江苏省南京盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学含答案.pdf

1、1 盐盐城城市市 2020 届届高高三三年年级级第第三三次次模模拟拟考考试试 数数学学 参考公式： 一一、填填空空题题：本本大大题题共共 14 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共计计 70 分分请请把把答答案案填填写写在在答答题题卡卡相相应应位位置置上上 1已知集合11,02 2 xxNxxxM, 则M与N的并集 NM =. 2设复数0aiaz，若2zz,则正实数a的值为. 3某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不 喜爱的人分别为6000人、5000人、1000人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利 用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数

2、为. 4某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则 女生入选的概率是. 5一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为. 6 若双曲线0, 01 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为2.则其两条渐近线所成的锐 角为. 7设三棱锥ABCP的体积为 1 V，点NM,分别满足MBPM2， NCPN ，记三棱锥BMNA的体积为 2 V，则 1 2 V V =. 8在ABC中，角CBA,所对的边分别为,cba若ca ca b B A 2, sin sin 则Acos=. 9已知数列 nn ba 、满足,log2 nn ab 且数列 n b是等差数列.若9, 2

3、 103 bb,则数列 n a的前n项和 n S=. 10若函数 xxf2sin关于直线 4 x对称，则的最小正值 为. 11若存在 实数4 , 0x，使不等式0162 3 axx成立，则实数a的取值范围是. 2 12在锐角ABC中，已知AH是BC边上的高，且满足ACABAH 3 2 3 1 ,则 AB AC 的取 值范围是. 13设函数 x baxxxf22 2 ，若函数 xfy 与函数 xffy 都有零点，且它 们的零点完全相同，则实数a的取值范围是. 14若圆16: 2 2 1 ymxC与圆16: 2 2 2 ynxC相交，点P为其在x轴下方的交点， 且8mn，则点P到直线01 yx距离

4、的最大值为. 二二、解解答答题题：本本大大题题共共6小小题题，共共计计90分分请请在在答答题题卡卡指指定定区区域域 内内作作答答，解解答答时时应应写写出出文文字字说说明明、 证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤 15 （本小题满分 14 分） 若sincos 22 xx m ，cos3cos 22 xx n ，设 3 ( ) 2 f xm n （1）求函数( )f x在，0上的单调减区间； （2）在ABC，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若)()(BfAf，ba2，求Bsin的 值 16 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱 111 CBAABC 中，ACAA 1 ， 11 AC

5、BA， 设O为 AC1与 A1C 的交点，点 P 为 BC 的中点 求证： （1）OP平面 ABB1A1； （2）平面 1 ACC平面OCP 3 17 （本小题满分 14 分） 如图 1 是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边 相切的圆的 4 1 圆弧（如图 2） ，现已知正方形的边长是 1 米，设该底座的面积为 S 平方米，周 长为 l 米（周长是指图 2 的实线部分 ） ，圆的半径为 r 米.设计的理想要求是面积 S 尽可能大， 周长 l 尽可能小.但显然 S、l 都是关于 r 的减函数，于是设 l S rf)(，当)(rf的值越大，满 意度就越高.试问

6、 r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时 以 3 代入运算 ） 18 （本小题满分 16 分） 如图，A、B 为椭圆 C：1 2 2 2 y a x 短轴的上、下顶点，P 为直线 l：2y上一动点，连接 PA 并延长交椭圆于点 M，连接 PB 交椭圆于点 N.已知直线 MA， MB 的斜率之积恒为 2 1 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求直线 MN 与 x 轴平行，求直线 MN 的方程； （3）求四边形 AMBN 面积的最大值，并求对应的点 P 的坐标 4 19 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a满足12 1 naa nn （1）若数列 n a的首项为 1 a，其中3

7、0 1 a，且 1 a， 2 a， 3 a构成公比小于 0 的等比数列， 求 1 a的值； （2）若 n a是公差为 d（d0）的等差数列 n b的前 n 项和，求 1 a的值； （3）若 1 a=1，2 2 a，且数列 1 -2n a单调递增，数列 n a2单调递减，求数列 n a的通项 公式 20 （本小满分 16 分） 设函数 x e x xf )( )( ， )( ln )( x x xg ，其中)(x恒不为 0. （1）设 2 )(xx ，求函数)(xf在1x处的切线方程； （2）若 0 x是函数)(xf与)(xg的公共极值点，求证： 0 x存在且唯一； （3）设baxx)(，是否存

