2020年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（4）.docx

1、 第 1 页（共 15 页） 2020 年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设全集为 R，集合 Ax|log2x1，Bx|x21，则 A（RB）（ ） A （1，1） B （1，2） C （0，1） D （0，2） 2 （5 分）已知复数 z 满足 z （1+2i）5（i 为虚数单位） ，则在复平面内复数 z 对应的点位 于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）若样本的观测值 1，2，3，4 出现的次数分别为 1，2

2、，3，4，则样本的平均数为 （ ） A4 B3 C5 2 D2 4 （5 分）要得到函数 = (2 6)的图象，只需将函数 = ( 6)的图象（ ） A横坐标缩小到原来的1 2，纵坐标不变 B横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标不变 C纵坐标缩小到原来的1 2，横坐标不变 D纵坐标扩大到原来的 2 倍，横坐标不变 5 （5 分）已知 = (1 2) 0.2， = 0.21 2， = 1 3 2，则（ ） Aabc Bbac Cbca Dacb 6 （5 分）设 ， 是夹角为 60的单位向量，则|4 3 |（ ） A6 B37 C13 D7 7 （5 分）圆 O：x2+y22内的曲线 y|sinx

3、|与 x 轴围成的区域记为 M（图中阴影部分）随 机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率是（ ） A 4 2 B 4 3 C 2 2 D 2 3 第 2 页（共 15 页） 8 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左右焦点分别为 F1，F2，M 为双曲线上 一点，若12= 1 4，|MF1|2|MF2|，则此双曲线渐近线方程为（ ） A = 3 B = 3 3 Cyx Dy2x 9 （5 分）已知函数() = 22 2 + ，则 f（x）的最大值为（ ） A2 +1 B2 1 C2 +1 D2 1 10 （5 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学

4、名著，书中有如下问题： “今有委 米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆放 米（米堆所成的几何体的三视图如图所示） 米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺， 问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知 1 斛米的体积约为 1.6 立方尺， 圆周率 3， 估算出堆放的米约有（ ） A20 斛 B21 斛 C22 斛 D23 斛 11（5 分） 已知函数() = 1 + +的最大值为 M， 最小值为 m， 则 M+m 的值等于 （ ） A1 B2 C1 + 1+2 D2 + 1+2 12 （5 分） 已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左右焦点分

5、别为 F1、 F2， P 为椭圆上一点， F1PF260，若坐标原点 O 到 PF1的距离为 3 6 ，则椭圆离心率为（ ） A 2 2 B 6 3 C 7 3 D 3 3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知函数 f （x） xex+ln （x+1） ， 则曲线 yf （x） 在 x0 处的切线方程为 14 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 b27，c3，B2C， 则 cos2C 的值为 15 （5 分）各项均为正数的等比数列an中，a11，a2+a36，则6 3 = 第 3 页

6、（共 15 页） 16 （5 分）边长为 2 的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成 一个正四棱锥当该棱锥的体积取得最大值时，其底面棱长为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an满足 a1a，+1= 2+ 1( ) （1）若数列an是等差数列，求通项公式 an； （2）已知 a2，求证数列an+1是等比数列，并求通项公式 an 18 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCABC中，ACAB，AAABAC2，D，E 分别为 AB，BC 的中点 （1）证明：平面 BDE平面 AABB； （2

7、）求点 C到平面 BDE 的距离 19 （12 分）通过市场调查，得到某产品的资金投入 x（万元）与获得的利润 y（万元）的 数据，如下表所示： 资金投入 x 2 3 4 5 6 利润 y 2 3 5 6 9 （1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程； =bx+a （2）计算 x6 时的残差 ； （残差公式） =yi （3）现投入资金 10 万元，求估计获得的利润为多少万元 20 （12 分）已知动圆 E 与圆：( 1)2+ 2= 1 4外切，并与直线 = 1 2相切，记动圆圆 心 E 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过点 Q（2，0）的直线 l 交曲线 C

