2020年福建省高考数学（理科）模拟试卷（3）.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年福建省高考数学（理科）模拟试卷（年福建省高考数学（理科）模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 2 （5 分）已知 a，bR，3+aib（2a1）i，则|3a+bi|（ ） A10 B23 C3 D4 3 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A2 B4 3 C2 3 D1 3 4 （5 分）如图是一系列有机物的结构简图，图中的“

2、小黑点”表示原子，两黑点间的“短 线”表示化学键，按图中结构，图（n）中的化学键有（ ） A6n 个 B （4n+2）个 C （5n1）个 D （5n+1）个 5 （5 分）已知（1+x）n展开式中第 5 项与第 9 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系 数和为（ ） A214 B213 C212 D211 6 （5 分）已知函数 f（x）= 1 4， 0 1 + 3，0，在等差数列a n中，a77，a911，则 f （a8）（ ） A1 B2 C3 D4 7 （5 分）曲线 ylnx 上的点到直线 yx+2 的最短距离是（ ） 第 2 页（共 17 页） A2 B32 2 C 2 2 D1

3、 8 （5 分）M 是抛物线 y24x 上一点，N 是圆（x1）2+（y2）21 关于直线 xy1 0 的对称圆上的一点，则 MN|的最小值是（ ） A 11 2 1 B3 1 C22 1 D3 2 9 （5 分）已知函数 f（x） 2sinx 在区间 3， 4上递增，则正实数 的最大值为 （ ） A2 B3 2 C3 4 D2 3 10 （5 分）已知 ， 均为单位向量，若 ， 夹角为2 3 ，则| | =（ ） A7 B6 C5 D3 11 （5 分）将 3 本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，则甲、乙都分到书的概率为（ ） A1 9 B2 9 C1 3 D4 9 12 （5 分）已知正四面

4、体 ABCD 中，P 为 AD 的中点，则过点 P 与侧面 ABC 和底面 BCD 所在平面都成 60的平面共有（注：若二面角 l 的大小为 120，则平面 与平 面 所成的角也为 60） （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 2 + 1 2( 2) ，若 zx+ty（t0）的最大值为 11， 则实数 t 14 （5 分）已知等比数列an的首项 a18，令 bnlog2an，Sn是数列bn的前 n 项和，若 S3是数列Sn中的唯一最大项，则an

5、的公比 q 的取值范围是 15 （5 分）已知抛物线 C：y= 1 8x 2 的焦点为 F，点 P 在 C 上，且|PF|10，则POF（其中 O 坐标原点）的面积为 16 （5 分）已知函数 f（x）2|x|x1|，若对任意的实数 x 有|f（x+t）f（x）|1（tR） 成立，则实数 t 的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分） （）叙述并证明平面向量基本定理： （）在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ，沿 BE 方向前进 30m，至点 C 处 第 3 页（共 17 页） 测得顶端 A

6、 的仰角为 2，再继续前进 103m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4，求 的 大小和建筑物 AE 的高 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADAB，ABDC，AB1， ADDCAP2，点 E 为棱 PC 的中点 （1）证明：BE面 PAD； （2）证明：面 PBC面 PDC； （3）求直线 PD 与面 PBC 所成角的正弦值 19 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1（a1）的离心率是 2 2 （）求椭圆 C 的方程； （）已知 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2作斜率为 k 的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，直线

7、F1A，F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M，N如果MF1N 为锐角，求 k 的取值范围 20 （12 分）某手机企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，统计了近 10 年投入的 年研发费用 x 千万元与年销售量 y 千万件的数据，得到散点图 1，对数据作出如下处理： 令 uilnxi，vilnyi，得到相关统计量的值如图 2： 10 1 uivi 10 1 ui 10 1 vi 10 1 ui2 30.5 15 15 46.5 （1）利用散点图判断 ybx+a 和 ycxd（c0，d0）哪一个更适合作为年研发费用 x 和年销售量 y 的回归类型（不必说明理由） ，并根据数据，求出 y 与