8、在实数 a，b，使得0)()(xgxf在，0上恒成立？若 存在，请求出实数 a，b 满足的条件；若不存在，请说明理由 5 数数学学(附附加加题题) 21 【选选做做题题】本本题题包包括括 A、B、C 三三小小题题，请请选选定定其其中中两两小小题题，并并在在相相应应的的答答题题区区域域内内作作答答 若若 多多做做，则则按按作作答答的的前前两两小小题题评评分分解解答答时时应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤 A.选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 直线l经矩阵M= sin cos cos sin （其中，0）作用变换后得到直线xyl2:，若直 线l与直线

9、l 垂直，求的值. B.选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程 3 1 2 1 2 xt yt ， （t 为参数）以坐标原点为极 点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2，设 P 为上动点， 求直线l被曲线 C 截得的弦长 C选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分） 若实数a b c，满足243abc，求 111 123abc 的最小值 6 【必必做做题题】第第 22 题题、第第 23 题题，每每题题 10 分分，共共计计 20 分分请请在在答答题题卡卡指指定定区区域域 内内作作答答，解解答答时时应应 写写出出文文字

10、字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤 22.（本小题满分10分） 已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面 试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格. 现有A，B，C三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A，B，C三位学生材料初审合格的概率分 别是 3 1 ， 2 1 ， 4 1 ；面试合格的概率分别是 2 1 ， 3 1 ， 3 2 . （1）求A，B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率； （2）记随机变量X为A，B，C三位同学获得该高校综合评价录取资格的人数，求X的概率 分布与数学期望.

11、 23.（本小题满分10分） 设集合nTn, 3 , 2 , 1 （其中 Nnn, 3） ，将 n T的所有3元子集（含有3个元素的子集） 中的最小元素的和记为 n S. （1）求 3 S ， 4 S ， 5 S的值； （2）试求 n S的表达式. 盐盐城城市市 2020 届届高高三三年年级级第第三三次次模模拟拟考考试试 数数学学 参考公式： 一一、填填空空题题：本本大大题题共共 14 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共计计 70 分分请请把把答答案案填填写写在在答答题题卡卡相相应应位位置置上上 1已知集合11,02 2 xxNxxxM, 则M与N的并集 NM =. 2设复数0aiaz，若

12、2zz,则正实数a的值为. 3某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不 喜爱的人分别为6000人、5000人、1000人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利 用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为. 4某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则 女生入选的概率是. 5一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为. 6若双曲线0, 01 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为2.则其两条渐近线所成的锐角为 . 7设三棱锥ABCP的体积为 1 V，点NM,分别满足MBPM2，NCPN ，记 三棱锥BMNA

13、的体积为 2 V，则 1 2 V V =. 8在ABC中，角CBA,所对的边分别为,cba若ca ca b B A 2, sin sin 则Acos=. 9已知数列 nn ba 、满足,log2 nn ab 且数列 n b是等差数列.若9, 2 103 bb,则数列 n a的前n项和 n S= 10若函数 xxf2sin关于直线 4 x对称，则的最小正值 为. 1.1,22. 13. 54. 2 3 5. 136. 3 7. 1 6 8. 6 4 9.21 n 10. 2 11若存在 实数4 , 0x，使不等式0162 3 axx成立，则实数a的取值范围是. 22 116188 ()()6(6

14、,) 22 axxa xxx 解： 12在锐角ABC中，已知AH是BC边上的高，且满足ACABAH 3 2 3 1 ,则 AB AC 的取 值范围是. 2 22 2 22 22 22 22 3 1 tan0(0, ) 22 1 12 (,1) 4124 1 (2) ()03 3 BHCHxAHy x xy BACt xy y ACxyt ABtxy ABcACbBCa AH CBABACABACac 解：法一：由题意可设， 则； 法二：设， 2 222 222 222 222 222 3 330 2 2 (,1) 2 b acb abc ABCbcb bac cab ACb ABc 为锐角三角

