2020年辽宁省高考数学（理科）模拟试卷（5）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年辽宁省高考数学（理科）年辽宁省高考数学（理科）模拟试卷（模拟试卷（5） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若集合 Ax|x21，Bx|0x2，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x0 Cx|1x2 Dx|1x2 2 （5 分）已知向量 = (1，2)， = (1，1)， = (，2)，且( 2 ) ，则实数 m （ ） A1 B0 C1 D任意实数 3 （5 分）设 i 为虚数单位，复数 = 2+3 ，则 z 的共轭复数是（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 4

2、 （5 分）如果 2，a，b，c，10 成等差数列，那么 ca（ ） A1 B2 C4 D8 5（5 分） 5G 网络是一种先进的高频传输技术， 我国的 5C 技术发展迅速， 已位居世界前列 华 为公司 2019 年 8 月初推出了一款 5G 手机，现调查得到该款 5G 手机上市时间 x 和市场 占有率 y（单位：%）的几组相关对应数据如图所示的折线图中，横轴 1 代表 2019 年 8 月，2 代表 2019 年 9 月，5 代表 2019 年 12 月，根据数据得出 y 关于 x 的线性回 归方程为 = 0.042 若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最 早何时该款 5C

3、手机市场占有率能超过 0.5%（ ） （精确到月） A2020 年 6 月 B2020 年 7 月 C2020 年 8 月 D2020 年 9 月 6 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）与圆 x2+y25 交于 A，B 两点，且|AB|4，则 p （ ） A2 B1 C2 D4 7 （5 分）已知实数 a，b，c，d 满足+1 +1 = 2 3 = 1，则（ac）2+（bd）2的最小值 为（ ） 第 2 页（共 21 页） A8 B4 C2 D2 8 （5 分）若 a，b，c 是两两互相垂直的异面直线（每两条成异面直线） ，直线 d 是 a，b 的 公垂线，那么 c 与 d 的位置关系是

4、（ ） A相交 B平行 C相交垂直 D垂直 9 （5 分）已知函数 f（x）ax+x2+2lnx 存在极值，若这些极值的和大于7，则实数 a 的 取值范围为（ ） A(25， 4) B （，4）（4，+） C(25， 4) (4，25) D （，4） 10 （5 分）把函数 f（x）sin2x 的图象向右平移 12个单位，得到函数 g（x）的图象给出 下列四个命题 g（x）的值域为（0，1；g（x）的一个对称轴是 x= 12； g（x）的一个对称中心是（ 3， 1 2） ；g（x）存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是（ ） A1 B2 C3 D4 11 （5 分） 过抛物线 x212y

5、 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A， B， 交抛物线的准线于点 C， 若 =3 ，则|BC|（ ） A4 B43 C6 D8 12 （5 分）若定义在1，1上的函数 f（x）是偶函数，且它在0，1上的图象如图所示， 则不等式 xf（x）0 的解集为（ ） A （ 1 2， 1 2） B （ 1 2，0） C （1， 1 2）（0， 1 2） D （ 1 2，0）（ 1 2，1） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知二项式展开式（12x）7a0+a1x+a2x2+a7x7，且复数 z= 1 2 1+ 7 128i，

6、第 3 页（共 21 页） 则复数 z 的模|z| （其中 i 是虚数单位） 14 （5 分）为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该 药物释放量 y（mg/m3）与时间 t（h）的函数关系为 y= ，0 1 2 1 ， 1 2 ， （如图所示）实验 表明，当药物释放量 y0.75（mg/m3）对人体无害 （1）k ； （2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少 经过 分钟人方可进入房间 15 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，1= 3 2020， = 1( 2， )，则 当 Sn取最大值时，n 的值为 16 （5 分

7、）点 M，N 分别为三棱柱 ABCA1B1C1的棱 BC，BB1的中点，设A1MN 的面积 为 S1，平面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1所得截面面积为 S，五棱锥 A1CC1B1NM 的 体积为 V1，三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，则 1 = ，1 = 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，ADBC，ABC90， BCD45，BC2AD （1）求证：BDPC； （2）若 PCBC，求平面 PAD 和平面 PBC 所成的角（锐角）的余弦值 第 4 页