8、 x 的回归方程； （2）已知企业年利润 z 千万元与 x，y 的关系式为 = 27 （其中 e 为自然对数的底 数） ，根据（1）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研 第 4 页（共 17 页） 发费用？ 21 （12 分）已知函数 f（x）= 1 3x 3x2+ax（其中 a 为常数） （）若 x1 是 f（x）的极值点，求函数 f（x）的减区间； （）若 f（x）在（2，+）上是增函数，求 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，直线 l1的参

9、数方程为 = 3 = （t 为参数） ，直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 （m 为参数） 设直线 l1与 l2的交点为 P当 k 变化时点 P 的轨迹为曲线 C1 （）求出曲线 C1的普通方程； （）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为 ( + 4) = 32，点 Q 为曲线 C1 上的动点，求点 Q 到直线 C2的距离的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数 f（x）|x+2|+|x3| （）求不等式 f（x）9 的解集； （）若关于 x 的不等式 f（x）|3m2|有解，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 17 页）

10、 2020 年福建省高考数学（理科）模拟试卷（年福建省高考数学（理科）模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 【解答】解：A0，1，2，3，Bx|2x2， AB0，1，2 故选：B 2 （5 分）已知 a，bR，3+aib（2a1）i，则|3a+bi|（ ） A10 B23 C3 D4 【解答】解：因为 3+aib（2a1）i， 3b，a（2a1） ， 联立

11、解得：b3，a= 1 3 则|3a+bi|1+3i|= 12+ 32= 10 故选：A 3 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A2 B4 3 C2 3 D1 3 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为底边为直角三角形，高为 2 的三棱锥体 如图所示： 第 6 页（共 17 页） 所以 V= 1 3 1 2 2 1 2 = 2 3 故选：C 4 （5 分）如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短 线”表示化学键，按图中结构，图（n）中的化学键有（ ） A6n 个 B （4n+2）个 C （5n1）个 D （5n+1）个

12、 【解答】解：第一张图有 6 个化学键，从第二个起每一个比前一个多 5 个， 则第 n 个图有 5n+1 个， 故选：D 5 （5 分）已知（1+x）n展开式中第 5 项与第 9 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系 数和为（ ） A214 B213 C212 D211 【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第 5 项与第 9 项的二项式系数相等， 可得n4n8，可得 n4+812 （1+x）12的展开式中奇数项的二项式系数和为：1 2 212211 故选：D 6 （5 分）已知函数 f（x）= 1 4， 0 1 + 3，0，在等差数列a n中，a77，a911，则 f （a8）（ ） A1

13、 B2 C3 D4 【解答】解：在等差数列an中，a77，a911，可得 a8= 7+11 2 =9， 所以 f（a8）f（9）1+log393 第 7 页（共 17 页） 故选：C 7 （5 分）曲线 ylnx 上的点到直线 yx+2 的最短距离是（ ） A2 B32 2 C 2 2 D1 【解答】解：设（m，lnm）处的切线与 yx+2 平行 因为= 1 ，故 1 = 1，所以 m1 所以切点为（1，0） 所以最小距离为 d= |10+2| 2 = 32 2 故选：B 8 （5 分）M 是抛物线 y24x 上一点，N 是圆（x1）2+（y2）21 关于直线 xy1 0 的对称圆上的一点，则

14、 MN|的最小值是（ ） A 11 2 1 B3 1 C22 1 D3 2 【解答】解：N 是圆（x1）2+（y2）21， 设圆心为 C（1，2） ，半径为 1， 圆（x1）2+（y2）21 的圆心关于直线 xy10 的对称点为 C（3，0） 则|MN|CM|CN|CM|1，C点坐标（2，0） ， 由于 M 在 y24x 上，设 M 的坐标为（x，y） ， |CM|= ( 3)2+ 2= 2 2 + 9 22， 圆半径为 1， 所以|MN|最小值为：22 1 故选：C 9 （5 分）已知函数 f（x） 2sinx 在区间 3， 4上递增，则正实数 的最大值为 （ ） 第 8 页（共 17 页）

