2020江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学试题含答案.pdf

1、2020 届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷 数学 I 卷 2020.4 一填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.设复数 z 满足(z+i)(2+i)=5(i 为虚数单位),则 z=_. 2.设全集 U=1,2,3,4,集合 A=1,3,B=2,3,则B UA _. 3.箱子中有形状大小都相同的 3 只红球和 2 只白球,一次摸出 2 只球,则摸到的 2 球颜色不同的概率为_. 4.某学校从高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高.据测量被测学生身高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按

2、如下方式分成八组:第一组155,160)第二组160,165)第八组190,195,按上述分组方法得 到的频率分布直方图的一部分如图所示.估计这所学校高三年级全体男生身高 180cm 以上(含 180cm)的人数为_. 5.阅读如图所示的程序框,若输入的 n 是 30,则输出的变量 S 的值是_. 6.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,若曲线 C 经过点 P(1,3),则其焦点 到准线的距离为_. 7.抛物线 2 4yx的焦点到双曲线 22 1 169 xy 渐近线的距离为_. 8.已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2,锐角为

3、60 的菱形,侧棱 PA底面 ABCD,PA=3.若点 M 是 BC 的中点,则三棱锥 MPAD 的体积为_. 9.以抛物线 2 4yx的焦点为焦点,以直线 y= x 为渐近线的双曲线标准方程为_. 10.一个圆锥的侧面积等于底面面积的 2 倍,若圆锥底面半径为3,cm则圆锥的体积_是 cm 11.设 f(x)是 R 上的奇函数,当 x0 时,( )2ln, 4 x f x x 记(5), n af n则数列 n a前 8 项和为_. 12.过曲线 1 (0)yxx x 上一点 P(x0,y0)处的切线分别与 x 轴,y 轴交于点 A,B,O 是坐标原点,若OAB 的面 积为 1 , 3 则

4、0 x _. 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O: 2222 1 1,:(4)4,xyOxy动点 P 在直线30xyb上, 过 P 分别作圆 O, 1 O的切线,切点分别为 A,B,若满足 PB=2PA 的点 P 有且只有两个,则实数 b 的取值范围是_. 14. 已 知 函 数f(x) 是 定 义 在R上 的 奇 函 数 , 当x0时 , 1 ( )(|2 | 3|) 2 f xxaxaa. 若 集 合 |(1)( )0 ,xfxfxx R,则实数 a 的取值范围为_. 二解答题;本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明证明过程或演算 步

5、骤. 15.(本小题满分 14 分) 在ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 m=(sinB-sinC,sinC-sinA),n=(sinB+sinC,sinA),且 mn. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=c cosA,ABC 的外接圆的半径为 1,求ABC 的面积. 16.(本小题满分 14 分) 如图,在直四棱柱, 1 111 ABCDABC D中,E,F 分别是 AB,BC 的中点, 11 AC与 11 B D于点 O. (1)求证: 11 ,A CF,E 四点共面; (2)若底面 ABCD 是菱形,且 1 ,ODAE求证:OD平面 11 .AC

6、FE 17.(本小题满分 14 分) 已知函数 2 ( )21.f xxax (1)若函数( )log ( )(0,1) a g xf xa aa的定义域是 R,求实数 a 的取值范围; (2)当 x0 时,恒有不等式 ( ) ln f x x x 成立,求实数 a 的取值范围. 18.(本小题满分 16 分) 如图,墙上有一壁画,最高点 A 离地面 4m,最低点 B 离地面 2m,观察者从距离墙 xm(x1),离地面高 am(1a2) 的 C 处观赏该壁画,设观赏视角ACB=. (1)若 a=1.5,问:观察者离墙多远时,视角 最大? (2)若 1 tan, 2 当 a 变化时,求 x 的取

7、值范围. 19.(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 22 22 1(0) xy ab nb 的离心率是 e,定义直线 b y e 椭圆的“类准线”.已知 椭圆 C 的“类准线”方程为2 3,y 长轴长为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 在椭圆 C 的“类准线”上(但不在 y 轴上),过点 P 作圆 O 22 :3xy的切线 1,过点 O 且垂直于 OP 的直 线与 1 交于点 A,问点 A 是否在椭圆 C 上?证明你的结论. 20.(本小题满分 16 分) 已知数列 n a的奇数项是公差为 1 d的等差数列,偶数项是公差为 2 d的等差数列, n S

8、数列 n a的前 n 项 和, 12 1,2.aa (1)若 545 16,Saa求 a10; (2)已知 158 15,Sa且对任意 nN*，有 1nn aa 恒成立,求证:数列 n a是等差数列; (3)若 121 3(0),ddd且存在正整数 m,n(mn),使得. nm aa求当 1 d最大时,数列 n a的通项公式. 21.选做题本题包括 ABC 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两 小题评分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤. A.选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 求矩阵 3 1 13 的特征值及对应的特征向量. B.选修