15、形 故 13设函数 x baxxxf22 2 ，若函数 xfy 与函数 xffy 都有零点，且它 们的零点完全相同，则实数a的取值范围是. 2 00 222 2 ()( ()0(0)0( )2 ( ( )( ) ( )2 (2)(22 )020 480( 2,0)200 ( 2,0 f xf f xfbf xxax f f xf xf xaxax xaxaxax aaaaa a 解：，故 的解与的解相同 ； 综上， 14 若圆16: 2 2 1 ymxC与圆16: 2 2 2 ynxC相交， 点P为其在x轴下方的交点， 且8mn， 则点P到直线01 yx距离的最大值为. 22 2222 22

16、22 ()16 16()16()8 22 ()16 15 2 80max2 2 2 2 PPPP PPP xmy mnnm xyxmnx xny xyy 解： 故，所求距离（验等） 、 二二、解解答答题题：本本大大题题共共6小小题题，共共计计90分分请请在在答答题题卡卡指指定定区区域域 内内作作答答，解解答答时时应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过 程程或或演演算算步步骤骤 15 （本小题满分 14 分） 若sincos 22 xx m ，cos3cos 22 xx n ，设 3 ( ) 2 f xm n （1）求函数( )f x在，0上的单调减区间； （2）在ABC，角 A，B，C 的

17、对边分别为 a，b，c，若)()(BfAf，ba2，求Bsin的值 33 1( )(sin,cos) cos, 3cos 222222 133 sin(cos1) 222 sin() 3 4 0, , 333 4 233 (, )( ). 6 xxxx f xm n xx x xx x xf x 解：（ ） 又 为的单调减区间 222 22 , sinsin sin2sin ( )( ) () 3 sin()2sin 3 5 cossin 3 28 cossinsin1 3 21 sin. 14 ABCab ab AB AB f Af B ABAB BB BB BBB B （ ）在中， 又 舍

18、 ， 16 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱 111 CBAABC 中，ACAA 1 ， 11 ACBA，设O为 AC1 与 A1C 的交点，点 P 为 BC 的中点 求证： （1）OP平面 ABB1A1； （2）平面 1 ACC平面OCP 111 11 1 111 111 11 111 1 111 1111 111 1 (1) / / / / 21/ / , ABCA BC AACC OACPBC CA AOPA B A BA BOPA B OPABB A OPA BA BAC OPAC AAACAC AOACAOOPO AO OPOCP ACOCPACACC ACC 证： 在三棱柱

19、中 四边形为平行四边形 为中点，又 为中点 在中， 又面，面 平面 （ ）由（ ）知，又 又面 面，又面 面面OCP 17 （本小题满分 14 分） 如图 1 是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆 的 4 1 圆弧（如图 2） ，现已知正方形的边长是 1 米，设该底座的面积为 S 平方米，周长为 l 米（周长是 指图 2 的实线部分 ） ，圆的半径为 r 米.设计的理想要求是面积 S 尽可能大，周长 l 尽可能小.但显然 S、 l 都是关于 r 的减函数，于是设 l S rf)(，当)(rf的值越大，满意度就越高.试问 r 为何值时，该淋 浴房底座

20、的满意度最高？（解答时 以 3 代入运算 ） 22 22 2 22 2 44 42441()11 222444 1 4164 4 ( )(0,1( )082 15(0,1) 1622(8) 4 2 (0,82 15) 82 15 (82 15,1) ( )0 ( ) 82 15( ) rrrr lrrSrr r rrr f rrfrr r rr r fr f r rf r 解：， ， 极大值 故时，取得最大值 82 15r 答：当时，该淋浴房底座的满意度最高 18 （本小题满分 16 分） 如图，A、B 为椭圆 C：1 2 2 2 y a x 短轴的上、下顶点，P 为直线 l：2y上一动点，连

21、接 PA 并延 长交椭圆于点 M，连接 PB 交椭圆于点 N.已知直线 MA，MB 的斜率之积恒为 2 1 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求直线 MN 与 x 轴平行，求直线 MN 的方程； （3）求四边形 AMBN 面积的最大值，并求对应的点 P 的坐标 2 2 2 2 2 222 2 2 1(0,1)(0, 1)( , )1 (1)(1)111 2 2 1 2 2( , )(, )(2,0)(0,2) (1) 1 (1) 1 MAMB x ABM x yy a yyy kka xxa x Cy M m nNm nm m AMxy n m BNxy n 解：（），设，则 ，故 因此，