15、 A2 B3 2 C3 4 D2 3 【解答】解：函数 f（x）2sinx 在区间 3， 4上递增， （ 3） 2，且 4 2，求得 3 2， 则正实数 的最大值为3 2， 故选：B 10 （5 分）已知 ， 均为单位向量，若 ， 夹角为2 3 ，则| | =（ ） A7 B6 C5 D3 【解答】解：| | = | | = 1， ， = 2 3 ， ( )2= 2 2 + 2 = 1 2 1 1 ( 1 2) + 1 =3， | | = 3 故选：D 11 （5 分）将 3 本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，则甲、乙都分到书的概率为（ ） A1 9 B2 9 C1 3 D4 9 【解答】解：

16、根据题意，将 3 本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，每本书有 3 种情况， 则一共有 33327 种分法， 若甲、乙都分到书，分 2 种情况讨论： 甲乙丙三人都分到书，有 A336 种情况， 只有甲乙分到书，有 C3226 种情况， 则甲、乙都分到书的的情况有 6+612 种， 故则甲、乙都分到书的概率 P= 12 27 = 4 9； 故选：D 12 （5 分）已知正四面体 ABCD 中，P 为 AD 的中点，则过点 P 与侧面 ABC 和底面 BCD 所在平面都成 60的平面共有（注：若二面角 l 的大小为 120，则平面 与平 面 所成的角也为 60） （ ） A1 个 B2 个 C3 个

17、 D4 个 【解答】解：在正四面体 ABCD 中，取 BC 的中点 E，连结 AE，DE， 第 9 页（共 17 页） 则AED 就是二面角 ABCD 的平面角，在等腰三角形 AED 中， 可求得 cosAED= 1 3， 二面角 ABCD 的余弦为1 3 1 2，二面角 ABCD（ 3， 2） ， 设过点 P 垂直于平面 ABC 的直线为 m， 过点 P 垂直于平面 BCD 的直线为 n， 则 m 与 n 所成角（ 3， 2） ， 过点 P 可作 4 条直线同时与直线 m，n 成 3， 即符合题意的平面有 4 个 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题

18、分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 2 + 1 2( 2) ，若 zx+ty（t0）的最大值为 11， 则实数 t 4 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 zx+ty 得 y= 1 x+ ， 平移直线 y= 1 x+ ， 由图象知当直线 y= 1 x+ 经过点 A 时，直线的截距最大此时 z 最大为 11， 由 = 2 = 2( 2)得 A（3，2） ， 则 3+2t11，得 2t8，t4， 故答案为：4 第 10 页（共 17 页） 14 （5 分）已知等比数列an的首项 a18，令 bnlog2an，Sn是数列bn的前 n 项和，若 S3

19、是数列Sn中的唯一最大项，则an的公比 q 的取值范围是 2 4 1 2 【解答】解：由题意可得 ana1qn 18qn1， 所以 bnlog2anlog2（8qn 1） 3+2;1=3+（n1）log2q， 上式为关于 n 的一次函数的形式，故数列bn为等差数列， 又知 S3是数列Sn中的唯一最大项，故30 40 代入可得3 + 220 3 + 320，解得 3 22 1， 故2; 3 2q21，即 2 4 1 2 故答案为： 2 4 1 2 15 （5 分）已知抛物线 C：y= 1 8x 2 的焦点为 F，点 P 在 C 上，且|PF|10，则POF（其中 O 坐标原点）的面积为 8 【解

20、答】解：由抛物线的方程可得焦点 F 坐标为： （0，2） ，准线方程为：y2， |PF|10，可得 yP+210，所以 yP8，代入抛物线的方程可得|xP|8， 所以 SPOF= 1 2| | = 1 2 2 8 =8， 故答案为：8 16 （5 分）已知函数 f（x）2|x|x1|，若对任意的实数 x 有|f（x+t）f（x）|1（tR） 成立，则实数 t 的取值范围是 1 3， 1 3 【解答】解：函数 f（x）2|x|x1|= 1 ， 0 3 1，01 + 1， 1 ， 由 yf（x+t）的图象由 yf（x）的图象平移得到，不改变最值， 作出 yf（x）的图象，可得 f（x）的图象在（0