9、 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 6cos : 2sin x y ( 为参数).以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标 系,直线 1 的极坐标方程为(cos3sin )40).求曲线 C 上的点到直线 1 的最大距离, C.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 设 x,y 均为正数,且 xy,求证: 22 1 223. 2 xy xxyy 必做题第 22 题第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明证明过 程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 如图,在直

10、三棱柱 1 11 ABCABC中,AC=3,BC=4,AB=5, 1 4.AA (1)设,ADAB 异面直线 1 AC与 CD 所成角的余弦值为 9 10 , 50 求 的值; (2)若点 D 是 AB 的中点,求二面角 1 DCB B的余弦值. 23.(本小题满分 10 分) 设 * ( , )(1) ,. n f x nxnN (1)求 f(x,6)的展开式中系数最大的项; (2) * nN时,化简 011223101 44444 nnnnn nnnnn CCCCC (3)求证: 2113 2132 nn nnnn CCCnCn 数学（参考答案与解析）第 1 页（共 9 页） 绝密绝密启用

11、前启用前 2020 届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷 数学卷数学卷 参考答案与参考答案与解析解析 2020.42020.4 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分 1. (本小题满分 5 分) 【答案】22i 2. (本小题满分 5 分) 【答案】2 3. (本小题满分 5 分) 【答案】3 5 4. (本小题满分 5 分) 【答案】144 5. (本小题满分 5 分) 【答案】240 6. (本小题满分 5 分) 【答案】9 2 7. (本小题满分 5 分) 【答案】3 5 8. (本小题满分 5 分) 【答

12、案】 3 9. (本小题满分 5 分) 【答案】x 2 1 2 y 2 1 2 1 10. (本小题满分 5 分) 【答案】3 11. (本小题满分 5 分) 【答案】16 12. (本小题满分 5 分) 【答案】 5 【解析】P(x0，y0)处的切线斜率为 1 1 x20，则切线方程为 y x0 1 x0 1 1 x20 (xx0) ，当 x0 时，y2 x0 ；当 y0 时，x 2x0 x201.S OAB1 2 2 x0 2x0 x201 1 3，则 x0 5.本题考查了 数学（参考答案与解析）第 2 页（共 9 页） 导数的几何意义、直线方程，属于中等题 13. (本小题满分 5 分)

13、 【答案】 20 3 ，4 【解析】设 P 点坐标为(x，y)， PB2PA， PB24PA2，即(x4)2y244(x2y2 1)，整理得 3x23y28x160.(方法 1)该方程表示一个圆，圆心 4 3，0 ，r 8 3.因为 P 点有且只有两个，所以直线和圆相交，故 4 3b 2 0，整理得 3b2 8b800， xR ， f(x1)f(x)0 恒成立， 即 f(x1)f(x) (1) 当 a0 时，当 x0 时，f(x)1 2x，又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 函数 f(x) 是在 R 上的解析式为 f(x)1 2x，而 f(x1)是由 f(x)向右平移 1 个单位，则函

14、数 f(x)和 f(x 1)的图象有下图关系： 通过图象观察，当 a0 时，f(x1)f(x)恒成立； (2) 当 a0 时，当 x0 时，f(x) ),2,3 )2 , ), 0, )( axax aaxa axx xf 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(x)在 R 上的图象为(如下图)： 要使 f(x1)f(x)，两图象只要满足： 由图知，只要满足3a13a，即 0a1 6时，f(x1)f(x)恒成立 数学（参考答案与解析）第 3 页（共 9 页） 综上可得，当 a1 6时，f(x1)f(x)恒成立 本题考查了集合、分段函数、函数的图象与性质、不等式等内容的综合运用，体现了数

15、形结合思想和分类讨论的思想本题属于难题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6小题，共计小题，共计90分分 15(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 (1) 因为 mn，所以 sin2Bsin2CsinA(sinCsinA)0，即 sinAsinCsin2Asin2C sin2B.(2 分) 由正弦定理得 aca2c2b2，所以 cosBa 2c2b2 2ac 1 2.(4 分) 因为 B(0， )，所以 B 3 .(6 分) (2) 因为 c cosAb，所以b c b2c2a2 2bc ，即 b2c2a2.(8 分) 又 aca2c2b2，b2RsinB 3，(10 分) 解得 a

