 B 10 2 C 2 2 D2 【解答】解：因为 z= 2+ 1 = 1 2 3 2 ，所以

12、= 1 2 + 3 2 ， 所以|=( 1 2) 2+ (3 2) 2 = 10 2 ， 故选：B 2 （5 分）设集合 A= *| +2 1 0+，Bx|ylog2（x22x3），则 AB（ ） Ax|2x1 Bx|1x1 Cx|2x1 Dx|1x1 【解答】解：Ax|2x1，Bx|x22x30x|x1 或 x3， ABx|2x1 故选：A 3 （5 分） “x23“是“log2x1”的（ ） A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：由 x23 得 x3或 x 3， 由 log2x1 得 x2， 则“x23“是“log2x1”的必要不充分条件，

13、 故选：C 4 （5 分）已知曲线 C1：ysinx，2： = (2 + 3)，则下面结论正确的是（ ） A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 6个单位长度， 得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 3个单位长度， 得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再向左平移 3个单位长度，得 第 7 页（共 19 页） 到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再向左平移 6个单位长度，得 到曲线 C2 【解答】解：把曲线 C1：ysinx 上各点的横坐标缩短到

14、原来的1 2倍，纵坐标不变，再向 左平移 6个单位长度，得到曲线2： = (2 + 3)的图象 故选：D 5 （5 分）如图，网格纸上每个小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则 该棱锥的体积为（ ） A3 2 B3 C2 3 D4 3 【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥 PABC， 把该三棱锥放入棱长为 3 的正方体中，如图所示； 则该三棱锥的体积为 V= 1 3SABCh= 1 3 1 2 133= 3 2 故选：A 6 （5 分）一个路口的红绿灯，红灯时间为 30 秒，绿灯时间为 30 秒，绿灯时方可通过，则 第 8 页（共 19 页） 小王驾车到达该路口等待时间不

15、超过 10 秒的概率为（ ） A1 6 B5 6 C1 3 D2 3 【解答】解：根据题意可知，总时间长度 60 秒， 到达路口时为红灯结束前的 10 秒或绿灯时，等待的时间不超过 10 秒就可以通行，即满 足条件的时间长度 30+1040 秒， 根据几何概型，所求概率 P= 40 60 = 2 3 故选：D 7 （5 分）函数() = 2(2+ 2 3)的单调减区间为（ ） A （，3） B （，1） C （1，+） D （3，1） 【解答】解：令 tx2+2x3（x+3） （x1）0，解得 x3，或 x1， 故函数的定义域为（，3）（1，+） 根据 f（x）log2t，复合函数的单调性可得

16、， 本题即求函数 t（x+1）24 在定义域（，3）（1，+）上的减区间 再利用二次函数的性质可得函数 t（x+1） 24 在定义域上的减区间为 （，3） ， 故选：A 8（5 分） 已知点 F 为双曲线 C： 2 2 2 2 =1 （a， b0） 的右焦点， 直线 ykx， k 3 3 ，3与与 双曲线 C 交于 A，B 两点，若 AFBF，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A2，2 + 6 B2，3 + 1 C2，3 + 1 D2，2 + 6 【解答】 解： 点 F 为双曲线 C： 2 2 2 2 =1 （a， b0） 的右焦点， 直线 ykx， k 3 3 ，3与 与双曲线 C 交于

17、 A，B 两点，若 AFBF， 不妨 A 在第一谢谢， A （ccos， csin） ， 代入双曲线方程可得： 22 2 22 2;2 = 1即： 22 22 21 = 1， 可得 e4cos2e2e21， 可得 e2= 2+442 22 = 1+ 2 = 1 1， 直线 ykx，k 3 3 ，3，可知 tan 3 3 ，3， sin1 2 ， 3 2 ， e22，4+23， 第 9 页（共 19 页） 所以 e2，3 + 1 故选：B 9 （5 分）在一项由“一带一路”沿线 20 国青年参与的评选中， “高铁” 、 “支付宝” 、 “共享 单车”和“网购”被称作中国“新四大发明” 曾以古代“