8、（共 21 页） 18 （12 分）在b2+2aca2+c2，acosBbsinA，sinB+cosB= 2，这三个条件中任 选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别 为 a，b，c，_，A= 3，b= 2，求ABC 的面积 19 （12 分）根据山东省全民健身实施计划（20162020 年） ，到 2020 年乡镇（街道） 普遍建有 “两个一” 工程， 即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、 一个多功能运动场 某 市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放 （1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从 甲、乙

9、、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取 a，b，c，d 共 25 场，在 a，b，c，d 中随 机取两数，求这两数和 的分布列和数学期望； （2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为 x，其相应维修费用为元，根据 统计，得到如下表的 y 与 x 数据： x 10 15 20 25 30 35 40 y 2302 2708 2996 3219 3401 3555 3689 = 1 10 100+ 3 2 2.49 2.99 3.55 4.00 4.49 4.99 5.49 （i）用最小二乘法求与 x 之间的回归直线方程； （ii）叫做运动场月惠值，根据（i）的结论，试估计这四个多功能运动场月

10、惠值最大时 x 的值 参考数据和公式： =4， 7 1 （xi）2700， 7 1 （xi） （zi）70，e320， = 7 1()() 7 1() 2 ， = 第 5 页（共 21 页） 20 （12 分）已知圆 O：x2+y24 与 x 轴的正半轴交于点 A，过圆 O 上任意一点 P 作 x 轴的 垂线，垂足为 Q，线段 PQ 的中点的轨迹记为曲线，设过原点 O 且异于两坐标轴的直 线与曲线交于 B，C 两点，直线 AB 与圆 O 的另一个交点为 M，直线 AC 与圆 O 的另 一个交点为 N，设直线 AB，AC 的斜率分别为 k1，k2 （1）求 k1k2的值； （2）判断| | +

11、| |是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由 21 （12 分）设函数 f（x）ax2axlnx （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2，求证：2(1) + 1(2) 3 4 + 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点， 极轴与 x 轴的非负半轴重合 曲 线 C 的极坐标方程是 1+2sin2 = 6 2，直线 l 的极坐标方程是 cos（ 4）2 = 0 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）设点 P（2，0）

12、，直线 l 与曲线 C 相交于点 M、N，求 1 | + 1 |的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2x+a|+|2xb|的最小值为 2 （1）求 a+b 的值； （2）若 a0，b0，求证： + 5 2(9 + 1 ) 第 6 页（共 21 页） 2020 年辽宁省高考数学（理科）年辽宁省高考数学（理科）模拟试卷（模拟试卷（5） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若集合 Ax|x21，Bx|0x2，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x0

13、Cx|1x2 Dx|1x2 【解答】解：集合 Ax|x21x|1x1， Bx|0x2， ABx|1x2 故选：D 2 （5 分）已知向量 = (1，2)， = (1，1)， = (，2)，且( 2 ) ，则实数 m （ ） A1 B0 C1 D任意实数 【解答】解：向量 = (1，2)， = (1，1)， = (，2)，且( 2 ) ， （ 2 ） =（3，0） （m，2）3m+00， 则实数 m0， 故选：B 3 （5 分）设 i 为虚数单位，复数 = 2+3 ，则 z 的共轭复数是（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 【解答】解： = 2+3 = (2+3)() 2 = 3

14、2， = 3 + 2 故选：B 4 （5 分）如果 2，a，b，c，10 成等差数列，那么 ca（ ） A1 B2 C4 D8 【解答】解：由题意可得，公差 d= 102 51 =2， 故 ca2d4， 故选：C 5（5 分） 5G 网络是一种先进的高频传输技术， 我国的 5C 技术发展迅速， 已位居世界前列 华 第 7 页（共 21 页） 为公司 2019 年 8 月初推出了一款 5G 手机，现调查得到该款 5G 手机上市时间 x 和市场 占有率 y（单位：%）的几组相关对应数据如图所示的折线图中，横轴 1 代表 2019 年 8 月，2 代表 2019 年 9 月，5 代表 2019 年