8、 于 A，B 两点，若曲线 C 上存在点 P 使得APB 90，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 第 4 页（共 15 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）x3+3ax2+（36a）x+12a（aR） （1）若 f（x）在 xx0处取得极小值，且 x0（0，3） ，求实数 a 的取值范围； （2）若对任意的 a1，1，不等式 f（x）m 在 x1，1恒成立，求实数 m 的取值 范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线

9、C1的极坐标方程为 cosm，曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2 （1）求曲线 C1的直角坐标方程和曲线 C2的参数方程； （2） 设曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A， 曲线 C1与 x 轴的交点为 H， 点 M （1， 0） ，求AMH 的周长 l 的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a，b，c 为正数，f（x）|x+a|+|x+b|+|xc| （1）若 abc1，求函数 f（x）的最小值； （2）若 f（0）1 且 a，b，c 不全相等，求证：b3c+c3a+a3babc 第 5 页（共 15 页） 2020 年湖南省高考数学（文科）模拟试

10、卷（年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设全集为 R，集合 Ax|log2x1，Bx|x21，则 A（RB）（ ） A （1，1） B （1，2） C （0，1） D （0，2） 【解答】解：全集为 R，集合 Ax|log2x1x|0x2， Bx|x21x|x1 或 x1， RBx|1x1， A（RB）x|0x1（0，1） 故选：C 2 （5 分）已知复数 z 满足 z （1+2i）5（i 为虚数单位） ，则在复平面内复数 z 对应的点位 于（

11、 ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解析： = 5 1+2 = 1 2， 故选：D 3 （5 分）若样本的观测值 1，2，3，4 出现的次数分别为 1，2，3，4，则样本的平均数为 （ ） A4 B3 C5 2 D2 【解答】解：由题意，计算样本的平均数为： = 1 1+2+3+4 （11+22+33+44）3 故选：B 4 （5 分）要得到函数 = (2 6)的图象，只需将函数 = ( 6)的图象（ ） A横坐标缩小到原来的1 2，纵坐标不变 B横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标不变 C纵坐标缩小到原来的1 2，横坐标不变 D纵坐标扩大到原来的 2 倍，横坐标不变

12、【解答】解：根据题意，把函数 = ( 6)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小 第 6 页（共 15 页） 到原来的1 2即可得到 ysin（2x 6）的图象 故选：A 5 （5 分）已知 = (1 2) 0.2， = 0.21 2， = 1 3 2，则（ ） Aabc Bbac Cbca Dacb 【解答】解：由于0(1 2) 0.2(1 2) 0 = 1，0.2 1 2= 1 1 5 = 5，1 3 21 3 1 = 0， 故选：B 6 （5 分）设 ， 是夹角为 60的单位向量，则|4 3 |（ ） A6 B37 C13 D7 【解答】解：根据题意， ， 是夹角为 60的单位向量，即|

13、|1，| |1，则 = 1 2， 则|4 3 |216 224 +9 2 13， 则|4 3 |= 13； 故选：C 7 （5 分）圆 O：x2+y22内的曲线 y|sinx|与 x 轴围成的区域记为 M（图中阴影部分）随 机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率是（ ） A 4 2 B 4 3 C 2 2 D 2 3 【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为 3， 曲线 y|sinx|与 x 轴围成的区域记为 M，根据图形的对称性得：面积为 S20sinxdx 2cosx|04， 由几何概率的计算公式可得，随机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内

14、的概率 P= 4 3， 故选：B 第 7 页（共 15 页） 8 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左右焦点分别为 F1，F2，M 为双曲线上 一点，若12= 1 4，|MF1|2|MF2|，则此双曲线渐近线方程为（ ） A = 3 B = 3 3 Cyx Dy2x 【解答】解：由题意，|MF1|MF2|2a，又|MF1|2|MF2|， |MF1|4a，|MF2|2a， cosF1MF2= 162+4242 242 = 1 4， 化简得：c24a2，即 a2+b24a2， b23a2，得 = 3 此双曲线渐近线方程为 y= 3 故选：A 9 （5 分）已知函数() = 2