16、1，c2.(12 分) 所以 SABC1 2acsinB 3 2 .(14 分) 16(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 (1) 连结 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF 是ABC 的中位线， 所以 EFAC.(2 分) 由直棱柱知 AA1平行等于 CC1，所以四边形 AA1C1C 为平行四边形，所以 ACA1C1.(5 分) 所以 EFA1C1，故 A1，C1，F，E 四点共面(7 分) (2) 连结 BD，因为直棱柱中 DD1平面 A1B1C1D1，A1C1平面 A1B1C1D1，所以 DD1 A1C1.(9 分) 因为底面 A1B1C1D1是菱形，所以 A1

17、C1B1D1. 又 DD1B1D1D1，所以 A1C1平面 BB1D1D.(11 分) 因为 OD平面 BB1D1D，所以 ODA1C1. 又 ODA1E，A1C1A1EA1，A1C1平面 A1C1FE，A1E平面 A1C1FE，所以 OD 平面 A1C1FE.(14 分) 17(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 (1) 由题意得，对任意 xR，恒有 f(x)a0，即恒有 x22ax1a0，(2 分) 于是 4a24(1a)0，(3 分) 即 a2a10，解得1 5 2 a1 5 2 .(3 分) 数学（参考答案与解析）第 4 页（共 9 页） 因为 a0，a1，所以实数 a 的取值范围

18、是(0，1) 1，1 5 2 .(5 分) (2) 当 x0 时，不等式f（x） x lnx 等价于 x2a1 xlnx，即 2ax 1 xlnx，(7 分) 设 g(x)x1 xlnx，则 g(x)1 1 x2 1 x x2x1 x2 .(9 分) 令 g(x)0，得 x1 5 2 ， 当 0x1 5 2 时，g(x)0，g(x)单调减， 当 x1 5 2 时，g(x)0，g(x)单调增，(11 分) 故当 x1 5 2 时，g(x)ming 1 5 2 5ln1 5 2 ，(13 分) 所以 2a 5ln1 5 2 ， 所以实数 a 的取值范围是 ， 5 2 1 2ln 1 5 2 .(1

19、4 分) 18(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 (1) 当 a1.5 时， 过 C 作 AB 的垂线， 垂足为 D， 则 BD0.5 m， 且 ACDBCD， 由已知观察者离墙 x m，且 x1，则 tanBCD0.5 x ，tanACD2.5 x ，(2 分) 所以 tan tan(ACDBCD) 2.5 x 0.5 x 12.50.5 x2 2 x 11.25 x2 2 x1.25 x 2 2 5 4 2 5 5 ，当且仅当 x 5 2 1时，取“”(6 分) 又 tan 在 0， 2 上单调增， 所以，当观察者离墙 5 2 m 时，视角 最大(8 分) (2) 由题意， 得 ta

20、nBCD2a x ， tanACD4a x ， 又 tan 1 2， 所以 tan tan(ACD BCD) 2x x2（a2） （a4） 1 2，(10 分) 所以 a26a8x24x， 当 1a2 时，0a26a83，所以 0x24x3， 即 x24x0 x24x30，解得 0x1 或 3x4.(14 分) 因为 x1，所以 3x4，所以 x 的取值范围为3，4(16 分) 数学（参考答案与解析）第 5 页（共 9 页） 19(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 (1) 由题意 ab c 2 3， a2， 又 a2b2c2，解得 b 3，c1，(4 分) 所以椭圆 C 的方程为x 2

21、4 y 2 31.(5 分) (2) 点 A 在椭圆 C 上证明如下： 设切点为 Q(x0，y0)，x00，则 x20y203，切线 l 的方程为 x0xy0y30， 当 yP2 3时，xP32 3y0 x0 ，即 P 32 3y0 x0 ，2 3 ， 则 kOP 2 3 32 3y0 x0 2x0 32y0，(7 分) 所以 kOA2y0 3 2x0 ，直线 OA 的方程为 y2y0 3 2x0 x.(9 分) 由 y2y0 3 2x0 x， x0xy0y30， 解得 x 6x0 6 3y0， y3（2y0 3） 6 3y0 ， 即 A( 6x0 6 3y0， 3（2y0 3） 6 3y0

22、)(11 分) 因为 6x0 6 3y0 2 4 （3（2y0 3） 6 3y0 ）2 3 9（3y 2 0）3（4y 2 04 3y03） 3y2012 3y036 3y 2 012 3y036 3y2012 3y0361， 所以点 A 的坐标满足椭圆 C 的方程(14 分) 当 yP2 3时，同理可得点 A 的坐标满足椭圆 C 的方程， 所以点 A 在椭圆 C 上(16 分) 20(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 (1) 由题意，得 a11，a22，a3a1d11d1，a4a2d22d2，a5a3d11 2d1.(2 分) 因为 S516，a4a5，所以 a1a2a3a4a573d