18、四大发明”推动世界进步的中 国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念某班假期分为四个社会实践活动小 组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查，于开学进行交流报告会，四个 小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为（ ） A1 6 B1 4 C1 3 D1 2 【解答】解： “高铁” 、 “支付宝” 、 “共享单车”和“网购” ，利用隔板法先排“高铁”和 “共享单车” ，有 2 种排法，然后有三个空插入“支付宝”和“网购”有 6 种排法，则共 有 2612 种，四个总共有4 4 =24 种，即“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概 率为12 24 = 1 2 故选：D

19、 10 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2+c2b2+2accosC 且 a2bsinA，则 A（ ） A 4 B 6 C 3 D2 3 【解答】 解： 在ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 a2+c2b2+2accosC， 则：a2+c2a2+c22accosB+2accosC， 整理得：2accosB2accosC，所以 cosCcosB， 则：BC 由于 a2bsinA，所以 sinA2sinBsinA， 所以 sinB= 1 2 故：B= 6 或 5 6 当 B= 6时， = 6，所以 A= 2 3 当

20、B= 5 6 时，与三角形内角和定理矛盾 故：A= 2 3 故选：D 第 10 页（共 19 页） 11 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1BC1D1中，O 是正方形 A1B1C1D1的中心，E、F 分别 为棱 AB、BB1的中点，则（ ） A直线 EF 与 AC1共面 BCFAO C平面 EFC平面 AOC1 DOF 与 AA1所成角为 4 【解答】解：在正方体 ABCDA1BC1D1中，O 是正方形 A1B1C1D1的中心， E、F 分别为棱 AB、BB1的中点， 在 A 中，EFAB1，AC1AB1A，直线 EF 与 AC1异面，故 A 错误； 在 B 中，以 D 为原点，DA 为

21、x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCDA1BC1D1中棱长为 2， 则 A（2，0，0） ，C（0，2，0） ，O（1，1，2） ，F（2，2，1） ， =（2，0，1） ， =（1，1，2） ， = 2+0+20，CFAO，故 B 正确； 在 C 中，E（2，1，0） ，C1（0，2，2） ， =（1，1，2） ，1 =（2，2，2） ， =（0，1，1） ， =（2，1，0） ， 设平面 EFC 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = + = 0 = 2 + = 0 ，取 x1，得 =（1，2，2） ， 设平面 AOC1的法向量 =（x，y，z

22、） ， 则 = + + 2 = 0 1 = 2 + 2 + 2 = 0 ，取 x1，得 =（1，1，0） ， ，不共线，平面 EFC 与平面 AOC 1不平行，故 C 错误； 第 11 页（共 19 页） 在 D 中， =（1，1，1） ，A1（2，0，2） ，1 =（0，0，2） ， cos ，1 = 1 | |1 | = 2 32 = 3 3 ， OF 与 AA1所成角不为 4，故 D 错误 故选：B 12 （5 分）已知函数 f（x）ax3+bx2+cx17（a，b，cR）的导函数为 f（x） ，f（x） 0 的解集为x|2x3，若 f（x）的极小值等于98，则 a 的值是（ ） A 8

23、1 22 B1 3 C2 D5 【解答】解：依题意得 f（x）3ax2+2bx+c0 的解集是2，3， 于是有 3a0，2+3= 2 3，23= 3， 解得 b= 3 2 ，c18a， 函数 f（x）在 x3 处取得极小值， 有 f（3）27a+9b+3c1798， a2， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 + ， + 2 2， 0. 若 z2xy 的最小值为1，则 m 1 ，z 的最大值是 4 第 12 页（共 19 页） 【解答】解：先作出实数 x，y 满足约束条件 + ，