15、2 2 + ，则 f（x）的最大值为（ ） A2 +1 B2 1 C2 +1 D2 1 【解答】解：() = 22 2 + =1+cosx+sinx= 2sin（x+ 4）+1， 当 x+ 4 =2k+ 2，即 x2k+ 4，kZ 时，f（x）的最大值为2 +1， 故选：A 10 （5 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有委 米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆放 米（米堆所成的几何体的三视图如图所示） 米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺， 问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知 1 斛米的体积约为 1.6

16、 立方尺， 圆周率 3， 估算出堆放的米约有（ ） A20 斛 B21 斛 C22 斛 D23 斛 第 8 页（共 15 页） 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为1 4个圆锥， 所以 2 = 8，由于 3，解得 R= 16 3 ， 所以 V= 1 3 1 4 3 (16 3 )2 5 = 320 9 1 斛米的体积约为 1.6 立方尺， 所以：V= 200 9 斛22 斛 故选：C 11（5 分） 已知函数() = 1 + +的最大值为 M， 最小值为 m， 则 M+m 的值等于 （ ） A1 B2 C1 + 1+2 D2 + 1+2 【解答】解：令() = +， 则()

17、 = +； g（x）+g（x）0，即 g（x）为奇函数； 设 g（x）的最大值为 N，最小值为 n； 则 N+n0； MN+1，mn+1； M+m2； 故选：B 12 （5 分） 已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左右焦点分别为 F1、 F2， P 为椭圆上一点， F1PF260，若坐标原点 O 到 PF1的距离为 3 6 ，则椭圆离心率为（ ） A 2 2 B 6 3 C 7 3 D 3 3 【解答】解：设|PF1|m，|PF2|n， 作 ONPF1，F2MPF1， 由题意可得|ON|= 3 6 a，|F2M|= 3 3 a，F1PF260， 即有|PM|= 1 3a，|PF2|

18、= 2 3 ，由 m+n2a， 可得|MF1|a，a2+（ 3 3 ）24c2， 可得 e= = 3 3 第 9 页（共 15 页） 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）xex+ln（x+1） ，则曲线 yf（x）在 x0 处的切线方程为 y 2x 【解答】解：f（x）xex+ln（x+1） ， f（x）= ( + 1) + 1 +1， f（0）2，f（0）0， 切线方程为 y2x 故答案为：y2x 14 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 b27，c3，B2

19、C， 则 cos2C 的值为 5 9 【解答】解：由正弦定理可得： = ， 即 = = 2 = 2 = 2 = 27 3 = 7 3 ， 2 = 22 1 = 2 7 9 1 = 5 9 故答案为：5 9 15 （5 分）各项均为正数的等比数列an中，a11，a2+a36，则6 3 = 9 【解答】解：各项均为正数的等比数列an中，a11，a2+a36q+q2， 公比 q2，Sn= 12 12 =2n1 则6 3 = 63 7 =9， 故答案为：9 16 （5 分）边长为 2 的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成 第 10 页（共 15 页） 一个正四棱锥当该棱锥的体积

20、取得最大值时，其底面棱长为 4 5 【解答】解：设底面边长为 2x，则斜高为 22 2 =1x，即此四棱锥的高为 h= (1 )212= 1 2(0 1 2)， 所以此四棱锥体积为 = 1 3 42 1 2 = 4 3 4 25， 令() = 4 25(0 1 2)，则 h（x）4x 310x4（0x1 2） ， 令 h（x）4x310x42x3（25x）0， 当 x（0，2 5）时，h（x）0，x（ 2 5，+）时，h（x）0， 所以数 h（x）在 = 2 5时取得极大值，也是最大值，此时底面棱长为 4 5 故答案为：4 5 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小

21、题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an满足 a1a，+1= 2+ 1( ) （1）若数列an是等差数列，求通项公式 an； （2）已知 a2，求证数列an+1是等比数列，并求通项公式 an 【解答】解： （1）数列an是等差数列，a1a，an+12an+1（nN*） ， 设数列的公差为 d，则 ana+（n1）d a+nd2（a+（n1）d）+1， 即 nd2da1 对 nN*成立，于是 d0 ana，且 a2a+1，解得 a1 an1； 证明： （2）a2，an+12an+1（nN*） ， an+1+12（an+1） a1+130， 数列an+1是以 3 为首项，公比为