22、椭圆 的标准方程为：； （ ）设，则， ： ： 22 222 22 2 2 2 22 2 111 2 22 3( ,2)0 4 1 10 422 (,) 1222 22 2 12 3 10 18 118 22 1 P ynMNy n P tt t x APyxx ttt Mt yttt xyy t t x BPyxx t t yt xyy t ，故直线的方程为：； （ ）设， ： 或 ： 或 2 22 2 222222 2 2 1218 (,) 1818 8 1412412(6) ()16 2218218(2)(18) 66 1616 21836 ()()20 6 2 6,)( AMBN AM

23、BN tt N tt ttttt t SAB tttttt tt tt ttt ttt txSf t 四边形 四边形 令，则 2 2 22 max 16 )2 6,) 8 16(8) ( )0( )2 6,) (8) 6 2 66( )66 6(6,2) AMBN x xx x x fxf x x xttf xS t AMBNPP 四边形 ， ，故在上递减 故，即，即时，即的最大值为 因此，四边形面积的最大值为，对应的点 坐标为 19 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a满足12 1 naa nn （1）若数列 n a的首项为 1 a，其中30 1 a，且 1 a， 2 a， 3 a构成

24、公比小于 0 的等比数列，求 1 a 的值； （2）若 n a是公差为 d（d0）的等差数列 n b的前 n 项和，求 1 a的值； （3）若 1 a=1，2 2 a，且数列 1 -2n a单调递增，数列 n a2单调递减，求数列 n a的通项公式 21 321 2 213 111 111 1 11 1 111 3 9 15 8 2(1) 21*0 3 251 2 37 0 n nnn nnn aa aaa aa a baband aabadnnnNd da daa d da d aabad 解：（）由题意知：； （ ）由题意知：， 对任意均成立，其中 此时， 1 135212462 1121

25、2 1212 212121131 21*1 312 2141 241 2() nn nnnnkk nnkk kkk nnnNa aaaaaaaa nkaaaaaak nkaaaak aaaaaa 对任意均成立，故； （ ）由题意知：， 故时， 时， 则：，故 532123 11 1 ()()21 211 ( 1) kk nnnn n n n aaaak nannaanan nan an 即 为奇数时，又 为奇数时， 即 为偶数时， 综上， 20 （本小满分 16 分） 设函数 x e x xf )( )( ， )( ln )( x x xg ，其中)(x恒不为 0. （1）设 2 )(xx ，

26、求函数)(xf在1x处的切线方程； （2）若 0 x是函数)(xf与)(xg的公共极值点，求证： 0 x存在且唯一； （3）设baxx)(，是否存在实数 a，b，使得0)()(xgxf在，0上恒成立？若存在， 请求出实数 a，b 满足的条件；若不存在，请说明理由 22 2 0 00 0 121 1( )(1)( )(1) ( )10 ( ) ( )ln ( )( ) 2( )( ) ( ) ()0 ln10 ()0 ( )ln10( xx x xxx f xffxf eeee f xxxey x xx xx x fxg x ex fx xx g x h xxxxh x 解：（）， 故在处的切线

27、方程为：； （ ）， 由题意知： 令， 11 11 )ln1 (0,)( )0(,)( )0 ( )(0,)(,) (0,1)( )1( )(0,1) (1)10( )10(1) ( )0 ( )1,)( )( x xeh xxeh x h xee xh xh x hh eehh e h xh x 时，；时， 故在递减，递增 又时，故在上无零点 ，故 又在递增，因此，在 0 1, ) 3( )(0,) 11 00( ) ( )0 1 (1) (1)0()00 0( )(0,) xx e x xaxb b abfx g x bxexe b fgb abb eab axaxbab 上存在唯一零点

28、所以， 存在且唯一； （ ）由题意知：在上无零点 当时，则，符合题意； 又，则，故 当时，要使在上无零点，显然 2 0 ln ( ) ( )0(0,) () ()( ln)0(0,) ( )(0,)( )ln(0,) ,0max0,1( )0 x b aax aaxb x fx g x eaxb b axba axa x b F xaxbaxG xaxax x b a bxF x a 在上恒成立 即在上恒成立 令， 时，时， 1 1 1 1 1 1 max ,ln11( )0 max1, ,( ) ( )0 ,0max0,1( )0 max, a a a b xb eaxaG x x b xb