24、 + 2 2， 0. 的可行域如图， 目标函数 z2xy 的最小值为：1， 由图象知 z2xy 经过平面区域的 A 时目标函数取得最小值1 由2 = 1 + 2 = 2 ，解得 A（0，1） ， 同时 A（0，1）也在直线 x+ym0 上， 1m0， 则 m1， z2xy 过点 C（2，0）时取最大值； 所以其最大值为 z2204 故答案为：1.4 14 （5 分） （3x22x1）5的展开式中，x2的系数是 25 （用数字填写答案） 【解答】解：因为： （3x22x1）53x2（2x+1）5； 其展开式的通项公式为：Tr+1= 5 （3x2）5r（2x+1）r； 要求 x2的系数； 所以：当

25、 5r0，即 r5 时，需求（2x+1）5（2x+1）5的展开式的 x2项，故 此时 x2的系数是：5 552 221340； 当 5r1，即 r4 时，需求（2x+1）5（2x+1）5的展开式的常数项，故此时 x2的系数是：5 4 3 5 5 1515； 综上可得：x2的系数是：40（15）25 故答案为：25 第 13 页（共 19 页） 15 （5 分）已知实数 x，y 满足 2x2xyy210，则 :2 52:2:22的最大值为 2 4 【解答】解：2x2xyy210， （2x+y） （xy）1， 5x2+2xy+2y2（2x+y）2+（xy）2（2x+y）（xy）2+2（x+2y）2

26、+2， 若 :2 52:2:22的最大值，显然 x+2y0 不满足题意，只有 x+2y0， 则 :2 52:2:22 = :2 (:2)2:2 = 1 (:2): 2 +2 1 22 = 2 4 当且仅当 x+2y= 2 +2时取等号，此时取得最大值 2 4 故答案为： 2 4 16 （5 分）设双曲线 2 2 2 :1 = 1的两个焦点为 F1，F2，点 P 在双曲线上，若 PF1PF2， 则点 P 到坐标原点 O 的距离的最小值为 3 2 【解答】 解： 双曲线 2 2 2 :1 = 1的两个焦点为 F1， F2， 点 P 在双曲线上， 若 PF1PF2， 则点 P 到坐标原点 O 的距离

27、为 c， 所以 c= 2+ + 1 =( + 1 2) 2+3 4 3 2 ，当且仅当 a= 1 2时，取得最小值： 3 2 故答案为： 3 2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）数列an的前项和为 Sn，且 a1m，Sn+13Sn2n+3（nN*） （）求数列an的通项公式； （）当 m3 时，若 bn= 1 21（nN*） ，且数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn 9 16 【解答】 （）解：S2a1+a23a12+3，解得 a22m+1； Sn+23Sn+12（n+1）+3； Sn+13Sn2n+3；

28、，得 an+23an+12； 整理得，an+213（an+11） ； = 2 3;2+ 1， （nN*，n2） ； 当 n1 时，代入上式，1= 2 3 + 1 ； 第 14 页（共 19 页） 数列an得通项公式为：= ，( = 1) 2 3;2+ 1，( 2， )； （）证明：当 m3 时，= 2 3;1+ 1， （nN*） ； = 1 21 = 1 291+1； = 1 290+1 + 1 291+1 + + 1 291+1 1 290 + 1 291 + + 1 291 = 1 2 1 1 9 11 9 = 9 16 (1 1 9) 9 16 9 16 18 （12 分）某种产品的质量

29、以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表： 质量指标值 m m185 185m 205 M205 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取 200 件，检测后得到如右的频率分布直方图： （1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全 部产品 50%”的规定？ （2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取 8 件，再从这 8 件产品中随机抽取 4 件，求抽取的 4 件产品中，一、二、三等品都有的概率； （3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质 量指标值 X 近似服从正态分布 N（216，139） ，