21、，1）区间内变化最快， 则在（0，1）内，函数 f（x+t）f（x）的值的最大为|f（t）f（0）|3t|， 由对任意的实数 x 有|f（x+t）f（x）|1（tR）成立，可得|3t|1， 解得 1 3 t 1 3 第 11 页（共 17 页） 故答案为： 1 3， 1 3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分） （）叙述并证明平面向量基本定理： （）在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ，沿 BE 方向前进 30m，至点 C 处 测得顶端 A 的仰角为 2，再继续前进 103m 至 D 点，测得顶端

22、A 的仰角为 4，求 的 大小和建筑物 AE 的高 【解答】 （本小题满分 12 分） 解： （）平面向量基本定理：如果1 ，2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这 一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 1，2使 = 11 + 22 证明：在平面内任取一点 O，作 = 1 ， = 2 ， = 过点 C 作平行于直线 OB 的 直线，与直线 OA 交于点 M； 过点 C 作平行于直线 OA 的直线，与直线 OB 交于点 N 由向量的线性运算性质可知，存在实数 1，2，使得 = 11 ， = 22 由于 第 12 页（共 17 页） = + ， 所以 = 11 + 22 （6 分） （）由

23、已知可得在 ACD 中，ACBC30，ADDC103，ADC1804， 103 2 = 30 (180;4)sin42sin2cos2， cos2= 3 2 ， 230 15 在 RtADE 中，AEADsin6015 答：所求角 为 15，建筑物高度为 15m（12 分） 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADAB，ABDC，AB1， ADDCAP2，点 E 为棱 PC 的中点 （1）证明：BE面 PAD； （2）证明：面 PBC面 PDC； （3）求直线 PD 与面 PBC 所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：取 PD 中点 M，连接 EM，AM，

24、 由中位线性质可知 = 1 2 ， 又 = 1 2 ， = ，则四边形 ABEM 为平行四边形， BEAM， BE 不在平面 PAD 内，AM 在平面 PAD 内， BE面 PAD； （2）证明：PA底面 ABCD，CD 在平面 ABCD 内， PACD， 又 ADAB，ABDC，故 CDAD， 由面面垂直的判定可知，CD平面 PAD， AM 在平面 PAD 内， 第 13 页（共 17 页） CDAM， CDBE， 又 = 2+ 2= 4 + 1 = 5， =2+ (1 2) 2 = 5，E 为 PC 中点， BEPC， 又 CDPCC，且都在平面 PDC 内， BE平面 PDC， 又 BE

25、 在平面 PBC 内， 平面 PBC平面 PDC； （3）过点 D 作 DNPC，由（2）及线面角的定义可知，DPN 为所求线面角， 又 CDPD， = 22， = 2， = 23， = = = 2 23 = 3 3 故所求线面角的正弦值为 3 3 19 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1（a1）的离心率是 2 2 （）求椭圆 C 的方程； （）已知 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2作斜率为 k 的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 F1A，F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M，N如果MF1N 为锐角，求 k 的取值范围 【解答】解： （）由题意， =

26、 2 2 2= 1 2= 2+ 2 ，解得 a22 椭圆 C 的方程为 2 2 + 2= 1； （）由已知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 yk（x1） ， 第 14 页（共 17 页） 直线 l 与椭圆 C 的交点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立 = ( 1) 2 2 + 2= 1 ，得（2k2+1）x24k2x+2k220 由已知，0 恒成立，且1+ 2= 42 22+1，12 = 222 22+1， 直线 F1A 的方程为 = 1 1+1 ( + 1)，令 x0，得 M（0， 1 1:1） ， 同理可得 N（0， 2 2:1） 1 1 = 1 + 12 (1

27、+1)(2+1) = 1 + 2(11)(21) (1+1)(2+1) = (1+2)12+(12)(1+2)+1+2 12+1+2+1 ， 将代入并化简得：1 1 = 721 821， 依题意，MF1N 为锐角，则1 1 = 721 821 0， 解得：k2 1 7或 k 21 8 综上，直线 l 的斜率的取值范围为（， 7 7 ）（ 2 4 ，0）（0， 2 4 ）（ 7 7 ，+ ） 20 （12 分）某手机企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，统计了近 10 年投入的 年研发费用 x 千万元与年销售量 y 千万件的数据，得到散点图 1，对数据作出如下处理： 令 uilnxi，vil