22、 2 的等比数列 + 1 = 3 21 第 11 页（共 15 页） = 3 21 1 18 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCABC中，ACAB，AAABAC2，D，E 分别为 AB，BC 的中点 （1）证明：平面 BDE平面 AABB； （2）求点 C到平面 BDE 的距离 【解答】解： （1）证明：因为棱柱 ABCABC是直三棱柱，所以 ACAA， 又 ACAB，AAABA，所以 AC面 AABB， 又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DEAC， 即 DE面 AABB， 又 DE面 BDE，所以平面 BDE平面 AABB （2）解：由（1）可知 ACACDE， 所以 AC面

23、BDE 即点 C到平面 BDE 的距离等于点 A到平面 BDE 的距离， 方法一：连接 AD，过点 A作 AHBD 交 BD 于点 H 因为 DE面 AABB，所以 DEAH，即 AH面 BDE， 即 AH 的长就是点 C到平面 BDE 的距离， 因为 = 5，由等面积法可知 BDAHABAA，求得 = 45 5 ， 所以 C到平面 BDE 的距离等于45 5 方法二：设点 A到面 BDE 的距离为 h， 由（1）可知，DE面 AABB， 且在 RtBDE 中， = 5， = 1= 5 2 ， 由题意知 SABD2，由等体积公式可知 VABDEVEABD， 即 1 3 = 1 3，由 1 3

24、5 2 = 1 3 2 1得= 45 5 ， 所以 C到平面 BDE 的距离等于45 5 第 12 页（共 15 页） 19 （12 分）通过市场调查，得到某产品的资金投入 x（万元）与获得的利润 y（万元）的 数据，如下表所示： 资金投入 x 2 3 4 5 6 利润 y 2 3 5 6 9 （1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程； =bx+a （2）计算 x6 时的残差 ； （残差公式） =yi （3）现投入资金 10 万元，求估计获得的利润为多少万元 【解答】解： （1）根据所给的数据得到 = 2+3+4+5+6 5 =4， = 2+3+5+6+9 5 =5 = 22+

25、33+45+56+69545 4+9+16+25+36516 =1.7 a51.741.8 线性回归方程是 y1.7x1.8 （2）根据上一问做出的线性回归方程， 把 x6（万元）代入线性回归方程得到 =1.761.88.4， 当 x6 时的残差 =98.40.6 （3）根据（1）中做出的线性回归方程， 把 x10（万元）代入线性回归方程得到 y1.7101.815.2（万元） 答： （1）线性回归方程是 y1.7x1.8， （2）当 x6 时的残差为 0.6， （2）当 x10 时，预报 y 的值是 15.2 万元 20 （12 分）已知动圆 E 与圆：( 1)2+ 2= 1 4外切，并与直

26、线 = 1 2相切，记动圆圆 心 E 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过点 Q（2，0）的直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，若曲线 C 上存在点 P 使得APB 第 13 页（共 15 页） 90，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 【解答】解： （1）因为动圆 E 与圆：( 1)2+ 2= 1 4外切，并与直线 = 1 2相切， 所以点 E 到点 M 的距离比点 E 到直线 = 1 2的距离大 1 2， 因为圆：( 1)2+ 2= 1 4的半径为 1 2， 所以点 E 到点 M 的距离等于点 E 到直线 x1 的距离， 所以圆心 E 的轨迹为抛物线，且焦点坐标为（1

27、，0） 所以曲线 C 的方程 y24x （2）设 P（x0，y0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由 2 = 4 = ( + 2)得 ky 24y+8k0， 由 0 16 3220得 2 2 2 2 且 k0 1+ 2= 4 ，y1y28， = 01 01 = 01 02 4 1 2 4 = 4 0+1，同理 = 4 0+2 由APB90，得 4 0+1 4 0+2 = 1， 即02+ 0(1+ 2) + 12= 16， 所以02+ 4 0+ 24 = 0， 由= (4 ) 2 96 0，得 6 6 6 6 且 k0， 又 2 2 2 2 且 k0， 所以 k 的取值范围为 6 6