15、12 月，根据数据得出 y 关于 x 的线性回 归方程为 = 0.042 若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最 早何时该款 5C 手机市场占有率能超过 0.5%（ ） （精确到月） A2020 年 6 月 B2020 年 7 月 C2020 年 8 月 D2020 年 9 月 【解答】解：根据表中数据，得 = 1+2+3+4+5 5 = 3， = 1 5（0.02+0.05+0.1+0.15+0.18）0.1， 0.10.0423a，a0.026， 所以线性回归方程为 y0.042x0.026， 由 0.042x0.0260.5，得 x13， 预计上市 13 个月时，即最早在

16、 2020 年 8 月，市场占有率能超过 0.5%， 故选：C 6 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）与圆 x2+y25 交于 A，B 两点，且|AB|4，则 p （ ） A2 B1 C2 D4 【解答】解：抛物线 y22px（p0）与圆 x2+y25 交于 A，B 两点，且|AB|4， 由抛物线和圆都关于 x 轴对称，可得 A，B 的纵坐标为 2，2， 可设 A（2 ，2） ，代入圆的方程可得 4 2 +45，可得 p2 故选：C 7 （5 分）已知实数 a，b，c，d 满足+1 +1 = 2 3 = 1，则（ac）2+（bd）2的最小值 为（ ） A8 B4 C2 D2 第 8 页（

17、共 21 页） 【解答】解：实数 a，b，c，d 满足+1 +1 = 2 3 = 1， blna，dc+1 考查函数 ylnx，与 yx+1 （ac）2+（bd）2就是曲线 ylnx 与直线 yx+1 之间的距离的平方值， 对曲线 ylnx 求导：y= 1 ， 与直线 yx+1 平行的切线斜率 k1= 1 ，解得：x1， 将 x1 代入 ylnx 得：y0，即切点坐标为（1，0） ， 切点（1，0）到直线 yx+1 的距离 d= |10+1| 2 = 2，即 d22， 则（ac）2+（bd）2的最小值为 2 故选：C 8 （5 分）若 a，b，c 是两两互相垂直的异面直线（每两条成异面直线）

18、，直线 d 是 a，b 的 公垂线，那么 c 与 d 的位置关系是（ ） A相交 B平行 C相交垂直 D垂直 【解答】解：a，b，c 是两两互相垂直的异面直线（每两条成异面直线） ， 直线 d 是 a，b 的公垂线， 过 a 上任一点作 b 的平行线 l，则 b 与 l 确定一个平面 ，易得 c，d， 由线面垂直的性质定理，可得 cd 故选：B 9 （5 分）已知函数 f（x）ax+x2+2lnx 存在极值，若这些极值的和大于7，则实数 a 的 取值范围为（ ） A(25， 4) B （，4）（4，+） C(25， 4) (4，25) D （，4） 【解答】解：f（x）ax+x2+2lnx，x

19、（0，+） ， f（x）a+2x+ 2 = 22+2 ， 函数 f（x）存在极值，方程 2x2+ax20 在（0，+）上有两个不等的根，设为 x1， x2， 第 9 页（共 21 页） = 2 160 1+ 2= 2 0 1 2= 10 ，解得：a4， f（x1） ，f（x2）是函数 f（x）的两个极值， f（x1）+f（x2）7， (1+ 2) + (12+ 22) + 2(1+ 2)7， (1+ 2) + (1+ 2)22x1x2+2ln（x1x2）7， 2 2 + 2 4 27，解得25a25， 又a4， 25a4， 故选：A 10 （5 分）把函数 f（x）sin2x 的图象向右平移

20、12个单位，得到函数 g（x）的图象给出 下列四个命题 g（x）的值域为（0，1；g（x）的一个对称轴是 x= 12； g（x）的一个对称中心是（ 3， 1 2） ；g（x）存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：f（x）sin2x= 12 2 = 1 2 1 2 2 ，向右平移 12 个单位得到 () = 1 2 1 2 2( 12) = 1 2 1 2 (2 6)， 对于，因为(2 6) 1，1，所以函数 g（x）的值域为0，1，即错误； 对于，因为( 12) = 1 2 1 2(2 12 6) = 0，所以 g（x）的一个对称轴是 x= 1