29、 eF x G x a b a bxF x a xb e 时，故 因此，时， 与题意不符，舍去； 时，时， 1 1 ln11( )0 max1,( ) ( )0 00 a b axaG x x b xb eF x G x a ab 时，故 因此，时， 与题意不符，舍去； 综上，存在，符合题意 数数学学(附附加加题题) 21 【选选做做题题】本本题题包包括括 A、B、C 三三小小题题，请请选选定定其其中中两两小小题题 ， 并并在在相相应应的的答答题题区区域域内内作作答答 若若多多做做，则则 按按作作答答的的前前两两小小题题评评分分解解答答时时应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演

30、算算步步骤骤 A.选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 直线l经矩阵M= sin cos cos sin （其中，0）作用变换后得到直线xyl2:，若直线l与直 线 l 垂直，求的值. ( , )( ,) cossincossin sincossincos cossin 22 sincos sincos2 cos lP x yPMP x y xxyx yxyy xxy Plyxyx yxy xyx 解：在 上任取一点，设 经矩阵变换后得到点 故，又在直线 ：上，即 则2 sin (sin2cos )(2sincos )0 sin2cos1 cos0 2sincos2 (0, ) 2

31、y lxy ll 即直线 ： 因为 与 垂直，故 又，故 B.选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程 3 1 2 1 2 xt yt ， （t 为参数）以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2，设 P 为上动点，求直线l被曲线 C 截得的弦长 2222 310 22 1 2 27 4 ltxy CxyCxy lC 解：对于直线 ，消去参数 得： 曲线 ：，即曲线 为圆： 因此，直线 被曲线 截得的弦长 【必必做做题题】第第 22 题题、第第 23 题题，每每题题 10 分分，共共计计 20 分分请请在在答答

32、题题卡卡指指定定区区域域 内内作作答答，解解答答时时应应写写出出文文字字 说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤 22.（本小题满分10分） 已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材 料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格.现有A，B，C三 名学生报名参加该高校的综合评价，假设A，B，C三位学生材料初审合格的概率分别是 3 1 ， 2 1 ， 4 1 ；面试 合格的概率分别是 2 1 ， 3 1 ， 3 2 . （1）求A，B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率； （2）记随机变量X为A，B，

33、C三位同学获得该高校综合评价录取资格的人数，求X的概率分布与 数学期望. 12 1 2 3 312 3 111111 1 326236 115 ,(1) 6618 121 2 436 1125117525 (0)(1)(1)(1) 62166621672 (2) APBP A BPC CP P XP XC P XC 解：（） 获得录取资格的概率； 获得录取资格的概率 则两位考生只有一位录取的概率； （ ） 获得录取资格的概率 ； 223 3 1115511 ( )(1)(3)( ) 66216726216 0123 125 25 51 216 72 72 216 12525511 ()0123

34、 21672722162 P X X P E X ； 23.（本小题满分10分） 设集合nTn, 3 , 2 , 1 （其中 Nnn, 3） ，将 n T的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最 小元素的和记为 n S. （1）求 3 S ， 4 S ， 5 S的值； （2）试求 n S的表达式. 33 44 5 11,2,31,2,31 1,2,3,41,2,31,2,41,3,42,3,45 1,2,3,4,51,2,31,2,41,2,51,3,41,3,51,4,5 TS TS T 解：（），其所有三元子集为，故； ，其所有三元子集为、，故； ，其所有三元子集为、 5 2 1 2 2

35、 2 3 2 2 2,3,42,3,52,4,53,4,515 21,2,3, 1 2 3 2 n n n n S Tn C C C nC 、，故； （ ）的所有三元子集中： 最小元素为 的三元子集个数为 最小元素为 的三元子集个数为 最小元素为 的三元子集个数为 最小元素为的三元子集个数为 222222 234321 2322222 2334321 232222 244321 23 244 (2)(3)(4)32 (3)()(4)32 (3)(4)32 (4)( nnnn nnn nnn SnCnCnCCCC CnCCnCCCC CnCnCCCC CCnC 故 32222 4321 233222 245321 4333 445 433 55 4 1 )32 (4)32 nnn nnn n n n CCCC CCnCCCC CCCC CCC C