30、则“质量提升月”活动后的质量指标值的 均值比活动前大约提升了多少？ 第 15 页（共 19 页） 【解答】解： （1）根据抽样调查数据，一等品所占比例的估计值为 0.260+0.090+0.025 0.375 由于该估计值小于 0.5， 故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品 50%”的规定； （2）由直方图知，一、二、三等品的频率分别为：0.375，0.5，0.125 故在样本中用分层抽样的方法抽取的 8 件产品中，一等品 3 件，二等品 4 件，三等品 1 件， 再从这 8 件产品中抽取 4 件，一、二、三等品都有的情形由 2 种 一等品 2 件，二等品 1 件，三等品

31、 1 件 一等品 1 件，二等品 2 件，三等品 1 件 P= 3 2 4 1 1 1+ 3 1 4 2 1 1 8 4 = 3 7； （3） “质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为： 1700.025+1800.1+1900.2+2000.3+2100.26+2200.09+2300.025200.4 “质量提升月”活动后，产品质量指标值 X 近似满足 XN（216，139） ， 即质量指标的均值约为 216 所以， “质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了 15.6 19 （12 分）如图，在四面体 ABCD 中，平面 ABC平面 ACD，ACBACD9

32、0， ACBC= 2CD2，E，F，G 分别为 AB，AD，AC 的中点 （1）证明：平面 EFG平面 BCD； （2）求三棱锥 EACD 的体积； （3）求二面角 DABC 的大小 【解答】证明： （1）E，F 分别是 AB，AD 的中点， 又 EF平面 BCD，BD面 BCD，EF面 BCD， 第 16 页（共 19 页） 同理，EG面 BCD， EFEGE，EF面 EFG，EG面 EFG， 面 EFG面 BCD 解： （2）ACB90，ACBC， 面 ABC面 ACD，面 ABC面 ACDAC，ACBC，BC面 ABC， BC面 ACD， BC2，E 为 AB 中点， VEACD= 1

33、2 ;= 1 2 1 3 = 1 6 1 2 2 2 2 = 2 3 ， 三棱锥 EACD 的体积为 2 3 （3）ACBC，E 为 AB 中点，ECAB，同理 EDAB， 又 DE面 ABD，CE面 ABC， CED 是二面角的平面角， 面 ABC面 ACD，面 ABC面 ACDAC，DC面 ACB，DCAC， DC面 ACB， CE面 ACB，DCEC， 在 RtDCE 中，CECD，则CED45， 二面角 CABD 的大小为 45 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆（x+1）2+y28 的圆心为 M已知点 N（1，0） ， 且 T 为圆 M 上的动点，线段 TN 的中垂线

34、交 TM 于点 P （1）求点 P 的轨迹方程； （2） 设点 P 的轨迹为曲线 C1， 若四边形 ABCD 的四个顶点都在曲线 C1上， 对角线 AC， BD 互相垂直并且它们的交点恰为点 N，求四边形 ABCD 面积的取值范围 第 17 页（共 19 页） 【解答】解： （1）因为 P 为线段 TM 中垂线上一点，所以|PM|+|PN|PM|+|PT|TM| 22， 因为 M（1，0） ，N（1，0） ，所以|MN|222， 则点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点，长轴长为 22的椭圆，轨迹方程为 2 2 + 2= 1； （2）因为对角线 AC，BD 互相垂直，所以 AC，BD 中至少有一条

35、斜率存在， 不妨设 AC 的斜率为 k， 当 k0 时，AC= 22，BD= 2，此时 S= 1 2 22 2 =2， 当 k0 时，AC 过点 N（1，0） ，故 AC 的方程为 yk（x1） ， 将此式代入 2 2 + 2= 1得（1+2k2）x24k2x+2k220， 设 A（x1，y1） ，C（x2，y2） ，则 x1+x2= 42 1+22，x1x2= 222 1+22， 从而|AC|= 1 + 2(1+ 2)2 412= 1 + 222(1: 2) 1:22 = 22(1:2) 1:22 ， 当 k0 时，BD 的斜率为 1 ，同上可得|BD|= 22(1+ 1 2) 1+ 2 2