21、2， 即正确； 对于，令2 6 = 2 + ，则 = 3 + 2 ， ，当 k0 时， = 3，( 3) = 1 2，即 正确； 对于，() = 1 2 (2 6) 2 = (2 6)， 若 g （x） 存在两条互相垂直的切线， 则存在 x1， x2， 使得(21 6) (22 6) = 1， 第 10 页（共 21 页） 显然当21 6 = 2，22 6 = 2时，上式成立，即正确 所以正确的是， 故选：C 11 （5 分） 过抛物线 x212y 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A， B， 交抛物线的准线于点 C， 若 =3 ，则|BC|（ ） A4 B43 C6 D8 【解答】解：作 BM

22、CP，ANCP，BHAN，如图， 因为 =3 ，不妨设 BFx，所以 AF3BF3x，AB4x 根据抛物线的定义可得，BMBFHNx，ANAF3x，FPp6，则 AHANHN 3xx2x， 所以 sinABHsinACN= = 1 2，则 CF12，CB2x， 则 CFCB+BF3x12，所以 x4， 则 BC2x8， 故选：D 12 （5 分）若定义在1，1上的函数 f（x）是偶函数，且它在0，1上的图象如图所示， 则不等式 xf（x）0 的解集为（ ） A （ 1 2， 1 2） B （ 1 2，0） 第 11 页（共 21 页） C （1， 1 2）（0， 1 2） D （ 1 2，0）

23、（ 1 2，1） 【解答】解：由题意，不等式 xf（x）0 等价于10 ()0 或10 ()0 由图象可知，在区间（0，1）上，当(0， 1 2)时，f（x）0 定义在1，1上的函数 f（x）是偶函数 在区间（1，0）上，当(1， 1 2)时，f（x）0 不等式 xf（x）0 的解集为（1， 1 2）（0， 1 2） 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知二项式展开式（12x）7a0+a1x+a2x2+a7x7，且复数 z= 1 2 1+ 7 128i， 则复数 z 的模|z| 52 （其中 i 是虚数单位）

24、 【解答】解：展开式的通项公式为 Tk+1C 7 （2x）k， 则当 k1 时得 x 的系数为 a1= 7 1 (2) = 14， 当 k7 时得 x7的系数为 a7= 7 7 （2）7128， 则 = 1 2 1+ 7 128 = 7i， 则|z|= (7)2+ (1)2= 50 =52， 故答案为：52 14 （5 分）为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该 药物释放量 y（mg/m3）与时间 t（h）的函数关系为 y= ，0 1 2 1 ， 1 2 ， （如图所示）实验 表明，当药物释放量 y0.75（mg/m3）对人体无害 （1）k 2 ； （2）为了不使

25、人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少 经过 40 分钟人方可进入房间 第 12 页（共 21 页） 【解答】解： （1）由图象可知，当 t= 1 2时，y1， 2 = 1， k2； （2）由（1）可知：y= 2，0 1 2 1 2， 1 2 ， 当 t 1 2时，y= 1 2，令 y0.75 得，t 2 3， t 2 3， 在消毒后至少经过 2 3小时，即 40 分钟人方可进入房间， 故答案为：2，40 15 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，1= 3 2020， = 1( 2， )，则 当 Sn取最大值时，n 的值为 674 【解答】解：数列an的前

26、n 项和为 Sn，1= 3 2020， = 1( 2， )， 可得 anSnSn1SnSn1， 则 1 1 1 = 1，可得 1 = 2020 3 （n1）= 20233 3 ， 则 Sn= 3 20233， 当 1n674 时，Sn0；n675 时，Sn0 且 1n674 时，Sn递增， 当 Sn取最大值时，n 的值为 674 故答案为：674 16 （5 分）点 M，N 分别为三棱柱 ABCA1B1C1的棱 BC，BB1的中点，设A1MN 的面积 为 S1，平面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1所得截面面积为 S，五棱锥 A1CC1B1NM 的 第 13 页（共 21 页） 体积为

27、V1，三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，则 1 = 7 12 ， 1 = 3 5 【解答】 解： 如图所示， 延长 NM 交直线 C1C 于点 P， 连接 PA1交 AC 于点 Q， 连接 QM 平 面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1所得截面为四边形 A1NMQ BB1CC1，M 为 BC 的中点，则PCMNBM点 M 为 PN 的中点A1MN 的 面积 S1= 1 2 1，QCA1C1， 1 = 1 3 = 1， A1QM 的面积= 2 31， 1 = 3 5 BMN的 面 积 = 1 8 四边形11， 五 棱 锥A1 CC1B1NM的 体 积 为 V1= 7 8 四棱锥111