28、nyi，得到相关统计量的值如图 2： 10 1 uivi 10 1 ui 10 1 vi 10 1 ui2 30.5 15 15 46.5 （1）利用散点图判断 ybx+a 和 ycxd（c0，d0）哪一个更适合作为年研发费用 x 和年销售量 y 的回归类型（不必说明理由） ，并根据数据，求出 y 与 x 的回归方程； （2）已知企业年利润 z 千万元与 x，y 的关系式为 = 27 （其中 e 为自然对数的底 数） ，根据（1）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研 发费用？ 第 15 页（共 17 页） 【解答】解： （1）由散点图知，选择回归类型 ycxd更合适，

29、 对 yccd两边取对数，得 lnylnc+dlnx，即 vlnc+du， 由表中数据得， = =1 =1 22 = 30.5101.51.5 46.5101.51.5 = 1 3， 所以 lnc= =1.5 1 3 1.5 =1，所以 ce， 所以年研发费用和年销售量 y 的回归方程为 yex 1 3 （2）由（1）知 z27x 1 3x，求导得 z9x ;2 31， 令 z（x）9x ;2 310，得 x27， 函数 z27x 1 3x 在（0，27）上单调递增，在（27，+）上单调递减， 所以当 x27 时，年利润取最大值 5.4 亿元， 故要使得年利润最大，预计下一年应投入 2.7 亿

30、元研发费用 21 （12 分）已知函数 f（x）= 1 3x 3x2+ax（其中 a 为常数） （）若 x1 是 f（x）的极值点，求函数 f（x）的减区间； （）若 f（x）在（2，+）上是增函数，求 a 的取值范围 【解答】解： （I）f（x）= 1 3x 3x2+ax， f（x）x22x+a， x1 是 f（x）的极值点， f（1）3+a0， a3，f（x）x22x3， 当 x1 或 x3 时，f（x）0，当1x3 时，f（x）0， 即 a3 时符合题意，即 f（x）的单调单调递减区间（1，3） ， （II）f（x）在（2，+）上是增函数， f（x）x22x+a0 在（2，+）上恒成立，

31、 ax2+2x 在（2，+）上恒成立， 令 g（x）2xx2，则 g（x）在（2，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， 故 g（x）maxg（1）1， a1，即 a 的范围为1，+） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 16 页（共 17 页） 22 （10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，直线 l1的参数方程为 = 3 = （t 为参数） ，直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 （m 为参数） 设直线 l1与 l2的交点为 P当 k 变化时点 P 的轨迹为曲线 C1 （）求出曲线 C1的普通方程； （）以坐标原点为极点，

32、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为 ( + 4) = 32，点 Q 为曲线 C1 上的动点，求点 Q 到直线 C2的距离的最大值 【解答】解： （）直线 l1的参数方程为 = 3 = （t 为参数） ，转换为直角坐标方程为 = ( + 3) 直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 （m 为参数） 转换为直角坐标方程为 = 1 3 (3 ) 所以得到 2 3 + 2= 1（y0） （）直线 C2的极坐标方程为( + 4) = 32，转换为直角坐标方程为 x+y60 设曲线 C1的上的点 Q（3，）到直线 x+y80 的距离 d= |3+6| 2 = |2(+ 3)6| 2

33、 ， 当( + 3) = 1时， = 8 2 = 42 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数 f（x）|x+2|+|x3| （）求不等式 f（x）9 的解集； （）若关于 x 的不等式 f（x）|3m2|有解，求实数 m 的取值范围 【解答】解： （）f（x）|x+2|+|x3|= 2 1，3 5， 2 3 2 + 1， 2 f（x）9，2 19 3 或2 + 19 2 ， x5 或 x4， 不等式的解集为x|x5 或 x4 第 17 页（共 17 页） （）由（）知，f（x）min5 不等式 f（x）|3m2|有解， |3m2|f（x）min5， 3m25 或 3m25， 1或 7 3， m 的取值范围为(， 1 7 3， + )