36、 = 22(1+2) 2+2 ， 故四边形 ABCD 的 S= 1 2|AC|BD|= 1 2 22(1:2) 1:22 22(1: 2) 2:2 = 4(1:2)2 (1:22)(2:2) = 4(2: 1 2:2) 5:2(2: 1 2) ， 令 tk2+ 1 2 2，当且仅当 k1 时，t2， 此时 S= 4(+2) 5+2 =2 2 5+2，显然 S 是以 t 为自变量的增函数， 所以16 9 2， 综上所述，四边形 ABCD 面积的取值范围是16 9 ，2 21 （12 分）已知函数() = 2 2 1 ，aR （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x

37、2（x1x2） ，求 f（x2）2f（x1）的最大值 【解答】解： （1）f（x）2x2a+ 1 = 222+1 ，x0， 令 y2x22ax+1， 当4a280，即2 2时，y0，此时 f（x）在（0，+）上单调递增； 第 18 页（共 19 页） 当 a 2时，2x22ax+10 有两个负根，此时 f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a2时，2x22ax+10 有两个正根，分别为 x1= 22 2 ，x2= +22 2 ， 此时 f（x）在（0，x1） ， （x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减 综上可得：a 2时，f（x）在（0，+）上单调递增， a2时，f（x）在（0，;

38、 2;2 2 ） ， （: 2;2 2 ，+）上单调递增， 在（; 2;2 2 ，: 2;2 2 ）上单调递减 （2）由（1）可得 x1+x2a，x1x2= 1 2，a2， 2ax1212+1，2ax2222+1， a2， 2 2 2 ， x1（0， 2 2 ） ，x2（ 2 2 ，+） ， f（x2）2f（x1）= 222ax2+lnx22（122ax1+lnx1） = 22+212+lnx22lnx1+1 = 22+2( 1 22) 2 +lnx2+2ln 1 22 +1= 22+ 1 222 + 3 2ln2 2 +1+2ln2， 令 t= 22，则 t 1 2， g（t）t+ 1 2

39、+ 3 2lnt+1+2ln2， g（t）1 1 22 + 3 2 = 22+31 22 = (21)(1) 22 ， 当1 2 t1 时，g（t）0；当 t1 时，g（t）0， g（t）在（1 2，1）上单调递增，在（1，+）单调递减 g（t）maxg（1）= 1+42 2 f（x2）2f（x1）的最大值为1:42 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，直线 l1的参数方程为 = 3 = （t 为参数） ，直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 （m 为参数） 设直线 l1与 l2的

40、交点为 P当 k 变化时点 P 的轨迹为曲线 C1 第 19 页（共 19 页） （）求出曲线 C1的普通方程； （）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为 ( + 4) = 32，点 Q 为曲线 C1 上的动点，求点 Q 到直线 C2的距离的最大值 【解答】解： （）直线 l1的参数方程为 = 3 = （t 为参数） ，转换为直角坐标方程为 = ( + 3) 直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 （m 为参数） 转换为直角坐标方程为 = 1 3 (3 ) 所以得到 2 3 + 2= 1（y0） （）直线 C2的极坐标方程为( + 4) = 32，转换为

41、直角坐标方程为 x+y60 设曲线 C1的上的点 Q（3，）到直线 x+y80 的距离 d= |3+6| 2 = |2(+ 3)6| 2 ， 当( + 3) = 1时， = 8 2 = 42 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知实数 x、y、z 满足 x2y+z4 （1）求 x2+y2+z2的最小值； （2）若 yx+z，求 xz 的最大值 【解答】解：由柯西不等式可得（x2y+z）212+（2）2+12（x2+y2+z2） ， x2+y2+z2 8 3， 当且仅当 1 = ;2 = 1且 x2y+z4 即 x= 2 3，y= 4 3，z= 2 3时取等号， 故 x2+y2+z2的最小值8 3， （2）由 yx+z 及 x2y+z4 可得 x+z4， 因为 x2+z22xz， （x+z）24xz，即 xz4，当且仅当 xz2 时取等号，此时 xz 取得最大值 4