28、，而三棱锥 A1ABC 的体积= 1 3V， 1 = 7 8 1 3 = 7 12 故答案为： 7 12， 3 5 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，ADBC，ABC90， BCD45，BC2AD （1）求证：BDPC； （2）若 PCBC，求平面 PAD 和平面 PBC 所成的角（锐角）的余弦值 第 14 页（共 21 页） 【解答】解： （1）证明：取 BC 的中点 E，连接 DE 因为 BC2AD，所以 ADBE 又因为 ADBC，所以四边形 ABED 是平

29、行四边形 因为ABC90所以四边形 ABED 是矩形所以 DEBC 又BCD45所以 = = 1 2 所以 ABCD 是直角三角形，即 BDCD 又 PD底面 ABCD，BD底面 ABCD，所以 BDPD 又 PD，CD平面 PCD，且 PDCDD所以 BD平面 PCD 又 PC平面 PCD，所以 BDPC （2）解法一：因为 ADBC，AD平面 PAD，BC平面 PAD， 所以 BC平面 PAD 设平面 PAD 和平面 PBC 的交线为 l，则 BCl， 连接 PE，因为 DEBC，且 BCPD 所以 BC平面 PDE，所以 l平面 PDE所以 lPD，lPE 所以EPD 是平面 PAD 和

30、平面 PBC 所成二面角的平面角 设 AD1，则 BC2，由（1）知 DE1， = 2 又 PCBC，所以 = 2 在PED 中，PDE90， = 3，所以 = = 6 3 所以平面 PAD 和平面 PBC 所成的角（锐角）的余弦值为 6 3 解法二：如图，以 D 为坐标原点，分别以 DB，DC，DP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建 立空间直角坐标系 Dxyz， 设 AD1， 则 BC2， 由 （1） 知 DE1， = 2， = 2 又 PCBC， 所以 = 2 所以(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，( 2 2 ， 2 2 ，0) 第 15 页（共 21 页） 所以 = (

31、2，2，0)， = (0，2， 2) 设平面 PBC 的法向量为 =（x，y，z） ， 则 = 0 = 0 ，即2 + 2 = 0 2 2 = 0 ，取 x1，则 y1，z1， 所以平面 PBC 的一个法向量为 =（1，1，1） 又平面 PAD 的一个法向量为 = =（ 2 2 ， 2 2 ，0） ， 所以 cos ， = | |= 2 31 = 6 3 所以平面 PAD 和平面 PBC 所成的角（锐角）的余弦值为 6 3 18 （12 分）在b2+2aca2+c2，acosBbsinA，sinB+cosB= 2，这三个条件中任 选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC 的内角 A，

32、B，C 的对边分别 为 a，b，c，_，A= 3，b= 2，求ABC 的面积 【解答】解： （1）若选择2+ 2 = 2+ 2， 由余弦定理 = 2+22 2 = 2 2 = 2 2 ，（4 分） 因为 B（0，） ，所以 = 4；（5 分） 由正弦定理 = ，得 = = 2 3 2 2 = 3，（7 分） 第 16 页（共 21 页） 因为 = 3， = 4，所以 = 3 4 = 5 12，（8 分） 所以 = 5 12 = ( 4 + 6) = 4 6 + 4 6 = 6+2 4 （10 分） 所以= 1 2 = 1 2 3 2 6+2 4 = 3+3 4 （12 分） （2）若选择aco

33、sBbsinA，则 sinAcosBsinBsinA，（3 分） 因为 sinA0，所以 sinBcosB，（4 分） 因为 B（0，） ，所以 = 4；（5 分） 由正弦定理 = ，得 = = 2 3 2 2 = 3，（7 分） 因为 = 3， = 4，所以 = 3 4 = 5 12，（8 分） 所以 = 5 12 = ( 4 + 6) = 4 6 + 4 6 = 6+2 4 ，（10 分） 所以= 1 2 = 1 2 3 2 6+2 4 = 3+3 4 （12 分） （3）若选择 + = 2， 则2( + 4) = 2，所以( + 4) = 1，（3 分） 因为 B（0，） ，所以 + 4