23、1d216，2d212d1.所以 d12，d23，(4 分) 所以 a1024d214.(5 分) (2) 证明：当 n 为偶数时，因为 anan1恒成立， 即 2 n 21 d21 n 2d1， n 2(d2d1)1d20 恒成立，所以 d2d10 且 d21.(7 分) 当 n 为奇数时，因为 anan1恒成立， 即 1n1 2 d12 n1 2 1 d2，(1n)(d1d2)20 恒成立，所以 d1d20，于是有 d1d2.(9 分) 因为 S1515a8，所以 887 2 d11476 2 d23045d2， 数学（参考答案与解析）第 6 页（共 9 页） 所以 d1d22，ann，所

24、以数列an是等差数列(11 分) (3) 解：若 d13d2(d10)，且存在正整数 m，n(mn)，使得 aman， 由题意得，在 m，n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设 m 为奇数，n 为偶数 因为 aman，所以 1m1 2 d12 n 21 d2.(13 分) 因为 d13d2，所以 d1 6 3mn1. 因为 m 为奇数，n 为偶数，所以 3mn1 的最小正值为 2，此时 d13，d21.(15 分) 所以数列an的通项公式为 an 3 2n 1 2，n为奇数， 1 2n1，n为偶数. (16 分) 数学（参考答案与解析）第 7 页（共 9 页） 2020 届江苏省南通市高三年

25、级第一次高考全真经典模拟试卷 数学卷（附加题）数学卷（附加题） 参考答案与解析参考答案与解析 2020.42020.4 21 【选做题】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C 三三小题小题。 A选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 特征多项式 f() 3 1 1 3 (3)21268，(3 分) 由 f()0，解得 12， 24.(6 分) 将 12 代入特征方程组，得 xy0， xy0 xy0，可取 1 1 为属于特征值 12 的一个特征向量(8 分) 同理，当 24 时，由 xy0， xy0 xy0， 所以可取 1 1 为属于特征值 24 的一个特征向量 综上所

26、述，矩阵 3 1 1 3 有两个特征值 12， 24； 属于 12 的一个特征向量为 1 1 ，属于 24 的一个特征向量为 1 1 .(10 分) B选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 将 l 转化为直角坐标方程为 x 3y40.(3 分) 在 C 上任取一点 A( 6cos ， 2sin )， 0，2 )，则点 A 到直线 l 的距离为 d| 6cos 6sin 4| 2 |2 3sin 4 4| 2 2 3sin 4 4 2 .(7 分) 当 4 时，d 取得最大值，最大值为 2 3，此时 A 点为( 3，1)(10 分) C选修 45：不等式选讲(本小

27、题满分 10 分) 【答案与解析】 数学（参考答案与解析）第 8 页（共 9 页） 因为 x0，y0，xy0， 2x 1 x22xyy22y2(xy) 1 （xy）2(4 分) (xy)(xy) 1 （xy）23 3 （xy）2 1 （xy）23，(8 分) 所以 2x 1 x22xyy22y3.(10 分) 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分 22. (本小题满分 10 分) 【答案与解析】 (1) 由 AC3，BC4，AB5，得ACB90.(1 分) 以 CA、CB、CC1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所

28、示的空间直角坐标系， 则 A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)设 D(x，y，z)，则由AD AB 得CD (33， 4 ，0)，而AC1 (3，0，4)， 根据9 10 50 99 5 252189 ，解得 1 5或 1 3.(5 分) (2) CD 3 2，2，0 ，CB1 (0，4，4)，可取平面 CDB1的一个法向量为 n1(4，3， 3)；(7 分) 而平面 CBB1的一个法向量为 n2(1，0，0)，并且n1，n2与二面角 DCB1B 相等， 所以二面角 DCB1B 的余弦值为 cos cosn1，n2 2 17 34.(10 分) (第(1)题中少一解扣 1 分

29、；没有交代建立直角坐标系过程扣 1 分第(2)题如果结果相差 符号扣 1 分) 23(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 (1) 解：展开式中系数最大的项是第四项为 C3nx320x3.(3 分) (2) 解：C0n4n 1C1 n4 n2C2 n4 n3Cn1 n 40Cnn4 1 1 4C 0 n4 nC1 n4 n1C2 n4 n2Cn1 n 4Cnn 数学（参考答案与解析）第 9 页（共 9 页） 1 4(41) n5 n 4 .(7 分) (3) 证明：因为 kCknnCk 1 n1， 所以 C1n2C2n3C3nnCnnn(C0n1C1n1C2n1Cn 1 n1)n2 n1.(10 分)