28、，0) (0， 6 6 21 （12 分）已知函数 f（x）x3+3ax2+（36a）x+12a（aR） （1）若 f（x）在 xx0处取得极小值，且 x0（0，3） ，求实数 a 的取值范围； （2）若对任意的 a1，1，不等式 f（x）m 在 x1，1恒成立，求实数 m 的取值 范围 【解答】解： （1）函数 f（x）x3+3ax2+（36a）x+12a， 函数 f（x）3x2+6ax+（36a）0，大根在（0，3）之间， 由 f（x）0，得2a= 2+1 1 =（x1）+ 2 1 +2， 第 14 页（共 15 页） 令 g（x）（x1）+ 2 1 +2， 所以2ag（0）或 g（2 +

29、 1）2ag（3） ， 所以 a 1 2或 5 2 2 1； （2）由已知得，x3+3xm+3（x22x+4）a0， 令 g（a）x3+3xm+3（x22x+4）a， 则对任意 a1，1，g（a）0 恒成立 所以 x3+3x23x+12m 对任意 x1，1恒成立 又令 h（x）x3+3x23x+12，则 mh（x）max， 因为 h（x）3x2+6x33（x2+2x1） ，若 h（x0）0， 则 h（x）在1，x0）上递减，在（x0，1上递增， 所以 h（x）maxmaxh（1） ，h（1）max17，1317， 所以 m17； 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每

30、小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cosm，曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2 （1）求曲线 C1的直角坐标方程和曲线 C2的参数方程； （2） 设曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A， 曲线 C1与 x 轴的交点为 H， 点 M （1， 0） ，求AMH 的周长 l 的最大值 【解答】解： （1）曲线 C1的极坐标方程为 cosm，转换为直角坐标方程为：xm 曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2转换为直角坐标方程为 3x 2+4y212，整

31、理得 2 4 + 2 3 = 1， 转换为参数方程为 = 2 = 3 （ 为参数） （2） 曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A（2cos， 3） ，M（1，0） ， H（2cos， 0） 所以 所 以 lABC |AM|+|MH|+|AH| = 3 + 1 2 +(2 1)2+ (3)2= 3 + 1 2 + 2 =23( 3) + 3， 第 15 页（共 15 页） 当( 3) = 1时，AMH 的周长 l 的最大值为 23 + 3 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a，b，c 为正数，f（x）|x+a|+|x+b|+|xc| （1）若 abc1，求函数 f（x

32、）的最小值； （2）若 f（0）1 且 a，b，c 不全相等，求证：b3c+c3a+a3babc 【解答】解： （1）因为 abc1， 所以 f（x）|x+a|+|x+b|+|xc|2|x+1|+|x1|， 法 1：由上可得：() = 3 1， 1， + 3， 11， 3 + 1， 1. 所以，当 x1 时，函数 f（x）的最小值为 2； 法 2：f（x）|x+a|+|x+b|+|xc|x+1|+|x+1|+|x1|x+1|+|x+1x+1|2+|x+1|2， 当且仅当( + 1)( 1) 0 + 1 = 0 ，即 x1 时取得最小值 2； 证明（2） ：因为 a，b，c 为正数，所以要证3 + 3 + 3， 即证明 2 + 2 + 2 1就行了， 法1：因为 2 + 2 + 2 + + + = 2 + + 2 + + 2 + 2 2+ 2 2+ 2 2= 2 （a+b+c） ，当且仅当 abc 时取等号 又因为 f（0）1 即 a+b+c1 且 a，b，c 不全相等， 所以 2 + 2 + 2 1， 即3 + 3 + 3， 法 2：因为（a+b+c） （ 2 + 2 + 2 ）1，当且仅当 = = 取等号， 又因为 f（0）1 即 a+b+c1 且 a，b，c 不全相等， 所以 2 + 2 + 2 1， 即3 + 3 + 3