34、 ( 4 ， 5 4 )， 所以 + 4 = 2，所以 = 4；（5 分） 由正弦定理 = ，得 = = 2 3 2 2 = 3，（7 分） 因为 = 3， = 4，所以 = 3 4 = 5 12，（8 分） 所以 = 5 12 = ( 4 + 6) = 4 6 + 4 6 = 6+2 4 ，（10 分） 19 （12 分）根据山东省全民健身实施计划（20162020 年） ，到 2020 年乡镇（街道） 普遍建有 “两个一” 工程， 即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、 一个多功能运动场 某 市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放 （1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的

35、使用场数如图，用分层抽样的方法从 甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取 a，b，c，d 共 25 场，在 a，b，c，d 中随 机取两数，求这两数和 的分布列和数学期望； 第 17 页（共 21 页） （2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为 x，其相应维修费用为元，根据 统计，得到如下表的 y 与 x 数据： x 10 15 20 25 30 35 40 y 2302 2708 2996 3219 3401 3555 3689 = 1 10 100+ 3 2 2.49 2.99 3.55 4.00 4.49 4.99 5.49 （i）用最小二乘法求与 x 之间的回归直线方程；

36、= 1 10 + 3 2 （ii）叫做运动场月惠值，根据（i）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最大时 x 的值 参考数据和公式： =4， 7 1 （xi）2700， 7 1 （xi） （zi）70，e320， = 7 1()() 7 1() 2 ， = 【解答】 解： （1） 根据题中所给的条形图， 易知总场数为 100， 所以抽样比例为 25 100 = 1 4， 所以 a，b，c，d 的值分别为 5，6，9，5 所以这两数和 的所有可能的取值为 10，11，14，15 于是 P（10）= 1 4 2 = 1 6，P（11）= 2 4 2 = 1 3 P（14）= 2 4 2 = 1

37、3，P（15）= 1 4 2 = 1 6， 所以随机变量 的分布列为： 10 11 14 15 P 1 6 1 3 1 3 1 6 所以 E（）10 1 6 +11 1 3 +14 1 3 +15 1 6 = 25 2 第 18 页（共 21 页） （2） （i）因为 = 25， = 4， 7 =1 ( )2= 700， 7 =1 ( ) ( ) = 70， 所以 = 7 =1 () ()=70 7 =1 ()2=700 = 70 700 = 1 10， 即 = = 4 1 10 25 = 3 2， 所以 z 与 x 之间的回归直线方程为 z= 1 10 + 3 2 （ii）因为 = 1 10

38、 100+ 3 2 = 1 10 + 3 2， 所以 y100lnx 设 g（x）= +40 = 100 +40 ， 则() = 100 1+40 (+40)2 ， 令() = 1 + 40 ，() = 40 2 1 0在（0，+）上恒成立， 则 yh（x）在（0，+）为减函数，又 h（20）0， 所以当 x（0，20）时，h（x）0，g（x）0，所以 g（x）在（0，20）上单调递增， 当 x（20，+）时，h（x）0，g（x）0，所以 g（x）在（20，+）上单调递减， 所以估计这四个多功能运动场月惠值最大时 x 的值为 20 20 （12 分）已知圆 O：x2+y24 与 x 轴的正半轴

39、交于点 A，过圆 O 上任意一点 P 作 x 轴的 垂线，垂足为 Q，线段 PQ 的中点的轨迹记为曲线，设过原点 O 且异于两坐标轴的直 线与曲线交于 B，C 两点，直线 AB 与圆 O 的另一个交点为 M，直线 AC 与圆 O 的另 一个交点为 N，设直线 AB，AC 的斜率分别为 k1，k2 （1）求 k1k2的值； （2）判断| | + | |是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由 【解答】解： （1）设线段 PQ 中点为 D（x，y） ，由题意则得 P（x，2y） ，因为 P 在圆 O 上， 代入圆方程即得 D 点轨迹方程为：x2+（2y）24，整理得： 2 4 + 2=1 （y0） ， 设 B（x0，y0） ，则 C（x0，y0） ，且0 2 4 + 02= 1， 则 k1k2= 0 02 0